Table des matières. 4 Espaces de Hilbert Généralités Le Théorème des bases hilbertiennes Exemples...

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1 Table des matières 1 Espaces linéaires à semi norme Parties remarquables d un espace linéaire Sémi-normes sur un espace linéaire Espace linéaire à semi-norme Ouverts et fermés dans un espace linéaire à semi-normes Suite, convergentes et suite de Cauchy Densité et séparabilité Bornés ; précompacts et extractables Produit fini d espaces linéaires à semi-normes Applications aux opérateurs linéaires et aux fonctionnelles linéaires Opérateurs linéaires Théorème du graphe fermé Espaces de Banach Définitions Applications linéaires continues E. v. n de dimension finie Théorème de Hahn - Banach Le Théorème de Hahn - Banach (Forme analytique) Le Théorème de Hahn - Banach (Forme géométrique) Théorèmes de l application ouverte, du graphe fermé, de Banach Le théorème de Banach - Steinhaus Fonctions numériques semi-continues inférieurement (s.c.i.) Somme directe topologique Topologies Faibles Rappels Définition et propriétés élémentaires de la topologie faible σ (E,E ) La topologie faible σ (E,E) Espaces réflexifs Espaces de Hilbert Généralités Le Théorème des bases hilbertiennes Exemples

2 TABLE DES MATIÈRES 2 5 Opérateurs Linéaires Définitions Théorie spectrale

3 Chapitre 1 Espaces linéaires à semi norme Sommaire 1.1 Parties remarquables d un espace linéaire Sémi-normes sur un espace linéaire Espace linéaire à semi-norme Ouverts et fermés dans un espace linéaire à semi-normes Suite, convergentes et suite de Cauchy Densité et séparabilité Bornés ; précompacts et extractables Produit fini d espaces linéaires à semi-normes Applications aux opérateurs linéaires et aux fonctionnelles linéaires Opérateurs linéaires Théorème du graphe fermé Parties remarquables d un espace linéaire On désigne par espace linéaire E, un espace vectoriel E sur C. Par conséquent un sous-espace linéaire de E est un sous-espace vectoriel de E. On désigne les éléments de E par les lettres f,g,h,u,v...,. Si A 1,A 2,...,A n, E et si α 1,α 2,...,α n C, on définit la combinaison linéaire. { } α i A 1 = α i f i f i A i i Si A E, on appelle l enveloppe linéaire de A l ensemble { } A = α i f i f i A i α i C, n N On vérifie que A est un sous-espace linéaire de E ; c est le plus petit sous-espace linéaire de E contenant A ; c est aussi l intersection de tous les sous-espaces linéaire contenant A. A est égale au sous-espace linéaire engendré par A. 3

4 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 4 A E, on dit que A est convexe si : f,g A; α,β 0 α + β = 1 = αf + βg A {αf + βg : α + β = 1, α 0, β 0} est le segment d extréminté f et g. Théorème : Si A est convexe et si f 1 f 2...f n A α 1...α n α 1,α 2...α n 0 et α i = 1 alors n α i f i A Démonstration. Pour n = 1, et n = 2,le théorème est vrai par définition de la convexité. Supposons le théorème vrai pour n 1 (jusqu à l ordre n 1). Distinguons deux cas α n 1, vu que : par hypothèse de recurrence n 1 que n 1 α i α i f i, = (1 α n ) f i + α n f n, 1 α n α i 1 α n f i A et puisque (1 α n ) + α n = 1 on en déduit α i f i A. α n = 1 = α 1 = α 2 =... = α n 1 = 0 par suite n α i f i = α n f n A. Une partie A de E est dite absolument convexe si : f,g A α,β C ; α + β 1 = αf + βg A. -Il est évident que toute partie absolument convexe est convexe et que tout sous-espace linéaire de E est absolument convexe. Théorème Si A est absolument convexe, il contient tout élément de la forme α i f ii A, α i C et α i = 1. En particulier toute partie absolument convexe E non vide contient 0. Démonstration. Par récurrence sur n : (n = 1, n = 2 évident) Supposons la propriété jusqu à l ordre n 1, - Si α n 1 alors n 1 α i α i f i = (1 α n ) 1 α n f i + α n f n A

5 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 5 par hypothèse de recurrence, vu que n 1 - Si α n = 1 alors soit donc α i 1 α n f i A et 1 α n + α n = 1. α 1 = α 2 = α n 1 = 0 ce qui implique que α 1 = α 2 =... = α n 1 = 0. α i f i = α n f n A. Vu que A est non vide, soit f A, alors : 0 = 0.f A, car 0 < 1. Proposition Supposons A est absolument convexe. a) -Si α,β C alors α β = αa ( βa. ) b) - α 1,..., α n C = α i A = α i A. c) - Toute intersection quelconque d ensemble convexe (resp. absolument convexe) est convexe (resp. absolument convexe). d) - Si A 1,..., A n sont convexes (resp absolument convexes), α 1,..., α n C alors n α i A i est convexe (resp absolument convexe). Démonstration. a) Si β = 0 = α = 0 c est évident. Si β = 0 vu que : α β 1, α β f A donc αf = β.α f A ; f A. β Car b) Si n α i = 0, c est évident. Supposons α i 0, f 1,... f n A. ( ) ( ) α k α i f i = α i n α i f k ( k=1 α k n α i k=1 = 1 c est à dire k=1 ( ) α i.a. α k n α i f k A Inversement Si ( ) ( ) ( ) f α i A = g A : f = α i g = α i e iarg α i g. ( α = α e iarg α iarg car α = α e α) ).

6 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 6 mais comme e iarg α i = 1, e iarg α i g A par suite ( ) α i A α i A car f = α i i e iarg α i g α i A. Remarque En générale si A n est pas absolument convexe cette égalité n est pas réalisée. Soit A E, on appelle enveloppe convexe de A, l ensemble { } A = α i f i ; f i A α i 0 : α i = 1, n N A est convexe, c est le plus petit ensemble convexe contenant A. C est aussi l intersection de tous les ensembles convexes contenant A. L enveloppe absolument convexe de A est : { } A = α i f i ; f i A, α i C α i 1, n N A est absolument convexe et c est le plus petit ensemble absolument convexe contenant A, c est aussi l intersection de tous les ensembles absoluments convexes contenant A. Soient A,B E, on dit que A absorbe B si : α > 0, λb A λ α. Si A est absolument convexe, A absorbe B α 0 : αb A. En effet λ α = λb = λ α α B λ ( ) α A A λ α 1. La condition est évidement nécessaire. α 0. α B A, α 1. A est dite absobante, si A absorbe tout élément de E : f E il existe α > 0, λ f A, λ < α. Proposition Si A est absorbant, A contient 0 et on a : E = λ>0 λa = na = A. n=1

7 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 7 Démonstration. Soit f E, vu que A est Absorbante, on a α > 0. λ f A, λ α, en particulier α f A soit encore f 1A, en posant λ = 1, on voit que f λa, ceci α α étant vrai f E. On en déduit que E λa. Soit Soit λ > 0 ; soit en particulier λ>0 α,λ > 0, n 0 N : n n 0 n 0 N : on ait f A, α > 0 : µf A, µ α, λ n α. ( λ n f A, n n 0 Vu que λ ) n α, n n 0 finalement λ f na, n n 0, donc λ f na, f A, λ > 0 par suite donc λ>1 λa λ>0 na. n>1 { } n N : n 1 na =.f i : f i A A na A n>1 il est évident que A E d où le théorème. Toute intersection finie d ensembles absorbants est absorbante. En éffet : f E, α i > 0 : λ f A : λ α i, soit α = inf α i > 0 et λ α, = λ α i, i = λf A i, i. 1 i n 1.2 Sémi-normes sur un espace linéaire Définition Une semi-norme sur E est une fonction réelle p : E R telle que : 1) - p est en circulairement homogène 2) - p est sous-additive : p (αf) = α p (f) f E α E. p (f + g) p (f) + p (g),fg E

8 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 8 Remarque Une semi-norme telle que p (f) = 0 = f = 0 s appelle une norme sur E. Proposition a) - p (0) = 0 et p (f) 0 f E b) - c) - Démonstration. a) ( ) p α i f i α i p(f i ) α C p (f) β (g) p (f g) f,g E p (0) = p (α.0) = α p (0), α C = p (0) = 0 0 = p (0) = p (f f) p (f) + p ( f) = 2p (f) = p (f) 0. b) pour n = 1 la propriété est vraie par définition. Supposons la vraie pour tous les k n 1 et α n 0. ( ) ( n 1 ) α k p α i f i = p α n. α n f k + α n f n α n c) n=1 α k α n p (f k ) + α n p (f n ). p (f) = p (f g) p (f g) + p (g) = p (f) p (g) p (f g) p (g) = p (g f + f) p (g f) + p (f) = p (g) p (f) p (g f). Vu que p (f) = p ( f), f E on obtient le résultat demandé. Exemples : Soient E un espace linéaire de dimension finie et soit {e 1...e n } une base de E. f E, f s ecrit de manière unique comme n α ie i. 1) - On peu p k (β = α k ) pour chaque k, k {1...n} et les fonctions sont bien définies à cause de l unité de α k, les p k sont des semi-normes sur E. 2) - Soient α 1...α 2 0 p (f) = n α k est une semi-norme. 3) - ( ) 1/2 p (f) = sup α i, p (f) = α k, p (f) = α i 2 1 i n sont des normes sur E, la dernière s appelle la norme euclidienne associée à la base {e 1...e n }. Théorème : sont des semi-normes sur E. Si p 1,...p n sont des semi-normes sur E,les fonctions ( ) 1/2 sup p k, p k, p 2 i 1 i n k=1 k=1

9 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 9 Définition : Soit p une semi-norme sur E, f E, r > 0. On appelle semi-boule fermée de centre f et de rayon r l ensemble noté B p (f, 1) = {g E, p (f g) r} de même on appelle semi-boule ouverte de centre f et de rayon r l ensemble : B p (f,r. ) = {g E : p (g f) < r} Si f = 0 pour simplifier l écriture, on pose par convention B p (0,r) = B p (r) B p ( 0,r 0 ) = B p ( r 0 ) Propriété a) - b) - B p (f,r) = f + B p (r) B p ( f,r 0 ) = f + B p ( r 0 ) B p (r) = r B p (1) B p ( r 0 ) = r B p ( 1 0 ) c) - B p (r) et B p (r 0 ) sont absolument convexes et absorbantes f E : r 2p (f) f B ( ) p r 0, Si p (f) 0. Si p (f) = 0, c est évident. ( p (λf) = 0 = λ f Bp (r 0 ) B p (r) ) pour absolument convexe voir l inégalité triangulaire. d) - Soit A une partie absolument convexe de E, alors B p (f,r) A = B p (r) A B p ( f,r 0 ) A = B p ( r 0 ) A B p (f,r) A = f ± h A, h B p (r) h B p (r) ; h = 1 2 (f + h) 1 (f h) A } {{ 2 } Combinaison linéaire absolument convexe d élément de A. Remarque : En générale une semi-boule de centre quelconque n est pas absolument convexe, absorbante.

10 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 10 Théorème Si p et p sont des semi-normes sur E et si r et r sont des nombres strictement positifs, les assertions suivantes sont équivalentes. 1) - B p (r 0 ) B p (r 0 ) 2) - B p (r) B p (r ) 3) - p (f) r p (f) r f E. Démonstration. i) = ii) Soit f B r (r),p(f) r = α ]0, 1[,p(αj) < r = αf B p ( r 0 ) ( B ) p r 0 B p (r ) = p (αf) < r = p (f) < r, α ]0, 1[ α en faisant tendre α vers 1, on a p (f) r. ii) = iii) Soit ) ( ) r = p f E, ε > 0 ( p r p (f) + ε f = p (f) r r [p (f) + ε] en faisant tendre ε vers 0 on voit que p (f) r p (f). r iii) = i) évident, voir définition. r p (f) + ε f Définition Soit A une partie absolument convexe de E, on appelle Jauge de A, la fonction p A définie sur A par p A (f) = inf {λ > 0, f λa}, f A. r La fonction p A est bien définie. En effet f A = f = (i) α i f i,f i A,α i C ( (i) la sommation est sur un ensemble d indice fini). f (i) α i A = (i) α i A λa, λ > (i) α i d où l existence de λ. r > p A (f) = f ra par définition de la borne supérieure ; λ : p A (f) < λ < r et f λa comme A est absolument convexe : λa ra = f ra. Remarque A = E. En général p A n est pas définie sur E sauf si A est absorbant et

11 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 11 Théorème Si A est absolument convexe, la jauge de A est une semi-norme sur A et on a B PA (1) A B pa (1). Démonstration. a) - deux cas sont à envisager : p A (αf) = α p A (f), f A, α C. α = 0 = αf = 0 λa, λ > 0 p A (αf) = p A (0) λ, λ > 0 = p A (αf) = 0 = α p A (f). α 0 p A (αf) = inf {µ > 0 : αf µa} = inf { α λ : λ > 0,αf α λa} = inf { α λ : λ > 0,αf α λa} = α inf {λ > 0 : f λa} = α p A (f) b) - Il suffit de montrer que Donc par passage à la limite on a p A (f + g) p A (f) + p A (g), f,g A p A (f + g) r + s, r > p A (f), s > p A (g) } r > p A (f) = f ra = f + g ra + sa = (r + s)a s > p A (g) = g sa p A (f + g) r + s p A (f + g) p (f) + p (g). c) - Si Si f B pa (i) = p A (f) < 1 = f 1.A. f A, f 1.A := p A (f) 1 = f B pa (1). 1.3 Espace linéaire à semi-norme Définition : Soient P et Q deux familles de semi-normes sur E. On dit que P est plus fort que Q (en symbole P > Q ) ou que Q est plus faible que P (Q < P) si q Q, p P et une constante c > 0 : q cp.

12 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 12 Dans la définition précédente quand q varie, p et c varient également. On dit que P est équivalent à Q et on écrit (P Q) si P est à la fois plus faible et plus fort que Q. On vérifie que est une relation d équivalence sur la famille des ensembles de semi-normes sur E. Soit P un ensemble de semi-normes sur E. On dit que : P est filtrant si p 1...p n P. p P et c > 0 sup p i cp 1 i n c est dire : P est séparant si : p i cp i : 1 i n. (p (f) = 0 p P = f = 0) ( f 0, p P : p (f) 0). P est un système de semi-normes sur E s il est à la fois filtrant et séparant. Remarque i) Une norme toute seule constitue toujours un système de semi-normes sur E. ii) Si P est un système de semi-normes sur E et si P Q alors Q est un système de semi-norme sur E. Théorème Si P = (p 1,...p n ) est un système fini de semi-norme il est équivalent à un de ces éléments qui est une norme sur E. Démonstration. P est filtrant = p k P et c > 0 : sup p i cp k, 1 i n il suffit de prendre Q = {p k } on voit que P Q. comme P est séparant on a f = 0. Si p k (f) = 0 p i (f) = 0 i : 1 i n, Théorème Si P = {P n,n N} est un système dénombrable de semi-norme sur E, l ensemble { } Q = q n = sup p i,n N 1 i n est un système de semi-norme sur E équivalent à P. Démonstration. Vu que P est filtrant Soit q n = sup p i, Q, p i P. 1 i n Soit p k {p 1,...,p n,... } p n P, q n = sup p i cp k, p k P, et c > 0. 1 i n p n sup p i = q n Q. 1 i n

13 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 13 Définition Un espace linéaire à semi-normes, est un espace linéaire E muni d un système de semi-normes P sur E, noté (E,P) où E s il n y a pas d ambiguité. (E,P), un espace linéaire à semi-normes est dit normable si P est équivalent à une norme sur E. On voit que si P est fini, E est normable. (E,P) est dit métrisable si P est équivalent à système dénombrable de semi-normes sur E. Remarque Si P Q (sont deux système de semi-normes sur E). Les notions topologiques introduites relativement à (E,P) et à (E,Q) sont les mêmes. Un système P de semi-normes sur E définit une topologie sur E, cette topologie coincide avec celle engendrée par une norme si le système P est fini. Et elle coincide avec celle engendrée par une métrique si P est dénombrable d ou les terminologie normable et métrisable. Convention : Si E est normable, on choisira pour P une norme ; si cette norme est fixée on dit que E est normé. Si E est métrisable, on choisira une suite de semi-normes telle que : p n p n+1, foralln. Soit L un sous-espace linéaire de E, soit p une semi-norme sur E. La restriction de p à L est une semi-norme. Si p est un système à L des éléments de P est un système de semi-norme sur L appelé système induit par P sur L. Si L est un sous espace linéaire d un espace linéaire à semi-norme (E,P),on le munit toujours du système de semi-norme induit par P. L devient un espace linéaire à semi-normes noté (L,P) ou L si aucune ambiguité n est possible. Théorème Soit (E,P) un espace linéaire à semi-norme. Soit L un sous espace linéaire de dimension finie de (E,P) Si (e 1,...e n ) est une base de L alors la système de semi-norme induit par P sur L est équivalent à la norme enclidienne associée à la base (e 1...e n ). Démonstration. f L, f = ( ) 1/2 α i e i, f = α i 2 P est plus faible que la norme euclidienne sur L. ( ) p P, p (f) = p α i e i ( ) 1/2 ( ) 1/2 α i p (e i ) p (e i ) 2 p (e i ) 2 (inégalité de Schwarz ) p P, p (f) c. f < P sur L.

14 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 14 Soit f 1 L,f 1 0, comme P est séparant, p 1 P p 1 (f 1 ) 0. Considérons : L 1 = {f L : p 1 (f) = 0}, L 1 est un sous espace linéaire propre de L (f 1 / L 1 ) donc dim L 1 n 1. Si L 1 est réduit à {0} on s arrête. Si L 1 {0}, Considérons : soit f 2 L 1 : f 2 0, p 2 P p 2 (f 2 ) 0. L 2 = {f L 1 : p 2 (f) = 0}, L 2 est un sous espace propre, diml 2 n 2. Après n opérations au plus on obtient des semi-normes p 1,p 2...p n P tels que : Soit f L : Comme P est filtrant, a ces sémi-normes L n = {f L n 1 : p n (f) = 0} = {0}. p 1 (f) = p 2 (f) =... = p n (f) = 0 = f = 0. p 1...p n, p P : et c > 0 : sup p i cp. 1 i n p est une norme sur L plus fort que la norme euclidienne. Raisonnons par l absurde, Suppose que p ne soit pas plus fort que sur L. f m L : 1 = f m mp (f m ), m, (on peut supposer f m = 1 sinon, on le remplace par Ecrivons Soit f m = n α m,i e i. f m f m ). α m = (α m,1 α m,2...α m,n ) C n. ( ) 1/2 α m = α m,i 2 = f m = 1, m. α m est une suite bornée de C n. Par le théorème de Bolzano Weierstrass,( α m ) contient une sous suite ( α m ) qui converge. Soit α = lim α m = (α 1,...,α n ). ( ) 1/2 α m α = α m,i α i 2 0, m. Soit f L, f = α i e i f = α = lim α m m = 1 ( est continu)

15 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 15 soit f m = α m f = f = 1 ( f m = 1, m) Vu la première partie : Vu que p (f m ) p (f) C f m f = C α m α 0,m p (f m ) p (f). p (f m) 1 m = lim m,p(f m) = 0 = p (f). Comme p est une norme = f = 0 = α = 0. Ce qui est en contradiction avec le fait que f = 1. Corollaire Dans un espaces linaire de dimension finie, tous les systèmes de seminormes sont équivalentes en particulier toutes les normes sont équivalentes. 1.4 Ouverts et fermés dans un espace linéaire à seminormes Soit (E,P) un espace linéaire à semi-normes. U E est dit ouvert si : f U, p P, r > 0 B p (f,r) = f + B p (r) U F U,F est dit fermé si E F est ouvert. On montre que F est fermé F contient tout f E : F B p (f,r) p P et r>0. On va voir si on remplace P par un système équivalent de semi-normes, ces notions changent, on a le résultat suivant. Théorème Deux systèmes équivalents du semi-normes définissent les mêmes ouverts et fermés. Démonstration. Soit U un ouvert pour P f U, p P ;r > 0 : f + B p (r) U ( r ) ( r ) q Q et c > 0 : p c q = B q B p (r) = f + B q f + B p (r) U. c c Théorème Toute réunion d ouverts est ouvert. Toute intersection finie d ouverts est ouvert.

16 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 16 Ce théorème montre que les ouverts ainsi définis déterminent une topologie sur E et (E,P) devient un espace topologique. Dans toute la suite, sauf mention explicite du contraire, tout espace linéaire à seminormes est munie de la topologie déterminée par son système de semi-normes. Exemples : a) - p P, r > 0 B p ( f,r 0 ) et B p (f,r) sont respectivement ouverts et fermés. - Soit en effet - Soit Soit g B p ( f,r 0 ) r < r p (g f) B p (g,r ) B p (f,r) h B p (g,r ) p (h f) p (h g) + p (g f) r + p (g f) < r. g E B p (f,r) r < p (f g) r B p (g,r ) B p (f,r) = φ = B p (g,r ) E B p (f,r). Les semi-boules B p (f,r 0 ) et B p (f,r) constituent une base de voisinage de f. En conséquence toute semi-norme sur (E,P) est continue sur E p P,p est continue car p (g) p (f) p (f g) ε si g B p (f,ε). b) - Tout f E constitue un fermé, plus généralement Soit r = 1 p (g f). 3 f,g E avec f g p P,r > 0 B p (f,r) B p (g,r) =. g f 0 P étant séparant p P p (f g) 0 h B p (f,r), p (h g) p (h f) p (f g) p (f g) r = 2r. donc h / B p (g,r). c) - Tout sous espace linéaire a dimension fine de E est fermé. Plus généralement la somme de 2 sous espaces linéaires de E. L un F fermé. L autre L de dimension finie est fermé. Supposons L = {e} (le reste se fera par recurrence sur n), e E. F + {e} est fermé. e F, {e} F = F + {e} = F fermé. e / F = p P, et r > 0 : B p (e,r) F =. f F α C p (f + αe) α r. Si α = 0 évident car p 0 (f) 0 f E.

17 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 17 Si Supposons α 0. ( ( )) ( ) f f p (f + αe) = p α α + e = α p α + e = α p ( fα ) e α r. g E : B p (g.r) (F + {e} ), p P et r > 0 = g (F + {e} ). Il suffit de prouver que g αe F pour un certain α C. p P f m F,α n C : sup ( p 0 ;p ) (g f m α m e) 0 m en effet P est filtrant q M > 0 sup ( p 0,p ) M q. D autre part comme ( B p g, 1 ) ( (F + {e} ) φ, f m + α m e B p g, 1 ) m m par conséquent. sup ( p 0,p ) (g f m α m e) M q (g f m α m e) 1 m 0,m. La suite numérique α m est de Cauchy dans C donc converge : vu que α m α n 1 r 0 p0 (f m + α m e f n α n e) 1 (f r 0p0 m + α m g) + 1 (g f r 0p0 n α n e) 0,n,m. Soit α = limα m, alors α ne dépend pas p et de la suite f m + α m e. m En effet si p et f m + α me sont telles que sup ( p 0,p ) (g f m α ne) 0,m on a α m α m 1 (f r 0p0 m + α me f m α m e) 1 ( g + f r 0p0 m + α me) + 1 (g f r 0p0 m α m α m e) 0,m. p P, on peut donc écrire : p (g αe f m ) p (g α m e f m ) + p ((α m α) e) p (g f m α m e) + α m α p (e) 0,m donc toute boule de centre g αe rencontre F, donc g αe F car F est fermé. Définition L adhérence Ā de A E est l intersection des fermés contenant A. f Ā p P r > 0 B p (f,r) A φ. L intérieur A de A E est la réunion des ouverts contenus dans A. f A 0 p P, r > 0 : B p (f,r) A.

18 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME Suite, convergentes et suite de Cauchy Soit (E,P) un espace linéaire à semi-normes f n E converge vers f E ou tend vers f E si : V (f), r / n > r f n V p P ε > 0 N. n N, p (f n f) ε p P,p(f n f) 0,n. Propriété a) - La limite d une suite convergente est unique. En effet, soient f m f,f m g. p P,p(f g) p (f f m ) + p (g f m ) 0,m = p (f g) = 0, p P donc f = g car P est séparant. b) - Toute sous suite d une suite convergente converge vers la même limite. c) - Toute combinaison linéaire de suites convergentes converge vers la combinaison linéaire correspondante de ses limites. Théorème Si E est métrisable,l adhérence d une partie A de E est l ensemble des limites des suites convergentes. Démonstration. Soit B l ensemble de l énoncé. Si f B, f m A : f m f. m tout voisinage de f rencontre A donc f Ā. * E étant métrisable donc P est équivalent à un système dénombrable de semi-normes. On peut donc supposer que P = {p n : n N}, avec p ր n. Soit f Ā, m B ( p m f; 1 m) A ( f m B pm f; 1 ) m A fixons p n P, m n p n (f m f) p m (f m f) 1 m 0,m f m E est de Cauchy dans E si V (0), N : r,s N f r f s V p P s > 0; N; r,s N p (f s f r ) ε. p P, p (f r f s ) 0, i nf (r,s). Théorème Toute suite convergente dans E est de Cauchy. Si f m est de Cauchy et si une des sous-suites de f m est convergente, la suite f m converge vers la même limite.

19 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 19 Démonstration. Si ε > 0, p P N : r,s N p (f r f s ) ε. f nk f, M : r M p (f mk f) ε 2 m sup (M,N) p (f m f) p (f m f mk ) + p (f mk f) ε. Définition : Une partie A de E est complète si toute suite de Cauchy d éléments de A converge vers un élément de A. Exemples : a) - Si A est complet, tout sous-ensemble fermé de A est complet. b) - Tout compact de E est complet. Soit (f m ) une suite de Cauchy dans K, K étant un compact. F k : p,r;b p (f,r) contient une infimité de f m. ( i.e il existe une infimité de m : f m B p (f,r)). Supposons que toute semi-boule B p (f,r) ne contienne qu un nombre fini de f m. K étant compact, B p1 (f 1,r 1 )...,B pn (f n,r n ) : K N B pi (f i,r i ). Cela entrainerait que les termes de la suite sont finis, et cela pour toute suite de Cauchy dans E, ce qui est absurde. ε > 0, p P, N r,s N p (f r f s ) ε/2 n N : p (f n f) ε 2 p (f m f) p (f m f n ) + p (f n f) ε. Définition : Un espace linéaire à semi-normes est un : - espace de Banach s il est normable et complet. - espace de Frechet s il est métrisable et complet. Tout espace linéaire à semi-norme de dimension finie est un espace de Banach : Soit n = dime;p est équivalent à la norme encludienne associée à une base donnée de E, car tous les systèmes de semi-normes sont équivalentes donc équivalentes à la norme encludienne que constitue à elle seule une système de semi-normes, par conséquent E est normables. E est complet :

20 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 20 En effet, soit f m de Cauchy dans E, si (e 1,...e n ) est une base de E f m = ( )1 2 α mi e i ; f m f n = α mi α ni 2 0,m. pour chaque i fixé. La suite numérique α mi est de Cauchy dans C donc converge vers α i C. soit f = α i e i E f m f = ( α mi α i 2 )1 2 0,m. Théorème : Tout sous espace linéaire de E de Frechet pour le système de semi-norme induit est fermé dans E. Démonstration. Soit L le sous-espace en question P Q = {q n : n N} sur L Vu que (E,P) est métrisable. Si n, p n P; c > 0 : q n c p n, sur L = {p n ;n N} P sur L. f L, f m : f m m contient une intersection fini d ouverts, f m est de Cauchy dans L en effet ( B pi f, 1 ) L, vu que n n; n B pi ( f, 1 m) φ. r,s n n ( B pi f, 1 ) m p n (f r f s ) p n (f r f) + p n (f f n ) 1 r + 1 s 0,r,s. L étant complet, la suite f m f 0 L. Prouvons que f = f 0, cela revient à montrer que f m f dans E. Soit p P, n N et c > 0 : p (h) cp n (h) ; h L h L, h n L : sup (p,p n ) (h n h) 0, n par continuté la majoration est valable sur l adhérence de L. p (h) c pn (h) h L p (f m f) c p n (f m f) c 0,m. m

21 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME Densité et séparabilité Soient A E, D E. On dit que D est dense dans A si : f A, p P r > 0 B p (f, r) D φ A D. D n est pas nécessairement contenu dans A, par exemple Q et R Q. Q est dense dans R Q, Q R = R Q. Théorème (Théorème de BAIRE). Dans un espace de Frechet, toute intersection dénombrable d ouver (dans E). U 1,U 2,... denses dans E, U = U i est dense dans E. Théorème (Variante du Théorème de BAIRE). : (obtenu par passage au complémentaire). Dans un espace de Frechet, toute réunion dénombrable de fermés d intérieurs vides est d intérieur vide. Démonstration. U est dense dans E si B semi-boule dans E, B rencontre U. Soit B une semi-boule dans E. U 1 B est non vide, soit f U 1 B. p 1 P, r 1 > 0, (on peut supposer r 1 1) : B p1 (f 1,r 1 ) U 1 B f 2 U 2 B p1 (f 1,r 1 ), non vide. p 2 P, r 2 > 0, (on peut supposer p 2 p 1, r 2 < 1 2 ) : B p 2 (f 2,r 2 ) U 2 B p1 (f 1,r 1 ). De proche en proche, on détermine une suite f m E,p m E,r m > 0. p m p m 1, r m < 1 m ; B p m (f m,r m ) U m B pn 1 (f m 1,r m 1 ). La suite f m ainsi construite est de Cauchy. p P, n : p p n ( p ր n ) et on a : dès que : r 1 s n p (f r f s ) p n (f r f s ) 1 s 0, s. E étant complet, f : f m f. m, les termes de la suite (f n ) appartiennent à B pm (f m,r m ) m. Comme B pm (f m,r m ) est fermé = f B pm (f m,r m ) m donc ( ) f U m m = f B U i, f B U, B U φ.

22 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 22 Définition A E, est dite séparable si A contient un sous ensemble dénombrable dense. A E, est totale dans E si A est dense dans E. Propriété a) Si A est séparable = Ā, A, A, A sont séparables. Soit D un sous-ensemble dénombrable dense dans A : A D = Ā D, d où Ā est séparable.. Si D est dense dans A alors D est dense dans A Soit B = α j f j ; f, D, α j Q + iq ; B est dénombrable. (j) Soit f D = f = α i f i. (i) Soit g = (i) β i f i ; β i Q + i Q. p P p (g f) (i) α i β i p (f i ) ε, si on choisit les β i assez proche de α i. Ce qui est possible car Q + i Q est dense dans C. Toutes boules de centre un élément de D rencontre B, par suite B est dense dans D, donc B est dense dans A. b) S il existe une partie dénombrable et totale dans E alors E est séparable. En particulier tout espace linéaire de dimension finie est séparable. Si D est dénombrable : D = E. Vu que l ensemble des combinaisons linéaires rationnelles de D est dense dans E, on déduit que E contient une partie dénombrable dense, donc séparable. c) Si E est métrisable, toute partie d un ensemble séparable est séparable (le résultat est en général faux si E n est pas métrisable). Si A séparable, B A est séparable. E métrisable, soit P = {p m : m N}. Soit D = {f n : n N},D dense dans A : Considérons les ensembles non-vides de la forme D B pm ( ) f n, 1 k ).. ( Soit f m,n,k D B pm f n, 1 k {f m,n,k : m,n,k N} est dénombrable et dense dans B, contenu dans B. En effet, soit ( f B A, k,m, f n D : f m B pm f n, 1 ) ( = f B pm f n, 1 ) k k p m (f f m,n,k ) p m (f f n ) + p m (f n f m,n,k ) 1 k + 1 k = 2 k toute semi-boule de centre f rencontre D. 0k

23 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME Bornés; précompacts et extractables Définition A E, est bornée si A est absorbée par tout voisinage de 0 autrement dit : p P, r > 0, A est absorbé par B p (r) p P, r > 0 ε > 0 : A εb p (r) p P supp (f) < +. f A Propriété a) Si A 1...A n sont bornés = n A i est borné b) Si A 1...A n sont bornés α i...α n C = n α ia i est borné c) A borné = Ā, A, A bornés. Théorème Soit q une semi-norme sur E (n appartient pas nécessairement à P). Si une semi-boule B q (f,r) est bornée alors q est une norme sur E plus forte que P. En particulier si une des semi-boules B p (f,r),p P est bornée alors E est normable. Démonstration. p P, supp(f) f B q(p) B q (f,r) borné = B q (r) est borné c < +, q (f) r = p (f) c donc p c q, P étant plus faible que q on ne déduite que q est une norme. r Théorème Si A est un borné absolument convexe de E, la jauge p A de A est une norme sur A plus fort que le système de semi-norme induit par P sur A. Si de plus A est complet alors A est un espace de Banach pour p A et sur B pa (s) = A. Démonstration. A borné p P supp (f) c < + f A f A, p A (f) < 1 = f A = p (f) c = p cp A sur A. Donc p A est une norme sur A plus forte que P. Si A est complet donc f A, p A (f) = 1 = p A (αf) < 1, α ]0, 1[ = αf A α 1 f = lim n f A. n Soit f m une suite de Cauchy dans A pour p A. La suite numérique p A (f m ) est bornée c : p A (f m ) c, m. Soit g m = f m c p A (g m ) 1 = g m A, m

24 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 24 g m est de Cauchy pour p A ε > 0, N : n,m N p A (g n g m ) ε = g m g n εa g n est ainsi de Cauchy pour P (P étant plus faible que p A ). Comme A est complet, g A : g m g pour P. n N fixé g g n = lim m (g m g n ) εa. p A (g g n ) ε g n g pour p A. = f n f = cg A pour p A. Définition A E, est précompact si p P r > 0 f 1...f n E : A Remarque (i) On peut exiger que les f i A. ( r En effet si A {f 1,...f n } + B p 2 avoir A {g 1,...g n } + B p (r). n B p (f i,r) = {f 1,...f n } + B p (r). ), il suffit de choisir g i A (ii) On peut exiger que les f i D où D est dense dans A. Si ( r ) A {f 1,...f n } + B p, f i A 2 { ( r )} f i + B p pour 2 il suffit prendre pour obtenir g i D { ( r )} f i + B p 2 A {g 1,...g n } + B p (r). Théorème Une partie A de E est précompact si et seulement si p P et pour toute suite f m A, il existe une sous suite f nk p (f mr f ms ) 0 (r,s). Démonstration. - La condition est suffisante. En effet si A n est pas précompact Soit p P,r > 0 : A {f 1,...f n } + B p (r). f 1 E : A f 1 + B p (r), f 2 A : p. (f 2 f 1 ) > r A {f 1,f 2 } + B p (r), f 3 A : p. (f 3 f 1 ), (f 3 f 2 )p > r ainsi de suite,on construit une suite f n d éléments de A telle que p (f m f n ) > r, m n.

25 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 25 On ne peut donc par en extraire une sous-suite de Cauchy. - La condition est nécessaire Soit p P et f n A. Comme A est précompact { } A g (1) 1...g (1) n1 + B p (1). Une des semi-boules { } g (1) i + B p (1), soit g 1 + B p (1) contient une infinité de f m. Soit f m1 g 1 + B p (1).. Considérons A (g 1 + B p (1)),un sous ensemble de A donc précompact. Alors A (g 1 + B p (1)) ( Une des semi-boules g (2) 1 i +B p ( ) 2 1 g 1 + B p avec m 2 > m 1 de proche en proche. 2 Si les g 1...g n 1 et f m1,...,f mk 1 sont choisis : A [ k 1 j=1 g j + B p ( 1 j { } ( g (2) 1...g (2) 1 n2 + B p 2 ). ) ( ) 1, soit g 2 +B p,contient une infinité de f m, f n2 2 ) ] { ( ) } 1 g m (k) 1...g n (k) +Bp 1 k avec g (k) i A [ k 1 j=1 { g i + B p ( 1 j )} ]. Une des semi-boules g (k) i + B p ( 1 k ) ( ) 1, soit g k + B p k contient une infinité de f m ; f mk g k + B p ( 1 k ) avec m k > m k 1. Si s > r : p (f mr f ms ) p (f mr g r ) + p (g r g s ) + p (g s f ms ) 1 r + 1 r + 1 s 0,r s la sous-suite f mk de f m est de Cauchy dans E pour p. Théorème Si E est métrisable, une partie A et E est précompact si et seulement si de toute suite f m A,on peut extraire une sous-suite de Cauchy. Démonstration. La condition est suffisante d après le théorème précédent. La condition est nécessaire. Supposons A précompact. Soit P = {p n : n N} un système dénombrable de semi-normes sur E. Soit f m A. à p 1 : f (1) m une sous-suite de f m de Cauchy pour p 1

26 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 26 à p 2 : f m (2) une sous-suite de f m (1) de Cauchy pour p 2 à p 3 : f m (3) une sous-suite de f m (2) de Cauchy pour p 3. p 1 : f (1) 1, f (1) 2, f (1) 3,... p 2 : f (2) 1, f (2) 2, f (2) 3, f (2) 4,... p 3 : f (3) 1, f (3) 2, f (3) 3, f (3) 4, f (3) 5,... p k : f (k) 1, f (k) 2, f (k) 3, f (k) k, f(k) k+1,... on pose f mk = f (k), c est une extraction diagonale de f(k) k m. f m1 = f (1) 1, f m2 = f (k) 2, f m2 = f (3) 3 i, (f mk ) k i est une sous-suite de la suite f (i) m. E. f (i) m étant de Cauchy pour chaque p i = (f mk ) k i est une suite de Cauchy pour dans Exemples : a) Toute suite de Cauchy dans E est précompact. En effet p P, r > 0 M : m,n N = p (f m f n ) r en particulier p (f m f N ) r, m N m N f m f n + B p (r). {f n } {f 1, f 2...,f N } + B p (r). b) Tout borné de dimension finie de E est précompact. A E de dimension < + A est de dimension < +. Soit A, un borné de E. A {e 1,...e n } = L, e 1...e n linéairement independant. Le système de semi-normes sur L est équivalent à la norme eucludienne sur L. Soit f m une suite dans A., A borné. { f m } est bornée car p, c : p (f) c, f A posons f m = f m = α mi e i ( α m = (α m1,α m2. α m = f m, α mi 2 )1 2. α mn ) C n α m

27 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 27 est une suite bornée de C n, vu le théorème de Bolzano-weierstrass α m contient une soussuite α m qui converge dans C n, donc de Cauchy dans C n. f m est correspondante à α m est de Cauchy pour dans L donc de Cauchy dans E, d ou A est précompact. c) Tout compact est précompact : Propriété alors K h k {f + B p (r i )} = K n {f i + B p (r i)} {f 1...f n } + B p. a) - Toute union finie de précompacts est précompacte. Si { } ( ) A i f (i) 1, f (i) 2, f n (i) ε i + B p n α i α i A i e i { f (i) 1, f (i) n i } + B p (ε). c) - A précompact = Ā, A, A sont précompact ; pour Ā c est évident car n A B p (f i, r) qui est fermé réunion finie de fermés donc Ā n B p (f i, r), car il est le plus petit fermé contenant : A est précompact? p f, r > 0, f 1...f n : A {f 1, f n } + B p ( r 2 f 1, f n est un borné de dimension finie donc précompact. En effet : f f 1... f n. f = α i f i α i 1. g 1 g n p (f) α i p (f i ) α i sup p (f i ) sup p (f i ) = C. i i n i i n tel que ( r ) f 1, f n {g 1, g n } + B p = fa {g 1, g n } + B p (r). 2 c) - Tout précompact est borné )

28 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 28 (La réciproque n est en général pas vraie sauf si A est de dimension finie) p P, f 1,...f n : A {f 1,...,f n } + B p (1) f A, f i : f f i +B p (1) = p (f) p (f i )+1 (p (f) p (f i ) p (f f i ) 1) f A, p (f) sup p ( f i ) + 1 = C. i i n d) - Si E est métrisable, A compact = A séparable. (Si E n est pas métrisable, c est en général faux). Soit P = {p n : n N} m,n, F m,n A : A F m,n + B pn ( 1 m posons D = m,n F m,n, D est dénombrable et D A. ) Si D est dense dans A. En effet : 1 p n, r > 0 m : m r. ( ) ( 1 1 f A, g F m,n : f g + B pn = g f + B pn m m ). Théorème Si une des semi-boule B p (f,r) avec p P est précompact, alors l espace E est de dimension finie. Le théorème dit que les espaces de dimension finie sont les seuls espaces à avoir des système de voisinages précompacts. Démonstration. Il suffit de montrer que f 1 f n E : E f 1...f n. B p (f,r) précompact = B p (1) = 1 r [f B p (f,r)] est précompact donc borné, Vu un théorème antérieur {p}est une norme à P. Soit ε ]0, 1[, f 1 f n E : B p (1) {f 1 f n } + ε B p (1) f B p (1) f = f i1 + ε gi, f i1 {f 1 f n }, g 1 B p (1) g 1 B p (1), f i2,g 2 : g 1 = f i2 + ε g2 avec f i2 {f 1 f n },g 2 B p (1) donc f = f i1 + ε f i2 + ε 2 g 2.On obtient ainsi une suite f ik : i k {1, 2...n},g k B p (1) finalement f = f i1 + ε f i2 + ε 2 f i ε m 1 f im + ε m g m, m. m f ε k 1 f ik = 2 m g m k=1

29 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 29 ( p f donc ) m ε k 1 f ik = ε m p (g m ) ε m 0,m k=1 m ε k 1 f ik f dans E. k=1 m ε k 1 f ik f 1...f n, m k=1 m = lim ε k 1 f ik = f f 1,...f n = fermé (Vu un théorème antérieur). m k=1 Comme : B p (1) = E = E f 1...f n soit E = f 1...f n. Définition Soit A E, on dit que A est extractable si de toute suite f m A,on peut extraire une sous-suite f mk qui converge vers un élément de A. Propriété a) - Toute réunion finie d extractables est extractable (ce n est pas vrai si la réunion n est pas finie ). Soit f m n A i, les A i sont en nombre fini donc il existe i 0 tel que A i0 contient les f m pour une infinité de m, donc une sous-suite f m de f m :,A i0 étant extractable on peut extraire une sous-suite f m de f m : qui converge vers un élément de A i0 donc de n A i. b) - A i,i I extractable A i est extractable. Soit f m n A i alors i0 fixé dans If m A i0. i I Commr A i0 est exctractable, il contient une sous-suite f mk qui converge vers f A i0. i, f mk A i = f mkj de f mk dans A i = f mkj f = f A i0. c) - Si A i...a n sont exctractable, α 1...α n C alors n i α ia i est extractable., il suffit de prouver que si Soit A,B extractables = αa + B est extractable, α C. f m αa + B = f m = α gm + h m,g m A,h m B de g m, on peut extraire une sous-suite g m g A. Considérons la sous-suite h m correspondant à g m, on peut extraire une sous-suite h m qui converge vers h B, à h m on considère la sous-suite g m correspondante, g m g. Considérons f m = αg m + h m α g + h α A + B.

30 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 30 d) - A extractable A précompact et complet. f m A; {f mk } contient {f mk } f A en particulier {f mk } est de Cauchy donc, A est précompact. Si f m est de Cauchy, f mk f A = f m f A. Théorème Si E est métrisable, on a A compact A extractable A pécompact complet. Démonstration. On sait que A compact = A précompact complet A extractable = A précompact complet. Il reste à prouver que : A précompact = A extractable et complet. A précompact complet = A extractable? f m A, = f mk de Cauchy donc converge vers f A. A précompact complet = A complet? Raisonnons par l absurde, supposons A non compact : = un recouvrement ouvert {Ω i } i I de A dont on ne peut extraire aucun recouvrement fini. J fini, J I A i J Ω i φ. Soit le système de sémi-normes sur E. A étant précompact, P = {p n : n N p n p n+1 } A f (1) 1, f n (1) 1 A : { } ( f (1) 1 1, f n (1) 1 + B p1 2 ne peut être recouvert par un nombre fini de Ω i. C est à dire [ ( )] 1 A f 1 + B p1 Ω i φ, J fini I. 2 i J ) A f 1 + B p1 ( 1 2 ) étant précompact par le même raisonnement f 2 A [ ( )] 1 f 1 + B p1 : 2 A [ ( )] ( )] 1 12 f 1 + B p1 [f 2 + B p2 Ω 2 2 i φ, J fini I. i J

31 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 31 De proche en proche, on détermine une suite f m A : [ ( )] 1 f 1 + B p1 2 f m+1 f m + B pm 1 2 et A [ f 2 + B p2 ( 1 2 ne peut être recouvert par un nombre fini de Ω i, en particulier, [ ( )] 1 f m + B pm Ω 2 m i 0, J fini I. i J La suite f m ainsi construite est de Cauchy : En effet : m, r s m. )] [ ( )] 1... f m + B pm 2 m A étant complet, Ω i0 étant ouvert, p m (f r f s ) p m (f r f r 1 ) p m (f s 1 f s ) m assez grand on a : et c est à dire dès que 1 2 r 0 m 2 p r (f r f r 1 ) p s 1 (f s 1 f s ) ,r,s. r 2s 1 ( 1 f }{{} m +B pm 2 m f A : f m f. f A = i 0 I : f Ω i0. p n0,r 0 > 0 : f + B pn0 (r 0 ) Ω i0. ( r0 ) f m f + B pn0 (f m f) 2 ( ) 1 ( r0 ) B pm B 2 m pn0, 2 et on a : ) ( r0 ) f + B pn0 = f + B pn0 (r 0 ) Ω i0. } {{ 2 } } {{ } Ce qui contredit le fait les f m + B pm ( 1 2 m ) ne peuvent pas être reconverts par un nombre fini des Ω i. Donc A est compact.

32 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME Produit fini d espaces linéaires à semi-normes Soient (E 1,P 1 ), (E 2,P 2 ),...,(E n, P n ) espaces linéaires à semi-normes. On appelle produit des espaces linéaires (E i,p i ) à sémi-norme, l espace linéaire n muni du système de semi-normes défini par : f = (f i,...,f n ) n E i ;p P. p (f) = sup p i (f i ), p i P i 1 i n on vérifie aisément que l on a un système de semi-normes. E i Vu que on a : p (αf) sup p i (αf i ) = α = sup p i (f i ) = α p (f) 1 i n 1 i n p i (f i ) sup p j (f j ) 1 i n Soit Soit p (f + g) = sup p i (f i + g i ) sup p i (f i ) + sup p i (g i ) = p (f) + p (g). 1 i n 1 i n 1 i n donc P est filtrant. Si p (f) = 0 p 1,...p r P p j (f) = sup p j i (f i), p j i P i, 1 i n i, c i ; q i : sup p j i c iq i. 1 i r C = sup c i, q = sup q i 1 i n 1 i n sup p j c q, 1 i r p P = sup p i (f i ) = 0, p i P i 1 i n j = 1, 2...r. p i (f i ) = 0 = f i = 0, i, soit f = 0, le système est séparant. Notons aussi que ce système de semi-normes est équivalent aux systèmes. P : p (f) = p i (f i ), p i P i, p P P : p (f) = ( p 2 i (f i ) )1 2, p i P i, p P.

33 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 33 Théorème Une partie U de E i est ouvert pour la topologie définie par son système de semi-normes P si et seulement si elle est réunion de partie de la forme U i, où U, est ouvert dans E. Démonstration. La condition est nécessaire : En effet, soit U un ouvert de n E i f = (f 1,...,f n ) U, p = sup p i (abus de notation), p i P i,r > 0 : f + B p (r) U 1 i n d autre part donc [ f1 + B p1 B p (r) = B p1 (r) B p2 (r)... B pn (r) ( r 0 )] [ f 2 + B p2 ( r 0 )]... ([ f n + B pn ( r 0 )]) U soit U = la réunion des éléments de cette forme (ci-dessus) [ ( U = f1 + B )] p1 r 0 [ ( f 2 + B )] p2 r 0... [ ( f n + B )] pn r 0. f=(f 1,...,f n) U La condition est suffisante. De fait, soit U i un ouvert dans E i. Soit Si on pose on voit que f = U = f 1,...,f n n i, f i U i p i,r i > 0 : f i + B pi (r i ) U i. r = inf 1 i n r i, U i p = sup p i 1 i n f 1 +B p (r) = [f 1 + B p1 (r)]... [f n + B pn (r)] U = [f 1 + B p1 (r 1 )]... [f n + B pn (r n )] n E r. Propriété a) - Une suite d élément de n E r est convergente (rep de Cauchy si et seulement si rsn projection sur E i est convergente (rep de Cauchy). Il suffit de voir que : si on pose p = sup p i, p i (f i ) p (f) = p = sup p i (f i ). 1 i n 1 i n Si p (f) 0 = p i (f i ) 0, i = p (f) 0.

34 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 34 b) - Tout produit fini d espace nombrable (rep métrisable de Banach de Frechet) est nombrable, (rep métrisable de Banach, de Frechet. L espace n E i est séparable = i,e i est séparable. Une partie A de n c i est bornée (rep précompact) i, sa projection sur E i est bornée (rep précompact). Si A précompact, i fixé soit p j P. Compétitions p j pour obtenir une semi-norme p = sup p i 1 i n r > 0, f (m) = A ( ) f (m) 1, f (n) 2, f n (n) n E i, mm k (un nombre fini) : k [ f (m) + B p (r) ] = A j n=1 Réciproquement : Supposons A i précompact i. Soit = A A 1 A 2... A n k [ f (m) + B pi (r) ]. n=1 p = sup p i, r > 0 : 1 i n i, f (1) i,...f (k i) i E i : A i k 1 k 2 k 3 m 1 =1 m 2 =1 m 3 =1... k ( f (m) + B p (r) ) n=1 k n m n=1 (f m 1 1, f m 2 2,...f mn ) + B p (r). Remarque Si on remplace précompact par compact; la propriété d) n est pas valable. on prend par exemple A le disque ouvert plus 4 points bien disposés.a n est pas compact pourtant la projection de A sur chaque axe est compact. 1.9 Applications aux opérateurs linéaires et aux fonctionnelles linéaires Opérateurs linéaires Soient E,F deux espaces linéaires Un opérateur linéaire de E dans F est une application F,E F telle que : T (αf + βg) = α T (f) + βt (g) f,g E ; α,β C. On appelle image par T de A E l ensemble : TA = {Tf f A} en particulier l image de T est T E notée R (T) n

35 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 35 l image inverse par T de B F est : T 1 B = {f E : Tf B} le noyau de T est T 1 {0} noté N (T) R (T) et N (T) sont des sous-espaces linéaires de F respectivement de E. Soit T un opérateur linéaire de E dans F., q une sémi-norme sur F l application E R : f q (Tf) est une semi-norme sur E. En effet : q (T (αf)) = α q (Tf) : α C, f E q (T (f + g)) = q (Tf + Tg) q (Tf) + q (Tg), f,g E. Soient (E,P) et (F,Q) des espaces linéaires à semi-normes. Un opérateur linéaire T de E dans F est continue s il est continue en tout par f E f E n voisinage de T (f), V voisinage de f : g V = T (g) W f E, q i Q ε > 0 p P r > 0 : p (g f) r = q (T g Tf) ε f E q Q ε > 0 T 1 B q (Tf,ε) et un voisinage de f. Théorème Si T est un opérateur linéaire de E dans F les assertion suivantes sont équivalentes : (i) T est continue (ii) T est continue en 0 (iii) q Q ε > 0, T 1 B q (ε) est un voisinage de 0 (iv) q Q p P c > 0 q (Tf) = cp (f), f E. Démonstration. (i) = (ii) ; (ii) = (iii) (évident). T 1 B q (ε) voisinage de 0 = p P.,r > 0. ( B p (r) T 1 B q (ε) p (f) r, = q (Tf)ε ) = q (Tf) ε p (f). f E. r (ii) = (i) f E, q Q.ε > 0, p P,c > 0 ( g B p f, ε ) = p (g f) ε c c = q (T g T f ) = q (T (g f)) ε. Exemple : Si E est de dimension finie tout opérateur linéaire de E dans F est continu. Si (l i...l n ) est une base de E f = α i f i E q Q

36 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 36 on peut écrire ( ) q (Tf) = q α i T (l i ) ( )1 ( 2 α i q (Tl i ) α i 1 q ( 2 T (l i ) 2))1 c f. T est continue. Théorème Si T est un opérateur linéaire continu de E dans F, alors l image par T de E. - Toute suite convergente (resp de Cauchy) est une suite convergente (resp de Cauchy). - Tout borné (resp compact, précompact extractable) est borné (resp compact, précompact, extractable). Démonstration. - Soit f m f, q Q, p P, c > 0 - Soit A E. Si A est borné donc q (Tf m Tf) c p (f m f) 0, m q (Tf s Tfr) c p (f r fs) 0, r,s. p P, supp (f) < + f A q Q, p P : q (Tf) c p (f), f A sup f A q (Tf) csupp (f) < +. f A Si A est compact : Soit (V i ) i I un recouvrement ouvert de TA, (T 1 (V i )) i I et un recouvrement ouvert de A : n = n : A T 1 (V i ) par suite n V i TA. Si A est précompact. Soit q Q, r > 0 : p P, c > 0 q (Tf) c p (f). ( r ) f 1,...f n A : A {f 1,...f n } + B p = TA {Tf 1,...Tf n } + B q (r). c Si A est extractable. Soit g m une suite d éléments de TA,..., f m A. Tf m = g m. A étant extractable, f mk, une sous-suite de f m f A, mais Tf m est une sous-suite de g m g T A, vu ce qui précède.

37 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 37 Théorème Si E est métrisable, un opérateur linéaire de E dans F est continu si et seulement si transforme toute suite tendance vers 0 en une suite bornée. Démonstration. La condition est suffisante. En effet supposons T non continu posons = q Q, f m E : 1 = q (Tf m ) > m 2 p m (f m ) g m = mf m 0,m,p m (g m ) = mp m (f m ) 1 m 0,m q (Tg m ) = m q (Tf m ) = m, m, ce qui est absurde. (Tg m ). La condition est évidemment nécéssaire. Théorème Si E est de Frechet, un opérateur linéaire T : E F est continu si et seulement si q Q, ε > 0T 1 B q (ε) est fermé dans E. Démonstration. La condition est trivialement nécéssaire. La condition est suffisante, soit q Q, soit ε > 0 : T 1 B q (ε) soit fermé dans E. T 1 B q (ε) es absolument convexe et aborbant. Donc E = (réunion de fermer, dénombrable). E = E φ, Vu le théorème de Baire donc m : est un voisinage de 0 donc T est continu. m=1 T 1 B q (ε) 0 m T 1 B q (ε) φ 0 T 1 B q (ε) φ, T 1 B q (ε) Théorème du graphe fermé : Soit T un opérateur linéaire de E F. Le graphe de T est l ensemble G (T) = {(f,t f ) f E}. Le graphe de T est un sous-espace linéaire de E F. Si T est continu = G (T) est fermé dans E F.

38 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 38 En effet si T continu mais alors (f,g) / G (T) = g Tf = q Q,r > 0 : B q (g,ε) B q (Tf,ε) =. = p P,r > 0 : T B p (f,r) B q (Tf,ε) T B p (f,r) B q (g,ε) = φ = [B p (f,r) B q (g,ε)] G (T) = φ. Si E et F sont métrisables, E F est aussi métrisable. Dans ce cas G (T) est fermé dans E F ((f m,tf m ) (f,g) = Tf = g) (f } m f dans E = g = Tf). Tf m g dans F Théorème (du graphe fermé). Si E etf sont de l espace de Frechet. Un opérateur linéaire T de E dans F est continu si et seulement si il vérifie l assertion (f m f dans E, Tf m g dans F) = g = Tf. Démonstration. La condition est éidemment nécessaire. La condition est nécessaire suffisante. Il suffit de prouver que q Q, T 1 B q (1) est un voisinage de 0. Posons B = B q (1), T 1 B est absolument convexe et absorbant. Vu le théorème de Baire E = m : m m=1 m T 1 B = m=1 0 T 1 B φ = m T 1 B. 0 T 1 B φ. Donc T 1 B est un voisinage de 0. Par conséquent p P,r > 0 : Bp (r) T 1 B. Soit q 1 q 2... lessémi-normes qui majorent q (de Q). Considérons ( ) ( ) ( ) B 1 = B q1, B 2 = B q2,...b m = B qm... 2 m par le même raisonnement que précédemment p 1 P,r 1 > 0 : Bp 1 (r 1 ) T 1 B 1, p 1 p, r 1 < 1 2 p 2 P,r 2 > 0 : Bp 2 (r 2 ) T 1 B 2, p 2 p 1, r 2 < p m P,r m > 0 : Bp m (r m ) T 1 B m, p m p m 1, r m < 1 2 m.

39 CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 39 Montrons que T 1 B 2T 1 B. Soit f T 1 B, successivement La suite f 0 T 1 B : f f 0 B p1 (r 1 ) T 1 B 1 f 2 T 1 B 1 : f f 0 f 1 B p1 (r 1 ) T 1 B 1. f m T 1 B m : f f 0 f 1...f m B pm (r m ) T 1 B m. m f k f, m car p m (f k=0 Considérons m k=0 Tf k, est telle que n, r, s n ) m f k 0, m. ( s ) s s s 1 q n Tf k q n (Tf k ) q k (Tf k ) 0, r, s 2k k=r k=r k=r k=r par conséquent m k=0 Tf k est une suite de Cauchy dans F de Frechet donc : m g F : Tf k g on note que : et que on a alors : car k=0 Tf 0 B, Tf k B k 2 k B, k 1 Vu que B k = 2 k Bq m (1) k=0 B = Bq (1) avec q q k Bq m (1) B q (1) m Tf k B + k=0 ( m 2 k B = 1 + k=1 1 + s 2 )B k 2B, m. k=1 m 2 k < 2 et B est absolument convexe donc g 2B. Vu l hypothèse du théorème : ( m m ) f k f dans E,T f k g dans F = g = Tf k=0 k=1 k=0 g = Tf 2B = f 2T 1 B. on conclut que 2T 1 B est un voisinage de 0 donc T 1 B q (1) est un voisinage de 0 et par suite T est continu.