Animation Maths au Cycle 3 le 24 octobre 2012, Chaumont

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1 Animation Maths au Cycle 3 le 24 octobre 2012, Chaumont Frédéric Castel, Professeur à l'université de Reims, IUFM de Chaumont Avec l'appui précieux des travaux didactiques de Christelle Urbany, Jean-Claude Duperret, Patrick Perrin et Claude Simonnot

2 Les origines de la géométrie L'origine de la géométrie semble directement liée aux exigences de la vie pratique (fabrication et ornementation d'objets, construction d'habitations, de greniers, de monuments, repérage des parcelles de terrain (crues du Nil), calcul des aires des champs, volume des matériaux de construction ) La géométrie grecque intègre les connaissances antérieures mais rompt radicalement avec le pragmatisme des géométries babylonienne et égyptienne. Au sein de la cité grecque, dans laquelle le développement de la démocratie requiert le débat contradictoire et l'argumentation rationnelle, la géométrie substitue, à l'accumulation de résultats hétéroclites obtenus par des méthodes empiriques, la constitution d'une science abstraite et déductive.

3 «Le théorème du perroquet» (Denis Guedj) Comme tous les élèves du monde, Jonathan avait croisé Thalès à plusieurs reprises. Chaque fois, le professeur leur avait parlé du théorème, jamais de l homme. D ailleurs, en cours de maths, on ne parlait jamais de personne. De temps en temps, un nom tombait, Thalès, Pythagore, Pascal, Descartes, mais c était seulement un nom, comme celui d un fromage ou d une station de métro. On ne parlait pas non plus de où ni de quand ça s était fait.

4 «Le théorème du perroquet» (Denis Guedj) Les formules, les démonstrations, les théorèmes atterrissaient sur le tableau. Comme si personne ne les avait créés, comme s ils avaient été là de tout temps, comme les montagnes ou les fleuves. Encore que les montagnes, elles, n avaient pas été là de tout temps. Et l on arrivait à ceci que les théorèmes avaient l air plus intemporels que les montagnes ou les fleuves! Les maths, ce n était ni l histoire, ni la géographie. C était quoi au juste? La question n intéressait pas grand monde.

5 PLAN A) Finalités des mathématiques B) Court passage en cycle 1 et 2 C) Les différents niveaux de géométrie D) Les changements de points de vue E) La géométrie mentale F) Les activités fondamentales en géométrie

6 PARTIE A Qu'est-ce que faire des mathématiques?

7 Qu est-ce que faire des mathématiques? Pour un chercheur, pour un élève? L activité d un mathématicien chercheur : Il passe beaucoup de temps à se familiariser avec une situation, Il manipule, joue avec les objets mathématiques (des objets abstraits qui acquièrent une réalité, qu il peut observer, manipuler). Il expérimente, puis, une fois qu il a compris que quelque chose a des chances d être vrai, Il passe à la phase de démonstration qui peut durer plusieurs années : il essaye, il rate,. Très schématiquement son travail consiste en : - 45 % d observation, - 45 % de démarche expérimentale - 10 % de démonstration. La démarche d investigation en mathématiques

8 Qu est-ce que faire des mathématiques? Pour un chercheur, pour un élève? Dans l enseignement traditionnel, toute cette phase d approche, d expérimentation, de tâtonnement a tendance à disparaître. Entre le problème posé aux élèves et la solution exposée, c est le «!trou noir!». «!Mais comment arrive t-on à cette solution?!» La recherche, c est ce qui ne se voit pas! L activité mathématique se réduit souvent en classe à l application directe d une connaissance, l exécution de taches, l utilisation de formules, de «!recettes!». La démarche d investigation en mathématiques

9 Mais qu est ce que chercher? Et peut-on chercher avec des connaissances de l école élémentaire? Je vous propose 3 défis pour chercher : La démarche d investigation en mathématiques

10 Mais qu est ce que chercher? Défi n 1 Je choisis le nombre peut se décomposer additivement de plusieurs façons : ; ; ;. Quelle est la décomposition qui permet d obtenir le plus grand produit des termes? La démarche d investigation en mathématiques

11 Mais qu est ce que chercher? Défi n 1 Premiers essais : 12 = P = = P = = P = 60 «Plus il y a de termes, plus le produit est grand» 12 = P = 45 «Cela ne sert à rien de mettre des 1» 12 = P = 72 «Il vaut mieux que 5» 12 = P = 81 «Il vaut mieux que 4 + 2». Et si on prenait comme nombre, 25 La démarche d investigation en mathématiques

12 Mais qu est ce que chercher? Défi n 2 Vous disposez d une 1/2 feuille A4 Comment, en utilisant uniquement le pliage, pouvez vous marquer avec votre crayon les 3 sommets d un triangle équilatéral? La démarche d investigation en mathématiques

13 Mais qu est ce que chercher? Défi n 2 Vous disposez d une 1/2 feuille A4 Comment, en utilisant uniquement le pliage, pouvez vous marquer avec votre crayon les 3 sommets d un triangle équilatéral? La démarche d investigation en mathématiques

14 Mais qu est ce que chercher? Défi n 2 A B A A C B La démarche d investigation en mathématiques B

15 Mais qu est ce que chercher? Défi n 3 On va jouer avec 2 dés Je vais lancer ces 2 dés, et faire la somme des 2 nombres obtenus, Mais avant vous aller parier sur un résultat : - S il sort, vous marquez 1 point, - Sinon, vous ne marquez rien Allez-y, pariez! La démarche d investigation en mathématiques

16 Mais qu est ce que chercher? Défi n La démarche d investigation en mathématiques

17 Mais qu est ce que chercher? Défi n La démarche d investigation en mathématiques

18 Mais qu est ce que chercher? Ainsi, chercher c est : Identifier un problème, Expérimenter sur des exemples, Conjecturer un résultat, Bâtir une expérimentation, Mettre en forme une solution, Contrôler les résultats obtenus Évaluer leur pertinence, La démarche d investigation en mathématiques

19 Qu en est-il dans l enseignement des mathématiques? Inspection Générale de mathématiques «!L'objectif de l'enseignement des mathématiques est de développer conjointement et progressivement les capacités d'expérimentation et de raisonnement, d'imagination et d'analyse critique.!» La démarche d investigation en mathématiques

20 Les programmes et la place des problèmes Bandeau des programmes 2008 cycle 3: «La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l imagination et les capacités d abstraction, la rigueur et la précision.» À l école maternelle : «l enfant découvre le monde proche ; Il observe, il pose des questions et progresse dans la formulation de ses interrogations vers plus de rationalité. Il apprend à adopter un autre point de vue que le sien propre et sa confrontation avec la pensée logique lui donne le goût du raisonnement.» À l école élémentaire, la résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s exerce à tous les stades de l apprentissage. La démarche d investigation en mathématiques

21 Les programmes et la place des problèmes Des problèmes aux différents stades de l apprentissage Construire des connaissances Réinvestir des connaissances Application directe d une connaissance Situationproblème Problème d application directe Réinvestissement de connaissances mais tâche plus complexe (données multiples, étapes intermédiaires non indiquées, ) Problème complexe La démarche d investigation en mathématiques Développer un comportement de recherche Utilisation de connaissances assimilées Problème de recherche

22 Les programmes et la place des problèmes La situation-problème Objectif : construire des connaissances La situation proposée vise une connaissance nouvelle. Les réponses à priori des élèves, sont fondées sur des représentations fausses, ou sur l utilisation de connaissances valables dans un autre domaine La situation est auto-validante La démarche d investigation en mathématiques

23 Les programmes et la place des problèmes Exemple de situation problème Le puzzle La démarche d investigation en mathématiques

24 Les programmes et la place des problèmes (les situations problèmes) Par groupe de 4 : un puzzle à découper et à reconstituer B D C A E Les pièces sont mesurées (Le côté du carré A mesure 4 cm). Il faut maintenant agrandir ce puzzle. Dans le puzzle agrandi, la pièce carrée A aura 6 cm de côté. La démarche d investigation en mathématiques

25 Les programmes et la place des problèmes (les situations problèmes) Ici la situation proposée vise une connaissance nouvelle Les réponses à priori des élèves, sont fondées sur des représentations fausses : «!Pour agrandir, j ajoute!» Cette procédure que l élève pense juste, ne permet pas d obtenir le puzzle agrandi. La démarche d investigation en mathématiques

26 Les mathématiques, un sport d'équipe?

27 Les programmes et la place des problèmes Des problèmes pour chercher L objectif des problèmes pour chercher, n est pas la construction d une connaissance nouvelle, mais le réinvestissement de connaissances et le développement d un comportement de recherche. À travers la résolution de ces problèmes, la modélisation de quelques situations et l argumentation, les élèves peuvent prendre conscience petit à petit de ce qu'est une véritable activité mathématique. La démarche d investigation en mathématiques

28 Les programmes et la place des problèmes : les problèmes pour chercher Les caractéristiques du «problème pour chercher» Donner un problème de recherche, c est lancer un défi. Les élèves doivent pouvoir s approprier facilement la situation : consignes courtes, question simple Les élèves doivent pouvoir s engager tous dans la résolution Le problème doit être «consistant», La validation de la solution doit être le plus possible à la charge des élèves. La démarche d investigation en mathématiques

29 Les programmes et la place des problèmes : les problèmes pour chercher Le point de départ d une recherche : Une situation issue de la classe, de la vie courante, Un jeu, Une question que l on se pose sur des objets mathématiques : nombres, formes, points, La présentation qui peut prendre des formes variées : un objet, un dessin, un texte, un graphique, Le domaine peut être numérique, géométrique, logique, La démarche d investigation en mathématiques

30 PARTIE B REPERAGE (retour en arrière)

31 Le repérage par rapport à un objet non orienté Jules se tient debout devant l'arbre. L'observateur est celui qui parle. La fourchette doit être placée à gauche de l'assiette. L'observateur est un convive imaginaire.

32 Complexité du vocabulaire utilisé pour le repérage relatif «Le cercle est derrière la croix» Pour O, la croix est au premier plan et le cercle au second plan, mais ils sont tous les deux devant lui. «Le cercle est à droite du carré» Pour O, les deux objets sont dans la partie gauche de son champ de vision, mais le carré est plus à gauche que le cercle. O regarde dans le sens de la flêche

33 Des expressions parfois ambiguës A A et B peuvent dire : «Le bonhomme se tient derrière la chaise» B

34 Des expressions parfois ambiguës École A B A dit : «B attend devant la grille de l'école»

35 Deuxième partie Représentation plane des objets de l'espace

36 Représentation plane des objets de l'espace A l'école primaire l'enfant est confronté à trois modes de représentation plane de l'espace : la vue de dessus (plan) la perspective centrale (photo) la perspective cavalière (figures géométriques)

37 Perspective centrale Dans une représentation en perspective centrale, les droites parallèles à la direction du regard semblent converger vers un point de fuite, situé en face de l'observateur.

38 Perspective cavalière (1) La perspective centrale n'est pas adaptée à la représentation des figures géométriques. On lui préfère la perspective cavalière.

39 Perspective cavalière (1) La perspective cavalière respecte le parallèlisme

40 Troisième partie Analyse d'une activité tirée d'un manuel de CE1

41 Où est l'observateur? (1) Complète les phrases. Utilise les mots : à droite de, à gauche de, devant, derrière. Le banc se trouve la fontaine. Le bac à sable est les rochers. Le dolmen est le petit bois. La statue est la balançoire.

42 Où est l'observateur? (2) L'exercice demande de repérer un objet par rapport à un autre objet. La réponse dépend donc de celui qui regarde.

43 Où est l'observateur? (3) Mode de représentation -->Place de l'observateur Plan ---> Vue de dessus Photo ---> Face au point de fuite Perspective cavalière ---> Rejeté à l'infini

44 Plan, Photo ou Figure? L'image fait penser à une photo mais il n'y a pas de point de fuite Perspective cavalière Plan (vue de dessus)

45 Où est l'observateur? Je ne sais pas répondre! Complète les phrases. Utilise les mots : à droite de, à gauche de, devant, derrière. Le banc se trouve la fontaine. Le bac à sable est les rochers. Le dolmen est le petit bois. La statue est la balançoire.

46 PARTIE C LES DIFFERENTS NIVEAUX DE GEOMETRIE

47 Approche de la géométrie en terme de «niveaux» d action et de pensée Géométrie 1 (géométrie naturelle) Géométrie 2 (géométrie axiomatique naturelle) Géométrie 3 (géométrie axiomatique formelle) Géométrie 1 Géométrie 2

48 École maternelle, cycle 2 Géométrie de la perception Est vrai ce que je vois Boîte à outil géométrique : l œil Géométrie 1 Fin du cycle 2, cycle 3 Géométrie instrumentée Est vrai ce qui est contrôlé à l aide d instruments Boîte à outil géométrique : règle, compas, équerre, gabarit Collège Géométrie déductive Géométrie 2 Est vrai ce que je démontre Figure distinguée du dessin Boîte à outil géométrique : théorèmes, définitions, axiomes. 48

49 Les géométries 1 et 2 dans le cadre de la géométrie plane La géométrie 1 C est une approche physique des phénomènes qui utilise souvent comme support le «micro-espace» de la feuille de papier. Les objets sont des «objets matériels» (dessins ). Les instruments sont les instruments usuels de la géométrie (règle, équerre, compas ). C est le lieu d une approche heuristique expérimentale, où peut se développer des raisonnements dynamiques. On peut y trouver un premier niveau de validation souvent basé sur des constats physiques (ex : vérification avec des instruments (règles, équerre )). La géométrie 2 C est une approche théorique des phénomènes qui utilise comme support le plan mathématique. Les objets sont des objets «idéaux» (figures ). Les «mouvements» sont traduits par des «transformations». L argumentation, de nature «hypothético-déductive» repose sur des propriétés, et la validation sur la démonstration.

50 Les programmes d enseignement Cycle 1 Découvrir les formes et les grandeurs En manipulant des objets variés, les enfants repèrent d abord des propriétés simples (petit/grand ; lourd/léger). Progressivement, ils parviennent à distinguer plusieurs critères, à comparer et à classer selon la forme, la taille, la masse, la contenance. compétences se situer dans l espace et situer les objets par rapport à soi se repérer dans l espace d une page ; comprendre et utiliser à bon escient le vocabulaire du repérage et des relations dans le temps et dans l espace.

51 Les programmes d enseignement Cycle 2 Les élèves enrichissent leurs connaissances en matière d orientation et de repérage. Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes et des solides. [ ] Ils utilisent un vocabulaire spécifique. Compétences situer un objet par rapport à soi ou à un autre objet, donner sa position et décrire son déplacement ; reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les solides usuels ;

52 Les programmes d enseignement Cycle 3 L objectif principal de l enseignement de la géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer progressivement d une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure. Compétences Les solides usuels : cube, pavé droit, cylindre, prismes droits, pyramide. reconnaissance de ces solides et étude de quelques patrons ; vocabulaire spécifique relatif à ces solides : sommet, arête, face. Compétences de fin de cycle reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels

53 Le problème du carreleur Avec quels types de quadrilatère peut-on paver le plan? Précisons : on choisit un quadrilatère ; en «reportant» ce quadrilatère copie conforme, peuton paver le plan?

54 Démarche expérimentale (démarche d investigation) par abandon de contraintes, de régularités (de propriétés) Un carré Un rectangle Un losange Un parallélogramme Un trapèze

55 Et avec un quadrilatère quelconque? Pas possible! Si!

56 Comment? Utilisation de symétries centrales (demi-tours)

57 Pourquoi? La somme des angles d un quadrilatère est 360 (ni «trous» ni «chevauchements»)

58 L aller retour entre le monde physique et le monde mathématique Géométrie 1 Géométrie 2 Plan physique Plan mathématique Gestes physiques (mouvements) Gestes mathématiques (transformations) Objets physiques (dessins) Objets mathématiques (figures) Comment? (heuristique) Pourquoi? (validation : démonstration) Expérience Certitude Monde physique Monde mathématique

59 PARTIE D CHANGEMENTS DE POINTS DE VUE

60 Buts de l'enseignement de la géométrie

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63

64 Une compétences essentielle à développer dans le domaine de la géométrie q Être capable de voir une figure selon plusieurs points de vue. Pour passer d une vision à 2 D à une vision à 1 D des objets géométriques

65 1ier point de vue Une juxtaposition de formes géométriques aux contours fermés

66 3ième point de vue Un assemblage de d objets géométriques simples Cap maths CM1 2010

67 Un second exemple

68

69 Un troisième exemple

70 La capacité à concevoir une figure géométrique comme un réseau de lignes (de droites) et de points permet de construire les notions de : q q q q alignement perpendicularité Parallélisme Égalité de longueurs

71 Quelques exemples de difficultés

72 L acquisition de cette compétence est essentielle pour que les élèves réussissent : q q q dans les activités de reproduction de figures dans les activités de construction de figures dans les activités de lecture et d écriture de scénarios

73 Des activités qui peuvent aider les élèves à changer de regard

74

75 PARTIE D GEOMETRIE MENTALE Extrait du site de Jean Luc BREGEON

76 Mise en œuvre Jean Luc BREGEON

77 Quand, comment? q Une fois par semaine, avant chaque séance de géométrie. q Sur ardoise : Avantage : rapidité, un ou deux scénarios à chaque séance. q Sur papier : Avantage : mémoire de travail q Confrontation des productions en référence au scénario dicté. Le scénario écrit n est visible que lors de cette phase.

78 Des exemples 1. Trace une ligne courbe ouverte. 2. Trace une ligne courbe fermée. 3. La figure est formée d une ligne droite et d un point placé sur la ligne. 4. La figure se compose d une ligne droite et d un point placé à l extérieur de la ligne. 5. La figure se compose d'une ligne droite et de trois points, deux sur la droite et un à l'extérieur de la droite. 6. La figure se compose d un segment de droite et d un point placé au milieu du segment. 7. La figure se compose d un segment de droite AB et d un point placé en dehors du segment. 8. Tracer deux lignes droites qui se coupent au point O.

79 9.Tracer deux droites parallèles. 10.Tracer deux droites perpendiculaires. 11.Tracer deux droites parallèles et une autre droite qui les coupe. 12.Tracer deux droites parallèles et deux autres droites parallèles qui coupent les deux premières. 13.Tracer deux droites parallèles et deux autres droites qui coupent les deux premières. 14.Tracer deux droites perpendiculaires et marquer un point à l'extérieur des deux droites. 15. Tracer un segment AB et un segment AC.

80 68. Dessiner un quadrilatère qui a deux côtés de même longueur et deux seulement. 69. Dessiner un quadrilatère qui a deux côtés de même longueur et un angle droit. 71. Trace un triangle rectangle et marque les milieux des trois côtés. Relie ces milieux pour former un rectangle. 72. Cette figure est formée d'un carré et des deux segments qui relient les milieux des côtés opposés. On a tracé le cercle qui a pour diamètres ces deux segments. 73. Cette figure est formée d'un carré et des deux segments qui relient les milieux des côtés opposés. On a tracé le carré qui a pour diagonales ces deux segments.

81 Ses objectifs q q q q q Donner aux élèves la possibilité d envisager mentalement une figure, indépendamment des contraintes de tracé aux instruments. Faire utiliser le vocabulaire géométrique en situation et évaluer sa compréhension et sa mobilisation. Favoriser la liaison entre la description d une figure et sa représentation graphique Permettre une prise de conscience des propriétés des figures et une approche de l argumentation. Faire évoluer chez les élèves le statut de la figure géométrique, en dépassant le simple dessin géométrique aux instruments q Comprendre qu il y a parfois plusieurs interprétations valides. q Prendre conscience des propriétés et de la nécessité de leurs codages.

82 PARTIE E ACTIVITES FONDAMENTALES décrire, reproduire, construire, représenter

83 PARTIE F GRANDEURS ET MESURES

84 Bibliographie : Ermel CE1 CE2 Vivre les maths La tribu des maths CAP maths CE1 Activités de l académie de Créteil Documents COPIRELEM Revue «Grand N» «Donner du sens aux mathématiques» Tome 1 Bordas pédagogie «Enseigner la géométrie» Cycle des approfondissements fondamentaux Bordas «Enseigner les mathématiques à l école primaire» Géométrie, grandeurs et mesures Vuibert «Mathématiques Nouveau concours» Vuibert Concours

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