Réflexions et rotations de l espace

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1 Université Claude Bernard Lyon I CAPES de Mathématiques : Oral Année Réflexions et rotations de l espace Telle quelle, cette leçon fait trop peu de place aux rotations. Améliorable, donc. On donne un espace affine euclidien E de dimension 3, dirigé par E. I Préliminaires On doit pouvoir passer sous silence tout ce qui est écrit en italique dans ce paragraphe. 1 Applications affines On rappelle qu une application φ : E E est affine s il existe une application linéaire L φ : E E telle que, pour tout couple de points (M,N) E 2 ou, ce qui revient au même, pour un point M E et tout point N E, on a : M N = L φ ( MN), où M = φ(m), N = φ(n). Une application affine conserve le barycentre, et ceci les caractérise. Elle conserve donc le milieu, le parallélisme, envoie une droite sur une droite, une demi-droite sur une demi-droite, un segment sur un segment, un plan sur un plan, etc. 2 Caractère affine des isométries Une isométrie est une application φ : E E telle que pour tout couple de points (M,N) E 2, on ait : M N = MN, où M = φ(m), N = φ(n). Une isométrie conserve en particulier le milieu : si I est le milieu de [MN], c est l unique point tel que MI = NI = MN/2, donc son image I satisfait : M I = N I = M N /2, donc c est le milieu de [M N ]. M N, où M = φ(m), Il en résulte que l application qui au couple de points (M,N) associe et N = φ(n), ne dépend que du vecteur MN, ce qui permet de définir L φ. On vérifie by the same token que L φ est additive (envoie la somme sur la somme). De plus, φ préserve l alignement, ça résulte du fait suivant : trois points A, B, C sont alignés dans cet ordre si et seulement si AB + BC = AC. On veut montrer que L φ est linéaire. Pour cela, il suffit de montrer que si AC= λ AB, alors A B = λ A C, avec des notations évidentes (A, B, C quelconques). Supposons par exemple que λ [0,1], alors AC= λ AB AC + CB = AB et AC = λab, ce qui permet d en déduire que A B = λ A C. Les autres cas, λ 0 et λ 1, sont analogues. Une isométrie est affine, elle conserve de plus le produit scalaire, l orthogonalité, les aires, les volumes. 3 Angles en dimension 3 (passer sous silence, savoir répondre) (a) Angles orientés et non orientés en dimension quelconque Définition. On note O(E) le groupe des isométries vectorielles de E, O + (E) le sous-groupe des isométries directes. Sur (E \ {0}) (E \ {0}), l ensemble des couples de vecteurs non nuls, on considère les relations suivantes : (u,v) OV (u,v ) λ,µ R +, φ O + (E), u = λφ(u) et v = φ(v). (u,v) NV (u,v ) λ,µ R +, φ O(E), u = λφ(u) et v = φ(v). Noter que (u,v) (u,v ) si et seulement s il existe φ tel que φ( u u ) = u u et φ( v v ) = v v. 1

2 Lemme (i) Les relations OV et NV sont des relations d équivalence. (ii) Pour (u,v) couple de vecteurs non nuls, (u,v) NV (v,u). (iii) Pour (u,v),(u,v ) couples de vecteurs non nuls, (u,v ) NV (u,v) (u,v ) OV (u,v) ou (u,v ) OV (v,u). Démonstration. La partie (i) est une vérification automatique. (ii) Notons H l hyperplan orthogonal à w = u u v v : c est un supplémentaire de Vect(w). On définit une application linéaire σ de E par : sa restriction à Vect(w) est l identité, sa restriction à H est Id. On verifie sans peine que σ est une isométrie (c est une réflexion...) et que σ( u u ) = v v, σ( v v ) = u u. D où (u,v) NV (v,u). (iii) Si (u,v ) NV (u,v), il existe φ O(E) tel que φ( u u ) = v v v et φ( v ) = u u. Si detφ > 0, on a : (u,v ) OV (u,v). Sinon, en considérant σφ, on voit que (u,v ) OV (v,u). Réciproquement, si (u,v ) OV (u,v), alors (u,v ) NV (u,v), et si (u,v ) OV (v,u), alors (u,v ) NV (v,u) NV (u,v), d où : (u,v ) NV (u,v). Définition. Un angle orienté (resp. non orienté) de vecteurs est une classe d équivalences de couples de vecteurs non nuls pour la relation OV (resp. NV ). (b) Angles en dimension 3 Lemme Ici, dime 3. (i) Soit (u,v) un couple de vecteurs non nuls : (u,v) OV (v,u). (ii) Les relations OV et NV coïncident. Démonstration. (i) Soit i = u u + v v et j = u u v v (ces vecteurs sont orthogonaux). On choisit un vecteur k 0, orthogonal à i et j, et on définit 1 une application linéaire φ par : φ(i) = i, φ(j) = j, φ(k) = k, et φ(w) = w si 2 w est orthogonal à i,j,k. Alors, φ est une isométrie directe qui échange u/ u et v/ v, d où (u,v) OV (v,u). (ii) Si (u,v) NV (v,u), alors (u,v ) OV (u,v) ou (u,v) OV (v,u) OV (u,v). Ainsi, les notions d angle orienté et d angle non orienté de vecteurs coïncident en dimension 3. En revanche, on ne peut plus identifier les angles et les rotations. Quelle trigonométrie peut-on faire en dimension 3? Proposition Soit (u,v),(u,v ) deux couples de vecteurs non nuls : ils définissent le même angle si, et seulement si u,v u. v = u,v u. v. Définition. Le cosinus de l angle de vecteurs défini par (u,v) dans un espace de dimension 3 est le réel u,v /( u. v ). On vient de montrer qu il ne dépend que de l angle (et pas du représentant choisi), et qu il le caractérise. De plus, et heureusement, c est le même que le cosinus de l angle défini par ces vecteurs dans le plan qu ils engendrent. Comme on ne sait pas orienter ce plan de façon canonique, il est normal qu on ne puisse pas définir le sinus en dimension plus grande. Démonstration. Le sens direct est évident, car une isométrie préserve le produit scalaire! Inversement, supposons u,v /( u. v ) = u,v /( u. v ). Soit (i,j) (resp. (i,j )) une 1 En dimension 3, φ est le demi-tour d axe porté par beaucoup plus loin... Alors on pagaie. 2 ce qui n a d intérêt qu en dimension 4 u + v, mais les demi-tours ne seront définis que u v 2

3 base orthonormée du plan 3 contenant u et v (resp. u et v ). Soit k = i j et k = i j, et φ l isométrie directe qui envoie (i,j,k) sur (i,j,k ). Alors, dans le plan Vect(i,j ), les angles non orientés (φ(u),φ(v)) et (u,v ) sont égaux : en effet, on a : φ(u),φ(v) φ(u). φ(v) = u,v u. v = u,v u. v. Comme une isométrie ψ de P se prolonge en une isométrie directe de E (par la multiplication par det(ψ) sur Vect(k )) on en déduit que les angles définis par (u,v), (φ(u),φ(v)) et (u,v ) coïncident. Corollaire Une isométrie de l espace préserve les angles (orientés ou non!) de vecteurs. II Réflexions de l espace 1 Définition Définition Etant donné un plan affine P, la réflexion de plan P est l application qui, à M E, associe le point M E, appelé symétrique de M par rapport à P, tel que MM = 2 MH, où H est l intersection de la perpendiculaire à P passant par M. (Dessin ci-dessous.) 2 Coordonnées dans un repère adapté et caractère affine Soit σ une réflexion de plan P, dirigé par P. On fixe un repère (O,i,j,k) orthonormé de E, avec O P et (i,j) base de P. Dans ce paragraphe, toutes les coordonnées seront relatives à ce repère. Pour M E de coordonnées (x,y,z) R 3, on note (x,y,z ) les coordonnées de M = σ(m). Le projeté orthogonal de M sur P est le point H de pour coordonnées (x,y,0) (car H appartient à P et MH est orthogonal à P). Puisque H est le milieu de [MM ], les coordonnées de M sont : (x, y, z). Comme les coordonnées de σ(m) sont des fonctions affines des coordonnées de M, on a prouvé la Proposition Une réflexion est une application affine. Un zeste de calcul supplémentaire prouve : Proposition Le plan d une réflexion est l ensemble des points fixes. Une réflexion est une isométrie de déterminant 1. Première preuve : Puisque σ est affine et que sa matrice dans une base orthonormée est diag(1, 1, 1), celle-ci est donc orthogonale et de déterminant 1. Fini. Deuxième preuve : Si M 1 a pour coordonnées (x 1,y 1,z 1 ) et M 2 a pour coordonnées (x 2,y 2,z 2 ), et si M 1 et M 2 sont leurs images par σ, on a : M 1M 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + ( z 1 ( z 2 )) 2 = M 1 M 2, ce qui prouve que σ est une isométrie. Pour la clause concernant le déterminant, il suffit de constater que l image de la base (i,j,k) est la base (i,j, k), qui a une orientation opposée. Troisième preuve : On donne M 1,M 2 E, H 1 et H 2 les projetés orthogonaux sur P. On note i la perpendiculaire à P en M i (i = 1,2), et K l intersection de 2 et du plan parallèle 3 Si u et v sont colinéaires, remplacer du plan par d un plan. 3

4 à P passant par M 1. On met des pour indiquer les images par σ. On suppose que H 1 H 2, sans quoi c est facile (voir ci-dessous la preuve que M 2 K = M 2 K ). M 1 M 2 K H 1 H 2 P M 1 K M 2 Comme les points M 2 et K sont sur la même perpendiculaire 2 à P, H 2 est le milieu commun de [M 2 M 2 ] et de [KK ], si bien que : M 2 K = M 2 K (parallélogramme). Les droites 1 et 2 sont parallèles, donc elles sont contenues dans un unique plan. Les droites (H 1 H 2 ) et (M 1 K), intersections de ce plan et de deux plans parallèles, sont donc parallèles. Par suite, M 1 H 1 H 2 K est un parallélogramme. Du fait que H 1 et H 2 sont les milieux de [M 1 M 1 ] et de [KK ], on déduit facilement que M 1 KK M 1 est encore un parallélogramme. D où : M 1 K = M 1 K. Si K = M 2, c est fini, on a : M 1 M 2 = M 1 M 2. Sinon, par construction, (M 2K) est perpendiculaire à P, donc à toute droite parallèle à P, donc à (M 1 K). Par le théorème de Pythagore, on a encore : M 1 M 2 = M 1 M 2. Eh bien, c était bien pénible! Remarque La réciproque de cette proposition est fausse : une isométrie affine de déterminant 1, même si elle a un point fixe, n est pas nécessairement une réflexion. En revanche... Proposition Une isométrie indirecte avec un plan fixé point par point est une réflexion. Démonstration en exercice. 3 Droites et plans stables Proposition Les droites stables par une réflexion de plan P sont exactement les droites contenues dans P ou perpendiculaires à P. Les plans stables par une réflexion de plan P sont exactement P et les plans perpendiculaires à P. Idée. Une droite est stable si et seulement si c est un espace propre : P est l espace propre associé à la valeur propre 1, P est l espace propre associé à 1, d où la première assertion. Par ailleurs, un plan Q est stable si et seulement si Q est stable (vérifier), ce dont on déduit la deuxième partie. 4 Plan médiateur Proposition Etant donné deux points distincts A et B, il existe une unique réflexion qui les permute. Son plan est l ensemble des points équidistants de A et B. Preuve. Le milieu I de [AB] est fixe, et la droite vectorielle Vect( AB) est l espace propre associé à 1, donc le plan de la réflexion est nécessairement le plan orthogonal à (AB) contenant I. D où l unicité. Pour l existence, on peut par exemple choisir un repère (I, i, j, k) dans lequel A et B ont pour coordonnées (±a,0,0), où 2a = AB 0. La réflexion d hyperplan I + Vect(j,k) convient. Enfin que si (x,y,z) sont les coordonnées d un point M, on a : MA = MB (x a) 2 + y 2 + z 2 = (x + a) 2 + y 2 + z 2 4ax = 0 x = 0. 4

5 5 Coordonnées dans un repère orthonormé quelconque Soit P le plan d équation ax + by + cz + d = 0 dans un repère orthonormé. On veut calculer les coordonnées de l image de M en fonction des coordonnées (x,y,z) de M. Soit Ω un point de P, (α,β,γ) ses coordonnées. On a : aα + bβ + cγ + d = 0. De plus, si H désigne comme avant le projeté orthogonal de M sur P, on sait que ΩM= ΩH + HM, avec ΩH HM. Notons que le plan vectoriel d équation ax+by+cz = 0 est l orthogonal du vecteur ω = (a,b,c). Il en résulte que HM,ω ω,ω HM= ω = ΩM,ω a(x α) + b(y β) + c(z γ) ax + by + cz + d ω = ω,ω a 2 + b 2 + c 2 ω = a 2 + b 2 + c 2 ω. Les coordonnées de M sont donc : M x ax+by+cz+d a a 2 +b 2 +c 2 y ax+by+cz+d a 2 +b 2 +c b 2 z ax+by+cz+d c a 2 +b 2 +c 2. 6 Conjugaison et centre du groupe des isométries Lemme Soit σ la réflexion de plan P et φ une isométrie affine quelconque. Alors φσφ 1 est la réflexion de plan φ(p). Démonstration. Notons σ = φσφ 1. (On sait que φ est bijective.) Pour M φ(p), φ 1 (M) P, donc σ(φ 1 (M)) = φ 1 (M), si bien que σ (M) = M. Par suite, φ(p) est fixé point par point par σ. Par ailleurs, le déterminant de σ vaut celui de σ, donc c est 1. Il résulte d une proposition ci-dessus que σ est la réflexion de plan σ(p). Proposition Le centre du groupe des isométries de E est trivial : si une isométrie commute à toutes les réflexions, c est l identité. Démonstration. Soit φ une application qui commute avec toutes les réflexions, et M E. On décrit M comme l unique point d intersection de trois plans disctincts P 1, P 2, P 3, et on note σ 1, σ 2, σ 3 les réflexions associées. Comme φ commute à σ i (i = 1,2,3), σ i = φσ i φ 1 est la réflexion de plan φ(p i ). Or, le plan d une réflexion est uniquement déterminé, car c est l ensemble des points fixes. Ceci montre que φ(p i ) = P i. Par ailleurs, φ(m) appartient à φ(p i ), donc φ(m) est l intersection des P i : φ(m) = M et on conclut. III Rotations de l espace Dans cette partie, on fixe une orientation de E. 1 Définition On appelle axe une droite munie d une orientation. Etant donné un axe et un réel θ, on appelle rotation d axe et d angle θ l application définie de la façon suivante. Etant donné M E, on note P M le plan orthogonal à contenant M : l orientation de en induit une sur P M, et il coupe en H. Alors, M est l image de M par la rotation dans P M de centre H et d angle θ. 5

6 2 Composée de deux réflexions, application (a) Mise en garde : angle de deux plans Comme pour tout type d angles, l angle des plans (P, Q) est la classe d équivalence pour la relation : (P, Q) (P, Q ) s il existe une isométrie (directe ou non, cela revient au même à cause du Problème ci-dessous) qui envoie P sur P et Q sur Q. Problème : Pas moyen de distinguer entre les angles définis par (P, Q) et (Q, P)! En effet, un demi-tour bien choisi permute P et Q. Dans la proposition suivante, on est tenté de mesurer l angle de la rotation comme un angle de plans, mais ça n est pas possible. (b) Composée de deux réflexions Proposition Soit P et Q deux plans non parallèles de directions P et Q, soit σ et τ les réflexions associées. On note = P Q, et on choisit une orientation de ou, ce qui revient au même, une orientation du plan vectoriel Π orthogonal à. On note u (resp. v) un vecteur directeur de P Π (resp. Q Π). Alors, la composée τσ est la rotation d axe et d angle 2(u,v) mod 2π. Remarque. Noter que (u,v) n est qu un angle de droites, défini à π près ; on le mesure dans le plan Π orthogonal à, orienté conformément à l orientation de : ainsi, 2(u,v) est bien un angle de vecteurs (défini modulo 2π). Démonstration. La seule chose à voir est que les images de M par σ et τ σ appartiennent à P M. Alors, on se ramène à un calcul dans le plan P M, convenablement orienté, et ça roule. (c) Décomposition d une rotation en produit de deux réflexions Proposition Toute rotation est le produit de deux réflexions. De plus, le plan d une des deux réflexions peut être choisi arbitrairement, sous la contrainte qu il contient l axe de la rotation. Preuve. Soit un axe, θ R et ρ la rotation associée. Soit R le plan vectoriel orthogonal à, qu on oriente de façon cohérente, soit u,v R des vecteurs unitaires tels que l on ait : (u,v) = θ/2 mod 2π. (Construction de v à partir de u : soit k le vecteur unitaire qui oriente, alors la base (u,k u) de R est orthonormée et directe, donc on peut prendre v = cos θ 2 u + sin θ 2 (k u). De façon analogue, on peut construire u à partir de v.) Soit P le plan contenant et dirigé par u et k, Q le plan contenant et dirigé par v et k. D après la proposition précédente, la composée des réflexions de plans P et Q est ρ. Corollaire Une rotation est une isométrie affine. (C est une application un peu bête, car ça se démontre facilement avec la définition.) 3 Sous-espaces stables Lemme Les sous-espaces stables par une rotation qui n est ni l identité, ni un demi-tour, sont son axe et les plans perpendiculaires à son axe. 4 Engendrement par les demi-tours Proposition Toute rotation est le produit de deux demi-tours. Démonstration. Soit ρ une rotation d axe, P et Q deux plans contenant tels que la composée des réflexions de plans P et Q soit ρ. Alors ρ est aussi la composée des demi-tours d axes P R et Q R, où R est un plan quelconque perpendiculaire à. Proposition Le groupe des rotations de l espace est simple. Démonstration. Voir la feuille d exercices n 7 du fascicule d algèbre linéaire. 5 Coordonnées dans une base quelconque (voir fascicule d algèbre linéaire) 6