EXERCICE I - UN PEU DE BALISTIQUE

Transcription

1 EXERCICE I - UN PEU DE BALISTIQUE Lors de fouilles préventives sur un chantier de travaux publics, on a retrouvé ce qui ressemble à une arme à feu. Il s agit d un ancien pistolet lance-fusées en bronze datant probablement de la première Guerre Mondiale. Il est dans un état de conservation assez remarquable. Ce type de pistolet était très utilisé lors de cette guerre car, en plus de lancer des fusées éclairantes, il pouvait servir de moyen de communication. En effet, à l époque très peu de moyens étaient mis à disposition des troupes : les ondes hertziennes étaient très peu utilisées et c étaient des kilomètres de câbles téléphoniques qui devaient être déroulés pour permettre la transmission de messages divers et variés. Ainsi les pistolets signaleurs se sont avérés très utiles. Pistolet lance-fusées (d après 1. Durée de visibilité de la fusée Sur la notice des fusées éclairantes que l on peut utiliser dans ce type de pistolet, on trouve les informations suivantes : Cartouche qui lance une fusée éclairante s allumant 1,0 seconde après son départ du pistolet et éclaire d une façon intense pendant 6 secondes environ. Masse de la fusée éclairante : m f = 58 g. On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le champ de pesanteur terrestre est considéré uniforme, de valeur g = 9,8 m.s. On négligera toutes les actions dues à l air ainsi que la perte de masse de la fusée pendant qu elle brille et on considèrera cette dernière comme un objet ponctuel. On définit un repère (O, i, j ) avec O au niveau du sol et tel que la position initiale de la fusée éclairante à la sortie du pistolet soit à une hauteur h = 1,8 m. Le vecteur vitesse initiale v 0 est dans le plan (O,x,y) ; Ox est horizontal et Oy est vertical et orienté vers le haut. À l instant t = 0 s, le vecteur vitesse de la fusée éclairante fait un angle α égal à 55 avec l axe Ox et sa valeur est v 0 = 50 m.s 1. On pourra se référer au schéma ci-contre Représenter le vecteur champ de pesanteur g sur le schéma donné en figure 1 de l ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE et tracer qualitativement l allure de la trajectoire suivie par la fusée éclairante dans ce champ de pesanteur. 1.. En utilisant une loi de Newton que l on énoncera, déterminer les coordonnées du vecteur accélération de la fusée éclairante : a x(t) suivant x et a y(t) suivant y. C est la ème loi de Newton qu il faut considérer et énoncer. Présenter l expression F ext = dp = ma dt G ne suffit pas. Dans un référentiel galiléen (ou, comme le référentiel terrestre de notre situation, considéré comme galiléen dans le cadre d une durée d expérience suffisamment courte), la somme des forces extérieures s exerçant sur un système matériel est égale : - A la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement du système ; - Au produit de la masse du système par l accélération de son centre d inertie. Notre fusée est en chute libre, c est-à-dire uniquement soumise à l action de son poids P = mg. F ext = ma G devient mg = ma, G soit a G = g. Les coordonnées du vecteur sont donc : a x = g x = 0 et a y = g y = -g (d après l oreintation des axes de coordonnées choisie)

2 1.3. En déduire les expressions des coordonnées v x(t)et v y(t) du vecteur vitesse de la fusée éclairante et montrer que les équations horaires du mouvement de la fusée s écrivent x(t) = v 0.cos(α).t et y(t) = g t v 0.sin( ). t h avec t en seconde, v0 en mètre par seconde et x(t), y(t) et h en mètre. C est du cours dans un cas des plus classiques! 1.4. Déterminer la valeur de la durée du vol de la fusée éclairante. On rappelle qu une équation du second degré de la forme ax + bx + c = 0 admet deux solutions b b x1 et x si Δ = b² 4a.c est positif. a a Il s agit dans un premier temps de considérer que la fusée a terminé son vol, c est-à-dire qu elle est retombé au sol : y = 0 Ensuite il faut déterminer la date correspondante, en résolvant l équation y(t sol) = 0 = - g tsol² + v0sin( ).tsol + h (1) Inutile, donc de passer par l établissement de l équation de la trajectoire avec laquelle la condition y = 0 mènerait à la détermination de l anbcisse x d arrivée au sol (en m, une distance ). On résoud l équation (1) et on garde la solution qui a un sens physique ici : t = 8,4 s (l autre valeur est négative) Calculer l altitude à partir de laquelle la fusée commence à éclairer puis l altitude à laquelle elle s arrête. Ces valeurs paraissent-elles adaptées au but recherché? D après l énoncé, la fusée commence à éclairer à t 1 = 1s (premier calcul) et cesse d éclairer 6 s plus tard, soit à t = 7 s. On calcule y(t 1) = - g t1² + v0sin( ).t1 + h = 38 m y(t ) = - g t² + v0sin( ).t + h = 48 m. Pour aller un peu plus loin Par souci de simplification, on ne considère que le système {fusée pistolet} et on s intéresse à sa quantité de mouvement. La masse du pistolet à vide est m p = 0,98 kg..1. Exprimer la quantité de mouvement totale p 0 du système {fusée - pistolet} avant que la fusée ne quitte le pistolet puis montrer que celle-ci est équivalente au vecteur nul. Avant le tir toutes les parties du système sont liées, on peut donc écrire : p 0 = (m p + m f) v 0 Le système étant immobile avant le tir, v 0 = 0, donc p 0 = 0... Éjection de la fusée..1. Que peut-on dire de la quantité de mouvement totale du système {fusée-pistolet} si l on considère ce système comme un système isolé au cours de l éjection de la fusée du pistolet? Le système étant considéré comme pseudo-isolé (énoncé), il vérifie la première loi de Newton : sa quantité de mouvement va rester constante. Comme elle est nulle avant l éjection, elle reste nulle après : p = 0 Après le tir, la quantité de mouvement s exprime donc sous la forme p = m fv f + m pv p = 0... En déduire dans ce cas l expression vectorielle de la vitesse v p de recul du pistolet juste après l éjection de la fusée en fonction de la masse du pistolet m p, de la masse de la fusée m f et du vecteur vitesse initiale de la fusée v 0. On a donc : m pv p = m fv f = m f v p m p v f..3. La valeur réelle de la vitesse est beaucoup plus faible que la valeur que l on obtient à la question précédente. Pourquoi observe-t-on une telle différence? Justifier la réponse. La relation vectorielle précédente se traduit par une relation entre valeurs (entre normes de vecteurs) sans signe «- «: v p = m f m p v f = 3,0 m.s -1

3 Figure 1 : Trajectoire de la fusée éclairante (pour question 1.1)

4 Exercice II : Contrôles de la qualité d un lait Le lait de vache est un liquide biologique de densité 1,03. Il est constitué de 87 % d'eau, 4,7 % de lactose et de 3,5 à 4 % de matières grasses (proportions en masse). Il renferme aussi de la caséine, des vitamines A et D, et des ions minéraux : calcium, sodium, potassium, magnésium, chlorure... L'industrie laitière met en œuvre divers contrôles de qualité du lait, avant de procéder à sa transformation (production de yaourts par exemple) ou à sa commercialisation. Cet exercice est consacré à deux de ces tests : la détermination de l'acidité Dornic et le dosage de la teneur en ions chlorure. Données pka du couple acide lactique / ion lactate : pka (C3H6O3 / C3H5O3 ) = 3,9 à 5 C Produit ionique de l'eau : pke = 14 à 5 C Masses molaires atomiques : Atome H C N O Na Cl Ag M (g.mol 1 ) 1,0 1,0 14,0 16,0 3,0 35,5 107,9 Conductivités molaires ioniques à 5 C Ion Ag + Cl NO3 (ms.m.mol 1 ) 6,19 7,63 7,14 Couleurs et zone de virage d'indicateurs colorés acido-basiques usuels : Indicateur coloré Teinte de la Teinte de la Zone de virage forme acide forme basique Hélianthine rouge 3,1 < ph < 4,4 jaune Bleu de bromothymol jaune 6,0 < ph< 7,6 bleu Phénolphtaléine incolore 8,0 < ph< 10 rosé Courbe de titrage suivi par ph-métrie de 0,0 ml de lait de concentration molaire ca par une solution d'hydroxyde de sodium de concentration molaire cb = 5,00 x 10 mol.l 1.

5 Document. L'échelle d'acidité Dornic Un lait frais est légèrement acide, son ph est compris entre 6,6 et 6,8. Cependant, le lactose subit naturellement une dégradation biochimique progressive sous l'effet des bactéries, et il se transforme en acide lactique. En conséquence, plus le ph du lait est faible et moins il est frais. Lactose C1HO11 Acide lactique C3H6O3 L'industrie laitière utilise le degré Dornic pour quantifier l'acidité d'un lait. Cette unité doit son nom à Pierre Dornic ( ), ingénieur agronome français. Un degré Dornic (1 D) correspond à 0,1 g d'acide lactique par litre de lait. Pour être considéré comme frais, un lait doit avoir une acidité inférieure ou égale à 18 D. Entre 18 D et 40 D, le lait caille (il «tourne») lorsqu'on le chauffe ; c'est la caséine qui flocule. Au-delà de 40 D, il caille à température ambiante. Les yaourts ont une acidité Dornic généralement comprise entre 80 D et 100 D. Tableau de correspondance entre acidité Dornic et ph du lait : Acidité Dornic ( D) ph Inférieure à 18 Entre 6,6 et 6,8 0 6,4 4 6,1 Entre 55 et 60 5, 1. Méthode Dornic Un technicien dose l'acidité d'un lait selon la méthode Dornic. C'est-à-dire qu'il réalise le titrage à l'aide d'une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium (Na + (aq) + HO (aq)) à 0,111 mol.l 1, appelée soude Dornic. Il prélève 10,0 ml de lait, y ajoute deux gouttes de phénolphtaléine et verse la soude Dornic goutte à goutte en agitant le mélange, jusqu'à obtenir une couleur rose pâle. Le volume de soude versée est alors de,1 ± 0,1 ml. On admettra que l'acidité du lait est uniquement due à l'acide lactique Des ions lactate sont-ils présents dans un lait quel que soit son état de fraîcheur? Justifier. Une question préliminaire avait été rajoutée afin de vous orienter : il s agissait de construire le diagramme de prédominance acide lactique/ion lactate en fonction du ph.

6 Nous constatons donc que tant que le ph est supérieur à 3,9, il y aura des ions lactate dans le lait et ils seront prédominant par rapport aux molécules d acide lactique. En lisant attentivement les documents fournis par l énoncé, nous comprenons que le p H du lait ne descend pas en dessous de 5,. Il y a donc toujours des ions lactate dans le lait, qu il soit frais ou pas. 1.. Écrire l'équation de la réaction support du titrage, en supposant que le seul acide présent dans le lait est l'acide lactique. Ce titrage, clairement décrit dans l énoncé, est un titrage de l acide lactique du lait par une solution de soude. La réaction de dosage (de titrage) est donc une réaction acide / base entre l acide lactique et l ion hydroxyde (basique) de la soude : C3H6O3(aq) + HO - (aq) C3H5O3 - (aq) + HO(l) 1.3. Justifier le choix de la phénolphtaléine comme indicateur de fin de réaction. En repérant l équivalence (proprement, en utilisant la méthode des tangentes), on constate que le phe vaut environ 8. Pour repérer cette valeur de ph à l aide d un indicateur coloré, il en faut un dont la zone de virage contient la valeur phe. La phénolphtaléine semble ici la plus adaptée, mais, remarquant que le saut de ph est très verticale, on peut aussi accepter le BBT Question incertitudes : 1.4. Le lait dosé est-il frais? Un raisonnement argumenté et des calculs rigoureux sont attendus. L exploitation du dosage nous permettra de déterminer la concentration molaire en acide lactique dans le lait, de la convertir en concentration massique, puis en degré Dornic, pour enfin conclure si on a (lait frais) ou pas (lait pas frais) moins de 18 D. Al équivalence de la réaction de dosage, les réactifs ont été apportés dans les proportions stoechiométriques, ce qui, dans le cadre de cette réaction mole à mole entre l acide et la base, mène à la relation : na = nbe (VBE = 9, ml) Soit : cava = cbvbe ca = 5, , 0,0 =, mol.l -1 La masse molaire de l acide lactique C3H6O3 = 90 g.mol -1 (masses molaires atomiques données) La concentration massique vaut cm =, =,1 g.l -1, ce qui correspond à 1 D (voir définition des D dans l énoncé : 1 D pour 0,1 g.l -1 ). C est supérieur à 18 D, le lait n est pas frais.. Détermination de la teneur en ions chlorure La mammite est une maladie fréquente dans les élevages de vaches laitières. II s'agit d'une inflammation de la mamelle engendrant la présence de cellules inflammatoires et de bactéries dans le lait. La composition chimique et biologique du lait est alors sensiblement modifiée. La concentration de lactose diminue, tandis que la concentration en ions sodium et en ions chlorure augmente. Cette altération du lait le rend impropre à la consommation. Dans le lait frais normal, la concentration massique en ions chlorure est comprise entre 0,8 g.l 1 et 1, g.l 1. Pour un lait «mammiteux», cette.concentration est égale ou supérieure à 1,4 g.l 1. Dans un laboratoire d'analyse, une technicienne titre 0,0 ml de lait mélangé à 00 ml d'eau déminéralisée par une solution de nitrate d'argent (Ag + (aq)+no3 (aq)) de concentration molaire 5,00 x 10 mol.l 1. Les ions argent réagissent avec les ions chlorure pour former un précipité de chlorure d'argent AgCI(S). Le titrage est suivi par conductimétrie. Le volume équivalent déterminé par la technicienne est 11,6 ± 0,1 ml..1. Écrire l'équation de la réaction support du dosage. Ag + (aq) + Cl - (aq) AgCl(s)

7 .. Parmi les représentations graphiques suivantes, quelle est celle qui représente l'allure de l'évolution de la conductivité σ du mélange en fonction du volume V de solution de nitrate d'argent versé? Justifier. Proposition 1 Proposition Proposition 3 Proposition 4 Dans une solution contenant Cl - (aq), on verse des Ag + (aq), qui vont réagir avec les Cl - (aq) et des NO3 - (aq), qui ne vont pas réagir. Avant l équivalence, n1 mol de (Ag + + NO3 - ) versé, Ag + (aq) est consommé aussitôt versé, [Cl - ] diminue (n1 mol consommées) et [NO3 - ] augmente (n1 mol ajoutées) En gros on a «remplacé des Cl - par autant de NO Le lait analysé est-il «mammiteux»? Une réponse argumentée et des calculs rigoureux sont attendus. L équivalence est à 11,6 ml et la relation à l équivalence est n Cl- = n Ag+E Le calcul mène à c Cl- = c AgV AgE/V lait Notez bien que pour V lait il faut prendre les 0 ml de lait apportés (les 00 ml d eau ajoutés sont là pour que nous puissions négliger les effets de dilution et n ajoutent aucun chlorure supplémentaire à doser ) On arrive à c Cl-= ,6 / 0 =, mol.l -1. On multiplie le résultat par la masse molaire atomique de Cl afin d obtenir la concentration massique en ion Cl - dans le lait : c m =, ,5 = 1,03 g.l -1. C est une valeur clairement inférieure à 1,4 g.l -1 (il n est donc pas nécessaire de faire intervenir l incertitude sur la valeur du volume versé à l équivalence, pas la peine de refaire des calculs avec 11,5 et 11,7 ml ) Le lait n est pas mammiteux.