I. Théorème de Thalès. a. Configuration de Thalès :

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1 I. Théorème de Thalès. a. onfiguration de Thalès : hapitre n 1 : le théorème de Thalès et sa réciproque Soient (d)et (d ) deux droites sécantes en Soient et deux points de (d), distincts de } "configuration de Thalès" Soient et deux point de, distincts de Voici les 3 configurations de Thalès «classiques» : Dans toutes les configurations de Thalès, on retrouve des triangles aux côtés parallèles et dont les longueurs sont proportionnelles. On peut résumer la position des points,,, et par une seule phrase : «Les droites () et () sont sécantes en». Théorème : b. Énoncé du théorème : Soient (d ) et (d) deux droites sécantes en. soient et deux points de (d), distincts de. soient et deux points de (d ), distincts de. Si les droites () et () sont parallèles, lors = Dans ses conditions, les côtés du triangle sont proportionnels aux côtés du triangle. En effet, l égalité ci-dessus permet d affirmer que le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité. Remarque : ette propriété permet d affirmer que SI, LORS () et () ne sont pas parallèles. e théorème permet deux choses : Exemple n 1 : De calculer une longueur. De démontrer que deux droites ne sont pas parallèles. c. Exemple d utilisation : On donne = 5cm ; = 3cm ; = 7cm et ()//(). alculer. On sait que : les droites () et () sont sécantes en. (), () et ()//() D après le théorème de Thalès, on a :

2 =, Soit 7 = 3 5 = En utilisant les produits en croix égaux, on obtient : = Exemple n 2 : = 4,2cm. On donne OE = 4,5cm ; RS = 3,2cm ; DE = 7,2cm et (DE)//(RS). alculer OR. réponse : On sait que : les droites (DS) et (ER) sont sécantes en O. (DE)//(RS). D après le théorème de Thalès, on a : OR = OS = RS, OE OD DE Soit OR 4,5 = OS OD = 3,2 7,2. En utilisant les produits en croix égaux, on obtient : OR = 4,5 3,2 7,2 Propriété : = = = 2cm. d. onséquence du théorème Si on a deux triangles et tels que () et () et si alors les droites () et () ne sont pas parallèles. Exemple : On donne = 8 cm ; = 3cm ; = 10 cm et = 4 cm. démontrer que les droites () et () ne sont pas parallèles. On sait que les droites () et () sont sécantes en. On a : = 4 = 0,4 et = 3 = 0, Donc. Par conséquence du théorème de Thalès, les droites () et () ne sont pas parallèles. II. ette propriété permet de démontrer que deux droites ne sont pas parallèles. Dans cet exemple, pour montrer que deux droites ne sont pas parallèles, il suffit de vérifier que deux des rapports ne sont pas égaux. Réciproque de Thalès. a. Énoncé du théorème :

3 Théorème : Soient (d ) et (d) deux droites sécantes en. soient et deux points de (d), distincts de. soient et deux points de (d ), distincts de. Si et SI les points,, et les points,, sont dans le même ordre, lors les droites () et () sont parallèles. ttention : il faut bien vérifier l alignement des points dans le même ordre. est une condition essentielle pour appliquer la réciproque du théorème de Thalès. b. Exemple d utilisation : est un triangle tel que : = 8 cm ; = 6 cm ; = 4 cm et sont respectivement des points de [] et [] tels que = 6 cm et = 4,5 cm. Démontrer que () // (). D une part : = 6 8 = 0,75. D autre part : = 4,5 6 = 0,75. Donc. Puisque les point,, et les points,, sont alignés dans le même ordre, Et puisque, lors d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites () et () sont parallèles. La réciproque du théorème de Thalès sert donc à démontrer que deux droites sont parallèles. haque hypothèse est importante. La figure ci-dessous correspond aux mêmes données que l exemple précédent, mais les points ne sont plus alignés dans le bon ordre, et visuellement, on peut remarquer que les droites () et () ne sont pas parallèles. Seules l égalité des deux premiers rapports est à vérifier. as particulier : si les points et sont les milieux de [] et [], on retrouve le théorème de la droite des milieux. III. Les triangles semblables Définition :

4 Deux triangles sont semblables (ou de même forme) si leurs trois angles sont respectivement de même mesure. Les triangles et sont deux triangles semblables. 1) Puisque la somme des angles d un triangle vaut 180, il suffit que deux angles de l un des triangles soient égaux à deux angles de l autre pour que ces triangles soient semblables. 2) On notera dans le même ordre les sommets qui se «correspondent» (par exemple, si les triangles et HIJ sont semblables, alors on saura que = H, = I et = J ). 3) Si deux triangles sont semblables, on peut construire deux triangles respectivement aux deux premiers formant une configuration de Thalès. Propriété : onfiguration de Thalès Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés respectifs sont proportionnelles. Démonstration : est ce qui précède. En effet, si les deux triangles ont leurs trois angles égaux deux à deux, alors on peut trouver deux triangles afin qu ils forment une configuration de Thalès (il est aisé grâce aux angles de montrer qu il s agit bien d une configuration de Thalès). La conclusion est ensuite évidente grâce au théorème de Thalès.

5 Propriété : Pour que deux triangles soient semblables, il faut et il suffit qu ils vérifient l une des caractéristiques suivantes : 1. les longueurs de leur côté proportionnelles (cas 1) ; 2. deux angles respectivement de même mesure (cas 2) ; 3. un angle de même mesure compris entre deux côtés de longueurs proportionnelles (cas 3) ; 4. leurs côtés parallèles deux à deux (cas 4). Exemple : Les droites (EF), ( ) et ( ) sont parallèles, et l angle mesure 50. * Les triangles et EF sont semblables (cas 2) parce que l angle leur est commun, et = FE. Ils ont deux angles de même mesure. * Les triangles, et EF ont leurs côtés parallèles deux à deux. Ils sont donc semblables (cas 4).