EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. * * *

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1 SESSION 006 EPREUVE SPECIIQUE ILIERE MP MATHEMATIQUES Durée : 4 heures Les calculatrices sot autorisées * * * NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio de la rédactio Si u cadidat est ameé à repérer ce qui peut lui sembler être ue erreur d éocé, il le sigalera sur sa copie et devra poursuivre sa compositio e expliquat les raisos des iitiatives qu il a été ameé à predre * * * Le sujet est composé de deux exercices et d u problème idépedats EXERCICE Motrer que les deux séries suivates sot covergetes puis calculer leur somme a ( + )( + ) b ( )! EXERCICE O cosidère la foctio f défiie sur de la faço suivate : f est ue foctio périodique de x 0, π : f( x) = x période π, f est ue foctio paire et pour tout [ ] a Détermier la série de ourier de la foctio f ( ) b E déduire, avec soi, les réels :, et = = ( ) = 0 + c Détermier, e éoçat le théorème utilisé, le réel : 4 = /5

2 PROBLEME : Ue itroductio aux foctios tests Das tout le problème, est mui de sa orme aturelle : la valeur absolue Toutes les foctios cosidérées serot à valeurs das k ( k ) Si h est ue foctio de classe C, h désige la dérivée k-ième de h Si h est ue foctio borée sur, o ote h = sup h( x) Ue foctio défiie sur est dite ulle à l ifii si ses limites e et e sot ulles Objectifs : Le support d ue foctio f défiie sur u itervalle I, oté Supp f, est l adhérece de l esemble des poits où elle e s aule pas : Supp f = { x I, f( x) 0} Ue foctio est dite à support compact si so support est ue partie compacte de O appellera foctio test, ue foctio de classe C sur à support compact O ote T l esemble des foctios tests Il est facile de vérifier que T est ue -algèbre Le but du sujet est de découvrir des foctios tests das la partie I et d e voir deux utilisatios ; pour l approximatio uiforme de foctios das la partie II, et pour démotrer u théorème de Whitey à la partie III Les parties II et III sot idépedates et utiliset des résultats de la partie I x I Découverte des foctios tests Soit A ue partie de Motrer que A est borée si et seulemet si so adhérece A est ue partie compacte de Ue foctio f défiie sur I est doc à support compact si et seulemet si { x I, f( x) 0} est ue partie borée de Quelques exemples a O ote u la foctio paire défiie sur par ux ( ) 4 = x si [ 0, ] x et ux ( ) = 0 si x > Représeter la foctio u et détermier so support La foctio u est-elle à support compact? La foctio u est-elle ue foctio test? b La foctio sius est-elle ue foctio test? 3 Soit h la foctio défiie sur par hx ( ) = e x si x > 0 et hx ( ) = 0 si x 0 a La foctio h est, d après les théorèmes gééraux, de classe C sur ] 0, [ Motrer que pour tout etier aturel k, il existe u polyôme P k dot o précisera le degré tel que pour tout réel x strictemet positif, h x ( x) = P e E déduire que h est de classe C x sur b La foctio h est-elle ue foctio test? h est-elle développable e série etière au voisiage de 0? ( k ) k /5

3 4 O défiit sur la foctio ϕ par ( x) h( ( x )( x ) ) ϕ = + a Détermier le support de ϕ puis justifier que c est ue foctio test Détermier les variatios de ϕ puis tracer l allure de sa courbe b Détermier ue foctio test dot le support est [ 3,8 ] puis ue foctio test dot le support est [, ] [ 5, 6] 5 Détermier les limites e et d ue foctio défiie sur à support compact 6 Costructio d ue suite régularisate a Justifier que la foctio ϕ de la questio 4 est itégrable sur et que ϕ()d t t > 0 E déduire l expressio d ue foctio test ρ positive, de support [,], itégrable sur et telle que ρ( t)dt = Pour tout etier aturel o ul, o défiit sur la foctio foctios ( ) ρ est appelée suite régularisate ρ par ρ ( ) ρ ( ) x x = La suite de b Pour tout etier aturel o ul, détermier le support de ρ et calculer ρ ( t )d t II Approximatio uiforme sur par des foctios de classe C ou par des foctios tests U théorème de Weierstrass ous dit que toute foctio cotiue sur u segmet peut être approchée uiformémet par des foctios polyômes Voyos ce qu il e est si la foctio est cotiue sur tout etier (doc sur u itervalle o boré) 7 L approximatio polyomiale e coviet plus Soit ( P ) ue suite de foctios polyômes qui coverge uiformémet sur vers ue foctio f a Justifier qu il existe u etier aturel N tel que pour tout etier aturel supérieur ou égal à N, o ait pour tout réel x, P( x) PN( x) Que peut-o e déduire quat au degré des foctios polyômes P PN lorsque N? b Coclure que f est écessairemet ue foctio polyôme Nous allos toutefois démotrer qu il est possible d approcher certaies foctios uiformémet sur, o pas par des foctios polyômes, mais par des foctios de classe C, ou par des foctios tests Plus précisémet, ous allos démotrer les deux résultats d approximatio suivats : ( A ) : toute foctio cotiue sur, ulle à l ifii est limite uiforme sur d ue suite de foctios cotiues sur à support compact ( A ) : toute foctio cotiue sur à support compact, est limite uiforme sur d ue suite de foctios tests L approximatio ( A ) est u résultat prélimiaire, qui est démotré à la questio 8 3/5

4 8 Approximatio d ue foctio cotiue ulle à l ifii par ue suite de foctios cotiues à support compact Pour tout etier aturel, o défiit sur, la foctio paire z par z( x ) = si x [ 0, [, z( x) = x+ + si x [, + [ et z( x ) = 0 si x [ +, [ a Représeter graphiquemet la foctio z Détermier la limite simple de la suite de foctios ( z ) La covergece est-elle uiforme sur? b Soit g ue foctio cotiue sur, ulle à l ifii Démotrer que la foctio g est borée sur O peut doc poser pour tout etier aturel, α = sup gx ( ) x c Etudier la mootoie de la suite ( α ) puis détermier sa limite lorsque ted vers d Pour tout etier aturel, o défiit la foctio g e posat g = gz Détermier u réel k tel que pour tout etier aturel, g g kα e E déduire le résultat d approximatio ( A ) : toute foctio cotiue sur, ulle à l ifii peut être approchée uiformémet sur par ue suite de foctios cotiues sur à support compact Das les questios 9, 0, et, f désige ue foctio cotiue sur et g désige ue foctio cotiue à support compact Il existe doc u réel 0 Supp g R, R R > tel que [ ] 9 Covolutio a Justifier que, pour tout réel x, l applicatio t g( t) f( x t) est itégrable sur O défiit alors sur la foctio g f par ( g f )( x) = g() t f ( x t) dt O dit que g f est le produit de covolutio de g par f est itégrable sur O défiit doc sur la foctio f g par ( f g) ( x) = f( t) g( x t) dt Comparer les foctios f g et g f b Soit x u réel, motrer que l applicatio t f() t g( x t) 0 Support d ue covolutio a Das cette questio, o suppose de plus que f est à support compact, il existe doc u réel S > 0 tel que Supp f [ SS, ] Si x > R+ S, que vaut ( f g)( x)? E déduire que f g est aussi à support compact b Motrer que si la foctio f est pas à support compact, f g est pas écessairemet à support compact Dérivatio d ue covolutio a Soit a u réel strictemet positif Justifier que pour tout x [ a, a] a+ R f g ( x) f( t) g x t dt a R ( ) = ( ) b Motrer que si g est de plus supposée de classe alors ( f g ) à l aide d u produit de covolutio C, alors f g est de classe, C Écrire 4/5

5 Si o suppose de plus, que g est de classe C sur, o démotre de la même maière et o l admettra que f g est égalemet de classe C sur Applicatio à l approximatio a Soit u etier aturel o ul, ρ désige la foctio test itroduite das la questio 6, motrer que pour tout réel x, f ρ( x) f( x) f( x t) f( x) ρ( t)dt b O suppose de plus que f est uiformémet cotiue sur Motrer avec soi que la suite de foctios ( f ρ ) est ue suite de foctios de classe C qui coverge uiformémet sur vers f c E déduire le résultat d approximatio ( A ) : toute foctio cotiue sur à support compact, est limite uiforme sur d ue suite de foctios tests (o pourra utiliser libremet le résultat suivat : ue foctio cotiue sur, ulle à l ifii, est uiformémet cotiue sur ) Remarque : L espace des foctios tests joue u rôle importat e aalyse, otammet das la théorie des distributios pour la résolutio d équatios aux dérivées partielles III Théorème de Whitey Le but de cette partie est de démotrer le théorème suivat : Théorème de Whitey : Si est ue partie fermée de, alors il existe ue foctio f de classe C sur telle que Z( f) Z( f) = x, f( x) = 0 = où { } 3 Justifier que la réciproque du théorème de Whitey est vraie 4 Ue première tetative de preuve ifructueuse Soit ue partie fermée de Pour tout réel x, o ote d( x, ) = if x y et d l applicatio défiie sur par y d ( x) = d( x, ) Détermier Z ( d ) Quelle propriété otée (P) devrait vérifier l applicatio d pour que le théorème de Whitey puisse être démotré? Représeter graphiquemet d das le cas particulier où = ], ] [, [ d vérifie-t-elle cette propriété (P)? Justifier votre répose 5 Utilisatio de foctios tests Démotrer le théorème de Whitey das les cas suivats : (i) est le complémetaire d u itervalle ouvert ] ab, [ (ii) est le complémetaire de la réuio de deux itervalles ouverts disjoits 6 Démotrer le théorème de Whitey das le cas gééral O utilisera libremet le résultat suivat : ue partie ouverte Ω de, peut s écrire comme ue réuio fiie ou déombrable d itervalles ouverts disjoits, c est-à-dire Ω= ] ak, bk[, où I est ue partie de N k I i de l éocé 5/5

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