La démarche d investigation en mathématiques. 26 novembre 2008 La démarche d investigation en mathématiques P. KOBER- IUFM Nice

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1 La démarche d investigation en mathématiques

2 1) Qu est ce que la démarche d investigation en sciences? 2) Qu est-ce que faire des mathématiques? - Pour un chercheur Plan de cette intervention - Dans l enseignement ) Qu est ce que chercher? 4) Les programmes et la place : - Des situations problèmes - Des problèmes pour chercher 5) Des exemples de problèmes pour chercher dans nos classes

3 1) Qu est ce que la démarche d investigation en sciences? Mise en avant par les programmes 2002 la démarche d investigation se caractérise par : Une question ouverte Une vraie recherche par les élèves Des réponses qui deviennent des connaissances Observations Expérimentations Fabrications Recherche sur documents Enquêtes, visites Référence à! «!La Main à la Pâte!»,

4 1) Qu est ce que la démarche d investigation en sciences? En biologie, sciences physiques, technologie la démarche d investigation est acceptée assez facilement. Elle est «!conforme!»! aux représentations que l on se fait de ces disciplines dites «!sciences expérimentales!», de l histoire scolaire de ces disciplines. Par contre, on parle rarement d expériences dans l enseignement des mathématiques et la vision que l on a de cette discipline ne favorise pas cette démarche.

5 Et pourtant, Qu est ce que faire des mathématiques?

6 2) Qu est-ce que faire des mathématiques? Pour un chercheur, pour un élève? L activité d un mathématicien chercheur : Il passe beaucoup de temps à se familiariser avec une situation, Il manipule, joue avec les objets mathématiques (des objets abstraits qui acquièrent une réalité, qu il peut observer, manipuler). Il expérimente, puis, une fois qu il a compris que quelque chose a des chances d être vrai, Il passe à la phase de démonstration qui peut durer plusieurs années : il essaye, il rate,. Très schématiquement son travail consiste en : - 45 % d observation, - 45 % de démarche expérimentale - 10 % de démonstration.

7 2) Qu est-ce que faire des mathématiques? Pour un chercheur, pour un élève? Dans l enseignement traditionnel, toute cette phase d approche, d expérimentation, de tâtonnement a tendance à disparaître. Entre le problème posé aux élèves et la solution exposée, c est le «!trou noir!». «!Mais comment arrive t-on à cette solution?!» La recherche, c est ce qui ne se voit pas! L activité mathématique se réduit souvent en classe à l application directe d une connaissance, l exécution de taches, l utilisation de formules, de «!recettes!».

8 Mais qu est ce que chercher? Et peut-on chercher avec des connaissances de l école élémentaire? Je vous propose défis pour chercher :

9 ) Mais qu est ce que chercher? Défi n 1 Je choisis le nombre peut se décomposer additivement de plusieurs façons : ; 9 + ; ;. Quelle est la décomposition qui permet d obtenir le plus grand produit des termes?

10 ) Mais qu est ce que chercher? Défi n 1 Premiers essais : 12 = P = 2 12 = + 5 P = 5 12 = P = 0 «!Plus il y a de termes, plus le produit est grand!» 12 = P = 45 «!Cela ne sert à rien de mettre des 1!» 12 = P = 2 «!Il vaut mieux + 2 que 5!» 12 = P = 81 «!Il vaut mieux + que 4 + 2!». Et si on prenait comme nombre, 25

11 ) Mais qu est ce que chercher? Défi n 2 Vous disposez d une 1/2 feuille A4 Comment, en utilisant uniquement le pliage, pouvez vous marquer avec votre crayon les sommets d un triangle équilatéral?

12 ) Mais qu est ce que chercher? Défi n 2 A B A A C B B

13 ) Mais qu est ce que chercher? Défi n On va jouer avec 2 dés Je vais lancer ces 2 dés, et faire la somme des 2 nombres obtenus, Mais avant vous aller parier sur un résultat : - S il sort, vous marquez 1 point, - Sinon, vous ne marquez rien Allez-y, pariez!

14 ) Mais qu est ce que chercher? Défi n

15 ) Mais qu est ce que chercher? Défi n

16 ) Mais qu est ce que chercher? Ainsi, chercher c est : Identifier un problème, Expérimenter sur des exemples, Conjecturer un résultat, Bâtir une expérimentation, Mettre en forme une solution, Contrôler les résultats obtenus Évaluer leur pertinence,

17 Qu en est-il dans l enseignement des mathématiques? Inspection Générale de mathématiques «!L'objectif de l'enseignement des mathématiques est de développer conjointement et progressivement les capacités d'expérimentation et de raisonnement, d'imagination et d'analyse critique.!»

18 4) Les programmes et la place des problèmes Bandeau des programmes 2008 cycle : «!La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l imagination et les capacités d abstraction, la rigueur et la précision.!» À l école maternelle : «!l enfant découvre le monde proche ; Il observe, il pose des questions et progresse dans la formulation de ses interrogations vers plus de rationalité. Il apprend à adopter un autre point de vue que le sien propre et sa confrontation avec la pensée logique lui donne le goût du raisonnement.!» À l école élémentaire, la résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s exerce à tous les stades de l apprentissage.

19 4) Les programmes et la place des problèmes Des problèmes aux différents stades de l apprentissage Construire des connaissances Réinvestir des connaissances Développer un comportement de recherche Application directe d une connaissance Réinvestissement de connaissances mais tâche plus complexe (données multiples, étapes intermédiaires non indiquées, ) Utilisation de connaissances assimilées Situationproblème Problème d application directe Problème complexe Problème de recherche

20 4) Les programmes et la place des problèmes La situation-problème Objectif : construire des connaissances La situation proposée vise une connaissance nouvelle. Les réponses à priori des élèves, sont fondées sur des représentations fausses, ou sur l utilisation de connaissances valables dans un autre domaine La situation est auto-validante

21 4) Les programmes et la place des problèmes Deux exemples de situations problèmes En CM2 : Le puzzle En maternelle : A chaque voiture, son garage

22 4) Les programmes et la place des problèmes (les situations problèmes) Par groupe de 4 : un puzzle à découper et à reconstituer B C A D E Les pièces sont mesurées (Le côté du carré A mesure 4 cm). Il faut maintenant agrandir ce puzzle. Dans le puzzle agrandi, la pièce carrée A aura cm de côté.

23 4) Les programmes et la place des problèmes (les situations problèmes) Ici la situation proposée vise une connaissance nouvelle Les réponses à priori des élèves, sont fondées sur des représentations fausses : «!Pour agrandir, j ajoute!» Cette procédure que l élève pense juste, ne permet pas d obtenir le puzzle agrandi.

24 4) Les programmes et la place des problèmes (les situations problèmes) À chaque voiture son garage

25 4) Les programmes et la place des problèmes Des problèmes pour chercher L objectif des problèmes pour chercher, n est pas la construction d une connaissance nouvelle, mais le réinvestissement de connaissances et le développement d un comportement de recherche. À travers la résolution de ces problèmes, la modélisation de quelques situations et l argumentation, les élèves peuvent prendre conscience petit à petit de ce qu'est une véritable activité mathématique.

26 4) Les programmes et la place des problèmes : les problèmes pour chercher Les caractéristiques du «!problème pour chercher!» Donner un problème de recherche, c est lancer un défi. Les élèves doivent pouvoir s approprier facilement la situation : consignes courtes, question simple Les élèves doivent pouvoir s engager tous dans la résolution Le problème doit être «consistant», La validation de la solution doit être le plus possible à la charge des élèves.

27 4) Les programmes et la place des problèmes : les problèmes pour chercher Le point de départ d une recherche : Une situation issue de la classe, de la vie courante, Un jeu, Une question que l on se pose sur des objets mathématiques : nombres, formes, points, La présentation qui peut prendre des formes variées : un objet, un dessin, un texte, un graphique, Le domaine peut être numérique, géométrique, logique,

28 Quelques exemples de problèmes pour chercher En géométrie dans l espace : - Les tours, de la maternelle au CM - Points de vue CM En numérique : - La table de 4 (CM) - La plus grande somme (CP/CE1) - Le boulier chinois En géométrie plane : - Les rectangles (du CP au CM) - La symétrie axiale

29 5) Quelques exemples de problèmes pour chercher Les tours On dispose de 5 tours de 5 hauteurs différentes. On les place sur une bande de papier. Combien voit-on de tours?

30 5) Quelques exemples de problèmes pour chercher Par exemple, combien voit-on de tours, D ici D ici Kitty voit une tour de là où elle est. En verra t-elle 2 de l autre côté?

31 5) Quelques exemples de problèmes pour chercher Comment placer les tours? 4 1

32 5) Quelques exemples de problèmes pour chercher Les tours en CM ou après On dispose maintenant de 9 tours : tours de «!!», tours de «!2!» tours de «!1!» Il faut les placer dans un plateau de jeu X

33 5) Quelques exemples de problèmes pour chercher Point de vue, en CM

34 5) Quelques exemples de problèmes pour chercher La table de 4 2 est-il dans la table de 4? 48, est-il dans la table de 4? Et 82? Trouver nombres plus grands que 100 qui sont dans la table de 4. Y a t-il un nombre plus grand que 1000 dans la table 4? Comment voir si un nombre est dans la table de 4?

35 5) Quelques exemples de problèmes pour chercher La plus grande somme Élève A Un dé pour 2 élèves Un élève lance le dé. Chaque élève place le nombre obtenu dans une case de la première ligne L autre élève lance le dé. Le nombre obtenu est placé dans la case laissée vide On recommence pour la deuxième ligne. On additionne les 2 nombres Quel est le plus grand nombre obtenu? Élève B

36 5) Quelques exemples de problèmes pour chercher Élève A 5 Nombres obtenus dans l ordre: Élève B

37 5) Quelques exemples de problèmes pour chercher Le boulier Chinois A télécharger sur le site :

38 5) Quelques exemples de problèmes pour chercher Point de départ : les rectangles coloriés Chaque enfant a une feuille quadrillée (mailles de 1 cm sur 1 cm) et des crayons de couleurs. Qui obtiendra le plus de rectangles différents n ayant pas plus de 12 carreaux?

39 Du géométrique au numérique Découpage, superposition, comparaison, classement X 2 = 2 X 12 = 4 x

40 5) Quelques exemples de problèmes pour chercher Pavage et aires 1) Paver une grille 5X5 avec le plus de rectangles différents 2) Paver une grille 5X5 en tenant compte des contraintes

41 Paver une grille X en tenant compte des contraintes 5) Quelques exemples de problèmes pour chercher

42 5) Quelques exemples de problèmes pour chercher La symétrie axiale Expérimenter avec un logiciel de géométrie dynamique : «Apprenti géomètre!»

43 Formuler un problème, Expérimenter avec une part importante d essais et d erreurs Conjecturer Ainsi, Se poser sans cesse des questions Exercer son esprit critique sont des attitudes de pensée qui peuvent être développées très tôt à l école primaire. Elles contribuent à former au raisonnement, à la réflexion, donnent des outils pour comprendre le monde et le regarder avec un esprit critique.

44 En conclusion, 2 questions : (mais que l on aurait pu se poser au début!) Pourquoi faire des mathématiques? Comment faire des mathématiques?

45 Bibliographie Vrai? Faux? On en débat! Ermel (INRP) Le Plaisir de chercher en mathématiques IUFM de Nice Découvrir le monde (situations pour la grande section) D. Valentin (Hatier) Épreuves des Rallyes mathématiques (Nice) Fichier «!Évariste École!» APMEP

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