Pour obtenir le grade de. Arrêté ministérial : 07 août 2006

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1 THÈSE Pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L UNIVERSITÉ DE GRENOBLE Spécialité : Matématiques appliquées Arrêté ministérial : 7 août 26 Présentée par Lukáš Jakabčin Tèse dirigée par Eric Bonnetier et Stépane Labbé préparée au sein Laboratoire Jean Kuntzmann et de L Ecole Doctorale Matématiques, Sciences et Tecnologies de l Information, Informatique Modélisation, analyse et simulation numérique de solides combinant plasticité, rupture et dissipation visqueuse Tèse soutenue publiquement le 22 septembre 214, devant le jury composé de : Mme. Annie Raoult Professeur, Université René Descartes, Présidente M. Gilles Francfort Professeur, Université Paris Nord, Rapporteur M. Patrick Laborde Professeur, Université Paul Sabatier, Rapporteur M. Olivier Pantz Professeur, Ecole Polytecnique, Examinateur M. Eric Bonnetier Professeur, Université Josep Fourier, Directeur de tèse M. Stépane Labbé Professeur, Université Josep Fourier, Directeur de tèse M. Dorin Bucur Professeur, Université de Savoie, Invité

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3 3 A mon épouse Miloslava, et à mes enfants Kristina et Štefan.

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5 5 Remerciements Voilà. Quatre belles années enricissantes et passionnantes de ma tèse se terminent. C est le moment de remercier les personnes qui m ont permis de vivre cette aventure. Tout d abord, je voudrais exprimer toute ma gratitude à Eric Bonnetier et Stépane Labbé qui ont accepté de diriger cette tèse. Leurs conseils, leurs connaissances scientiques et leurs qualités umaines m ont permis d effectuer mon travail dans des conditions optimales. Je remercie Gilles Francfort et Patrick Laborde qui ont accepté de rapporter sur mes travaux de tèse. En particulier, je les remercie pour la lecture detaillée de mon manucrit, pour leur intérêt pour mon travail, pour leurs remarques et leurs précieux conseils. Merci à Dorin Bucur, Olivier Pantz et Annie Raoult qui m ont fait l onneur et le plaisir de faire partie de mon jury. Je remercie particulièrement Anne Replumaz qui m a introduit le problème de la tectonique des plaques et de la plasticine et ainsi le côté applicatif de mon travail. C était un plaisir pour moi d écanger avec elle et découvrir quelques tèmes de recerce dans les sciences géopysiques. Je remercie aussi Jean-François Babadjian qui a porté intérêt à mon travail et a relu mon manuscrit avec soins. Ses remarques m ont été utiles. Merci aux membres de l équipe EDP qui m ont accueilli caleureusement au sein du Laboratoire Jean Kuntzmann où j ai passé mes années de tèse. Je n oublie pas les tésards que j ai pu rencontrer durant ma tèse. Leur présence était un réconfort.

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7 Résumé Nous nous intéressons à des modèles de matériaux qui peuvent exiber plusieurs mécanismes dissipatifs, plasticité, rupture et dissipation visqueuse, du point de vue de l analyse matématique et de la simulation numérique. La rupture est modélisée de manière approcée par la fonctionnelle d Ambrosio et Tortorelli, suivant les travaux de B. Bourdin. Les modèles étudiés vérifient une inégalité de dissipation de type Clausius-Duem. Nous définissons l évolution du comportement de tels matériaux à partir d une semi-discrétisation en temps. Quand le pas de temps tend vers, nous montrons l existence de solutions du problème d évolution limite pour deux modèles particuliers. La loi de plasticité du premier permet un contrôle ponctuel uniforme du tenseur de taux de déformation élastique. Pour le deuxième, la loi de rupture approcée utilise un r-laplacien et induit de la compacité sur le camp v qui décrit la rupture. Nous étudions ces modèles numériquement en fonction de leurs paramètres mécaniques : nous montrons en particulier que pour certains régimes de paramètres, les différents mécanismes de dissipation peuvent s exprimer. Nous utilisons les modèles étudiés pour reproduire numériquement une expérience de G. Peltzer et P. Tapponnier sur la plasticine, qui modélise l action de la plaque indienne sur le plateau tibétain et les failles géologiques résultantes. Abstract We are interested in material models tat may exibit several dissipation mecanisms, plasticity, fracture and viscous dissipation, from te point of view of te matematical analysis and te numerical simulation. Te fracture is modeled in an approximate way using te Ambrosio Tortorelli functional, following te work of B. Bourdin. Te studied models verified a dissipation inequality of Clausius-Duem type. We define te evolution of te beavior of suc materials using a semi-discretization in time. As te time step tends to, we sow te existence of solutions of a limiting evolution problem for two particular models. For te first model, te plastic law allows a uniform control of te tensor of te elastic rate deformation. For te second, we approximate fracture using a r-laplacian, wic induces compactness of te field v wic describes fracture. We study tese models numerically, according to teir mecanical parameters : we sow in particular tat for some parameters, different dissipation mecanisms can be expressed. We numerically reproduce te plasticine experiment of G. Peltzer and P. Tapponnier, wic models te action of te Indian plate on te Tibetan plateau and te resulting geological faults. 7

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9 Table des matières Introduction générale 15 1 Modélisation de matériaux dissipatifs par des modèles d évolution de plasticité et de rupture Introduction Modèles de plasticité Modèle d évolution en élasto-plasticité parfaite Modèle d évolution élasto-visco-plastique Modèle d évolution élasto-viscoplastique Modèle d évolution d écrouissage cinématique linéaire Conclusion Modèles de ruptures Modèle de Griffit Modèle de Francfort et Marigo Modèle de Francfort-Larsen Modèle d évolution de rupture de Giacomini Modèle d évolution de rupture de Babadjian-Millot Modèles dissipatifs Modèle d Ortner-Larsen-Süli - Rupture et viscoélasticité Modèle de Dal Maso-Toader - Rupture et plasticité Conclusion Construction d une classe de modèles d évolution de plasticité et de rupture Introduction Définitions et propriétés matématiques Formulation des modèles Lien des modèles avec la termodynamique Cadre termodynamique Preuve formelle de l égalité d énergie et d une inégalité de type Clausius-Duem

10 1 TABLE DES MATIÈRES 2.5 Conclusion An elasto-viscoplastic evolution model wit regularized fracture : Model Introduction Formulation of te model Preliminaries and matematical setting Te elasto-visco-plastic evolution wit regularized fracture Existence result Time discretization A priori estimates Compactness results Passage to te limit in te equilibrium condition Strong compactness result for te elastic strain Passage to te limit in te plastic flow rule Passage to te limit in te crack propagation condition Conclusion Existence of solutions to an elasto-viscoplastic model wit kinematic ardening and r-laplacian fracture approximation : Model Introduction Description of te model Preliminaries and matematical setting Te evolution for elasto-viscoplastic model wit linear kinematic ardening and fracture Proof of te existence teorem Time discretization A priori estimates Compactness results Te proof of Teorem Conclusion Etude numérique 1D et 2D des modèles 1, 2 et Introduction Préliminaires matématiques et numériques Evolution semi-discrète Algoritme de minimisation alternée Un algoritme de minimisation alternée Backtracking

11 5.5 Calcul numérique du tenseur plastique p Calcul de p pour le Modèle Calcul du tenseur plastique p pour les modèles 2 et Simulations numériques Expérience de traction 1D Expériences numériques de traction 2D - Modèle Simulation numérique 2D de l expérience de Peltzer et Tapponnier Conclusion Conclusions et perspectives 141 Bibliograpie

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13 Liste des travaux Les capitres 2, 3, 4, 5 constituent principalement les 3 publications ou prépublications suivantes : Modélisation et Simulation numérique (P1) E. Bonnetier, L. Jakabčin, S. Labbé, A. Replumaz. Numerical simulation of a class of models tat combine several mecanisms of dissipation : fracture, plasticity, viscous dissipation. Journal of Computational Pysics 271, , 214. Le capitre 2 de cette tèse est principalement consacré à la partie modélisation de (P1) et une partie conséquente du capitre 5 au numérique de (P1). Analyse des EDPs et Calcul des variations (P2) L. Jakabčin, An elasto-visco-plastic evolution model wit regularized fracture. En révision. (P3) L. Jakabčin, Existence of solutions to an elasto-viscoplastic model wit kinematic ardening and r-laplacian fracture approximation. En révision. Le capitre 3 de cette tèse est constitué de (P2) et le capitre 4 de (P3). 13

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15 Introduction générale Motivations Collision Inde-Asie La collision du continent Indien avec le continent Asiatique met en jeu des mécanismes complexes de déformation : épaississement de la croûte terrestre, création de failles, coulissage de blocs continentaux le long de ses failles (Fig. 1). La pénétration de l Inde dans l Asie depuis 5 Millions d années a produit la zone la plus importante de déformation du globe. Cette collision est à l origine de la formation de la caîne de l Himalaya dont les sommets ont une auteur supérieure à 8 m, et du Plateau Tibétain, dont le relief est plus plat mais d altitude moyenne élévée, environ 5 m. Durant cet épaississement, une partie de la déformation se localise au niveau des grandes failles qui découpent l Asie en blocs (Fig. 1, bloc orange (Indocine) entre la faille de Sagaing à l Ouest et la Faille du Fleuve Rouge à l Est, et bloc jaune (Tibet) entre la faille du Fleuve Rouge au Sud et la faille de l Altyn Tag au nord). Sous la poussée de l Inde, les deux blocs coulissent successivement vers l Est le long de ces failles. Dans un premier temps, l Indocine coulisse vers l Est le long de la faille du Fleuve Rouge, puis le bloc Tibet coulisse le long de la faille de l Altyn Tag. Un modèle analogue de localisation de déformation et de rupture pour les géomatériaux Les mécanismes mis en jeu lors d une telle collision sont trop complexes pour être modéliser dans leur ensemble. La litospère terrestre (la partie supérieure de la Terre, que l on peut observer depuis la surface) n a pas un comportement simple proce d un comportement idéal élastique, plastique et/ou visqueux. Dans la communauté des géopysiciens, l un des enjeux est de comprendre les pénomènes accompagnant la formation du Plateau Tibétain et de Hima- 15

16 16 INTRODUCTION GÉNÉRALE laya, en explorant différents comportements réologiques de la litospère. A court terme ou très court terme, le comportement de la litospère peut être considéré comme élastique, ce qui est utilisé pour la modélisation de la rupture sismique (relâcement des contraintes élastiques accumulées), des déformations intersismiques, ou pour la modélisation des données interférométrique et GPS. A long terme, les déformations permanentes, en particulier les mouvements le long des failles, sont plus complexes à modéliser. Plusieurs modélisations analogiques, consistant à construire un système pysique qui reproduit un pénomène que l on souaite étudier, ont été réalisées. Un type de modèles classiques est de considérer la litospère comme un fluide, en utilisant comme matériau analogue la silicone. Ces modèles analogues reproduisent l épaississement du Plateau Tibétain qui se propage vers le nord au cours du temps, mais il est impossible de créer et de propager une rupture dans un tel matériau [8]. La modélisation numérique d un tel matériau est relativement simple à mettre en œuvre, en utilisant la mécanique des fluides newtoniens [29], [3]. Une autre approce de modélisation analogue consiste à utiliser comme analogue le sable, un matériau granulaire assez complexe, qui reproduit bien l épaississement de la litospère localisé sur des failles que l on dit inverse, qui empile des écailles de litospère pour l épaissir. La modélisation numérique d un tel matériau est plus compliquée, son comportement pouvant être modélisé par un comportement plastique avec le critère de Mor-Coulomb (voir [17]). Peu d expériences ont tenté de reproduire les grandes failles décrocantes d Asie, qui permettent des mouvements orizontaux de plusieurs centaines de km (Figure 1). En 1988, Peltzer et Tapponnier [53] modélisent la collision Inde/Asie par l indentation d une couce de plasticine, répresentant l Asie, par un poinçon rigide représentant l Inde. Les grandes failles apparaissent comme des fissures très localisées propagées dans la plasticine et le long desquelles coulissent des blocs de plasticine peu déformés (voir Figure 2). Dans cette expérience, l épaississement est rendu impossible par une vitre en verre posée sur la plasticine. Les mouvements orizontaux sont donc amplifiés. La bordure l Est du modèle est laissée libre pour pouvoir reproduire l asymétrie de l Asie, avec la présence d océans à l Est (Figure 1). Cette expérience, associée à la particularité de la plasticine de localiser la déformation, reproduit un analogue des grandes failles d Asie permettant des centaines de km de déplacement orizontal. A notre connaissance, il n y pas de modèles numériques de l expérience de Peltzer et Tapponnier. Nous pouvons observer sur la maquette de la plasticine (Figure 2) : l apparition des fissures,

17 17 Figure 1 La carte intérprétée de la collision de l Inde avec le continent Asiatique Figure 2 Evolution de la déformation plane lors de l indentation d une couce de plasticine par un poinçon rigide les blocs de plasticine sont déformés, coullissent le long des fissures, l observation qualitative du comportement plastique ou visco-plastique lié à la déformation permanente de la plasticine. Cadre de cette tèse Sur la base de l expérience de la déformation de plasticine, nous nous intéressons à la création et à la propagation de fissures dans un matériau solide élasto-visco-plastique. Le but de cette tèse est de construire et d étudier du point de vue matématique et numérique une classe de modèles pour la déformation de solides qui combinent les principaux pénomènes de dissipation qui pourraient être mis en jeu lors de l expérience de Peltzer et Tapponnier : déformation inélastique (plasticité, visco-élasticité et visco-plasticité) et rupture. Lors de la déformation ces mécanismes peuvent-ils s exprimer simultanément? L un d eux est-il dominant? Avec nos modèles peut-on reproduire numériquement l expérience de Peltzer et Tapponnier? Construire un modèle matématique élasto-visco-plastique avec la rupture doit tout d abord suivre des régles de la mécanique. Ensuite il faut assurer qu un tel modèle est bien posé (admet des solutions dans des espaces matématiques convenables). Enfin, pour répondre à nos questions concernant les mécanismes de dissipation, le meilleur moyen est l étude numérique vu la complexité des équations qui le caractérisent. Nous cercons donc à construire des modèles matématiques qui couplent plusieurs pénomènes dissipatifs, et qui pourraient être étudiés numériquement. Pour cette raison, nous traitons la rupture de manière approcée : une fissure sera représentée comme l ensemble de niveau v 1/2 d une fonction marqueur. Les premiers travaux de mécanique de la rupture remontent aux

18 18 INTRODUCTION GÉNÉRALE années 192 et au modèle de Griffit [4]. Celui-ci souffre de plusieurs faiblesses. Il ne permet pas d initier (nucléer) des fissures et suppose connu a priori le trajet de fissuration. Dans les années 9, pour palier à ces faiblesses Francfort et Marigo [35] ont reformulé le modèle de rupture de Griffit de façon variationnelle et ont remplacé un principe de stationnarité unilatérale dans le modèle de Griffit par un principe de moindres énergies. Les travaux de tèse de Bourdin [12] ont permis d illustrer l intérêt de l approce variationnelle de la rupture et en particulier de la possibilité d utliser la fonctionnelle d Ambrosio-Tortorelli [1] pour approcer le calcul des énergies de surface. Nous allons également utiliser cette approximation de rupture pour un milieu élasto-visco-plastique. Nous allons coupler la rupture approcée avec la plasticité, la viscoplasticité, l écrouissage et la viscoélasticité. Nous espérons qu un tel modèle pourra aussi servir à reproduire les premières étapes de l expérience de plasticine, où l on observe d abord des zones de déformations inélastiques puis la rupture. De manière générale, nous travaillerons dans R 2, mais certains des résultats présentés se généralisent en dimension supérieure. Ce travail est divisé en 5 capitres : Capitre 1 : Modélisation de matériaux dissipatifs par des modèles d évolution de plasticité et de rupture. Le premier capitre est un état de l art des modèles d évolution de plasticité et de rupture. Nous présentons tout d abord le modèle d évolution de plasticité parfaite, puis des modèles régularisés de plasticité via la viscoplasticité de Perzyna, la viscoélasticité de Kelvin-Voigt et l écrouissage cinématique linéaire. Nous présentons ensuite le modèle d évolution de Francfort et Marigo et les résultats d existence des solutions associés à ce modèle. Nous décrivons aussi une classe de modèles d évolution avec la rupture approcée de Giacomini, de Babadjian et Millot et de Larsen, Ortner et Süli. Nous terminons par la formulation du modèle d évolution élastique-parfaitement plastique avec rupture étudiée par Dal Maso et Toader. Capitre 2 : Construction d une classe de modèles d évolution combinant plasticité, rupture et dissipation visqueuse. Nous construisons 4 modèles d évolution contenant des pénomènes de dissipation liés à la plasticité, la viscoplasticité, la viscoélasticité, l écrouissage et la rupture numérique. Modèle 1 : élasticité, plasticité, viscoélasticité et rupture.

19 Modèle 2 : élasticité, plasticité, viscoplasticité et rupture. Modèle 3 : élasticité, plasticité, écrouissage cinématique et rupture. Modèle 4 : élasticité, plasticité, écrouissage cinématique, viscoplasticité et rupture (r-laplacien). Nous montrons aussi dans ce capitre que sous l ypotèse de renforcement de loi d évolution de rupture (critère de Griffit régularisé), le traceur v représentant la rupture peut être vu non seulement comme une variable numérique, mais aussi de point de vue térmodynamique, comme une variable interne globale du modèle. Nous montrons aussi que les modèles construits rentrent dans un cadre similaire à celui des matériaux standards généralisés et que des modèles vérifient une inégalité de type Clausius-Duem. 19 Capitre 3 : Analyse matématique du modèle d évolution élastovisco-plastique avec rupture (Modèle 1). Nous montrons dans ce capitre que le modèle élasto-visco-plastique avec la rupture de type Ambrosio-Tortorelli admet au moins une solution. La preuve est basée sur la construction d approximations par semi-discrétisation en temps en résolvant à caque pas de temps deux problèmes de minimisation. On définit ensuite à l aide des solutions de ces problèmes les évolutions semi-discrètes en temps. Nous montrons un résultat de compacité forte pour les solutions élastiques approcées. Nous passons ensuite à la limite quand le pas de discrétisation en temps converge vers, et montrons que la solution limite vérifie l équation d équilibre, la loi d écoulement plastique et de propagation de rupture du modèle continu en temps. Capitre 4 : Analyse matématique du modèle d évolution élastovisco-plastique avec l écrouissage cinématique et rupture approcée via r-laplacien (Modèle 4). Nous étudions dans ce capitre l existence des solutions pour le modèle d évolution élasto-viscoplastique avec écrouissage cinématique linéaire et rupture approcée dans lequel la fonctionnelle d Ambrosio-Tortorelli utilisée est associée au r-laplacien. La preuve est basée aussi sur une semi-discrétisation en temps en résolvant à caque pas de temps un problème de minimisation par rapport à l ensemble des variables mécaniques (u, v, e, p). Les solutions de ces problèmes nous permettent de définir les évolutions semi-discrètes en temps. Ensuite nous passons à la limite quand le pas de discrétisation en temps converge vers. Nous montrons un résultat de compacité forte pour la partie élastique de déformation utilisant le téorème de Helly pour montrer que les suites approximantes sont de Caucy. Nous montrons que la

20 2 INTRODUCTION GÉNÉRALE solution limite vérifie l équation d équilibre, la loi d écoulement plastique et de propagation de rupture. Capitre 5 : Etude numérique 1D et 2D des modèles 1, 2 et 3 Dans la dernière partie de cette tèse, nous nous intéressons à l implémentation numérique des modèles construits. Nous présentons les scéma numériques de discrétisation en temps et en espace pour les solutions approcées des modèles. Nous implémentons l algoritme de minimisation altérnée où on l implémente a posteriori à caque pas de temps, une vérification d une condition nécessaire de l optimalité du minimiseur. Cette étape supplémentaire s appelle backtracking. Nous étendons l algoritme de backtracking, aux matériaux à mémoire. Nous illustrons le comportement des modèles sur l exemple de la barre en traction 1D et présentons différents régimes de déformation en fonction de différents paramètres mécaniques des modèles. Nous implémentons également le modèle élasto-plastique avec écrouissage cinématique linéaire et rupture numérique (Modèle 3) dans le cas d une barre 2D et d une plaque de plasticine. Nous montrons que ce modèle reproduit qualitativement les premières étapes de l expérience de Peltzer et Tapponnier.

21 Capitre 1 Modélisation de matériaux dissipatifs par des modèles d évolution de plasticité et de rupture 1.1 Introduction Nous présentons des modèles d évolution liés aux mécanismes de plasticité et de rupture. D une part, nous présentons une classe de matériaux dissipatif contenant la plasticité parfaite et des modèles regularisés de plasticité parfaite, de viscoplasticité, de viscosité et d écrouissage cinématique. D autre part, nous nous intéréssons au modèles de rupture de Francfort et Marigo et à ses régularisations via la fonctionnelle d Ambrosio-Tortorelli. 1.2 Modèles de plasticité Modèle d évolution en élasto-plasticité parfaite Considérons R 2 un ensemble ouvert borné suffisamment régulier qui représente la configuration élasto-plastique de référence. Le modèle élastoplastique est décrit par trois variables : le camp de déplacement u : [, T ] R 2, la partie élastique (réversible) de déformation e : [, T ] Msym, 2 2 la partie plastique (irréversible) de déformation p : [, T ] M sym.

22 22 CHAPITRE 1. MODÈLES DISSIPATIFS M 2 2 sym désigne l ensemble des matrices symétriques 2 2. Sous ypotèse des petites déformations, les trois variables (u, e, p) sont liées via la relation Eu = e + p dans [, T ], (1.1) où le tenseur de déformation linéarisé Eu est défini par Eu := 1 2 ( u + ut ). Le tenseur des contraintes σ : [, T ] M 2 2 sym est lié à la déformation élastique via la loi de Hooke σ := Ae dans [, T ], (1.2) où A représente le tenseur de coefficients de Lamé d ordre 4 symétrique et coercif. Le modèle d élasto-plasticité parfaite est caractérisée par l existence d une zone fixe qui n évolue pas au cours de temps, convexe fermée contenant, notée K, telle que le tenseur de contrainte σ demeure dans K : σ K, dans [, T ]. (1.3) K s appelle le convexe d élasticité, c est un sous-ensemble de M 2 2 sym. Lorsque σ est à l intérieur de K (σ K), le milieu se comporte comme un matériau élastique, ṗ =. Lorsque σ atteint le bord de K (σ K), appelé surface seuil de plasticité, le matériau subit une déformation plastique permanente décrite par la loi d écoulement plastique de Prandtl-Reuss : ṗ N K (σ), (1.4) avec N K (σ) le cône normal à K en σ. Définissons la fonction indicatrice I K de l ensemble K par : I K (σ) = si σ K, I K (σ) = + sinon. Utilisant l analyse convexe [voir [43], capitre 4] nous avons N K (σ) = I K (σ), (1.5) et la loi d écoulement (1.4) peut être écrite de la façon équivalente utilisant la dualité convexe : σ : ṗ = max ξ : ṗ := H(ṗ), (1.6) ξ K avec H : M 2 2 sym R la fonction support de K. La formulation (1.6) exprime le principe du travail maximal de Hill : A caque instant où la vitesse de déformation plastique est définie, la puissance réellement dissipée est supérieure

23 1.2. MODÈLES DE PLASTICITÉ 23 ou égale à la puissance qui serait dissipée par toute contrainte admissible avec la même vitesse de déformation plastique. H(ṗ) dénote la dissipation plastique. Comme ṗ I K (σ), par la dualité convexe nous obtenons aussi σ IK (ṗ) ce qui donne que la loi d évolution plastique peut s écrire aussi : σ H(ṗ). (1.7) Il est pratique de définir le convexe d élasticité K à l aide d une fonction F : M 2 2 sym R appelée fonction seuil ou critère de plasticité. Nous définissons alors K : K := {σ M 2 2 sym; F (σ) }. (1.8) En présence des forces extérieures f : [, T ] R 2 et d un déplacement imposé w : [, T ] R 2 au bord, nous définissons alors l évolution dynamique (ED) élasto-plastique au cours de l intervalle de temps [, T ] par le triplet (u, e, p) : [, T ] R 2 Msym 2 2 Msym 2 2 vérifiant les conditions suivantes : (u(), u(), e(), p()) = (u, v, e, p ) dans Eu = e + p, dans [, T ], u = w sur [, T ], (ED) ü div(σ) = f, dans [, T ], σ K, dans [, T ], ṗ N K (σ), dans [, T ]. Lorsque le mouvement est suffisament lent, on peut négliger les effets d inertie et on obtient le modèle quasi-statique élasto-plastique (EQ) en négligeant le terme d accéleration ü dans l équation de mouvement ü div(σ) = f. (u(), e(), p()) = (u, e, p ) (EQ) dans Eu = e + p, dans [, T ], u = w sur [, T ], div(σ) = f, dans [, T ], σ K, dans [, T ], ṗ N K (σ), dans [, T ]. Le problème d existence d une évolution élasto-plastique quasi-statique (EQ) a été premièrement étudiée par Duvaut-Lions [28], où le problème d existence de solution pour le problème en contrainte σ a été montré via les métodes d approximation de Galerkin et de régularisation visco-plastique. Dans la suite, Jonson [44] a étudié le problème faible associé formulé pour le problème en contrainte σ et en vitesse v = u. La difficulté matématique principale pour étudier les évolutions (ED) et (EQ) est de définir un bon cadre fonctionnel pour les camps de déplacements cinématiquement admissibles qui est celui des espaces BD des fonctions à déformations bornées

24 24 CHAPITRE 1. MODÈLES DISSIPATIFS (voir Suquet [57]). L existence d une évolution quasi-statique élasto-plastique parfaite a été prouvée dans les espaces BD par Suquet [55], [56], voir aussi Temam [59]. Remarquons aussi qu une autre preuve d existence d une évolution quasi-statique élasto-plastique parfaite a été proposée par Dal Maso, De Simone, Mora (voir [21]) en formulant l évolution élasto-plastique dans le cadre des processus indépendant des vitesses étudiés par Mielke [52] et Mainik et Mielke [5]. Leur approce définit d une façon équivalente une évolution quasi-statique élasto-plastique (u, e, p) qui vérifie un principe de minimisation d énergie et une égalité d énergie. Les modèles de ce types sont complexes : coix des espaces, manque de régularité des fonctions manipulées. Pour construire leurs solutions, des processus de régularisation ont été proposés, qui se prêtent également plus facilement à l approximation numérique. Nous présenterons 3 type de régularisation : viscoélasticité de Kelvin- Voigt, viscoplasticité de Perzyna et écrouissage cinématique linéaire. Le convenient matématique de régularisation est le fait que l analyse du modèle régularisé peut être suivie dans les espaces de Sobolev au lieu des espaces moins réguliers Modèle d évolution élasto-visco-plastique Nous appelons l évolution quasi-statique élasto-visco-plastique le triplet (u, e, p) : [, T ] R 2 Msym 2 2 M 2 2 sym vérifiant les conditions suivantes : (u(), e(), p()) = (u, e, p ) dans, Eu = e + p, dans [, T ], u = w sur [, T ], (EV P ) σ = Ae + β 1 E u dans [, T ], div(σ) = f, dans [, T ], Ae K, dans [, T ], ṗ N K (Ae), dans [, T ]. Le modèle est construit en introduisant le paramètre de viscosité β 1 > et de remplacer la loi de comportement σ = Ae du modèle élasto-parfaitement plastique par une loi de comportement de type Kelvin-Voigt : σ β1 est la somme de la partie réversible de la déformation et de la partie régularisée visqueuse dûe à l amortissement : σ β1 := Ae β1 + β 1 E u β1 dans [, T ]. (1.9) Ce modèle est formulé en des variables ( u, σ) dans le papier d Anzelotti et Luckaus [3]. L existence d une évolution dynamique élasto-parfaitement

25 1.2. MODÈLES DE PLASTICITÉ 25 plastique est obtenue en faisant tendre β 1 dans le modèle (EVP). Le même type d approximation d évolutions dynamique et quasi-statique est utilisée pour approcer un modèle de plasticité des sols par Babadjian et Mora [7]. La preuve d existence d une évolution pour ce type de modèle est basée sur la compacité forte pour les solutions approcées élastiques semidiscrétisés en temps, linéaires par morceaux (e ) et constantes par morceaux (e + ) qui convergent fortement dans L 2 (, T, L 2 (, M 2 2 Sym )). Ce type de convergence est établi grâce au principe de Hill qui donne une monotonie pour certains termes à contrôler. Dans l étude matématique du modèle, nous sommes amenés à passer à la limite, quand le pas de semi-discrétisation en temps converge vers zero, dans un produit de suites ṗ représenant le taux de déformation plastique et e + qui convergent cacun seulement faiblement dans L 2 (, T, L 2 (, M 2 2 Sym )) et donc la convergence du produit ṗ : e + n est pas assurée. Donc, la convergence forte L 2 (, T, L 2 (, M 2 2 Sym )) permet le passage à la limite dans la loi d écoulement plastique discrète. Remarquons que le modèle élasto-parfaitement plastique peut être aussi obtenu comme limite d un modèle dynamique d élasto-visco-plasticité (Dal Maso, Scala [24]) Modèle d évolution élasto-viscoplastique Nous présentons maintenant le modèle d évolution quasi-statique élastoviscoplastique de Perzyna (voir par ex. [55]) La fonction support H permet de définir un potentiel de dissipation H : M 2 2 sym R p H(p) := sup ξ : p. ξ K Dans le cadre de la régularisation via viscoplasticité de Perzyna nous introduisons un potentiel de dissipation régularisé défini pour β 2 > fixé par : H β2 : M 2 2 sym R La loi d écoulement plastique s écrit : ou de façon équivalente p H β2 (p) := H(p) + β 2 2 p 2. σ H β2 (ṗ) dans [, T ], σ β 2 ṗ H(ṗ) dans [, T ].

26 26 CHAPITRE 1. MODÈLES DISSIPATIFS Nous définissons alors une évolution élasto-viscoplastique par un triplet (u, e, p) : [, T ] R 2 M 2 2 sym M 2 2 sym vérifiant les conditions suivantes : (u(), e(), p()) = (u, e, p ) dans, Eu = e + p, dans [, T ], u = w, sur [, T ], (V P ) σ := Ae, dans [, T ], div(σ) = f, dans [, T ], σ β 2 ṗ K, dans [, T ], σ β 2 ṗ H(ṗ), dans [, T ]. De point de vue matématique, une telle approximation viscoplastique permet de gagner de la compacité forte pour les solutions approcées en temps de tenseur élastique (e ) et plastique (p ) qui sont des suites de Caucy dans les espaces L (, T, L 2 (, M 2 2 Sym )). Une telle approce a été par exemple utilisée dans les travaux de modèles en plasticité de Babadjian, Francfort, Mora [5], ou de Dal Maso et al. [22], [23] où les auteurs traitent des modèles de plasticité plus sopistiqués que (VP). Par exemple dans [5], les auteurs traitent un modèle de plasticité non-associée. Concernant de plasticité nonassociée, on peut consulter aussi les travaux de Laborde [45], [46], [47] Modèle d évolution d écrouissage cinématique linéaire Le modèle d élasto-plasticité parfaite est caractérisé par le convexe d élasticité qui reste fixe au cours de temps. Dans ce paragrape, nous allons présenter le modèle d évolution avec écrouissage, c est-à-dire un modèle dont le domaine d élasticité varie au cours de temps. En particulier, nous considérons le modèle d écrouissage cinématique linéaire qui représente une translation du domaine élastique. Dans ce cas, l analyse matématique du modèle peut se faire dans les espaces de Sobolev car l énergie libre du modèle élastoparfaitement plastique est régularisée en lui ajoutant un terme d écrouissage quadratique en p : 1 2 k p 2, où k > désigne la constante d écrouissage. Ce modèle est décrit par la seule variable interne qui peut être identifiée avec la variable interne p de déformation plastique (voir Han et Reddy [43]). La loi d écoulement plastique s écrit : ṗ N K (σ kp).

27 1.3. MODÈLES DE RUPTURES 27 De façon équivalente nous pouvons écrire : σ kp H(ṗ). L évolution quasi-statique élasto-plastique avec écrouissage cinématique linéaire est alors définie par un triplet (u, e, p) : [, T ] R 2 M 2 2 sym M 2 2 sym vérifiant les conditions suivantes : (u(), e(), p()) = (u, e, p ) dans, Eu = e + p, dans [, T ], u = w, sur [, T ], (ECR) σ := Ae, dans [, T ], div(σ) = f, dans [, T ], σ kp K, dans [, T ], ṗ N K (σ kp), dans [, T ]. Il existe aussi des modèles matématiques d écrouissage non linéaire (voir par exemple Francfort et Stefanelli [36]) Conclusion Dans cette partie nous avons décrit le modèle d élasto-plasticité parfaite et son évolution. Nous avons présenté 3 façons de le régulariser. Soit on régularise le tenseur de contrainte (la viscosité, visco-élasticité), soit on modifie le potentiel de dissipation plastique (la viscoplasticité), soit on modifie l énergie libre du modèle (l écrouissage cinématique linéaire). L avantage de régularisation est le traitement possible des modèles dans les espaces de Sobolev ainsi que l approximation numérique. 1.3 Modèles de ruptures Modèle de Griffit A la connaissance de l auteur, le premier modèle de la mécanique de rupture rémonte aux travaux de Griffit [4]. Plaçons-nous dans le cadre bidimensionnel. Considérons un matériau élastique occupant un domaine avec le bord suffisamment régulier. Sur une partie du bord D nous imposons un cargement u = w(t) avec w(t) : D : R 2. Supposons aussi que le milieu n est soumis à aucune force extérieure (f = ) et le bord de Neumann reste libre : N := \ D. Nous supposons que le matériau peut se fissurer et que le cemin de fissuration ˆΓ \ N est a priori connu où ˆΓ est une courbe suffisamment régulière. Nous supposons que la fissure au temps

28 28 CHAPITRE 1. MODÈLES DISSIPATIFS t [, T ] est un sous-ensemble connexe croissant (au sens de l inclusion) de ˆΓ. Son trajet de propagation est prédéfini, et elle est donc détérminée entièrement par sa longueur l(t). Nous notons cette fissure Γ(l(t)) ˆΓ. Nous définissons au temps t l énergie potentielle élastique du matériau en deors de la fissure par W(u(t, l(t)), l(t)) := 1 AEu(t, l(t)) : Eu(t, l(t)) dx (1.1) 2 où C : D = 2 i,j=1 \Γ(l(t)) c ij d ij est le produit scalaire usuel des matrices symétriques et Eu le tenseur de déformation linéarisée. Rappelons que A est le tenseur élastique de coefficients de Lamé. Supposons qu à caque pas de temps t le matériau élastique fissuré est à l équilibre mécanique sous les effets de cargement imposé w(t). Pour la longueur de fissure l(t) fixée au temps t, le camps de déplacement u(t, l(t)) vérifie en deors de la fissure le système d équations d équilibre : div(aeu(t, l(t))) =, dans \Γ(l(t)), (EQU I) u(t, l(t)) = w(t), sur D \Γ(l(t)), AEu(t, l(t)). n =, sur N Γ(l(t)). Le modèle de Griffit est basé sur 2 ypotèses : 1. l énergie de surface liée à la fissure Γ(l(t)) est proportionnelle à sa longueur l(t) : E S (Γ(l(t))) := G c l(t), (1.11) avec G c > la constante de ténacité du matériau. 2. la propagation des fissures est basée sur le critère de Griffit : pour tout t [, T ], (l(t), u(t, l(t))) satisfait l(t), (GRIF ) W l (u(t, l(t)), l(t)) G c, ( ) W l (u(t, l(t)), l(t)) + G c l(t) =. Francfort et Marigo ont proposé dans [15], [35] une formulation variationnelle du modèle de Griffit : Pour tout t [, T ], (l(t), u(t, l(t))) vérifie le critère de Griffit (GRIF), l équation d équilibre (EQUI) et la condition initiale l() = l si et seulement si on a pour tout t [, T ],

29 1.3. MODÈLES DE RUPTURE Stationnarité unilatérale : (l(t), u(t, l(t))) est un point stationnaire (maximum, minimum, point d inflexion) de l énergie (u, l) 1 AEu : Eu dx + G c (l l(t)) 2 \Γ(l) parmi tous les couples (u, l) avec l l(t) et u = w(t) sur d \Γ(l). 2. Irréversibilité : l(t), 3. Egalité d énergie : avec de (u(t), l(t)) = dt E(u, l) := 1 2 \Γ(l(t)) \Γ(l) AEu(t) n : ẇ(t) ds AEu : Eu dx + G c l. Francfort et Marigo [Proposition 2.4, [15]] renforce la condition de stationnarité qui devient la condition d optimalité d ordre 1 d un principe de minimalité locale : (u(t), l(t)) sont des points critiques qui sont les minima locaux de l énergie E Modèle de Francfort et Marigo Ayant formulé le modèle de Griffit de la manière variationnelle, Francfort et Marigo proposent de remplacer dans le modèle de Griffit, le principe de stationnarité unilatérale par un principe de minimisation globale de l énergie. En différence avec le modèle de Griffit, la formulation du modèle de Francfort et Marigo ne connaît pas a priori le cemin de fissuration et permet d initier la rupture dans les matériaux sains (voir Cambolle, Giacomini et Ponsiglione [2]). Nous présentons le modèle de Francfort et Marigo en dimension N quelconque. Soit R N un ouvert borné suffisamment régulier. Pour tout K et u : \ K R N avec u = w(t) sur D \K, on définit l énergie totale par E(u, K) := 1 AEu : Eu dx + G c H N 1 (K) 2 \K avec H N 1 désignant la mesure de Hausdorff de dimension N 1. Francfort et Marigo définissent l évolution quasi-statique élastique avec rupture par la fonction t (u(t), K(t)) avec les données initiales (u(), K()) = (u, K ) qui vérifie pour tout t [, T ] :

30 3 CHAPITRE 1. MODÈLES DISSIPATIFS 1. Principe de minimum global : pour tout couple (u, K) avec K(t) K et u = w(t) sur D \K on a E(u(t), K(t)) E(u, K) 2. Irréversibilité : pour tout s t T, 3. Egalité d énergie : de (u(t), K(t)) = dt K(s) K(t). D \K(t) AEu(t) n : ẇ(t) ds La formulation matématique du modèle de Francfort et Marigo a fait l objet de plusieurs papiers dans la dernière décennie. En 2D et en petites déformations, dans le cas-antiplan Dal Maso-Toader [26] proposent le premier résultat d existence de solutions du modèle de Francfort et Marigo avec E(w, K) := min u L 1,2 (\K) { \K u 2 dx + G c H 1 (K) : u = w sur D \K } (1.12) où L 1,2 (\K) = {u L 2 loc (\K); u L2 (\K, R 2 )}. Nous définissons l ensemble K f m() de tous les sous ensembles K compacts ayant au plus m 1 composantes connexes et H 1 (K) < +. Nous notons AC les fonctions absolument continues. Téorème [26] Soit w AC([, 1], H 1 ()) et K Km(). f Il existe une fonction K : [, 1] Km() f telle que (L1) K K(s) K(t) pour tout s t 1, (L2) E(w(), K()) E(w(t), K), pour tout K Km(), f K K (L3) pour < t 1, E(w(t), K(t)) E(w(t), K), pour tout K Km(), f avec s<t K(s) K. (L4) t E(w(t), K(t)) est absolument continue sur [, 1], (L5) d ds E(w(t), K(s)) s=t = pour p. t. t [, 1], pour tout K : [, 1] Km() f satisfaisant (L1)-(L5) on a pour p. t. t [, 1] d E(w(t), K(t)) = 2 u(t) ẇ(t) dx, ds \K(t) où u(t) est solution du problème variationnel (1.12) avec les données (w(t), K(t)) et ẇ(t) le derivée en temps de w(t). Notons que ce résultat de DalMaso et Toader a été étendu par Cambolle [19] dans le cadre 2D de l élasticité linéaire plane.

31 1.3. MODÈLES DE RUPTURE Modèle de Francfort-Larsen Francfort et Larsen [34] ont établi l existence de l évolution quasi-statique du modèle de Francfort et Marigo dans le cadre des espaces des fonctions spéciales à variations bornées SBV (), un sous-espace des fonctions à variations bornées BV (). Pour plus de détails sur ces espaces, nous conseillons voir le livre de Evans et Gariepy [32] et ses références. Téorème [34] Soit R N, D un fermé, et w L loc ([, ), L (R N )) W 1,1 loc ([, ), H1 (R N )). Il existe une évolution t (u(t), Γ(t)) avec u(t) SBV (R N ) et Γ(t) telle que Γ(t 1 ) Γ(t 2 ) pour tout t 1 t 2, u() minimise v 2 dx + H N 1 (S(v)\ D ) pour tout v SBV (R N ) avec v = w() sur R N \, pour t > u(t) minimise v 2 dx + H N 1 (S(v)\(Γ(t) D )) pour tout v SBV (R N ) avec v = w(t) sur R N \, S(u()) = Γ(), S(u(t)) Γ(t) sauf sur un ensemble de H N 1 -mesure nulle. l énergie totale E(t) := u(t) 2 dx + H N 1 (Γ(t)\ D ) est absolument continue et on a t E(t) := E() + 2 u(s) ẇ(s) dx ds. avec Γ(t) := s I, s t S(u(s)) où S(u) désigne l ensemble des sauts de u et I [, + ) un ensemble dénombrable dense contenant Modèle d évolution de rupture de Giacomini Sur la base des résultats d approximation numérique du modèle de Francfort et Marigo [1], [12], [14], via une fonctionnelle elliptique d Ambrosio et Tortorelli [1] et des résultats de Γ-convergence (voir [16]) de Bourdin [12],

32 32 CHAPITRE 1. MODÈLES DISSIPATIFS Cambolle [18], A. Giacomini prouve existence d une évolution quasi-statique en élasticité avec rupture régularisée qui satisfait la condition de minimalité globale et le principe de conservation d énergie [voir [37]] où la fonctionnelle d Ambrosio-Tortorelli est donnée par E ε (u, v) := (v 2 + η ε ) u 2 dx + ε (1 v)2 2 v 2 + dx. (1.13) 2ε A. Giacomini prouve en plus que ce modèle converge quand ε vers le modèle d évolution de Francfort-Larsen. Téorème [37] Soit w W 1,1 (, 1, H 1 ()). Il existe une fonction [, 1] H 1 () H 1 () (1.14) t (u(t), v(t)) (1.15) avec v(t) 1 dans u(t) = w(t), v(t) = 1 sur D pour tout t [, 1] telle que pour tout s t 1 : v(t) v(s), pour tout (u, v) H 1 () H 1 () avec u = w(), v = 1 sur D E ε (u(), v()) E ε (u, v). pour tout t ], 1] et (u, v) H 1 () H 1 () avec v v(t) dans,et u = w(t), v(t) = 1 sur D : E ε (u(t), v(t)) E ε (u, v); la fonction t E ε (u(t), v(t)) est absolument continue et t E ε (u(t), v(t)) = E ε (u(), v()) + 2 (v 2 (s) + η ε ) u(s) ẇ(s) dx dt Modèle d évolution de rupture de Babadjian-Millot Basé sur les résultats de la Γ-convergence de M. Focardi [33], J.F. Babadjian et V. Millot [6] proposent une formulation d évolution du modèle de rupture avec la fonctionnelle d Ambrosio-Tortorelli modifiée. Plus précisement, on impose une r-croissance dans le terme du gradient v avec r > N où N est la dimension de l espace. Nous considérons pour (u, v) H 1 () W 1,r (), l energie totale modifiée de la forme E r ε (u, v) := 1 2 ( ) v 2 + η ε u 2 dx + r v r dx + ε r 1 α r ε 1 v r dx,

33 1.4. MODÈLES DISSIPATIFS 33 avec α > une constante de régularisation et r = r/(r 1). L avantage d une telle approce est la convergence uniforme en espace pour la variable de rupture v grâce au téorème d injection de Sobolev. Téorème [4], [6], Soit R N un ouvert borné. On suppose que a la régularité C 1,1. Soient u H 1 () L () et v := argmin Eε r (u, v) v W 1,r () Alors, il existe une évolution t (u(t), v(t)) telle que u H 1 (, T, L 2 ()) L (, T, H 1 ()) L 2 loc (, T, H2 ()), v L (, T, W 1,r ()), avec v() = v, v(t) v(s) 1 pour tout s t T, (1.16) satisfaisant et (BM) u = div((v 2 + η ε ) u), dans L 2 (, T, H 2 ()), u. n =, dans L 2 (, T, H 1/2 ( )), u() = u, { E r ε (u(t), v(t)) E r ε (u(t), v), pour tout t [, T ], pour tout v W 1,r () avec v v(t) dans. Pour prouver l existence d une évolution aux modèles de Giacomini et de Bababdjian-Millot, l un des points clés est l utilisation du Téorème de Helly généralisé [5]. On en parlera plus en détail au capitre 4 de cette tèse. 1.4 Modèles combinant rupture et autres pénomènes de dissipation Jusqu à ici nous avons presenté des modèles soit pour la rupture soit pour la plasticité et quelques modèles régularisés. Nous décrivons dans la suite des modèles couplant ces mécanismes Modèle d Ortner-Larsen-Süli - Rupture et viscoélasticité Le premier de ces modèles est le modèle dynamique d évolution avec rupture régularisée de type Ambrosio-Tortorelli proposé par Ortner, Larsen,

34 34 CHAPITRE 1. MODÈLES DISSIPATIFS Süli [49], (voir aussi [13], [48]). Ce modèle couple la rupture numérique avec un autre pénomène dissipatif - la viscoélasticité. Les inconnues de ce modèle sont le déplacement u et le camp de pase v représentant la rupture. Pour ε >, η > l énergie élastique est définie par E el : H 1 (, R 2 ) H 1 (, R) R E el (u, v) := 1 ( v 2 + η ) AEu : Eu dx 2 l énergie de surface est définie par E S : H 1 (, R) R E S (v) := ε v 2 dx + (1 v) 2 dx. 4ε l énergie cinétique est definie par K : H 1 (, R) R K( u) := 1 2 u 2 dx les forces extérieures sont définies au temps t [, T f ] par l élément l(t) (H 1 D ) où (H 1 D ) désigne le dual de H 1 D := {u H1 (), u = sur D }. l(t), u := f(t, x)u(x) dx + g(t, x)u(x) ds. N (1.17) L évolution dynamique du modèle est définie par le couple de fonctions (u, v) : [, T f ] R 2 R vérifiant (L1) Conditions initiales : (u(), v()) = (u, v ) avec u() = u H 1 D, u() = u 1 H 1 D, v = 1 sur D et v 1 p.p. dans (L2) Equation dynamique : pour presque tout t [, T f ], ü(t) div(σ(t)) = f(t), dans, σ(t). n = g(t), sur N, (u(t), v(t)) = (, 1), sur D. où σ(t) = a(t)a(eu(t) + E u(t)) et a(t) := v(t) 2 + η. (L3) Condition de propagation de rupture : pour t (, T f ], (LOS) E el (u(t), v(t)) + E S (v(t)) = inf E el (u(t), v) + E S (v). v H 1 (), v=1 sur D,v v(t)

35 1.4. MODÈLE DISSIPATIFS 35 (L4) Principe de conservation d énergie : pour T (, T f ], E el (u(t ), v(t )) + E S (v(t )) + K( u(t )) l(t ), u(t ) = E el (u(), v()) + E S (v()) + K( u()) l(), u() T T aae u : E u dx dt l, u dt. En particulier Ortner, Larsen et Süli [49] prouvent que Téorème [49] Il existe au moins une evolution (u, v) (H 2 (, T f, L 2 (, R 2 )) W 1, (, T f, H 1 (, R 2 )) W 1, (, T f, H 1 (, R)) qui satisfait les conditions initiales (L1), l équation dynamique (L2) au sens faible, la loi de propagation de rupture (L3) et l égalité d énergie (L4) Modèle de Dal Maso-Toader - Rupture et plasticité Le deuxième modèle qui nous paraît intéressant est le modèle variationnel d évolution élasto-plastique avec la rupture proposé par Dal Maso et Toader [25]. Ce modèle met en évidence deux pénomènes de dissipation : la plasticité et la rupture. Soit R 2. L évolution du matériau est assurée par l imposition du déplacement dépendant du temps w(t) suffisamment régulier sur la partie Diriclet D, (w AC(, T, H 1 )). Soit Γ un ensemble compact avec un nombre fini de composantes connexes telles que H 1 (Γ ) <. Pour m N fixé, l ensemble des fractures admissibles est défini par : C m := {Γ ; Γ Γ, Γ a au plus m composantes connexes, H 1 (Γ) < }. Pour tout compact Γ, on définit : Γ := \ Γ, ˆ Γ := \ Γ et D Γ := \Γ. L espace des déplacements admissibles est défini par : BD l ( Γ, D Γ ) := {v BD loc ( Γ ) : Eu M b ( Γ ; M 2 2 sym), v L 1 ( D Γ, R 2 )}. Soit Γ Γ, w H 1 (, R 2 ). Le triplet (u, e, p) BD l ( Γ, D Γ ) L 2 (, M 2 2 sym) M b (, M 2 2 sym) est dit admissible sur s il satisfait : Eu = e + p dans Γ p = (w u) ν H 1 sur D Γ (1.18) e = et p = sur Γ, où ν désigne la normale extérieure à et a b le produit tensoriel symétrisé entre deux vecteur a, b R 2 (a b est une matrice symétrique avec les

36 36 CHAPITRE 1. MODÈLES DISSIPATIFS coefficients c ij = (a i b j + a j b i )/2). L ensemble des tenseurs admissibles de déformation élastique et plastique est défini par : A(w, Γ) := {(e, p) L 2 (, M 2 2 sym) M b (, M 2 2 sym) t.q. u BD l ( Γ, D Γ ) t.q. (u, e, p) satisfait (1.18)}. Enfin, l ensemble des triplets admissible (e, p, Γ) est défini par : A(w) := {(e, p, Γ); (e, p) A(w, Γ), Γ C m }. Nous présentons maintenant le processus de dissipation dans un matériau élasto-parfaitement plastique avec le modèle de rupture variationnelle. Nous définissons la distance de dissipation sur M b (, Msym) 2 2 C m par : { H(p2 p D((p 2, Γ 2 ), (p 1, Γ 1 )) := 1 )(ˆ 2 ) + H 1 (Γ 2 \Γ 1 ) si Γ 1 Γ 2 + sinon, où ˆ 2 := \Γ 2, et H(p)(ˆ 2 ) := H( p ) d p. (1.19) ˆ 2 p A partir de la distance de dissipation, on définit la dissipation du système sur intervalle de temps [a, b] par : Diss(p(.), Γ(.); a, b) := sup k D((p(t i ), Γ(t i )), (p(t i 1 ), Γ(t i 1 ))), (1.2) i=1 où le sup est realisé sur l ensemble de toutes les partitions finies de l intervalle [a, b] : a = t t 1... t k = b. Le résultat principal de l article de Dal Maso et Toader est l existence d une évolution quasi-statique : Téorème [25] Soit w AC([, T ], H 1 (, R 2 )), (e(), p(), Γ()) = (e, p, Γ ) A(w()) tels que : 1 Ae : e dx 1 Aη : η dx + D((q, Γ ), (p, Γ )) 2 2 pour tout (η, q, Γ ) A(w()). Il existe une évolution du système définie par la fonction t [, T ] (e(t), p(t), Γ(t)) L 2 (, M 2 2 sym) M b (, M 2 2 sym) C m, vérifiant les deux conditions suivantes :

37 1.5. CONCLUSION 37 la stabilité globale : pour tout t [, T ], (e(t), p(t), Γ(t)) A(w(t)) et 1 Ae(t) : e(t) dx 1 Aη : η dx + D((q, Γ ), (p(t), Γ(t))) 2 2 pour tout (η, q, Γ ) A(w(t)) le principe de conservation d énergie : la fonction t [, T ] e(t) L ([, T ], L 2 (, M 2 2 sym) et pour tout t [, T ], 1 Ae(t) : e(t) dx + Diss(p(.), Γ(.);, t) 2 = 1 t Ae() : e() dx + σ(s) : Eẇ(s) dx ds Conclusion Dans ce capitre, nous avons présenté des modèles d évolution en plasticité ou (et) rupture. Rappelons notre objectif : nous voulons construire des modèles matématiques et numériques contenant les principaux pénomènes de dissipation (plasticité, rupture, dissipation visqueuse) et qui pourraient permettre de simuler numériquement la déformation de matériaux géopysiques ou au moins, de simuler les expériences analogues, telles celles de Peltzer et Tapponnier. Pour cela nous proposons de construire une classe de modèles d évolution combinant les modèles d évolution de plasticité, d écrouissage cinématique linéaire, de viscoplasticité ou viscoélasticité avec la rupture régularisée de type Ambrosio-Tortorelli qui suit la loi d évolution de rupture du modèle de Larsen-Ortner-Süli (LOS) ou du modèle de Babadjian-Millot (BM).

38 38 CHAPITRE 1. MODÈLES DISSIPATIFS

39 Capitre 2 Construction d une classe de modèles d évolution de plasticité et de rupture 2.1 Introduction Le but de ce capitre est de construire des modèles d évolution qui pourraient tenir en compte de plusieurs pénomènes dissipatifs liés à la plasticité, la dissipation visqueuse et la rupture. Pour construire nos modèles, nous utiliserons les ingrédients vus au capitre précedent : la plasticité, la viscoélasticité, la viscoplasticité, l écrouissage cinématique, la rupture regularisée de type Ambrosio-Tortorelli. La première question naturelle que nous nous posons est de savoir si ces modèles sont bien posés de points de vue pysique. Dans le capitre précedent nous avons vu qu une rupture représentée par une fonction camp de pase v est intérpretée comme une variable d approximation numérique. Nous pouvions juste considérer un modèle élastovisco-plastique et lui ajouter artificiellement la rupture numérique. Une telle stratégie ne nous parrait pas pertinente. Nous montrons qu en fait on peut aussi considérér v comme une variable interne globale (et donc lui donner un sens mécanique) dans un cadre termodynamique coérent. 2.2 Définitions et propriétés matématiques Soit un ouvert connexe borné de R 2 avec le bord Lipscitz = D N, où D, N sont des ensembles disjoints et ouverts dans. Nous noterons le dérivée en temps avec un point et argmin v V F(v) une fonction u qui minimise F sur V. Soit X un espace de Banac. Pour T f > fixé, nous 39

40 4 CHAPITRE 2. CONSTRUCTION DE MODÈLES notons L p ((, T f ), X), W k,p ((, T f ), X), les espaces de Lebesgue et de Sobolev dépendant du temps [voir [31] p. 285]. Nous noterons pour 1 p, la norme L p par. p ou. L p. L ensemble des matrices symétriques 2 2 sera noté M 2 2 sym. Pour ξ, ζ M 2 2 sym nous définissons le produit scalaire matriciel par ζ : ξ := ij ζ ijξ ij, et associons la norme matricielle ξ := ξ : ξ. Soit A le tenseur élastique d ordre 4 des coefficients de Lamé et B un tenseur symmétrique d ordre 4. Nous supposons qu ils existent < α 1 α 2 <, qui satisfont les conditions suivantes : e M 2 2 sym, α 1 e 2 Ae : e α 2 e 2 et α 1 e 2 Be : e α 2 e 2. Les inconnues mécaniques des modèles seront le camp de déplacement u : [, T f ] R 2, le tenseur de déformation élastique e : [, T f ] M 2 2 sym, le tenseur de déformation plastique p : [, T f ] M 2 2 sym. Nous supposons que u and u sont petits. La relation entre le tenseur de déformation E et le camp de déplacement est donné par : Eu := 1 2 ( u + ut ) dans [, T f ]. Nous supposons que le tenseur de déformations s écrit comme la somme de tenseur de déformations élastiques et plastiques : Eu = e + p dans [, T f ]. Soit w H 1 (, T f, H 1 (, R 2 )) représentant le déplacement appliqué au bord Diriclet D. Pour tout t [, T f ] nous définissons l ensemble des camps cinématiquement admissibles par A adm (w(t)) := {(u, e, p) H 1 (, R 2 ) L 2 (, M 2 2 sym) L 2 (, M 2 2 sym) : Eu = e + p p.p. dans, u = w(t) p.p. sur D }. Pour f C 1 ([, T f ], L 2 () 2 ), et g C 1 ([, T f ], L 2 ( N ) 2 ),les forces extérieures au temps t [, T f ] sont exprimées par l(t), u := f(t).u dx + g(t).u ds. N Pour τ >, nous définissons dans la suite de ce travail le convexe d élasticité par K := {q M 2 2 sym; q τ}, et H : M 2 2 sym [, ] la fonction support à K par H(p) := sup θ K θ : p = τ p.

41 2.2. DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS MATHÉMATIQUES 41 Le potentiel de dissipation viscoplastique est donné par H β : H β (p) := H(p) + β 2 p 2, où β > joue le rôle d un paramètre de régularisation viscoplastique. Nous approcons la rupture (voir Figure 2.1) par une fonction camp de pase v : [, T f ] [, 1] qui dépend de deux paramètres : Nous supposons qu une fracture n est pas une zone de discontinuité raide mais une zone de transition diffuse entre 2 valeurs du déplacement, d épaisseur ε >, dans laquelle v prend des valeurs proce de dans la zone qui modélise la fissure. Dans tout le manuscrit ε est fixé. Les zones où v(x) est plus petit qu une valeur α (, 1) peuvent être considérées comme des fissures généralisées. Leur largeur dépend du coix (arbitraire) de α, par ex. α = 1. Lorsque ε, on s attend à ce 2 que ces zones deviennent de plus en plus étroites et se localisent autour de surface de discontinuité de u, de dimension N 1. Pour préserver le caractère elliptique de l opérateur, la zone de transition diffuse est supposée être occupée par un matériau très compliant de coefficients de Lamé (v 2 + η)a, avec η >. v(x) + η (ε) 1 + η η x Figure 2.1 Dans le modèle de la rupture généralisée, la rupture est remplacée par une bande fine d un matériau très mou. Dans la suite nous notons, a = v 2 + η dans [, T f ]. Formellement, pour caque t [, T f ], la déformation du matériau, la nucléation et la propagation de la rupture sont basées sur la minimisation d une

42 42 CHAPITRE 2. CONSTRUCTION DE MODÈLES énergie globale qui contient principalement les termes suivants : E globale := E el + E P + E KH + E V E + E V P + E S l,.. L énergie élastique est définie par E el : L 2 (, M 2 2 sym) H 1 (, R) R (e, v) E el (e, v) = 1 ( v 2 + η ) Ae : e dx. 2 et l énergie d écrouissage cinématique par L énergie de surface est définie par E KH : L 2 (, M 2 2 sym) R p E KH (p) = 1 Bp : p dx. 2 E S : H 1 (, R) R v E S (v) = ε v 2 dx + (1 v) 2 dx. 4ε Pour r > 2, nous définissons l énergie de surface modifiée par E r S avec r := : W 1,r (, R) R v ES(v) r = r v r dx + ε r 1 α r ε 1 v r dx. r ( r ) r r 1 et α :=. L énergie plastique dissipée est définie par 2 E P L : L 2 (, Msym) 2 2 R ṗ E P L (ṗ) = H(ṗ) dx = τ ṗ dx, Pour β 1 >, β 2 >, l énergie viscoélastique est donnée par E V E et l énergie viscoplastique : H 1 (, R 2 ) R u E V E ( u) = β 1 E u : E u dx. 2 E V P : L 2 (, M 2 2 sym) R ṗ E V P (ṗ) = β 2 ṗ : ṗ dx. 2

43 2.3. FORMULATION DES MODÈLES 43 Remarque 1 Dans de nombreux modèles de plasticité, notamment pour les métaux, on considère que le seuil de plasticité ne concerne que la partie déviatorique du tenseur des contraintes. Dans notre étude, nous considérons que la fonction de seuil affecte tout le tenseur des contraintes. C est une ypotèse forte, qui nous permet de mener l analyse matématique du capitre 3. Elle n est pas nécessaire pour la démonstration du capitre 4. La plasticine est un matériau dont la réologie n est pas très bien connue, semble-t-il : nous ne savons pas si cette ypotèse sur la fonction de seuil est pertinente dans ce cas. 2.3 Formulation des modèles Comme on a expliqué dans l introduction nous construisons des modèles d évolution continus en temps en combinant le comportement lié à la viscosité et (ou) à la plasticité avec la loi d évolution de rupture du modèle de Larsen- Ortner-Süli (LOS) ou du modèle de Babadjian-Millot (BM). Nous proposons maintenant 4 modèles qui combinent les ingrédients suivants. Modèle 1 : élasticité, plasticité, viscoélasticité et rupture. Modèle 2 : élasticité, plasticité, viscoplasticité et rupture. Modèle 3 : élasticité, plasticité, écrouissage cinématique et rupture. Modèle 4 : élasticité, plasticité, écrouissage cinématique, viscoplasticité et rupture (r-laplacien). Nous définissons une évolution pour nos modèles comme un quadruplet de fonctions (u, v, e, p) : [, T f ] R 2 R M 2 2 sym Msym 2 2 satisfaisant les conditions suivantes : (E) Conditions initiales : (u(), v(), e(), p()) = (u, v, e, p ) avec (u, e, p ) A adm (w()), v 1 dans, v = 1 sur D. (E1) Pour tout t [, T f ], v(t) 1 dans et v(t) = 1 sur D. (E2) Irréversibilité : pour tout s t T f, v(t) v(s). (E3) Compatibilité cinématique : pour t [, T f ], (u(t), e(t), p(t)) A adm (w(t)) (E4) Equation d équilibre : pour tout t [, T f ], div(σ(t)) = f(t), dans, σ(t). n = g(t), sur N, (u(t), v(t)) = (w(t), 1), sur D. (E5) Relations constitutives : pour t [, T f ],

44 44 CHAPITRE 2. CONSTRUCTION DE MODÈLES Modèle 1 : σ(t) = (v(t) 2 + η)ae(t) + β 1 E u(t). Le premier terme représente la contrainte liée à la déformation élastique tandis que le deuxième représente la dissipation visqueuse. Modèles 2, 3, 4 : σ(t) = (v(t) 2 +η)ae(t). Le tenseur de contrainte est lié seulement à la déformation élastique. Nous rappelons la notation a(t) := v(t) 2 + η. (E6) Loi d écoulement plastique : pour p.t. t [, T f ], Modèle 1 : (Visco-Plasticité) a(t)ae(t) H(ṗ(t)) pour p.p. x. (2.1) Modèle 2 : (Viscoplasticité) a(t)ae(t) H β2 (ṗ(t)) pour p.p. x. (2.2) Modèle 3 : (Ecrouissage cinématique linéaire) a(t)ae(t) Bp(t) H(ṗ(t)) pour p.p. x. (2.3) Modèle 4 : (Viscoplasticité et écrouissage cinématique linéaire) a(t)ae(t) Bp(t) H β2 (ṗ(t)) pour p.p. x. (2.4) (E7) Condition de propagation de rupture : pour t [, T f ], Modèles 1, 2, 3 : E el (e(t), v(t)) + E S (v(t)) = Modèle 4 : E el (e(t), v(t)) + E r S(v(t)) = (E8) Egalité d énergie : pour tout T [, T f ], Modèle 1 : inf E el(e(t), v) + E S (v). v=1 sur D,v v(t) inf E el(e(t), v) + ES(v). r v=1 sur D,v v(t) E el (e(t ), v(t )) + E S (v(t )) l(t ), u(t ) = E el (e(), v()) + E S (v()) l(), u() T T β 1 E u(t) 2 2 dt τ ṗ dx dt T T l, u dt + σ(t) n.ẇ(t) ds dt. (2.5) D

45 2.4. LIEN DES MODÈLES AVEC LA THERMODYNAMIQUE 45 Modèle 2 : Modèle 3 : E el (e(t ), v(t )) + E S (v(t )) l(t ), u(t ) = E el (e(), v()) + E S (v()) l(), u() T T β 2 ṗ(t) 2 2 dt τ ṗ dx dt T T l, u dt + σ(t) n.ẇ(t) ds dt. (2.6) D E el (e(t ), v(t )) + E S (v(t )) + E KH (p(t)) l(t ), u(t ) = E el (e(), v()) + E S (v()) + E KH (p()) l(), u() T T T τ ṗ dx dt l, u dt + σ(t) n.ẇ(t) ds dt. D (2.7) Modèle 4 : E el (e(t ), v(t )) + ES(v(T r )) + E KH (p(t)) l(t ), u(t ) = E el (e(), v()) + ES(v()) r + E KH (p()) l(), u() T T τ ṗ dx dt β 2 ṗ(t) 2 2 dt T T l, u dt + σ(t) n.ẇ(t) ds dt. D (2.8) Pour simplifier, dans la suite de ce capitre nous supposons l. 2.4 Lien des modèles avec la termodynamique Cadre termodynamique Dans cette section, nous montrons que nos modèles peuvent être formulés dans un cadre termodynamique qui ressemble à celui des Matériaux Standard Généralisés de Halpen and Nguyen [42], voir aussi LeTallec [58]. Pour cela, nous introduisons pour t [, T f ] une densité d énergie libre w(e(t), v(t), p(t)), qui dépend de E(t) := Eu(t), et de v(t), p(t), les deux dernières étant considérées comme les variables internes (voir [41], [42]) décrivant des pénomènes irréversibles (rupture, plasticité) qui prennent place

46 46 CHAPITRE 2. CONSTRUCTION DE MODÈLES dans le milieu continu considéré. Nous allons introduire un potentiel d énergie libre : W(E, p, v)(t) = w(e, p, v)(t) dx, et des forces termodynamiques comme les opérateurs associés aux variables internes de la manière suivante : T p (t) p := w p (E, p, v)(t) p et T v(t)ṽ := W (E, p, v)(t)ṽ. v Notons que dans notre cas, la force termodynamique associée à la fonction camp de pase v(t) est définie comme un opérateur global H 1 () R. En accord avec le principe de conservation de la quantité de mouvement, nous rappelons que le téorème de Caucy implique l existence d un tenseur de contrainte symétrique σ(t) qui satisfait sous l ypotèse de petites déformations l équation d équilibre (E4). Le tenseur de contraintes σ(t) est composé de sa partie réversible et irréversible σ rev (t) := w E (E(t), p(t), v(t)) et σirrev (t) := σ(t) σ rev (t). (2.9) On va construire un potentiel de dissipation φ(t) = φ(ė(t), ṗ(t), v(t)), qui est une fonction convexe en ses variables et est minimale en (Ė(t), ṗ(t), v(t)) = (,, ). Suivant Halpen et Nguyen [42] et LeTallec [58], nous faisons l ypotèse constitutive que les forces termodynamiques sont reliées au potentiel de dissipation par (σ irrev (t), T p (t), T v (t)) φ(ė(t), ṗ(t), v(t)), t [, T f]. (2.1) Nous définissons aussi le potentiel de dissipation lié à la rupture par { si ξ, p.p. dans, ξ H 1 D S (ξ) = D (), + sinon, avec H 1 D () := {z H1 (); z = sur D } Preuve formelle de l égalité d énergie et d une inégalité de type Clausius-Duem Notre objectif est de montrer que nos modèles sont coérents avec ce cadre termodynamique au sens où si nous supposons (2.1) et si l équation d équilibre (E4) est vérifiée, alors les relations (E5)-(E8) sont vérifiées et de

47 2.4. LIEN DES MODÈLES AVEC LA THERMODYNAMIQUE 47 plus les modèles vérifient une inégalité termodynamique de type Clausius- Duem. Nous présentons ce résultat seulement pour le modèle 1. L analyse est cependant valable aussi pour les modèles 2, 3 et 4 (voir la remarque ci-dessous). Téorème Supposons que le quadruplet (u, v, e, p) vérifie u C 1 (, T f, H 1 (, R 2 )), v C 1 (, T f, H 1 (, R)), e C 1 (, T f, L 2 (, Msym)), 2 2 p C 1 (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)), et satisfait pour tout t [, T f ], (E), (E1), (E3), v(t) p.p. dans (l irréversibilité (E2)), ( u(t), ė(t), ṗ(t)) A adm (ẇ(t)), v(t) HD 1 (). Supposons que (E4) et (2.1) sont vérifiés pour tout t [, T f ] avec W 1 (t, Eu(t), p(t), v(t)) := 1 ( v(t) 2 + η ) A(Eu(t) p(t)) : (Eu(t) p(t)) dx 2 + ε v(t) 2 (1 v(t)) 2 dx + dx, 4ε et le potentiel de dissipation φ 1 (t, E u(t), ṗ(t), v(t)) = 1 2 β 1E u(t) : E u(t) + τ ṗ(t) + D S ( v(t)). Alors (u, v, e, p) satisfait (E5), (E6), (E7), (E8). En plus, pour tout t [, T f ], D(t) := σ(t) : E u(t) dx Ẇ1(t). (2.11) Preuve : Soit t [, T f ]. Les relations (2.9) et (2.1) donnent (E5) Nous déduisons aussi de (2.1) que σ(t) = a(t)ae(t) + β 1 E u(t). (2.12) (v(t) 2 + η)ae(t) H(ṗ(t)). (2.13)

48 48 CHAPITRE 2. CONSTRUCTION DE MODÈLES ce qui prouve (E6). De (2.1), il s ensuit que pour tout ξ H 1 D (), ξ p.p. dans W 1 (E, p, v)(t)(ξ v(t)) v = v(t)a(eu(t) p(t)) : (Eu(t) p(t))(ξ v(t)) + (2ε) 1 (v(t) 1)(ξ v(t)) + 2ε v(t) (ξ v(t)) dx, (2.14) et donc nous obtenons v(t)a(eu(t) p(t)) : (Eu(t) p(t))( v(t) ξ) (2.15) + (2ε) 1 (v(t) 1)( v(t) ξ) dx + 2ε v(t) ( v(t) ξ) dx. Testant (2.15) avec ξ = v(t) + ϕ v(t) où ϕ H 1 (), ϕ v(t), et ϕ = 1 sur D, implique 2ε v(t) (v(t) ϕ) dx + v(t)ae(t) : e(t)(v(t) ϕ) dx + (2ε) 1 (v(t) 1)(v(t) ϕ) dx, (2.16) pour tout ϕ H 1 (), ϕ v(t), et ϕ = 1 sur D. Nous reécrivons (2.16) comme suit : 2ε v(t) v(t) dx + v(t)ae(t) : e(t)v(t) dx + (2ε) 1 (v(t) 1)v(t) dx 2ε v(t) ϕ dx + v(t)ae(t) : e(t)ϕ dx + (2ε) 1 (v(t) 1)ϕ dx. Utilisant l inégalité de Caucy mène à 2ε v(t) ϕ dx ε v(t) 2 dx + ε v(t)ae(t) : e(t)ϕ dx 1 2 Nous reécrivons v 2 (t)ae(t) : e(t) dx ϕ 2 dx, (v(t) 1)ϕ = (v(t) 1)(ϕ 1) + (v(t) 1), (v(t) 1)v(t) (v(t) 1) = (v(t) 1) 2, (2.17) ϕ 2 Ae(t) : e(t) dx.

49 2.4. LIEN DES MODÈLES AVEC LA THERMODYNAMIQUE 49 et on obtient E el (e(t), v(t)) + E S (v(t)) E el (e(t), ϕ)) + E S (ϕ) (2.18) pour tout ϕ H 1 (), ϕ v(t), et ϕ = 1 sur D, ce qui prouve (E7). Nous prouvons maintenant l égalité d énergie. Nous dérivons W 1 (t, E(u(t)), p(t), v(t)) par rapport au temps : d dt W 1(t, E(u(t)), p(t), v(t)) = a(t)a(eu(t) p(t)) : (E u(t) ṗ(t)) dx + v(t)a(eu(t) p(t)) : (Eu(t) p(t)) v(t) + (2ε) 1 (v(t) 1) v(t) dx + 2 ε v(t) v(t) dx. (2.19) Testant l inégalité (2.14) avec ξ = et ξ = 2 v(t) mène à De (2.19) et de (2.2) nous déduisons que W 1 (E, p, v)(t) v(t) =. (2.2) v d dt W 1(t, Eu(t), p(t), v(t)) = a(t)a(eu(t) p(t)) : (E u(t) ṗ(t)) dx = σ(t) : E u(t) dx β 1 E u(t) : E u(t) dx a(t)a(eu(t) p(t)) : ṗ(t) dx. (2.21) L équation d équilibre (E4) donne que σ(t) : E u(t) dx = σ(t) n.ẇ(t) dx. (2.22) D Par la défintion du sous-différentiel, (2.13) mène à l inégalité variationnelle : pour tout q L 2 (, M 2 2 sym) admissible, on a τ q dx τ ṗ(t) dx + a(t)a(eu(t) p(t)) : (q ṗ(t)) dx. (2.23) Testant (2.23) avec q = et q = 2ṗ(t) implique que a(t)a(eu(t) p(t)) : ṗ(t) dx = τ ṗ(t) dx. (2.24)

50 5 CHAPITRE 2. CONSTRUCTION DE MODÈLES Et donc on déduit de (2.21), (2.22), (2.24) que d dt W 1(t, Eu(t), p(t), v(t)) = β 1 E u(t) : E u(t) dx τ ṗ(t) dx + σ(t) n.ẇ(t) dx. (2.25) D Intégrant (2.25) sur [, T ] pour tout T T f montre que l égalité d énergie (E8) est vérifiée. Finalement, de (2.22) et de (2.25) nous déduisons que D(t) := σ(t) : E u(t) dx W 1 (t) = β 1 E u(t) : E u(t) dx + τ ṗ(t) dx. Remarque 2 1. L ypotèse (2.1) est plus forte que (E7). 2. Le téorème est aussi vrai pour les modèles 2, 3 et 4 avec le coix suivant des énergies libres et de potentiels de dissipation : pour le modèle 2 : et W 2 (t, Eu(t), p(t), v(t)) := 1 ( v(t) 2 + η ) A(Eu(t) p(t)) : (Eu(t) p(t)) dx 2 + ε v(t) 2 (1 v(t)) 2 dx + dx. 4ε φ 2 (t, E u(t), ṗ(t), v(t)) = 1 2 β 2ṗ(t) : ṗ(t) + τ ṗ(t) + D S ( v(t)). pour le modèle 3 : W 3 (t, Eu(t), p(t), v(t)) := 1 ( v(t) 2 + η ) A(Eu(t) p(t)) : (Eu(t) p(t)) dx Bp(t) : p(t) dx + ε v(t) 2 (1 v(t)) 2 dx + dx, 2 4ε et φ 3 (t, E u(t), ṗ(t), v(t)) = τ ṗ(t) + D S ( v(t)).

51 2.5. CONCLUSION 51 pour le modèle 4 : W 4 (t, Eu(t), p(t), v(t)) := 1 ( v(t) 2 + η ) A(Eu(t) p(t)) : (Eu(t) p(t)) dx ε r 1 α Bp(t) : p(t) dx + 2 r v(t) r dx + r ε 1 v(t) r dx, et φ 4 (t, E u(t), ṗ(t), v(t)) = τ ṗ(t) β 2ṗ(t) : ṗ(t) + D S ( v(t)). 2.5 Conclusion Dans ce capitre nous avons proposé 4 modèles d évolution contenant plusieurs pénomènes dissipatifs liés à la plasticité, dissipation visqueuse et la rupture. En effet, ces modèles ont été construits en combinant le comportement plastique ou viscoplastique avec l évolution de rupture de modèle de Larsen-Ortner-Süli et de Babadjian-Millot presentés au capitre précedent. Un tel coix a été motivé par la possibilité d implémenter numériquement le comportement élasto-visco-plastique avec la rupture. Nous avons aussi répondu à la question si un tel couplage a un sens en montrant que ces modèles peuvent rentrer dans un cadre termodynamique similaire à celui des Matériaux Standards Généralisés. En particulier, nous avons prouvé une inégalité termodynamique de type Clausius-Duem.

52 52 CHAPITRE 2. CONSTRUCTION DE MODÈLES

53 Capitre 3 An elasto-viscoplastic evolution model wit regularized fracture : Model 1 Introduction au capitre 3 Le capitre 3 de cette tèse a pour objectif de montrer un résultat d existence d une évolution continue en temps (u, v, e, p) du modèle 1, c est-àdire du modèle élasto-visco-plastique avec rupture régularisée utilisant la fonctionnelle d Ambrosio-Tortorelli. Plus précisement, nous montrons (Téorème 3.3.1) qu il existe au moins une évolution (u, v, e, p) : [, T f ] R 2 R M 2 2 sym M 2 2 sym avec u W 1, (, T f, H 1 (; R 2 )), v W 1, (, T f, H 1 (; R)), e W 1, (, T f, L 2 (; Msym)), 2 2 p W 1, (, T f, L 2 (; Msym)), 2 2 qui satisfait les conditions (H1)-(H7) du modèle défini en section Ce résultat est obtenu en utilisant une métode de semi-discrétisation en temps en divisant l intervalle de temps [, T f ] en N f sous-intervalles : = t < t 1 <... < t n = n <... < t N f = T f, avec = T f N f = t n t n 1. On construit à caque pas de temps t n les évolutions approcées (un, vn, en, pn ) comme des solutions de deux problèmes de minimisation couplés (Proposition et Proposition 3.3.4). En utilisant seulement la définition des évolutions approcées, nous dérivons un système d une égalité et de deux inégalités 53

54 54 CHAPITRE 3. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL variationnelles liées à la plasticité et à la rupture (Proposition et Proposition 3.3.4) qui caractérisent les solutions approcées. La première difficulté de ce travail est d obtenir les estimations a priori (Proposition 3.3.5) en couplant convenablement ces inégalités et l égalité variationnelles et en se servant du contrôle δv n := vn vn 1 et δv n de façon similaire à celle developpée dans les travaux de Larsen, Ortner, Suli [48] (Lemme 3.3.8) et d une inégalité discrète de plasticité (Lemme 3.3.7). Une fois ces estimations obtenues, à partir des évolutions approcées, nous construisons des fonctions interpolantes constantes (u +, v+, e+, p+ ) et linéaires par morceaux (u, v, e, p ). La présence des interpolants linéaires par morceaux permet d approcer les dérivées en temps avec ṗ = pn pn 1, et de même pour ( u, v, ė ). Utilisant les estimations a priori, nous obtenons alors pour ces approximations les bornes uniformes indépendantes de, ce qui va assurer des résultats de compacité faible, dans le sens que nous pouvons trouver un quadruplet (u, v, e, p) tel que les approximations linéaires et constantes par morceaux vont converger vers ce quadruplet pour la topolgie faible-* dans un espace convenable (Section 3.3.3). Nous voulons alors prouver que le quadruplet (u, v, e, p) est un bon candidat qui va vérifier (H1)-(H7). En réecrivant l équation d équilibre et les inégalités de plasticité et de rupture semi-dicrètes avec les notations des fonctions interpolantes, nous pouvons passer à la limite quand dans l équation d équilibre discrète (Téorème 3.3.9) et obtenir (H5) au sens faible en utilisant seulement les convergences faibles obtenues et un résultat de compacité forte pour les interpolants de rupture v qui découle des estimations a priori et du téorème d Arzelà-Ascoli. Cela est maleureusement insuffisant pour passer à la limite dans les lois discrètes d écoulement limite plastique (H6) et de propagation de rupture (H7). Pour cela nous montrons un résultat de compacité forte pour les approximations élastiques e + et e qui vont converger vers e fortement dans L 2 (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)) (Proposition ). Pour prouver cette convergence, nous utilisons une métode similaire à celle utilisée par Babadjian et Mora [7], mais dans notre cas nous devrons contrôler et passer à la limite dans certains termes supplémentaires présents liés à la variable de rupture v. Ce résultat nous permet de conclure (Corollaire et Corollaire ).

55 3.1. INTRODUCTION 55 Abstract We study a model for elasto-viscoplastic deformation wit fracture, in wic fracture is approximated via a diffuse interface model. We sow tat a discretized (in time) quasistatic evolution, converges to a solution of te continuous (in time) evolution, proving existence of a solution to our model. 3.1 Introduction Tis capter deals wit an elasto-visco-plastic model wit regularized fracture. Te model predicting fracture is based on Griffit s criterion [4] tat crack pat and crack growt are determined by te competition between te elastic energy and te energy dissipated to produce a crack. Te variational approac to fracture mecanics and a matematical model ave been developed by Francfort and Marigo [35], based on tis idea. Tis approac as been ten adapted by Dal Maso and Toader [25] to te study of fracture problems in elasto-plastic materials wit cracks in te case of planar small strain elasto-plasticity were te fracture is represented by te compact crack set Γ verifying an irrevesibility condition. In Larsen, Ortner, Süli [48] existence and convergence results are proved for a regularized model of dynamic brittle fracture based on te Ambrosio- Tortorelli approximation. Tis model couples an elastodynamic equation wit regularized fracture. Babadjian, Francfort, Mora [5], and Babadjian, Mora [7] study te approximation of dynamic and quasistatic evolution problems in elasto-plasticity via viscosity regularization. Te goal of tis capter is to propose a model tat takes into consideration tree dissipative terms : plastic flow, fracture and viscous dissipation. Tis is motivated by te modeling of te Eart crust considered as an elastovisco-plastic solid in wic cracks are allowed to propagate. Tis ypotesis is qualitatevely supported by analogue experiments of Peltzer and Tapponnier [53] tat sow faults propagation in a layer of plasticine. We study from matematical point of view a model of elasto-visco-plastic material tat may account for te beaviour observed in te plasticine experiments. Te main objective is to understand by wic mecanisms energy can be dissipated in suc a model. In tis model te fracture is obtained via Ambrosio-Tortorelli regularization. We only consider fracture via a diffuse interface model. In oter words, te geometry of possible cracks is captured by a function v wit values between and 1, v = 1 in te ealty parts tat do not contain cracks. Te lengt of te cracks, a quantity tat contributes to te total energy, is ap-

56 56 CHAPITRE 3. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL proximated via a functional introduced by Ambrosio and Tortorelli [1]. In oter words, te continuous model is obtained coupling elasto-visco-plastic beaviour wit regularized fracture evolution of te model of Larsen, Ortner and Süli [48]. A convenience of a suc model is te fact, tat it can be studied numerically tanks to te presence of regularized fracture. For more details, see [11], [14], [15] for te numerical studies in elastic case and [9] for te numerical studies of our models in te case of traction and plasticine experiments. In tis capter, we propose te matematical analysis of a suc model via a semi-discrete time procedure. We approximate a continuous time evolution, via semi-discrete time evolutions obtained solving incremental minimum problems. We ten prove an existence result to te continuous model wen a time discretization parameter converges to zero. Te main difficulty is to pass to te limit in te discrete plastic flow rule and discrete crack propagation condition. For tis reasons, we prove particularly a strong compactness result for elastic strain (Proposition ). As in [7], we prove tat te discrete-time elastic strain e + converges strongly in L2 (, T f, L 2 (, Msym)), 2 2 but te presence of v in our model requires te analysis and control of some additional terms associated to v. Te capter is organised as follows. After a sort Introduction, Section 3.2 is devoted to te definitions, matematical and mecanical settings necessary to te description of our model. Te main result is ten presented in Section 3.3. Firstly, we prove te existence of solutions for discrete minimum problem in Proposition and Propostion Ten, we study te convergence of tese approximate evolutions as te time step. Te main result of tis capter is presented as follows : Tere exists at least one limit evolution (u, v, e, p) tat satisfies initial and irreversibility conditions, te equilibrium equation, plastic flow rule and crack propagation condition (Teorem 3.3.1). 3.2 Formulation of te model Preliminaries and matematical setting Trougout te capter, is a bounded connected open set in R 2 wit Lipscitz boundary = D N were D, N are disjoint open sets in and H 1 ( D ) >. Given T f >, we denote by L p ((, T f ), X), W k,p ((, T f ), X), te Lebesgue and Sobolev spaces involving time [see [31] p. 285], were X is a Banac space. We will usually write u(t) := u(., t) for u W k,p ((, T f ), X). Te set of symmetric 2 2 matrices is denoted by M 2 2 sym. For ξ, ζ M 2 2 sym

57 3.2. FORMULATION OF THE MODEL 57 we define te scalar product between matrices ζ : ξ := ij ζ ijξ ij, and te associated matrix norm by ξ := ξ : ξ. Let A be te fourt order tensor of Lamé coefficients. We assume tat for some constants < α 1 α 2 <, tey satisfy te ellipticity conditions e M 2 2 sym, α 1 e 2 Ae : e α 2 e 2. For e M 2 2 sym and x, we define e 2 A(x) := A(x)e : e and e 2 A := e 2 A dx. We recall tat te mecanical unknowns of our model are te displacement field u : [, T f ] R 2, te elastic strain e : [, T f ] Msym, 2 2 te plastic strain p : [, T f ] M 2 2 sym. We assume u and u remain small. So tat te relation bewteen te deformation tensor E and te displacement field is given by Eu := 1 2 ( u + ut ). We also assume tat Eu decomposes as an elastic part and a plastic part Eu = e + p. We also define te set of kinematically admissible fields by A adm := {(u, e, p) H 1 (, R 2 ) L 2 (, M 2 2 sym) L 2 (, M 2 2 sym) : Eu = e + p a.e. in, u = a.e. on D }. We denote HD 1 := {u H1 (, R 2 ); u = on D }. For a fixed constant τ >, we define K := {q M 2 2 sym; q τ} and H : M 2 2 sym [, ] te support function of K by H(p) := sup θ K θ : p = τ p. For η >, te elastic energy is defined as E el : L 2 (, M 2 2 sym) H 1 (, R) R (e, v) E el (e, v) = 1 ( v 2 + η ) Ae : e dx. 2 In te following, we will define an evolution as a limit of time discretizations wit a time step. In fact, p and p represent te plastic deformation at 2 consecutive time steps, so tat p p ṗ. In te same way, u and u

58 58 CHAPITRE 3. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL represent displacement field at 2 consecutive time steps, so tat u u Te plastic dissipated energy is defined, by u. E p : L 2 (, Msym) 2 2 L 2 (, Msym) 2 2 R (p, p ) E p (p, p ) = H(p p ) dx. Given β >, te viscoelastic energy is defined by E ve : H 1 (, R 2 ) H 1 (, R 2 ) R (u, u ) E ve (u, u ) = β (Eu Eu ) : (Eu Eu ) dx. 2 Te Griffit surface energy is approximated by te pase-field surface energy E S : H 1 (, R) R v E S (v) = ε v 2 dx + (1 v) 2 dx. 4ε It is sown in [12] tat in te elastic anti-plane case, were te displacement reduces to a scalar and Eu reduces to u, te Ambrosio-Tortorelli functional E ε ( u, v) = E el ( u, v) + E S (v), Γ-converges, as < η ɛ, to te Griffit energy G, were G(u) := 1 A u 2 dx + H 1 (S(u)). 2 Here, S(u) denotes te discontinuity set of u, and H 1 is te 1- dimensional Hausdorff measure. For f C 1 (, T f, L 2 (, R 2 )) and g C 1 (, T f, L 2 ( N, R 2 )),te external forces at time t [, T f ] wit T f > are collected into a functional l(t) (HD 1 ), were (HD 1 ) denotes te dual of HD 1 : l(t), ϕ := f(t).ϕ dx + g(t).ϕ ds ϕ HD. 1 N In te following framework, we approximate te continuous-time elasto-viscoplastic evolution via discrete-time evolutions obtained by solving incremental variational problems. Given T f > and a positive integer N f, at eac discrete time t i = i, i = 1,..., N f, wit = T f N f, let us assume tat te approximate elasto-visco-plastic evolution (u(t i 1 ), v(t i 1 ), e(t i 1 ), p(t i 1 )) is known

59 3.2. FORMULATION OF THE MODEL 59 at t i 1. We ten define (u(t i ), v(t i ), e(t i ), p(t i )) as follows : (u(t i ), e(t i ), p(t i )) is defined at time t i as a minimizer of a deformation energy : E def (u, v(t i 1 ), e, p) = E el (e, v(t i 1 )) + E ve (u, u(t i 1 )) + E p (p, p(t i 1 )) l(t i ), u wit v(t i 1 ) fixed and among all (u, e, p) triplets satisfying te kinematic admissibility condition. Ten v(t i ) is determined as a minimizer of te following variational problem : v(t i ) := argmin E el (e(t i ), v) + E S (v), v v(t i 1 ) In te following section, we describe a continuous time evolution of te proposed model Te elasto-visco-plastic evolution wit regularized fracture We assume tat te stress σ = aae + βe u is te sum of two terms. Te first term represents te stress associated to elastic deformation. It is affected by fracture via te factor a(x, t). Te second term represents te effect of viscous deformation. We call (u, v, e, p) : [, T f ] R 2 R Msym 2 2 Msym 2 2 a continuous evolution if it satisfies te following properties : (H1) Initial conditions : (u(), v(), e(), p()) = (u, v, e, p ) wit (u, e, p ) A adm, and v H 1 () wit v = 1 on D and v 1 a.e. in. We suppose also (v 2 + η) Ae τ. (H2) for every t [, T f ], v(t) = 1 on D, and v(t) 1, (H3) Irreversibility : for a.e. t [, T f ], v(t) a.e. in, (H4) Kinematic compatibility : for every t [, T f ], v(t) = 1 on D, Eu(t) = e(t) + p(t) a.e. in and u(t) = a.e. on D (H5) Equilibrium condition : for a.e. t [, T f ], div(σ(t)) = f(t), a.e. in σ(t). n = g(t), a.e. on N. were σ(t) = a(t)ae(t) + βe u(t) and a(t) = (v(t)) 2 + η.

60 6 CHAPITRE 3. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL (H6) Plastic flow rule : for a.e. t [, T f ], a(t)ae(t) H(ṗ(t)) for a.e. x. (H7) Crack propagation condition : for a.e. t [, T f ], E el (e(t), v(t)) + E S (v(t)) = 3.3 Existence result inf E el (e(t), v) + E S (v). v H 1 (), v=1 on D,v v(t) Te main result of te capter is te existence result for te elasto-viscoplastic model wit fracture. Teorem Tere exists at least one solution u W 1, (, T f, H 1 (; R 2 )), v W 1, (, T f, H 1 (; R)), e W 1, (, T f, L 2 (; M 2 2 sym)), p W 1, (, T f, L 2 (; Msym)), 2 2 satisfying (H1)-(H7) Time discretization Te proof of Teorem is based on a time discretization procedure. We consider a partition of te time interval [, T f ] into N f sub-intervals of equal lengt : = t < t 1 <... < t n = n <... < t N f = T f, wit = T f N f = t n t n 1. We set v = v, u = u, e = e, p = p. We suppose tat v satisfies te crack propagation condition (H7). Note tat in te wole text, C > denotes a generic constant wic is independent of te discretization parameters. For n = 1,..., N f, N f 2, we construct (u n, vn, en, pn ) using an alternate minimization procedure. We define te deformation energy E def (z, v n 1, ξ, q) = τ = E el (v n 1 a n 1 Aξ : ξ dx + 1 β Ez Eun 1 2 L 2 2 q p n 1 dx l(t n ), z, ξ) + E ve (z, u n 1 ) + E p (q, p n 1 ) l(t n ), z, wit a n 1 := [v n 1 ] 2 + η, β >, τ >. Since E def (., v n 1,.,.) is strictly convex, coercive and A adm is a closed convex set, we ave

61 3.3. EXISTENCE RESULT 61 Proposition Suppose tat (u n 1 minimizer to te variational problem, e n 1, p n 1 ) A adm. Tere exists unique min E def (z, v n 1, ξ, q) (3.1) (z,ξ,q) A adm We now define (u n, en, pn ) as a solution of (3.1) and we derive te Euler- Lagrange equation satisfied by tis solution. Proposition Let (u n, en, pn ) A adm be a solution to (3.1) wit σ n := a n 1 Ae n + β Eun Eun 1 = a n 1 Ae n + βeδu n. (3.2) Ten, for all n {1,..., N f } : div(σ n) = f(t n), a.e. in, σ n. n = g(t n), a.e on N, a n 1 Ae n H(pn pn 1 ) a.e. in. Proof : Let (z, ξ, q) A adm, ten (u n + sz, en + sξ, pn + sq) A adm is an admissible triplet for every < s < 1. We ave ence E def (u n, v n 1 s + τ, e n, p n ) E def (u n + sz, v n 1, e n + sξ, p n + sq), a n 1 Ae n : ξ dx + s p n + sq p n 1 β Eun Eun 1 : (ξ + q) dx p n p n 1 dx s l(t n ), z + o(s). Let Ψ(s) := τ pn + sq pn 1 dx. Using te convexity of Ψ we ave Ψ(s) Ψ() s(ψ(1) Ψ()). Dividing tis inequality by s and letting s tend to zero implies tat + τ a n 1 Ae n : ξ dx + β p n p n 1 Eu n Eun 1 + q p n p n 1 dx : (ξ + q) dx < l(t n ), z > (3.3) Testing (3.3) wit (z, ξ, q) = ±(φ, Eφ, ) for any φ Cc (, R 2 ), we obtain σ n : E(φ) dx =< l(t n ), φ > (3.4)

62 62 CHAPITRE 3. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL and div(σ n) = f(t n) a.e. in. Furer, picking φ C (, R 2 ), wit φ = on D in ±(φ, Eφ, ) as a test function for (3.3) and integrating (3.4) by parts, we also obtain tat σ n. n = g(t n) a.e. on N. Testing (3.3) wit (, q + p n pn 1, q p n + pn 1 ) for any q L 2 (, Msym), 2 2 we ave τ so tat q dx τ p n p n 1 dx + a n 1 Ae n : (q (p n p n 1 )) dx, τ q τ p n (x) p n 1 (x) + a n 1 (x)ae n (x) : (q (p n (x) p n 1 (x))) (3.5) for all q M 2 2 sym and for a.e. x, wic by definition of te subdifferential implies tat a n 1 Ae n H(p n p n 1 ) a.e. in. (3.6) Proposition For given e n L2 (, M 2 2 sym) tere exists an unique minimizer v n to v n := argmin v H 1 (), v=1 on D, v v n 1 {E el (e n, v) + E S (v)}. (3.7) Additionally, for all n {1,..., N f }, v n satisfies te following variational inequality : 2ε v (v n n ϕ) dx + vae n n : e n (v n ϕ) dx + (2ε) 1 (v n 1)(v n ϕ) dx, (3.8) for any ϕ H 1 (), ϕ = 1 on D and ϕ v n 1. Furtermore, v n satisfies te comparison principle v n vn 1 a.e. in. Proof : Te existence and uniqueness of te solution of (3.7) follow from te strict convexity and coercivity of te functional E el (e n,.) + E S(.), and since {v H 1 (), v = 1 on D, v v n 1 } is closed convex set. Let ϕ an admissible function for (3.7), ten ψ = v n + t(ϕ vn ) wit < t < 1 is an admissible function for (3.7). In fact, ψ H 1 (), ψ = 1 on D and ψ v n + t(v n 1 v n 1 (1 t) + tv n 1 v n ) = v n (1 t) + tv n 1 = v n 1.

63 3.3. EXISTENCE RESULT 63 By definition of v n, E el(e n, vn ) + E S(v n) E el(e n, ψ) + E S(ψ). We obtain : 2ε v (v n n ϕ) dx + vae n n : e n (v n ϕ) dx + (2ε) 1 (v n 1)(v n ϕ) dx. (3.9) Testing (3.9) wit ϕ = max(, v n) gives 2ε v v n n {v n } dx + (v) n 2 Ae n {v n } : e n dx + (2ε) {v 1 (v n n } 1)v n dx, (3.1) so tat v n = a.e. on {vn }. It follows tat vn a.e. on. Remark 1 Testing (3.9) wit ϕ = v n 1 te equality 2ε v (v n n v n 1 ) dx + + (2ε) A priori estimates We define for all n 1, δu n := un un 1 and wit ϕ = 2v n vn 1 vae n n : e n (v n v n 1 ) dx we derive (v n 1)(v n v n 1 ) dx =. (3.11), δv n := vn vn 1, δe n := en en 1, δp n := pn pn 1. Proposition Tere exists a constant C > independent of and n suc tat max {1,..N f } ( δun H 1, δv n H 1, δe n L 2, δp n L 2) C. (3.12) For te proof of Proposition we need following lemma : Lemma For all n 1, we ave a n 1 Ae n K a.e. in. Additionally, tere exists a constant C >, independent on and n suc tat Ae n L C. (3.13)

64 64 CHAPITRE 3. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL Proof : Testing (3.5) wit q = a n 1 a n 1 Ae n ave Ae n L (x) τ for a.e. x. Since η an 1 C. Ae n (x) + pn (x) pn 1 (x) leads to (x) 1 + η for all x, we Lemma For all q K = {q M 2 2 sym; q τ} and n 1, we ave a n 1 Ae n : δp n q : δp n, a.e. in. (3.14) Proof : By convex duality a n 1 Ae n H(p n p n 1 ) p n p n 1 H (a n 1 Ae n ) were H (q ) = 1 K (q ) denotes te convex conjugate of H. Since a n 1 Ae n K a.e. in, we ave for all q K a n 1 Ae n : δpn q : δpn a.e. in. Lemma For all n {1,..., N f }, tere exists a constant C > independent of and n suc tat δv n 2 L + 2 δvn 2 L 2 C δen 2 L2. (3.15) Proof : We proceed as in te proof of Lemma 3.4 in [48]. We write inequality (3.9) at time t n 1 : 2ε + (2ε) 1 v n 1 (v n 1 ϕ) dx + (v n 1 v n 1 Ae n 1 : e n 1 (v n 1 ϕ) dx 1)(v n 1 ϕ) dx. (3.16) for any ϕ H 1 (), ϕ v n 2, ϕ = 1 on D. We coose ϕ = v n vn 2 and divide (3.16) by : 2ε v n 1 δv n dx + + (2ε) 1 v n 1 Ae n 1 : e n 1 δv n dx (v n 1 1)δv n dx. (3.17) We divide (3.11) by and substract (3.17). Ten we use te equality a 2 b 2 = (a b) 2 +2(a b)b, te fact tat δv n, and te Caucy-Scwarz inequality

65 3.3. EXISTENCE RESULT 65 to obtain δv e n n A 2 L + 2 (2ε) 1 δv n 2 L + 2 (2ε) δvn 2 L 2 1 ( e n 1 2 A e n 2 A)v n 1 δv n dx = 1 (e n 1 e n ) 2 Av n 1 δv n dx + 2 A(e n 1 e n ) : e n v n 1 δv n dx 2 ( e n A δv ) n ( v n 1 (e n 1 e n ) A ) dx 2 (δv) e n n A L 2 v n 1 δe n A L 2. (3.18) Te result follows from te Young inequality ab a 2 /2 + b 2 /2. We now prove Proposition : Proof : Testing (3.3) wit (z, ξ, q) = ±(δu n, E(δun ), ) were E(δun ) = (δe n + δpn ), we obtain a n 1 Ae n : (e n e n 1 ) dx + = < l(t n ), u n u n 1 > a n 1 Ae n : (p n p n 1 ) dx + β Eδu n 2 L 2 a n 1 Ae n : (p n p n 1 ) dx = < l(t n ), u n u n 1 > β Eδu n 2 L 2 a n 1 Ae n : (e n e n 1 ) dx (3.19) Testing (3.3) wit (, δp n, δpn ) yields a n 1 Ae n : (p n p n 1 ) dx τ Combining (3.19) and (3.2), we get a n 1 Ae n : (e n e n 1 ) dx + β Eδu n 2 L +τ 2 p n p n 1 dx. (3.2) p n p n 1 dx < l(t n ), u n u n 1 >. (3.21)

66 66 CHAPITRE 3. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL Te first term on te left-and side can be analysed in a similar way as in [48] : a n 1 Ae n : (e n e n 1 ) dx = E el (e n, v) n E el (e n 1, v n (a n 1 ) 1/2 δe n A 2 L Furter, we observe tat a n a n 1 ) (a n a n 1 ) e n 2 A dx. = (v) n 2 (v n 1 ) 2 = (v n + v n 1 )δv n = 2vδv n n 2 δv n 2. Tanks to (3.11), we obtain 1 2 (a n a n 1 ) e n 2 A dx = (2ε) 1 and rewriting v n vn = (v n + 2ε (v n 1)(v n v n 1 ) dx (3.22) v n ( v n v n 1 ) dx (δv n ) e n A 2 L 2, 1) (vn 1 1), yields (a n a n 1 ) e n 2 A dx = E S (v) n E S (v n 1 ) (3.23) + 2 ( (4ε) 1 δv n 2 L 2 + ε δvn 2 L 2 ) δv n e n A 2 L 2. Summing (3.21) for 1 n N and using (3.22) and (3.23) we obtain E el (e N, v N ) + E S (v N ) + N n=1 N β Eδu n 2 L + N δp n dx 2 n=1 < l(t n ), u n u n 1 > +E el (e, v ) + E S (v ), n=1 were 1 N N f. Using te Korn s inequality we obtain te following estimate N N N l(t n ), δu n ( l(t n ) 2 (H ) 1/2 ( δu n 2 D 1 ) L 2)1/2 n=1 n=1 n=1 n=1 N N C( l(t n ) 2 (H ) 1/2 ( Eδu n 2 D 1 ) L 2)1/2 n=1

67 3.3. EXISTENCE RESULT 67 For all N {1,..., N f } yields e N 2 A + v N 2 L + 2 vn 2 L + N β Eδu n n=1 N n=1 δp n dx C, (3.24) were C > is a constant independent of and n. Let N suc tat { e N 2 A + v N 2 L + v N 2 2 L } is maximal between 1 N N 2 f. Te inequality (3.24) is true for N = N, and N = N f. Tus, Nf N max { e n 1 n N f 2 A + v n 2 L + 2 vn 2 L 2} + f β Eδu n δp n dx 2C. (3.25) n=1 Furter, for all n {1,..., N f } we ave σ n 2 L = σ n 2 dx = σ n 2 : a n 1 Ae n dx + β We tus deduce tat C σ n L 2 e n L 2 + β l(t n ), δu n C σ n L 2 e n L 2 + C l(t n ) (H 1 D ) β δun L 2 C σ n L 2 e n L 2 + C l(t n ) (H 1 D ) βeδun L 2 n=1 σ n : Eδu n dx C σ n L 2 e n L 2 + C l(t n ) (H 1 D ) ( σn 2 + e n L 2). (3.26) It follows from (3.25), (3.27) and (3.2) tat We now estimate δe n : ηα 1 δe n 2 L 2 = max {1,..N f } σn L 2 C. (3.27) max {1,..N f } Eδun L 2 C. (3.28) a n 1 Aδe n : δe n dx a n 1 Aδe n : Eδu n dx C Eδu n L 2 δe n L 2 a n 1 Aδe n : δp n dx a n 1 Aδe n : δp n dx From Lemma it follows tat for n 2, a n 2 K. Tis implies tat a n 1 Ae n 1 K and from Lemma we deduce tat Ae n 1

68 68 CHAPITRE 3. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL an 1 Aδe n : δpn dx, and tus δen L 2 C Eδun L 2. Since a Ae K, we also deduce from Lemma tat a Aδe1 : δp1 dx, and tus δe 1 L 2 C Eδu1 L 2. By te estimate (3.28) and since Eδun = δen + δpn we ave max {1,..N f } ( δen L 2, δp n L 2) C (3.29) Applying Lemma concludes te proof of Proposition Compactness results We now define piecewise affine interpolants of te sequences (u n )N f n=, (v n)n f n=, (e n )N f n=, (p n )N f n= by u (t) v (t) a (t) e (t) = p (t) u n v n a n e n p n + (t tn ) δu n δv n δa n δe n δp n for t [tn 1, t n ], n = 1,..., N f. We define backward piecewise constant interpolant u + (., t) by u + (t) = un, for t (t n 1, t n ], n = 1,..., N f. and similarly we define v + (t), e+ (t), p+ (t), l+ (t). We also define u + () = u, v + () = v, e + () = e, p + () = p. Te forward piecewise constant interpolant a (., t) is defined by a (., t) = an 1, for t [t n 1, t n ), n = 1,..., N f. Tanks to Proposition u W 1, (,T f,h 1 (,R 2 )) + v W 1, (,T f,h 1 (,R)) + e W 1, (,T f,l 2 (,M 2 2 sym)) + p W 1, (,T f,l 2 (,M 2 2 sym)) C Hence, tere exists a subsequence j (we just write ) and u W 1, (, T f, H 1 (, R 2 )), v W 1, (, T f, H 1 (, R)), wit v(t) 1, v(t) = 1 on D, v(t) a.e. in for a.e. t (, T f ], e W 1, (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)), p W 1, (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)) suc tat u, u u, u weakly* in L (, T f, H 1 (, R 2 )), v, v v, v weakly* in L (, T f, H 1 (, R)), (3.3) e, ė e, ė weakly* in L (, T f, L 2 (, Msym)), 2 2 p, ṗ p, ṗ weakly* in L (, T f, L 2 (, Msym)). 2 2

69 3.3. EXISTENCE RESULT 69 Using Arzelà-Ascoli Teorem and Proposition 3.3.5, we ave for all t [, T f ], and for all t [, T f ], u (t) u(t), weakly in H 1 (, R 2 ), e (t) e(t), weakly in L 2 (, Msym), 2 2 (3.31) p (t) p(t), weakly in L 2 (, Msym), 2 2 v (t) v(t), weakly in H 1 (, R), (u(t), e(t), p(t)) A adm. (3.32) Tanks to te previous convergences, we also ave tat for a.e. t [, T f ], ( u(t), ė(t), ṗ(t)) A adm. (3.33) Since v is uniformly bounded in W 1, (, T f, H 1 (, R)), te Arzelà-Ascoli Teorem for metric spaces [27] implies tat v v strongly in C(, T f, L 2 (, R)). Since v (t) 1 a.e. in, for all t, tis convergence implies a a in C(, T f, L 2 (, R)). On te oter and, since for all t (, T f ], we also ave tat a (t) a (t) L 2 2 a (t) L 2, (3.34) e (t) e + (t) L 2 e (t) L 2, (3.35) v (t) v + (t) L 2 v (t) L 2, (3.36) a a strongly in L (, T f, L 2 (, R)) wit a = v 2 + η, e + e weakly* in L (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)), (3.37) v + v weakly* in L (, T f, H 1 (, R)). (3.38) From (3.31) and (3.35), we deduce tat for all t [, T f ], e + (t) e(t), weakly in L2 (, M 2 2 sym), (3.39) Passage to te limit in te equilibrium condition Teorem For a.e. t [, T f ], div(σ(t)) = f(t), a.e. in, σ(t). n = g(t), a.e. on N. were σ(t) = a(t)ae(t) + βe u(t) and a(t) = [v(t)] 2 + η.

70 7 CHAPITRE 3. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL Proof : Wit te previous notation, we can rewrite (3.4) as (a (t)ae+ (t) + βe u (t)) : Eφ dx =< l + (t), φ >, φ H1 D t (, T f ). (3.4) Integrating (3.4) on fixed [t 1, t 2 ] [, T f ] we ave t2 t2 (a (t)ae+ (t) + βe u (t)) : Eφ dx dt = < l + (t), φ > dt. (3.41) t 1 t 1 We now pass to te limit wen goes to zero in (3.41). For any fixed t 1, t 2 [, T f ], φ HD 1, we write (3.41) as : t2 t2 (a (t)ae+ (t) + βe u (t)) : Eφ dx dt < l + (t), φ > dt = + t 1 t2 t 1 t2 t 1 t2 t 1 (a(t)ae + (t) + βe u (t)) : Eφ dx < l(t), φ > dt (3.42) (a (t) a(t))ae+ (t) : Eφ dx dt < l + (t) l(t), φ > dt. We estimate te second term on te rigt-and side of (3.42) tanks to te Caucy-Scwarz inequality t2 (a (t) a(t))ae+ (t) : Eφ dx dt (3.43) t 1 (a a)eφ L 2 (,T f,l 2 ) Ae + L 2 (,T f,l 2 ). Since (a a) a.e. in (, T f), a a 2 4, φ 2 L 1 ( (, T f )) and using Proposition we obtain by te Lebesgue dominated convergence t2 lim (a (t) a(t))ae+ (t) : Eφ dx dt =. (3.44) t 1 We estimate te last term on te rigt-and side of (3.42) by t2 < l + (t) l(t), φ > dt (t 2 t 1 ) l C(,Tf,(HD 1 ) φ ) H 1 (3.45) t 1 Using (3.3), (3.37), (3.42), (3.44), (3.45) we deduce tat [t 1, t 2 ] [, T f ], t2 (a(t)ae(t) + βe u(t)) : Eφ dx < l(t), φ > dt =. (3.46) t 1 t 1

71 3.3. EXISTENCE RESULT Strong compactness result for te elastic strain To pass to te limit in te discrete plastic flow rule and crack propagation condition, we need a strong compactness result for te elastic strain. We need te following lemma. Lemma Suppose tat for all t [, T f ), a (t) a(t) in L2 () and e + (t) e(t) weakly in L2 (, M 2 2 sym). Ten for all t [, T f ), a (t)ae+ (t) a(t)ae(t) weakly in L 2 (, M 2 2 sym). Proof : Let φ L 2 (, M 2 2 sym) a test function. We can write (a (t)ae+ (t) a(t)ae(t)) : φ dx = (a (t) a(t))ae+ (t) : φ dx + a(t)(ae + (t) Ae(t)) : φ dx. From Lemma we deduce tat for all t [, T f ), Ae + (t) L C, so tat since a (t) a(t) in L2 () te first term on te rigt-and side converges to zero using te Caucy-Scwarz inequality. Since e + (t) e(t) in L 2 (, M 2 2 sym), te second term on te rigt-and converges to zero. Proposition Te following strong convergences old : e, e + e strongly in L2 (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)). (3.47) Proof : Given n {1,..., N f }, we define [t] := t n if t (tn 1, t n ]. We set t 1 =, t 2 = [t] and φ = u in (3.46) and (3.41), and substract tese two relations : [t] ((a (s)ae+ (s) + βe u (s)) (a(s)ae(s) + βe u(s))) : Eu (s) dx ds = [t] We define f (t) := [t] < l + (s) l(s), u (s) > ds (3.48) ((a (s)ae+ (s)+βeu (s)) (a(s)ae(s)+βe u(s))) : Eu (s) dx ds. Using te inequality (3.45) wit φ = u and tanks to Proposition 3.3.5, we ave [t] lim < l + (s) l(s), u (s) > ds =,

72 72 CHAPITRE 3. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL and from (3.48) we deduce We now estimate lim f (t) =. f (t) (a Ae+ + βeu ) (aae + βe u) L 2 (,T f,l 2 ) Eu L 2 (,T f,l 2 ). From Proposition we deduce tat tere exists some C > independent on suc tat f (t) C. Tanks to te Lebesgue dominated convergence We rewrite f (t) as f (t) = + β + β [t] [t] [t] Tf lim f (t) dt =. (3.49) ((a (s)ae+ (s) a(s)ae(s)) : E u (s) dx ds Eu (s) E u(s) 2 dx ds (Eu (s) E u(s)) : E u(s) dx ds. (3.5) We define g (t) = β [t] (Eu (s) E u(s)) : E u(s) dx ds, (3.51) wic tends to since E u E u weakly in L 2 (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)). Using Proposition and te Lebesgue dominated convergence teorem yields From (3.49), (3.5), (3.52) we deduce tat + β lim Tf { Tf [t] [t] Tf lim g (t) dt =. (3.52) ((a (s)ae+ (s) a(s)ae(s)) : E u (s) dx ds dt Eu (s) E u(s) 2 dx ds dt } =, (3.53)

73 3.3. EXISTENCE RESULT 73 so tat Tf [t] lim sup ((a (s)ae+ (s) a(s)ae(s)) : E u (s) dx ds dt. (3.54) We now estimate te integral in (3.54). We note tat I := = + = + + Tf [t] Tf [t] Tf [t] Tf [t] Tf [t] Tf [t] Tf [t] (a (s)ae+ (s) a(s)ae(s)) : E u (s) dx ds dt. (a (s)ae+ (s) a(s)ae(s)) : (E u (s) E u(s)) dx ds dt ((a (s)ae+ (s) a(s)ae(s)) : E u(s) dx ds dt a (s)ae+ (s) : (E u (s) E u(s)) dx ds dt a(s)ae(s) : (Eu (s) E u(s)) dx ds dt (a (s) a(s))ae+ (s) : E u(s) dx ds dt a(s)(ae + (s) Ae(s)) : E u(s) dx ds dt = I 1 + I 2 + I 3 + I 4. (3.55) Since E u E u weakly in L 2 (, T f, L 2 (, Msym)), 2 2 and e + e weakly in L 2 (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)), te Lebesque dominated convergence sows tat Tf [t] I 2 := (a(s)ae(s) : (Eu (s) E u(s)) dx ds dt. I 4 := Tf [t] (a(s)(ae + (s) Ae(s)) : E u(s) dx ds dt. Since (a a) a.e. in (, T f) and a L ((, T f ) ),and using Lemma 3.3.6, Proposition 3.3.5, and Lebesgue s dominated convergence teorem imply I 3 := Tf [t] ((a (s) a(s))ae+ (s) : E u(s) dx ds dt.

74 74 CHAPITRE 3. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL We deduce tat lim sup I = lim sup I. 1 (3.56) By te kinematic compatibility, Eu E u = ( e ė) + ( p ṗ) we ave lim sup I 1 = lim sup + Tf [t] := lim sup { Tf [t] a (s)ae+ (s) : ( e (s) ė(s)) dx ds dt a (s)ae+ (s) : ( p (s) ṗ(s)) dx ds dt { } K 1 + K 2. }. (3.57) We can write K 1 := = + Tf [t] Tf [t] Tf [t] a (s)ae+ (s) : ( e (s) ė(s)) dx ds dt (a (s) a (s))ae+ (s) : ( e (s) ė(s)) dx ds dt a (s)ae + (s) : ( e (s) ė(s)) dx ds dt. (3.58) From (3.34), we deduce tat (a a ) a.e. in (, T f ). Lemma 3.3.6, Proposition and te Lebesgue s dominated convergence give Tf [t] (a (s) a (s))ae+ (s) : ( e (s) ė(s)) dx ds dt, (3.59) so tat (3.58) and (3.59) imply lim sup Tf [t] K 1 = lim sup a (s)ae + (s) : ( e (s) ė(s)) dx ds dt. (3.6)

75 3.3. EXISTENCE RESULT 75 Furtermore, J 1 := = Tf [t] Tf [t] Tf [t] Tf [t] Tf [t] a (s)ae + (s) : ( e (s) ė(s)) dx ds dt a (s)(ae + (s) Ae (s)) : ( e (s) ė(s)) dx ds dt a (s)a(e (s) e(s)) : ( e (s) ė(s)) dx ds dt (a (s) a(s))ae(s) : ( e (s) ė(s)) dx ds dt a(s)ae(s) : ( e (s) ė(s)) dx ds dt = L 5 + L 6 + L 7 + L 8. (3.61) Te strong convergence e e + in L2 (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)) (see (3.35)), te weak convergence e ė in L 2 (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)), Propostion and Lebesgue convergence dominated teorem yield to L 5 := Tf [t] L 8 := We now estimate L 7 := a (s)(ae + (s) Ae (s)) : ( e (s) ė(s)) dx ds dt, (3.62) Tf [t] Tf [t] a(s)ae(s) : ( e (s) ė(s)) dx ds dt. (3.63) (a (s) a(s))ae(s) : ( e (s) ė(s)) dx ds dt. We ave [t] (a (s) a(s))ae(s) : ( e (s) ė(s)) dx ds (a a)ae L 2 (,T f,l 2 ) e ė L 2 (,T f,l 2 ). From proposition we deduce tat tere exists some C > independent of suc tat [t] (a (s) a(s))ae(s) : ( e (s) ė(s)) dx ds C (a a)ae L 2 (,T f,l 2 )

76 76 CHAPITRE 3. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL Since a (t) L (), (a a) a.e. in (, T f ), te Lebesgue s dominated convergence gives tat L 7. (3.64) From (3.6), (3.61), (3.62), (3.63), (3.64) we deduce tat lim sup Tf [t] K 1 = lim sup a (s)a(e (s) e(s))( e (s) ė(s)) dx ds dt. (3.65) We now estimate K 2 : K 2 := = Tf [t] Tf [t] a (s)ae+ (s) : ( p (s) ṗ(s)) dx ds dt (3.66) (a (s)ae+ (s) : p (s)) (a (s)ae+ (s) : ṗ(s))) dx ds dt Using Lemma 3.3.1, we ave a Ae+ (t) aae(t) weakly in L2 (, M 2 2 sym). Tanks to Lemma 3.3.6, we also ave tat for all t [, T f ), a (t)ae+ (t) K a.e. in, wit K a convex closed set. We obtain tat for all t [, T f ), a(t)ae(t) K a.e. in. By Lemma 3.3.7, we ave for all t (, T f ), a (t)ae+ (t) : p (t) a(t)ae(t) : p (t) a.e. in. So tat we ave K 2 = + Tf [t] Tf [t] Tf [t] a(s)ae(s) : p (s) a (s)ae+ (s) : ṗ(s) dx ds dt a(s)ae(s) : ( p (s) ṗ(s)) dx ds dt Since p ṗ weakly in L 2 (, T f, L 2 (, Msym)), 2 2 Tf [t] (a(s)ae(s) a (s)ae+ (s)) : ṗ(s) dx ds dt. (3.67) a(s)ae(s) : ( p (s) ṗ(s)) dx ds dt. (3.68) Since a Ae+ aae weakly in L2 (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)), Tf [t] (a(s)ae(s) a (s)ae+ (s)) : ṗ(s) dx ds dt. (3.69)

77 3.3. EXISTENCE RESULT 77 From (3.56), (3.57), (3.65), (3.67), (3.68), (3.69) we deduce tat Tf [t] lim sup I lim sup a (s)a(e (s) e(s)) : ( e (s) ė(s)) dx ds dt. (3.7) Integrating by parts and using te fact tat e () = e, we get [t] a (s)a(e (s) e(s)) : ( e (s) ė(s)) dx ds 1 = 2 a ([t] )A(e ([t] ) e([t] )) : (e ([t] ) e([t] )) dx 1 [t] a (s)a(e (s) e(s)) : (e (s) e(s)) dx ds. (3.71) 2 Since t (, T f ] and a.e. in, ȧ (., t), Tf [t] a (s)a(e (s) e(s)) : (e (s) e(s)) dx ds dt. Since a (t) η for all t [, T f ], using te ellipticity ypotesis Ae : e α A e 2, we deduce from (3.7), and (3.71) tat lim sup I 1 Tf 2 ηα A lim sup e ([t] ) e([t] ) 2 dx dt. (3.72) By definition we ave e ([t] ) = e + (t). Since e W 1, (, T f, L 2 (, Msym)), 2 2 we now estimate e(t) e([t] ) in L 2 using Caucy-Scwarz inequality and Fubini teorem : 2 [t] e([t] ) e(t) 2 dx ė(s) ds dx t [t] 1/2 ė(s) 2 ds dx C 1/2 ė L (,T f,l 2 ). (3.73) t We define for t (, T f ], e (t) := e([t] ). From (3.73) we deduce tat e e strongly in L (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)). Since e ([t] ) e([t] ) = e + (t) e([t] ) = e + (t) e(t) + e(t) e([t] ), we deduce from (3.54) and (3.72) tat { Tf lim sup I ηα 1 lim sup 2 Tf + 2 (e + (t) e(t)) : (e(t) e([t] )) dx dt + e + (t) e(t) 2 L2 dt (3.74) Tf e([t] ) e(t) 2 L 2 dt }.

78 78 CHAPITRE 3. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL Since e e strongly in L (, T f, L 2 (, Msym)) 2 2 and e + L (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)), it follows tat Tf e weakly* in (e + (t) e(t)) : (e(t) e([t] )) dx dt, (3.75) Tf We deduce from (3.74), (3.75), (3.76) tat e([t] ) e(t) 2 L2 dt. (3.76) Tf Tf lim sup e + (t) e(t) 2 L2 dt lim inf e + (t) e(t) 2 L2 dt. We conclude tat Tf lim e + (t) e(t) 2 L2 dt =, (3.77) and as a consequence of (3.35) we deduce Tf lim e (t) e(t) 2 L2 dt =. (3.78) We now derive te plastic flow rule and te minimality of v Passage to te limit in te plastic flow rule Corollary For a.e. t [, T f ], a(t)ae(t) H(ṗ(t)) a.e. in. (3.79) Proof : For all q L 2 ([, T f ], L 2 (, K)), we ave tat Tf (a (t)ae+ (t) q) : ṗ (t) dx dt. (3.8)

79 3.3. EXISTENCE RESULT 79 We can rewrite = + + Tf Tf Tf Tf =: T 1 + T 2 + T 3 (a (t)ae+ (t) q) : ṗ (t) dx dt (a (t) a(t))ae+ (t) : ṗ (t) dx dt a(t)(ae + (t) e(t)) : ṗ (t) dx dt (a(t)ae(t) q) : ṗ (t) dx dt By Lebesgue dominated convergence teorem, Proposition and Lemma 3.3.6, T 1 converges to zero. Tanks to Propostion , T 2 converges to zero. Since p ṗ weakly in L 2 (, T f, L 2 ), T 3 T f (a(t)ae(t) q) : ṗ(t) dx dt. We obtain Tf (a(t)ae(t) q) : ṗ(t) dx dt. (3.81) Since a(t)ae(t) K a.e. in for all t [, T f ), te inequality (3.81) gives tat for a.e. t [, T f ], ṗ(t) 1 K (a(t)ae(t)) = H (a(t)ae(t)) a.e. in. And we conclude by convex duality Passage to te limit in te crack propagation condition Corollary For a.e. t [, T f ], 2ε v(t) (v(t) ϕ) dx + v(t)ae(t) : e(t)(v(t) ϕ) dx (3.82) + (2ε) 1 (v(t) 1)(v(t) ϕ) dx, for any ϕ H 1 (), ϕ v(t) and ϕ = 1 on D. Proof : For all t (, T f ] we rewrite (3.8) as 2ε v + (t) (v+ (t) ϕ) dx + v + (t)ae+ (t) : e+ (t)(v+ (t) ϕ) dx + (2ε) 1 (v + (t) 1)(v+ (t) ϕ) dx. (3.83)

80 8 CHAPITRE 3. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL for any ϕ H 1 (), ϕ v (t) and ϕ = 1 on D. Since v + (t) is minimal among all ϕ v (t), it is minimal among ϕ v+ (t). Integrating over [, T f], we obtain Tf 2ε v + (t) (v+ (t) ϕ) dx dt Tf + v + (t)ae+ (t) : e+ (t)(v+ (t) ϕ) dx dt Tf + (2ε) 1 (v + (t) 1)(v+ (t) ϕ) dx dt. (3.84) for any ϕ H 1 (), ϕ v + (t) and ϕ = 1 on D. Let α L 2 (, T f, H 1 ()) wit α(., t) and α(., t) = on D for all t [, T f ]. Testing (3.84) wit admissible test function ϕ = v + (t) α(t) we obtain Tf Tf 2ε v + (t) α(t) dx dt + v + (t)ae+ (t) : e+ (t)α(t) dx dt Tf + (2ε) 1 (t) 1)α(t) dx dt. (3.85) (v + for any α L 2 (, T f, H 1 ()) wit α(., t) and α(., t) = on D for all t [, T f ]. Since v + v in L (, T f, H 1 ), e + e strongly in L 2 (, T f, L 2 (, M 2 2 sym) and v + v a.e. in (, T f) we obtain Tf Tf 2ε v(t) α(t) dx dt + v(t)ae(t) : e(t)α(t) dx dt Tf + (2ε) 1 (v(t) 1)α(t) dx dt. (3.86) for any α L 2 (, T f, H 1 ()) wit α(., t) and α(., t) = on D for all t [, T f ]. We set α(t) = v(t) ϕ(t) wit ϕ(., t) v(., t), ϕ L 2 (, T f, H 1 ()) and ϕ(., t) = 1 on D. 3.4 Conclusion In tis capter, we proved an existence result for an elasto-viscoplastic model wit fracture. We studied an associated discrete time evolution model. We proved tat as discretization time step converges to zero, te discrete time evolution solutions converge to limit tat is a solution of continuous time elasto-visco-plastic model. In oter words, te limit evolution satisfies (H1)-(H7).

81 Capitre 4 Existence of solutions to an elasto-viscoplastic model wit kinematic ardening and r-laplacian fracture approximation : Model 4. Introduction au capitre 4 Le capitre 4 de cette tèse est consacré au résultat d existence d une évolution continue en temps (u, v, e, p) du modèle 4, c est-à-dire du modèle élasto-viscoplastique dans R 2 avec écrouissage cinématique linéaire et rupture régularisée utilisant la fonctionnelle d Ambrosio-Tortorelli modifiée contenant un terme avec r-croissance en v, où r > 2. Plus exactement, nous montrons (Teorème 4.2.1) qu il existe au moins une évolution avec (u, v, e, p) : [, T f ] R 2 R M 2 2 sym M 2 2 sym u L (, T f, H 1 (, R 2 )), v L (, T f, W 1,r (, R)), e L (, T f, L 2 (, Msym)), 2 2 p W 1, (, T f, L 2 (, Msym)), 2 2 qui satisfasse les conditions (1)-(6) du modèle défini en section Ce résultat est obtenu en construisant à caque temps t n les évolutions approcées (u n, vn, en, pn ) comme des solutions d un seul problème de minimisation (Proposition 4.3.1). Ensuite nous dérivons des équations d Euler-Lagrange pour 81

82 82 CHAPITRE 4. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL les évolutions approcées (Proposition 4.3.2). Comme dans le capitre 3, nous obtenons les estimations a priori et construisons à partir des évolutions approcées des fonctions constantes et linéaires par morceaux (Section et Proposition 4.3.3). La difficulté principale est de passer à la limite dans la loi d écoulement plastique et dans la loi de propagation de rupture discrètes. Nous sommes à nouveau amenés à montrer un résultat de compacité forte pour les approximations constantes et linéaires élastiques et plastiques e +, p+, p, ṗ en montrant que pour caque t (, T f ], ces suites sont de Caucy dans L 2 (, M 2 2 sym) (Proposition et Proposition 4.3.1). Pour obtenir ce résultat, nous utilisons le téorème de Helly généralisé et la monotonie de v +. Ce résultat nous permet d extraire une sous suite de v + tel que v+ va converger vers un certain v faiblement dans W 1,p () pour caque t [, T f ] et donc fortement dans C() par injection de Sobolev (Proposition 4.3.6) Ceci permet donc le contrôle et le passage à la limite dans certains termes dûs à la présence de la rupture v dans le modèle (Lemme 4.3.7) pour caque t [, T f ]. Notons que si cette extraction limite de sous-suite indépendante de t n avait pas été possible, on pouvait juste extraire à caque t une sous-suite qui convergera vers un v t, mais comme l intervalle [, T f ] n est pas dénombrable, on ne pourrait pas utiliser l argument diagonal de Cantor et construire v indépendamment de t. Remarquons aussi que dans le cas r = 2 le Lemme ne peut pas être prouvé. Une fois le candidat limite construit (u, v, e, p) en utilisant l argument de Caucy et de Téorème de Helly, nous montrons que l évolution limite (u, v, e, p) va vérifier les conditions du modèle (1)-(6) (voir Proposition et Section 4.3.4).

83 4.1. INTRODUCTION 83 Abstract Te main result of tis capter is an existence teorem for a model describing te elasto-viscoplastic beaviour of a 2D material wit linear kinematic ardening and fracture were te Griffit fracture energy is regularized using a r-laplacian. 4.1 Introduction We study an evolution model coupling several dissipation mecanisms tat occur during material deformation : plasticity, viscoplasticity, linear kinematic ardening and fracture. Particularly, we prove an existence result for a continuous elasto-viscoplastic model wit kinematic ardening and fracture, via discrete-time evolutions obtained by solving incremental variational problems. Te modern variational approac to fracture was proposed by Francfort and Marigo [35]. Approximate fracture models via te Ambrosio-Tortorelli functional are studied by Francfort, Marigo, Bourdin [14]. An existence result for a quasi-static evolution of te elastic model wit te Ambrosio-Tortorelli functional was proposed by A. Giacomini [37]. In our model, we combine te elasto-visco-plastic beaviour wit a variational Ambrosio-Tortorelli approximation of fracture wit r-laplacian [6], [33] in R 2. In our case, we will consider a modified Ambrosio-Tortorelli functional, for all (e, v) L 2 (, M 2 2 sym) W 1,r (, R), E ε (e, v) := 1 2 ( v 2 + η ) Ae : e dx + r v r dx + ε r 1 α r ε 1 v r dx, were α > is a some regularization constant and r = r/(r 1). Te advantage of r-laplacian approac is te gain of compactness on te variables v, and ten (u, e, p), of sequences of approximate solutions. Babadjian, Francfort, Mora [5] studied an evolution elasto-visco-plastic model and proved tat te constant approximate semi-discrete time solutions (e + ), (p + ) are Caucy sequences in L (, T f, L 2 (, Msym)). 2 2 Tis result allows passage to te limit in te discrete plastic-flow rule and proving an existence result for te continuous elasto-visco-plastic model. Te presence of v in our model requires te control of some additional terms (see Lemma 4.3.7). We cannot directly use te argument based on Caucy sequence argument and pass to te limit in te discrete plastic flow rule. As an altenative solution, we prove tat for fixed t (, T f ], p (t), ṗ (t) are Caucy sequences in L 2 (, Msym). 2 2 Tis compactness result is proved using Helly s selection principle [5]. Te inclusion

84 84 CHAPITRE 4. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL of a kinematic ardening term in te model is motivated by our numerical results [9] (see also next capter 5). Indeed, kinematic ardening allows te translation of te yield surface and tus te elastic energy can increase after plastification, so tat plastification does not prevent te appearance of cracks. Te capter is organised as follows. After a sort introduction, Section 4.2 is devoted to te definitions, matematical and mecanical settings. Tis is followed by te model description. In Section 4.3, we prove te existence of solutions for discrete variational problem. Ten, we study te convergence of tese approximate evolutions as te time step. Finally, te main result of te capter is an existence teorem for elasto-viscoplastic model wit kinematic linear ardening and fracture. Tere exists at least one evolution (u, v, e, p) satisfying Teorem Description of te model Preliminaries and matematical setting Trougout te capter, is a bounded connected open set in R 2 wit Lipscitz boundary = D N were D, N are disjoint open sets in. Given T f >, we denote by L p ((, T f ), X), W k,p ((, T f ), X), te Lebesgue and Sobolev spaces involving time [see [31] p. 285], were X is a Banac space. We note for 1 p te L p -norm by. p or. L p. Te set of symmetric 2 2 matrices is denoted by M 2 2 sym. For ξ, ζ M 2 2 sym we define te scalar product between matrices ζ : ξ := ij ζ ijξ ij, and te associated matrix norm by ξ := ξ : ξ. Let A be te fourt order tensor of Lamé coefficients and B a suitable symmetric-fourt order tensor. We assume tat for some constants < α 1 α 2 <, tey satisfy te ellipticity conditions e M 2 2 sym, α 1 e 2 Ae : e α 2 e 2 and α 1 e 2 Be : e α 2 e 2 We recall tat te mecanical unknowns of our model are te displacement field u : [, T f ] R 2, te elastic strain e : [, T f ] Msym, 2 2 te plastic strain p : [, T f ] M 2 2 sym. We assume u and u remain small. So tat te relation bewteen te deformation tensor E and te displacement field is given by Eu := 1 2 ( u + ut ). We also assume tat Eu decomposes as an elastic part and a plastic part Eu = e + p.

85 4.2. DESCRIPTION OF THE MODEL 85 For w H 1 (, T f, H 1 (, R 2 )), wic represents an applied boundary displacement, we define for t [, T f ] te set of kinematically admissible fields by A adm (w(t)) := {(u, e, p) H 1 (, R 2 ) L 2 (, M 2 2 sym) L 2 (, M 2 2 sym) : Eu = e + p a.e. in, u = w(t) a.e. on D }. For a fixed constant τ >, we define K := {q Msym; 2 2 q τ} and H : M 2 2 sym [, ] te support function of K by H(p) := sup θ K For η >, te elastic energy is defined as θ : p = τ p. E el : L 2 (, M 2 2 sym) W 1,r (, R) R (e, v) E el (e, v) = 1 ( v 2 + η ) Ae : e dx. 2 In te following, we will define an evolution as a limit of time discretizations wit a step : p and p represent te plastic deformation at 2 consecutive time steps, so tat p p ṗ. Te plastic dissipated energy is defined, by and te ardening energy by E p : L 2 (, M 2 2 sym) L 2 (, M 2 2 sym) R (p, p ) E p (p, p ) = H(p p ) dx, E KH : L 2 (, M 2 2 sym) R p E KH (p) = 1 Bp : p dx. 2 Given β >, te viscoplastic energy is defined by E vp : L 2 (, M 2 2 sym) L 2 (, Msym) 2 2 R (p, p ) E vp (p, p ) = β (p p ) : (p p ) dx. 2 For r > 2, and ε >, we define te pase-field surface energy E r S : W 1,r (, R) R v ES(v) r = were r := r ( r r 1 and α := 2 evolution of te proposed model. ε r 1 α r v r dx + r ε 1 v r dx. ) r. In te next section we describe te

86 86 CHAPITRE 4. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL Te evolution for elasto-viscoplastic model wit linear kinematic ardening and fracture Consider w H 1 (, T f, H 1 (, R 2 )). We define te evolution of te model by a seeking functions (u, v, e, p) : [, T f ] R 2 R Msym 2 2 Msym 2 2 tat satisfy te following conditions : 1. Initial condition : (u(), v(), e(), p()) = (u, v, e, p ) wit (u, e, p ) A adm (w()), and v W 1,r () wit v = 1 on D and v 1 a.e. in, suc tat div σ = a.e. in were σ := (v 2 + η)ae, σ. n = on N. 2. Irreversibility condition : v(t) v(s) 1 in for every s t T f. 3. Kinematic compatibility : for every t [, T f ], (u(t), e(t), p(t)) A adm (w(t)). 4. Equilibrium condition : for t [, T f ], div(σ(t)) =, a.e. in, σ(t). n =, a.e. on N, (u(t), v(t)) = (w(t), 1), a.e on D. were σ(t) = (v(t) 2 + η)ae(t) and n is outward normal to. 5. Plastic flow rule : for a.e. t [, T f ], σ(t) Bp(t) βṗ(t) H(ṗ(t)) for a.e. x. 6. Crack propagation condition : for t [, T f ], E el (e(t), v(t)) + E r S(v(t)) = inf E el (e(t), v) + ES(v). r v W 1,r (), v=1 on D,v v(t) Te main result of te capter is te following existence result. Teorem Tere exists at least one evolution u L (, T f, H 1 (, R 2 )), v L (, T f, W 1,r (, R)), e L (, T f, L 2 (, Msym)), 2 2 p W 1, (, T f, L 2 (, Msym)), 2 2 tat satisfies (1)-(6).

87 4.3. PROOF OF THE EXISTENCE THEOREM Proof of te existence teorem Time discretization Te proof of Teorem is based on a time discretization. It te wole capter C > denotes a generic constant wic is independent of te discretization parameters. Let us consider a partition of te time interval [, T f ] into N f sub-intervals of equal lengt : = t < t 1 <... < t n <... < t N f = T f, wit = T f N f = t n t n 1. Let v = v, u = u, e = e, p = p. We suppose tat v satisfies te crack propagation condtion (6). For n =,..., N f, we set w n := w(tn ). We also define te total energy E total (z, φ, ξ, q) = 1 2 (φ 2 + η)aξ : ξ dx + 1 Bq : q dx β q pn τ q p n 1 dx ε r 1 α + r φ r dx + r ε 1 φ r dx = E el (φ, ξ) + E KH (q) + E vp (q, p n 1 ) + E p (q, p n 1 ) + ES(φ) r Proposition Given (u n 1, v n 1, e n 1, p n 1 ) tat satisfy (u n 1, e n 1, p n 1 ) A adm (w n 1 ), v n 1 W 1,r (), v n 1 1, v n 1 = 1 on D. Tere exist a minimizer (u n, vn, en, pn ) to te variational problem min (z,ξ,q) A adm (w n ), φ W 1,r (), φ v n 1, φ=1 on D E total (z, φ, ξ, q). (4.1) Proof : Since (w n, vn 1, Ew n, ) is admissible for (4.1), we ave tat m := inf (z,ξ,q) A adm (w n ), φ W 1,r (), φ v n 1, φ=1 on D E total (z, φ, ξ, q) < Let (u k, v k, e k, p k ) be a minimizing sequence. It follows from te Poincaré inequality and te Korn inequalities tat u k H 1 + v k W 1,r + e k L 2 + p k L 2 C n,. Terefore can be extracted a subsequence (u k, v k, e k, p k ) suc tat u k u in H 1 (, R 2 ), v k v in W 1,r (, R), e k e in L 2 (, M 2 2 sym), p k p in L 2 (, M 2 2 sym).

88 88 CHAPITRE 4. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL It follows tat (u, e, p) A adm (w n) and since r > 2, v k v in C () by te Sobolev Imbedding teorem. As v k v n 1 and v k = 1 on D for all k, we ave v v n 1 and v = 1 on D. Furtermore, v k e k ve weakly in L 2 (). By lower semicontinuity, v 2 Ae : e dx = Ave : ve dx lim inf k Av k e k : v k e k dx, and (v 2 + η)ae : e dx lim inf k (v 2 k + η)ae k : e k dx. Te oter terms of E total are weakly lower semicontinuous wit respect to te weak topology H 1 (, R 2 ) W 1,r () L 2 (, M 2 2 sym) L 2 (, M 2 2 sym) and tus m E total (u, v, e, p) lim inf k E total(u k, v k, e k, p k ) = lim k E total (u k, v k, e k, p k ) = m, so tat (u, v, e, p) is indeed a minimizer. We now define (u n, vn, en, pn ) as one solution of (4.1) and we derive te Euler- Lagrange equation satisfied by tis solution. We define for all n 1, δp n := pn pn 1, Proposition For 1 n N f, let (u n, vn, en, pn ) be a solution of (4.1) and let σ n := a n Ae n wit a n := (vn )2 + η. Ten we ave : Furtermore, v n = div(σ n ) =, a.e. in, σ n. n =, a.e. on N, σ n Bpn βδpn H(pn pn 1 ), a.e. in. argmin φ W 1,r (), φ v n 1, φ=1 on D { E el (e n, φ) + ε r 1 r φ r + α } r ε 1 φ r dx (4.2)

89 4.3. PROOF OF THE EXISTENCE THEOREM 89 Proof : Let (z, ξ, q) A adm (), so tat (u n +sz, en +sξ, pn +sq) A adm(w n ) is an admissible triplet for every < s < 1. We ave and tus s + τ E total (u n, v n, e n, p n ) E total (u n + sz, v n, e n + sξ, p n + sq), a n Ae n : ξ dx + s Bp n : q dx + s p n + sq p n 1 p n p n 1 dx + o(s) β pn pn 1 : q dx Let Ψ(s) := τ pn + sq pn 1 dx. Using te convexity of Ψ we ave Ψ(s) Ψ() s(ψ(1) Ψ()). Dividing tis inequality by s and letting s tend to zero implies tat for all (z, ξ, q) A adm (), a n Ae n : ξ dx + Bp n : q dx + β pn pn 1 : q dx + τ p n p n 1 + q p n p n 1 dx (4.3) Testing (4.3) wit ±(φ, E(φ), ) for any φ Cc (, R 2 ), we obtain σ n : E(φ) dx = (4.4) and from wic we deduce tat div(σ n ) = a.e. in. Furer, picking φ C (, R 2 ), wit φ = on D in ±(φ, Eφ, ) as a test function for (4.3) and integrating (4.4) by parts, we also obtain tat σ n. n = a.e. on N. Testing (4.3) wit (, q + p n pn 1 we ave τ, q p n + pn 1 ) for any q L 2 (, M 2 2 sym), q dx τ p n p n 1 dx + (4.5) + (a nae n Bp n β pn ) pn 1 : (q (p n p n 1 )) dx By a standard localization argument, it follows tat τ q τ p n p n 1 + (a n Ae n Bp n βδp n ) : (q (p n p n 1 )) a.e. in wic by definition of te subdifferential implies tat a n Ae n Bp n βδp n H(p n p n 1 ) a.e. in. (4.6)

90 9 CHAPITRE 4. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL We also ave E total (u n, v n, e n, p n ) E total (u n, ϕ, e n, p n ). for every ϕ W 1,r (), ϕ v n 1 and ϕ = 1 on D, wic implies { v n = argmin E el (e n ε r 1, ϕ) + r ϕ r + α } r ε 1 ϕ r dx ϕ W 1,r (), ϕ v n 1, ϕ=1 on D Remark tat by a truncation argument, we ave v n A priori estimates in. We define piecewise affine interpolants of te sequences (u n )N f (e n )N f n=, (p n )N f n= as follows : n=, (v n)n f n=, u (t) = u n + (t t n )δu n, for t [t n 1, t n ], n = 1,..., N f, v (t) = v n + (t t n )δv, n for t [t n 1, t n ], n = 1,..., N f, e (t) = e n + (t t n )δe n, for t [t n 1, t n ], n = 1,..., N f, p (t) = p n + (t t n )δp n, for t [t n 1, t n ], n = 1,..., N f. Remark tat u () = u, v () = v, e () = e, p () = p. We also define piecewise constant interpolants u + (t) = un, for t (t n 1, t n ], n = 1,..., N f, v + (t) = vn, for t (t n 1, t n ], n = 1,..., N f, a + (t) = an, for t (t n 1, t n ], n = 1,..., N f, e + (t) = en, for t (t n 1, t n ], n = 1,..., N f, p + (t) = pn, for t (t n 1, t n ], n = 1,..., N f, wit u + () = u, v + () = v, a + () := v2 + η, e + () = e, p + () = p. We also set σ + (t) = (v+ (t)2 + η)ae + (t) for t (, T f], wit σ + () = σ. Proposition Tere exists a constant C > independent of, n suc tat sup u + (t) H1 C, sup v + (t) W 1,r [,T f ] [,T f ] sup e + (t) 2 C, sup ṗ (t) 2 C. [,T f ] (,T f ] C, sup p + (t) 2 C, [,T f ]

91 4.3. PROOF OF THE EXISTENCE THEOREM 91 Proof : Firstly, we observe tat (u n 1, p n 1 Ew n 1 + w n wn 1, v n 1, e n 1 ) is admissible for te minimisation problem (4.1), and E total (u n, v n, e n, p n ) E total (u n 1 +w n w n 1, v n 1, e n 1 + Ew n +Ew Ew n n 1, p n 1 ). So tat E el (e n, v) n + ES(v r ) n + 1 Bp n : p n dx + β 2 2 pn p n τ p n p n 1 dx E el (e n 1 + Ew n Ew n 1, v n 1 ) + ES(v r n 1 ) + 1 Bp n 1 : p n 1 dx 2 = E el (e n 1, v n 1 ) + E el (Ew n Ew n 1, v n 1 ) (4.7) + a n 1 Ae n 1 : (Ew n Ew n 1 ) dx + ES(v r n 1 ) + 1 Bp n 1 : p n 1 dx. 2 Since Ew is absolutely continuous in time wit values in L 2 (; M 2 2 sym), We now estimate, t n Ew n Ew n 1 = Eẇ(s) ds. t n 1 E el (Ew n Ew n 1, v n 1 ) E el (Ew n Ew n 1, 1) α t n 2 ( 2 (1 + η) Eẇ(s) ds α t n 2 (1 + η) 2 2 were t n 1 α 2 (1 + η)f() 2 t n t n 1 2 t n 1 Eẇ(s) 2 ds ) 2 Eẇ(s) 2 ds. (4.8) and f() := t k max Eẇ(s) 2 ds as, (4.9) k {1,N f } t k 1 a n 1 Ae n 1 : ( t n t n 1 (1 + η) Ae n 1 (1 + η)2α 2 sup {,..,N f } Eẇ(s) ds 2 tn t n 1 ) e n 2 t n dx Eẇ(s) 2 ds (4.1) t n 1 Eẇ(s) 2 ds

92 92 CHAPITRE 4. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL Tanks to (4.7), (4.8), (4.9), (4.1) we obtain E el (e n, v) n + ES(v r ) n + 1 Bp n : p n dx + β 2 2 pn p n τ E el (e n 1, v n 1 ) + ES(v r n 1 ) + 1 Bp n 1 2 t n t n + Cf() Eẇ(s) 2 ds + (1 + η)2α 2 sup e n 2 t n 1 {,..,N f } t n 1 p n p n 1 dx : p n 1 dx (4.11) Eẇ(s) 2 ds. Summing te inequalities (4.11) for 1 n N N f we obtain E el (e N, v N ) + ES(v r N ) + 1 Bp N : p N dx 2 + β N pn N pn τ 2 pn pn 1 dx n=1 n=1 E el (e, v ) + ES(v r ) + 1 Bp : p dx (4.12) 2 t N + Cf() Eẇ(s) 2 ds + (1 + η)2α 2 sup {,..,N f } e n 2 t N Eẇ(s) 2 ds. From te last inequality, and from te coercivity and boundedness of te tensor A we deduce tat sup e n 2 2 C e 2 2 +ES(v r ) + Bp : p dx {,..,N f } Tf + C sup e n 2 {,..,N f } Eẇ(s) 2 ds + Cf(). Tis last estimate, te coercivity and boundedness of te tensor B and (4.12) leads to { sup u + (t) H 1, v+ (t) W 1,r, p+ (t) 2, e + (t) 2} C. [,T f ] Furtermore, from te discrete plastic flow rule (4.6), we deduce tat and consenquently, a n Ae n Bp n βδp n τ a.e. in, sup ṗ (t) 2 C. (,T f ]

93 4.3. PROOF OF THE EXISTENCE THEOREM Compactness results Our aim is to study te limit of te discrete plastic flow rule, and of te discrete variational problem for v n. To tis end, we sow te strong compactness on te sequence of stresses (σ + ), and te sequences of elastic and plastic strains (e + ), (p ). Lemma Let X a Banac space wit x, y X and ψ : X R a convex functional. If x ψ(x) and y ψ(y), ten we ave x y, y x. Proof : Te definition of te subdifferentials ψ(x) and ψ(y) sow tat for all z, w X, ψ(z) ψ(x) x, z x, (4.13) ψ(v) ψ(y) y, v y. (4.14) Te lemma follows by adding tese inequalities wit z = y and v = x. Let M f 2 wit M f N f and consider an oter partition of te time interval [, T f ] into M f sub-intervals of equals lengt l = T f M f = t m l = t l < t 1 l <... < t m 1 l < t m l <... < T f. t m 1 l : In te same way we define all interpolant functions wit indexes l and m. Lemma For all t (, T f ] we ave β ṗ (t) ṗ l (t) 2 (σ + (t) Bp+ (t)) (σ+ l (t) Bp+ l (t)) 2. Proof : By te omogeneity of degree 1 of H, we ave We obtain for m = 1,..., M f, σ n Bp n βδp n H(δp n ) a.e. in. (4.15) σ m l Bp m l βδp m l H(δp m l ). (4.16) We apply te Lemma wit x = σl m Bp m l βδp m l, y = σ n Bpn βδpn, ψ = H, x = δp m l, y = δp n to obtain (σ m l Bp m l βδp m l ) (σ n Bp n βδp n ), δp n δp m l (4.17) We deduce from (4.17) and te Caucy-Scwarz inequality β δp n δp m l 2 2 (σ n Bp n ) (σ m l Bp m l ), δp n δp m l (σ n Bp n ) (σ m l Bp m l ) 2 δp n δp m l 2, (4.18)

94 94 CHAPITRE 4. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL to obtain β δp n δp m l 2 (σ n Bp n ) (σ m l Bp m l ) 2, or in oter words, for all t (, T f ] β ṗ (t) ṗ l (t) 2 (σ + (t) Bp+ (t)) (σ+ l (t) Bp+ l (t)) 2. Te proof of te next proposition is similar to te proof of Lemma 4.1 in [37] or of te Lemma 4.9 in [6]. Proposition Tere exists a subsequence (not relabeled) and a function v : [, T f ] W 1,r () suc tat v + (t) v(t) weakly in W 1,r () for every t [, T f ]. Furtermore, we ave v() = v, v(s) v(t) 1 for every t s T f and v L (, T f, W 1,r ()). (4.19) Proof : By definition v + : [, T f] L 1 () is monotone non-increasing, for every t [, T f ]. By a generalized version of Helly s selection principle (see [5]), tere exists a subsequence (no relabeled) and a map v : [, T f ] L 1 () suc tat v + (t) v(t) weakly in L1 () for every t [, T f ]. By Proposition 4.3.3, for every t [, T f ], up to a subsequence, v + n (t) w weakly in W 1,r () and so weakly in L 1 (). As v + (t) v(t) weakly in L1 () we deduce tat w = v(t), v(t) W 1,r () and te wole sequence v + (t) v(t) weakly in W 1,r (), since te limit of v + n (t) does not depend of te subsequence. Consequently, by te Sobolev Imbedding teorem, v + (t) v(t) strongly in C () for every t [, T f ]. Since v + (t) = 1 on D, v + (t) 1 in for all t [, T f ] and v + (s) v+ (t) 1 for every t s T f, we obtain v(t) = 1 on D, v(t) 1 in for all t [, T f ] and v(s) v(t) 1 for every t s T f. By lower semicontinuity, we ave sup v(t) W 1,r () C. (4.2) [,T f ] In te following results, we only consider te subsequence given by te Proposition

95 4.3. PROOF OF THE EXISTENCE THEOREM 95 Lemma Define Y,l (t) := e + l (t)(v+ l (t)2 v + (t)2 ) 2, Q,l (t) := t Y,l (s) ds. Ten for all t [, T f ], Y,l (t), Q,l (t) as, l. Proof : Let t [, T f ]. By te Proposition 4.3.6, v + (t) v(t) weakly in W 1,r (). By te Sobolev Imbedding teorem, v + (t) v(t) strongly in C () : ( lim ) sup v + (t) v(t) =. (4.21) x wic implies (v + (t)) is a Caucy sequence in C () : ( lim,l ) sup v + (t) v+ l (t) =. (4.22) x Since v + (t) 1 and e+ l (t) 2 C, Y,l (t) 2 = (v + l (t)2 v + (t)2 ) 2 e + l (t) : e+ l (t) dx sup v + (t) v+ l (t) v + (t) v+ l (t) (v+ (t) + v+ l (t)) 2 e + l (t) : e+ l x C sup v + (t) v+ l (t). x (t) dx wit C > independent of and l. By (4.22) Y,l (t) as, l. By te Lebesgue s dominated convergence teorem, it follows tat Q,l (t) as, l. Lemma For all t [, T f ] we ave ( t p + (t) p+ l (t) 2 C + C t wit C >, independent of and l. ) a + (s)(e+ (s) e+ l (s)) 2 ds + Q,l (t) p + (s) p+ l (s) 2 ds + C( + l). (4.23)

96 96 CHAPITRE 4. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL Proof : We ave p n pn 1 Let t (t N 1, t N ], ten p + (t) p = = δp n. Summation for n = 1 to N gives N t n p N p = δp n ds. (4.24) t and R (t) 2 n=1 t n 1 ṗ (s) ds + R (t) wit R (t) = t n In te same way we ave for t (t M 1 l, t M l ], p + l (t) p = t and R l (t) 2 t t N t δp N ds, δp N 2 ds C. (4.25) ṗ l (s) ds + R l (t) wit R l (t) = t m l Let t (, T f ], and m, n 1 suc tat t (t m 1 l t t M l t δp M l ds, δp M l 2 ds Cl. (4.26), t m l ] (t n 1, t n ]. Ten t p + (t) p+ l (t) = ṗ (s) ṗ l (s) ds + R (t) R l (t) (4.27) and by te lemma we deduce tat p + (t) p+ l (t) 2 Furter, C t t ṗ (s) ṗ l (s) 2 ds + C( + l) (4.28) (σ + (t) Bp+ (t)) (σ+ l (t) Bp+ l (t)) 2 ds + C( + l). (σ + (t) Bp+ (t)) (σ+ l (t) Bp+ l (t)) 2 σ + (t) σ+ l (t) 2 +C p + (t) p+ l (t) 2 (4.29) C a + (t)(e+ (t) e+ l (t)) 2 +C e + l (t)(a+ l (t) a+ (t)) 2 + C p + (t) p+ l (t) 2. From (4.28) and (4.29) we obtain p + (t) p+ l (t) 2 C + C + C t t t a + (s)(e+ (s) e+ l (s)) 2 ds e + l (s)(a+ l (s) a+ (s)) 2 ds p + (s) p+ l (s) 2 ds + C( + l). (4.3)

97 4.3. PROOF OF THE EXISTENCE THEOREM 97 Proposition For all t [, T f ], (u + (t), e+ (t), p+ (t)) is a Caucy sequence in H 1 (, R 2 ) L 2 (, M 2 2 sym) L 2 (, M 2 2 sym) Proof : Let t (, T f ]. Since a + (t) η and a + (t)(e+ (t) e+ l (t)) = a+ (t)e+ (t) a+ l (t)e+ l (t) + e+ l (t)(a+ l (t) a+ (t)) = σ + (t) σ+ l (t) + e+ l (t)(a+ l (t) a+ (t)), (4.31) we estimate te difference e + (t) e+ l (t) as follows : ηα A e + (t) e+ l (t) 2 2 η A(e + (t) e+ l (t)) : (e+ (t) e+ l (t)) dx a + (t)a(e+ (t) e+ l (t)) : (e+ (t) e+ l (t)) dx. = (σ + (t) σ+ l (t)) : (e+ (t) e+ l (t)) dx + (a + l (t) a+ (t))ae+ l (t) : (e+ (t) e+ l (t)) dx. Applying te compatibility condition (4.32) E(u + (t) u+ l (t)) = e+ (t) e+ l (t) + p+ (t) p+ l (t), (4.33) wic leads to ηα A e + (t) e+ l (t) (σ + (t) σ+ l (t)) : E(u+ (t) u+ l (t)) dx (σ + (t) σ+ l (t)) : (p+ (t) p+ l (t)) dx Ae + l (t)(a+ l (t) a+ (t)) : (e+ (t) e+ l (t)) dx := I 1 I 2 + I 3. Since divσ + (t) = divσ+ l (t) = a.e in, u+ (t) u+ l (t) = w+ (t) w+ l on D, and σ + (t). n = σ+ l (t). n = a.e. on N, we ave I 1 = (σ + (t) σ+ l (t)) : E(w+ (t) w+ l (t)) dx, (t) a.e.

98 98 CHAPITRE 4. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL and we estimate tanks to Proposition 4.3.3, I 1 σ + (t) σ+ l (t) 2 E(w + (t) w+ l (t)) 2 C E(w + (t) w+ l (t)) 2 Since Ew H 1 (, T f, L 2 (, Msym)), 2 2 it is Hölder continuous wit value in L 2 (, M 2 2 sym). (Ew + ) is a Caucy sequence in L (, T f ; L 2 (, M 2 2 sym)), tus E(w + (t) w+ l (t)) 2 δ,l wit δ,l as, l. Furter, we ave I 2 = a + (t)a(e+ (t) e+ l (t)) : (p+ (t) p+ l (t)) dx Ae + l (t)(a+ l (t) a+ (t)) : (p+ (t) p+ l (t)) dx Tus, we get using Proposition and Lemma ηα A e + (t) e+ l (t) 2 2 (4.34) σ + (t) σ+ l (t) 2 E(w + (t) w+ l (t)) 2 +C e + (t) e+ l (t) 2 p + (t) p+ l (t) 2 +C e + l (t)(a+ l (t) a+ (t)) 2 p + (t) p+ l (t) 2 +C e + l (t)(a+ l (t) a+ (t)) 2 e + (t) e+ l (t) 2 C E(w + (t) w+ l (t)) 2 +CY,l (t)( e + (t) e+ l (t) 2 + p + (t) p+ l (t) 2) +C e + (t) e+ l (t) 2 +C e + (t) e+ l (t) 2 t t (e + (s) e+ l (s)) 2 ds p + (s) p+ l (s) 2 ds +C e + (t) e+ l (t) 2 (Q,l (t) + ( + l)) (4.35) On te oter and, using te lemma again leads to te estimate ( t p + (t) p+ l (t) 2 2 C p + (t) p+ l (t) 2 (e + (s) e+ l (s)) 2 ds t ) + Q,l (t) + ( + l) + p + (s) p+ l (s) 2 ds. (4.36) Set X,l (t) = p + (t) p+ l (t) 2 + e + (t) e+ l (t) 2.

99 4.3. PROOF OF THE EXISTENCE THEOREM 99 Adding (4.35) and (4.36) yields ηα A e + (t) e+ l (t) p + (t) p+ l (t) 2 2 ( t ) CX,l (t) X,l (s) ds + Y,l (t) + Q,l (t) + + l + C E(w + (t) w+ l (t)) 2. Te Caucy inequality (a + b) 2 2a 2 + 2b 2 leads to ( t ) X,l (t) 2 CX,l (t) X,l (s) ds + Y,l (t) + Q,l (t) + + l (4.37) from wic we deduce tat + C E(w + (t) w+ l (t)) 2, p + (t) p+ l (t) 2 + e + (t) e+ l (t) 2 t C (e + (s) e+ l (s)) 2 + p + (s) p+ l (s) 2 ds ( ) 2 + C Y,l (t) + Q,l (t) + + l + C E(w+ (t) w+ l (t)) 2, for some constant C > independent on, l, t. Applying te Gronwall s inequality leads to p + (t) p+ l (t) 2 + e + (t) e+ l (t) 2 (4.38) ( ) 2 C Y,l (t) + Q,l (t) + + l + C E(w+ (t) w+ l (t)) 2 ( t ) + C 2 e CT f 2 Y,l (s) + Q,l (s) + + l + C E(w+ (s) w+ l (s)) 2 ds. From (4.38), Lemma and te Lebesgue s dominated convergence teorem we deduce tat X,l (t) as, l. Finally we conclude tat for fixed t [, T f ], (u + (t), e+ (t), p+ (t)) is a Caucy sequence in H 1 (, R 2 ) L 2 (, M 2 2 sym) L 2 (, M 2 2 sym). Proposition Tere exists a function t (u(t), e(t), p(t)), suc tat for all t [, T f ] te next results old : (u(t), e(t), p(t)) A adm (w(t)), u + (t) u(t) strongly in H1 (, R 2 ), e + (t) e(t) strongly in L2 (, Msym), 2 2 p + (t) p(t) strongly in L2 (, M 2 2 sym), p (t) p(t) strongly in L 2 (, Msym). 2 2

100 1 CHAPITRE 4. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL Furtermore, for a.e. t [, T f ] and ṗ (t) ṗ(t) strongly in L 2 (, M 2 2 sym). u L (, T f, H 1 (, R 2 )), e L (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)), p W 1, (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)). Proof : Let t [, T f ]. By Proposition tere exist u(t) H 1 (, R 2 ), e(t) L 2 (, M 2 2 sym), and p(t) L 2 (, Msym) 2 2 suc tat for all t [, T f ] te next convergence results old : u + (t) u(t) strongly in H1 (, R 2 ), (4.39) e + (t) e(t) strongly in L2 (, Msym), 2 2 (4.4) p + (t) p(t) strongly in L2 (, M 2 2 sym). (4.41) By te compatibility condition we ave for all t [, T f ], Eu + (t) = e+ (t) + p+ (t) and u+ (t) = w+ (t) on D a.e. in. Te convergence results (4.39)-(4.41) imply tat (u(t), e(t), p(t)) A adm (w(t)), for all t [, T f ]. On te oter and, for all t (, T f ], p (t) p + (t) 2 ṗ (t) 2. (4.42) Since ṗ (t) is uniformly bounded in L 2 (), p () = p + () = p, we deduce from (4.41) and (4.42) tat for all t [, T f ], p (t) p(t) strongly in L 2 (, M 2 2 sym). (4.43) From Lemma and (4.29), we deduce tat ṗ (t) ṗ l (t) 2 a + (t)(e+ (t) e+ l (t)) 2 +Y,l (t) + C p + (t) p+ l (t) 2. Combining tis last inequality, Lemma 4.3.7, and Proposition we ave tat for all t (, T f ], (ṗ (t)) is a Caucy sequence in L 2 (, M 2 2 sym). As a consequence, tere is a function ζ(t) L 2 (, Msym) 2 2 suc tat ṗ (t) ζ(t) strongly in L 2 (, M 2 2 sym). (4.44)

101 4.3. PROOF OF THE EXISTENCE THEOREM 11 Due to te a priori estimate of Proposition sup ṗ (t) L 2 C. (4.45) (,T f ] Tanks to te previous convergence result (4.44) we ave sup ζ(t) L 2 C, and ζ L (, T f, L 2 (, Msym)). 2 2 (4.46) (,T f ] From Proposition we also deduce tat p W 1, (,T f,l 2 (,M 2 2 C, (4.47) sym)) so tat up to a subsequence, tere exists ˆp W 1, (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)) suc tat p, ṗ ˆp, ˆp weakly* in L (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)). (4.48) Ten, by te Arzelà-Ascoli Teorem p (t) ˆp(t) weakly in L 2 (, M 2 2 sym) for all t [, T f ]. It follows from (4.43) tat for all t [, T f ], p(t) = ˆp(t), and p W 1, (, T f ; L 2 (, M 2 2 sym)). (4.49) Since p (t) ζ(t) strongly in L 2 (, Msym) 2 2 for all t (, T f ], by te Lebesgue dominated convergence teorem and Proposition we deduce tat ṗ ζ weakly* in L (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)). (4.5) Te convergence results (4.48), (4.49) and (4.5) lead to ṗ = ζ a.e. in [, T f ] wic implies due to (4.44) tat for a.e. t [, T f ] ṗ (t) ṗ(t) strongly in L 2 (, M 2 2 sym). (4.51) Furtermore, by te a priori estimates of Proposition we ave sup u + (t) H1 C, sup e + (t) L2 C, [,T f ] [,T f ] for some constant C > independent on. Tanks to te convergence (4.39)-(4.41), We conclude tat sup u(t) H 1 C, sup e(t) L 2 C. [,T f ] [,T f ] u L (, T f, H 1 (, R 2 )), e L (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)), p W 1, (, T f, L 2 (, M 2 2 sym)).

102 12 CHAPITRE 4. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL Te proof of Teorem Let t (, T f ]. Te convergence result (4.4) and Proposition imply tat σ + (t) σ(t) strongly in L2 (, M 2 2 sym), (4.52) wit σ(t) = (v 2 (t) + η)ae(t). Since div σ + (t) = a.e. in, div σ(t) = a.e. in. We rewrite te discrete plastic flow rule as follows : τ q dx τ ṗ (t) dx + (4.53) ( + σ + (t) Bp+ (t) βṗ (t) ) : (q ṗ (t)) dx. By te convergence results (4.41), (4.51), (4.52) we obtain for a.e t [, T f ] τ q dx τ ṗ(t) dx + (4.54) + (σ(t) Bp(t) βṗ(t)) : (q ṗ(t)) dx, wic implies σ(t) Bp(t) βṗ(t) H(ṗ(t)) for a.e. x. We now pass to te limit in te crack propagation condition. A similar treatement was used in [37] and [6]. We rewrite te problem (4.2) as follows : for every ϕ W 1,r (), ϕ v n 1, ϕ = 1 on D we ave E el (e + (t), v+ (t)) + E S(v r + (t)) E el(e + (t), ϕ) + E S(ϕ) r (4.55) Let v W 1,r (), v = 1 on D, wit v v(t) in. We define v (t) := min(v, v + (t)). By definition v (t) W 1,r () and v (t) v+ (t) vn 1 and v (t) = 1 on D, so tat v (t) is an admissible test function for te problem (4.55). We obtain 1 ( ) v + 2 (t)2 + η Ae + (t) : e+ (t) dx ε r 1 α ( + r v+ (t) r dx + 1 v + r ε (t)) r dx 1 ( v 2 (t) 2 + η ) Ae + (t) : e+ (t) dx ε r 1 + r v (t) r α dx + r ε (1 v (t)) r dx. (4.56)

103 4.3. PROOF OF THE EXISTENCE THEOREM 13 Set A := {x ; v(x) v + (t, x)}. As v+ (t) v(t) weakly in W 1,r () ; 1 A 1, and 1 A c pointwise in. As a consequence, by te Lebesque Dominated Convergence Teorem we get 1 A c (x) dx. (4.57) We now prove tat 1 A v + (t) v(t) weakly in Lr (). Let q L r/(r 1) (). Since v + (t) v(t) weakly in W 1,r (), we ave v + A (t)q dx = v + (t)q dx + v + (t)q dx v(t)q dx. (4.58) By te Lebesque dominated convergence v + (t)q dx = 1 A c v + (t)q dx, A c wic, using (4.58) yields 1 A v + A (t)q dx = v + (t)q dx By lower semicontinuity, lim inf v + (t) r dx = lim inf A A c 1 A v + (t) r dx v(t)q dx. v(t) r dx.(4.59) Using te same arguments, we also prove tat v (t) v weakly in W 1,r (). Te Sobolev Imbedding teorem implies tat, v (t) v strongly in C (), using Proposition and (4.4) we sow tat as, 1 ( ) v + 2 (t)2 + η Ae + (t) : e+ (t) dx 1 ( v(t) 2 + η ) Ae(t) : e(t) dx, 2 1 ( v 2 (t) 2 + η ) Ae + (t) : e+ (t) dx 1 ( v 2 + η ) Ae(t) : e(t) dx, 2 α ( 1 v + r ε (t)) r α dx r ε (1 v(t))r dx, α r ε (1 v (t)) r α dx r ε (1 v)r dx, ε A r 1 ε r 1 r v r dx r v r dx. (4.6)

104 14 CHAPITRE 4. MATHEMATICAL ANALYSIS OF THE MODEL Te definition of v (t) gives ε r 1 r v (t) r dx = A ε r 1 r v r dx + A c ε r 1 r v+ (t) r dx From (4.56), we obtain 1 ( ) v + 2 (t)2 + η Ae + (t) : e+ (t) dx ε + A r 1 α ( r v+ (t) r dx + 1 v + r ε (t)) r dx. 1 ( v 2 (t) 2 + η ) Ae + (t) : e+ (t) dx ε + A r 1 α r v r dx + r ε (1 v (t)) r dx. (4.61) Te previous convergence results (4.59), (4.6), and te last inequality yield to 1 ( v(t) 2 + η ) Ae(t) : e(t) dx 2 ε r 1 α + r v(t) r dx + r ε (1 v(t))r dx. 1 ( v 2 + η ) Ae(t) : e(t) dx 2 ε r 1 α + r v r dx + r ε (1 v)r dx. (4.62) for all v W 1,r (), v = 1 on D, wit v v(t) in, wic completes te proof. Remark 2 Te existence result is also true for B = (i.e. witout ardening). 4.4 Conclusion In tis capter, we studied an elasto-viscoplastic continuous evolution wit kinematic ardening and fracture. We proved an existence result of an evolution to te proposed model via a study of a discrete time evolutions obtained by solving incremental variational problems.

105 Capitre 5 Etude numérique 1D et 2D des modèles 1, 2 et Introduction Dans ce capitre, nous implémentons les évolutions des modèles 1,2 et 3. Nous approcons les évolutions continues via les évolutions semi-discrètes en temps qui sont les solutions de minimisation d une énergie discrète. Même si une telle solution existe à caque pas de temps, elle est caractérisée par un système d une équation et de deux inéquations variationnelles. Un tel système est difficile à implémenter. Pour cela, nous proposons un algoritme basé sur la minimisation alternée d une énergie discrétisée en espace à caque pas de temps. Le problème d une telle approce est que nous ne pouvons pas assurer qu un tel algoritme converge vers un minimum global de l énergie. Nous complétons alors cet algoritme par une étape appelée backtracking qui impose une condition supplémentaire aux états discrétisés liée au fait que l état trouvé au temps t n est aussi admissible aux pas de temps antérieurs, une fois convenablement remis à l écelle. Cette étape de backtracking a été proposée par B. Bourdin [11] dans le cadre des matériaux élastiques avec la rupture. Nous étendons cette idée aux matériaux à mémoire contenant la plasticité, la viscosité, la viscoplasticité et l écrouissage cinématique pour des cargements monotones. Tout d abord, nous présentons l étude numérique des modèles 1-3 sur un cas simple, celui de la traction d une barre 1D et montrons les différents types d évolution des modèles en fonction des paramètres mécaniques coisis. Ensuite, nous implémentons le modèle 3 dans le cadre d une barre 2D et de l expérience de Peltzer et Tapponnier. 15

106 16 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE 5.2 Préliminaires matématiques et numériques Les deux propositions suivantes vont nous servir à calculer localement la déformation plastique p. Nous rappelons que l ensemble des matrices symétriques 2 2 est noté Msym 2 2. Pour ξ, ζ M 2 2 sym nous définissons le produit scalaire entre les matrices ζ : ξ := ij ζ ijξ ij, et la norme matricielle associée ξ := ξ : ξ. Proposition Soit Y Msym, 2 2 a M 2 2 sym, τ >, C > et D satisfaisant la condition suivante avec α > : e M 2 2 sym, α e 2 De : e Soit X la solution du problème : min X M 2 2 sym ( 1 D(X a) : (X a) (X a) : Y + τ X a + C 2 ) (5.1) alors Y τ X = a Preuve : Considérons f(x, Y ) = 1 D(x a) : (x a) (x a) : Y +τ x a +C. 2 Supposons que Y τ. Alors pour tout x M 2 2 sym, l inégalité f(x, Y ) f(a, Y ) est vérifiée, car f(x, Y ) f(a, Y ) = 1 D(x a) : (x a) (x a) : Y + τ x a 2 α 2 x a 2 Y x a + τ x a (τ Y ) x a. Dans ce cas, on obtient X = a. Inversement, soit X la solution du problème (5.1). Alors f(x, Y ) f(x + tz, Y ) pour tout z Msym, 2 2 et t ], 1[. Nous obtenons alors τ X a + z τ X a + D(X a) : z z : Y Si X = a alors τ z z : Y pour tout z Msym 2 2 et particulièrement pour z = Y et donc Y τ. La formulation de la proposition permet de caractériser la solution X en 1D.

107 5.3. EVOLUTION SEMI-DISCRÈTE 17 Proposition (Cas 1D) Soit Y R, a R, D >, τ >, C >. Soit ( ) 1 X := argmin X R 2 D(X a)2 (X a)y + τ X a + C (5.2) Si X a alors X a = 1 D Y Y ( Y τ) = 1 D Y τ Y D Y. Preuve : Supposons que X a, ( Y > τ). Alors. a est différentiable en X et nous dérivons l équation d Euler-Lagrange associée : D(X a) Y + τ (X a) X a = Nous pouvons écrire Y comme une fonction de X : ( Y = (X a) D + Il s ensuit que Y = X a τ X a ( ) τ D + = X a D + τ, X a ). (5.3) et donc nous insérons la relation X a = Y τ D la relation desirée pour X a. dans (5.3) pour obtenir 5.3 Evolution semi-discrète en temps pour les modèles 1,2 et 3 Nous approcons les évolutions continues en temps des modèles construits par les évolutions semi-discrètes en temps obtenues résolvant les problèmes variationnels incrémentaux. Nous décrivons l évolution semi-discrète du matériau comme suit : nous considérons une partition de l intervalle [, T f ] en N f sous-intervalles de même longueur, = t < t 1 <... < t n <... < t N f = T f, avec = T f N f = t n t n 1.

108 18 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE Nous définissons B(t n ) := (z, q, ϕ) H1 () L 2 () H 1 (); z = w n, sur D, ϕ = 1, sur D, ϕ v n 1, dans.. Supposons pour n 1, que la solution approcée (u n 1, v n 1, p n 1 ) B(t n 1 ) est connue au temps t n 1. Nous cercons une solution approcée (u n, vn, pn ) au temps t n comme une solution du problème variationnel suivant : min E totale(z, q, ϕ, u n 1 (z,q,ϕ) B(t n ), v n 1, p n 1 ), (5.4) où, pour caque modèle, E totale est définie comme suit : 1. Modèle 1 : Elasto-plasticité, viscoelasticité et rupture : E 1 totale(z, q, ϕ, u n 1, v n 1, p n 1 ) = E el (ϕ, E(z) q) + E p (q, p n 1 + E ve (z, u n 1 ) + E S (ϕ). 2. Modèle 2 : Elasto-plasticité, viscoplasticité et rupture : E 2 totale(z, q, ϕ, u n 1 ), v n 1, p n 1 ) = E el (ϕ, E(z) q) + E p (q, p n 1 + E vp (q, p n 1 ) + E S (ϕ). 3. Modèle 3 : Elasto-plasticité, écrouissage cinématique et rupture : E 3 totale(z, q, ϕ, u n 1 ), v n 1, p n 1 ) = E el (ϕ, E(z) q) + E p (q, p n 1 ) + E KH (q) + E S (ϕ). Rappelons que les énergies E el, E ve, E p, E vp, E KH et E S ont été définies au capitre 3, section et au capitre 4, section Nous pouvons prouver que pour i = 1, 2, 3 le problème variationnel min E total(z, i q, ϕ, u n 1 (z,q,ϕ) B(t n ), v n 1, p n 1 ). (5.5) admet au moins une solution. Si (z n, q n, ϕ n ) n est une suite minimisante, nous pouvons vérifier que z n H 1, q n L 2, ϕ n H 1 sont uniformément bornées, et donc une sous-suite converge faiblement vers un triplet (z, q, ϕ). La seule difficulté dans le passage à la limite dans E totale vient du terme ϕ 2 na(ez n q n ) : (Ez n q n ) dx,

109 5.4. ALGORITHME DE MINIMISATION ALTERNÉE 19 lequel peut être réécrit Aϕ n (Ez n q n ) : ϕ n (Ez n q n ) dx, et comme on a Ez n Ez faiblement dans L 2, ϕ n ϕ faiblement dans H 1, ϕ n, ϕ 1, q n q faiblement dans L 2, ϕ n (Ez n q n ) ϕ(ez q) faiblement dans L 2. Notons aussi que E totale n est pas convexe à cause du terme ϕ 2 (E(z) q) : (E(z) q) dans l énergie élastique. Donc le problème (5.5) peut avoir plusieurs solutions. 5.4 Un algoritme de minimisation alternée et backtracking pour les matériaux avec mémoire Une solution (u n, vn, pn ) du problème (5.5) est caracterisée par un système d une égalité et de deux inégalités variationnelles. Un tel système n est pas facile à résoudre numériquement. Pour cette raison, nous proposons de résoudre le problème (5.5) à caque pas de temps t n en utilisant un algoritme de minimisation alternée. L avantage de cette approce est que le problème (5.5) est séparement strictement convexe en caque variable Un algoritme de minimisation alternée En pratique, ce n est pas exactement les problèmes variationnels que nous résolvons dans la procédure alternée, mais nous résolvons les équations d optimalité des problèmes qui ont été discrétisés aussi en espace. Cela peut introduire les minima locaux comme illustre l exemple suivant de la traction d une barre 1D. Supposons que u, v W 1, (, T f, ) représentent le déplacement et le traceur de rupture de la barre 1D définie par = (, L). (u n, vn ) sont approcés en espace par des éléments finis P1. Nous considérons un modèle

110 11 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE Algoritme 1 Algoritme de minimisation alternée Soient δ 1 > et δ 2 > des paramètres de tolérance fixés. 1. Soit m =, v n (m=) = vn 1 2. itérer 3. Trouver (u n (m), pn (m) ) := argmin (u,p)e totale (u, p, v n (m 1) ) 4. Soit l =, p n (l=) = pn 1 5. itérer 6. u n (l) := argmin ue totale (u, p n (l 1), vn (m 1) ) 7. p n (l) := argmin pe totale (u n (l), p, vn (m 1) ) 8. jusqu à u n (l) un (l 1) H 1 δ 1 9. Nous définissons u n (m) := un (l) et pn (m) := pn (l) à convergence 1. Soit v n (m) := argmin ve totale (u n (m), pn (m), v) 11. jusqu à v n (m) vn (m 1) H 1 δ Nous définissons u n := un (m), pn := pn (m) et vn := vn (m) à convergence simple d évolution avec l élasticité et la rupture seulement où l énergie totale s écrit E totale (u, v) = E el (v, u ) + E S (v) = 1 (v 2 + η)k(u ) 2 dx + 2 ε(v ) 2 + (1 v)2 4ε avec K > est le module de Young fixé et où u, v désignent les dérivées de u, v par rapport à x (variable d espace). La barre n a pas de fracture à t = et donc v(x, ) = 1. Elle est fixée à x =, tandis qu une traction uniforme u(l, t) = tl est appliquée à l autre extremité. Lorsque la valeur de u est proce d une constante au temps t, plus précisement u (x, t) t, alors la condition d optimalité d Euler-Lagrange de la minimisation de l énergie totale par rapport à v mène à dont la solution est v ( ) 1 4ε + Kt2 v ε 4ε =, 2 v(x, t) = C 1 e x 2 4Kt 2 ε+2 4ε + C 2 e x 2 4Kt 2 ε+2 1 4ε + 2Kt 2 ε + 1, dx,

111 5.4. ALGORITHME 111 avec C 1 := (2Kt 2 ε + 1) e L 2 4Kt 2 ε+2 ( e L 4ε 1 2 4Kt 2 ε+2 4ε e L 2 4Kt 2 ε+2 4ε ), et C 2 := (2Kt 2 ε + 1) e L 2 4Kt 2 ε+2 ( e L 4ε 1 2 4Kt 2 ε+2 4ε e L 2 4Kt 2 ε+2 4ε ). Nous obtenons ces profils lors de l implémentation en accord avec l algoritme décrit ci-dessus jusqu au moment où t atteint une valeur suffisamment grande pour que le terme (v2 + η)k(u ) 2 dx domine (1 v) 2 dx dans l énergie totale, voir Figures 5.1, 5.2, 5.3 (nous utilisons les mêmes paramètres que [15]). 4ε Notons que, due à la présence des exponentielles dans l expression de v, ces profils varient, de manière significative seulement au voisinage des extrémités x = et x = L, et sont pratiquement constants ailleurs, et pour cela ne correspondent pas à l image de la rupture généralisée comme montré à la Figure 2.1. En plus, les u, v correspondants sont seulement les minima locaux (voire les points critiques), et on peut trouver des états d énergie totale inférieure Figure 5.4. Notons que coisissant ε plus petit n améliore pas la situation. Cette obstacle a été observé par Bourdin [11], [12], qui a suggéré de compléter l algoritme numérique avec une étape supplémentaire appelée backtracking. Après caque itération en temps, nous imposons une condition supplémentaire, sur les minima globaux, dérivée de la définition (5.4) de l évolution semi-discrète en temps. Nous étendons cette idée dans le contexte de nos modèles, où en plus la plasticité et dissipation visqueuse peuvent aussi apparaître Backtracking Comme le cargement est monotone, si (u n, pn, vn ) est une solution de (5.4) au temps t n, alors ( tj t n u n, tj t n p n, vn )) est un triplet admissible au temps t j tn. Et donc, nous devrions avoir l inégalité E totale (u j, pj, vj ) E totale( tj u n t, tj p n n t, v). n (5.6) n Numériquement nous vérifions cette condition pour tout t j tn. S il existe un j tel que cette condition n est pas vérifiée, (u j, pj, vj ) ne peut pas être un

112 112 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE 1.5 v(x) 5. du(x)/dx Profile of v 1..5 Space derivative of u Lengt of beam Lengt of beam Figure 5.1 Profil de v(t,.) lors d une évolution élastique avec la rupture au temps t = 4. Figure 5.2 Profil de u (t,.) lors d une évolution élastique avec la rupture au temps t = Surface energy Surface energy 8 Elastic energy Total energy 8 Elastic energy Total energy Energy 5 4 Energy Tim e Tim e Figure 5.3 Evolution de l énergie totale, élastique et de rupture durant l expérience de traction 1D sans backtracking Figure 5.4 Evolution de l énergie totale, élastique et de rupture durant l expérience de traction 1D avec backtracking

113 5.5. CALCUL NUMÉRIQUE DU TENSEUR PLASTIQUE P 113 minimiseur global au temps t j, et nous revenons dans les calculs numériques au temps t j en recalculant (uj, pj, vj ) avec l algoritme de minimisation alternée et avec les conditions initiales v j (m=) = vn et pj (l=) = pj 1. Nous présentons le scéma de l algoritme 1 avec Backtracking ci-dessous pour le modèle 1 seulement. Le calcul reste vrai pour les modèles 2 et 3. Algoritme 2 Algoritme 1 avec backtracking pour Modèle 1 Soit δ 3 > un paramètre de tolérance fixé. 1. n = 1 2. itérer 3. Calculer (u n, pn, vn ) avec Algoritme Calculer les énergies E el (v n, E(un ) pn ), E ve(u n, un 1 ), E p (p n, pn 1 ), E S (v n). 5. for j = 1 to j = n 1 6. if E totale (u j, vj, pj, uj 1 7. ten n = j, 8. on revient à avec v j (m=) = vn et pj (l=) = pj 1 1. end if 11. end for 12. n = n jusqu à n = N f, p j 1 ) E totale ( tj t n u n, vn, tj t n p n, uj 1, p j 1 ) > δ Calcul numérique du tenseur plastique p Dans l algoritme de minimisation alternée nous sommes ramenés à calculer le tenseur plastique p à (u, v) fixés comme la solution du problème de minimisation p := argmin q E totale (u, q, v, u n 1, v n 1, p n 1 ) (5.7) Nous expliquerons ici en détail le calcul seulement pour le modèle 1. Le même type d argument est utilisé pour les modèles 2 et 3.

114 114 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE Calcul de p pour le Modèle 1 Considérons S = R dans le cas 1D et S = M 2 2 sym dans le cas 2D. Rappelons que l énergie globale du modèle 1 s écrit E 1 totale(u, q, v, u n 1, v n 1, p n 1 ) = E el (v, E(u) q) + E p (q, p n 1 + E ve (u, u n 1 ) + E S (v). ) Par un argument de localisation, nous pouvons écrire que pour presque tout x, la solution p(x) S du problème de minimisation (5.7) vérifie (v 2 (x) + η)a(e(u) p)(x) H(p(x) p n 1 (x)). (5.8) et donc pour tout q S, τ q τ p(x) p n 1 (x) (5.9) + (v 2 (x) + η)a(e(u) p)(x)(q (p(x) p n 1 (x))). En testant (5.9) avec q p n 1 (x) on obtient τ q p n 1 (x) τ p(x) p n 1 (x) (5.1) Alors, en utilisant la relation + (v 2 (x) + η)a(e(u) p)(x)(q p(x)). A(E(u) p)(x)(q p(x)) = 1 A(q p(x)) : (q p(x)) A(E(u) p) : (E(u) p)(x) 2 1 A(E(u)(x) q) : (E(u)(x) q), 2 nous déduisons de (5.1) que pour presque tout x, et tout q S, 1 2 (v2 (x) + η)a(e(u) p) 2 (x) + τ p(x) p n 1 (x) (5.11) 1 2 (v2 (x) + η)a(e(u)(x) q) 2 + τ q p n 1 (x). La relation (5.11) implique que pour presque tout x, p(x) réalise le minimum de ( ) 1 min q S 2 (v2 (x) + η)a(e(u)(x) q) 2 + τ q p n 1 (x) (5.12)

115 5.5. CALCUL NUMÉRIQUE DU TENSEUR PLASTIQUE P 115 Numériquement nous déterminons le tenseur plastique p comme une P- approximation en espace en résolvant le problème (5.12) localement sur caque triangle du maillage. Notons que pour détérminer p dans (5.12), nous ne procédons pas de la même façon en 1D et 2D. En 1D, par Proposition 5.2.2, le tenseur plastique p est calculé explicitement en fonction de u et de v. En 2D nous utiliserons une métode de descente de gradient pour approcer p. Cas 1D : Nous réécrivons l énergie locale dans (5.12) comme suit : 1 2 (v2 (x) + η)k(u (x) q) 2 + τ q p n 1 (x) = 1 2 (v2 (x) + η)k(q p n 1 (x)) 2 + τ q p n 1 (x) (v 2 (x) + η)k(q p n 1 (x))(u p n 1 )(x) (v2 (x) + η)k(u p n 1 ) 2 (x) on applique ensuite la proposition avec X = q, a = p n 1 (x), Y = (v 2 (x) + η)k(u (x) p n 1 )(x), D = (v 2 (x) + η)k, C = 1 2 (v2 (x) + η)k(u p n 1 ) 2 (x). Pour presque tout x, la loi d écoulement plastique est donnée localement par si K(v 2 + η)(u p n 1 )(x) τ alors p(x) = p n 1 (x), si K(v 2 + η)(u p n 1 )(x) > τ alors τ (u p n 1 ) p(x) = u (x) K(v 2 (x) + η) (u p n 1 ) (x). Cas 2D : Définissons l enérgie locale E 1 loc(p)(x) := 1 2 ((vn (m 1)) 2 (x) + η)a(e(u n (l))(x) p) : (E(u n (l))(x) p) + τ p p n 1 (x). associée au problème de minimisation globale dans l Algoritme 1 : p n (l) := argmin p E totale (u n (l), p, v n (m 1)). (5.13) Appliquant la Proposition 5.2.1, la loi d écoulement plastique est donnée localement comme suit : si A(v 2 + η)(e(u) p n 1 )(x) τ, alors p n (l) (x) = pn 1 (x), si A(v 2 +η)(e(u) p n 1 )(x) > τ, nous utilisons la métode de descente de gradient appliquée à l énergie locale Eloc 1 décrite ci-dessous :

116 116 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE Algoritme 3 Métode de déscente de gradient pour p n (l) (x) Soient δ >, α >, erreur > des paramètres de tolérance fixés. 1. Si ((v n (m 1) )2 + η)a(e(u n (l) ) pn 1 ) (x) τ alors p n (l) (x) = pn 1 (x) 2. sinon (Métode de descente de gradient) 3. Soit k =, p (n,k=) (l) (x) p n 1 (x) 4. itérér 5. p n,k (l) (x) = pn,k 1 (l) (x) α Eloc 1 (pn,k 1 )(x) 6. si Eloc 1 (pn,k (l) )(x) > E loc 1 (pn,k 1 (l) )(x) alors α = α/2 sinon erreur = Eloc 1 (pn,k (l) )(x) E loc 1 (pn,k 1 (l) )(x). 7. jusqu à erreur < δ 8. nous définissons p n (l)(x) := pn,k(x) à convergence. (l) (l) Calcul du tenseur plastique p pour les modèles 2 et 3 pour le modèle 2, l énergie locale s écrit E 2 loc(p)(x) := 1 2 ((vn (m 1)) 2 (x) + η)a(e(u n (l))(x) p) : (E(u n (l))(x) p) + β 2 2 p pn 1 (x) 2 + τ p p n 1 (x). La loi d écoulement plastique s écrit en 1D : pour presque tout x : si K(v 2 + η)(u p n 1 ) (x) τ alors p(x) = p n 1 (x), si K(v 2 + η)(u p n 1 ) (x) > τ alors p(x) = K(v 2 + η)u + β pn 1 (x) K(v 2 + η) + β τ K(v2 + η)(u p n 1 ) (K(v 2 + η) + β ) K(v 2 + η)(u p n 1 ) (x). pour le modèle 3, l énergie locale s écrit E 3 loc(p)(x) := 1 2 ((vn (m 1)) 2 (x) + η)a(e(u n (l))(x) p) : (E(u n (l))(x) p) Bp : p + τ p pn 1 (x).

117 5.6. SIMULATIONS NUMÉRIQUES 117 La loi d écoulement plastique s écrit en 1D : pour presque tout x si K(v 2 + η)(u p n 1 ) kp n 1 (x) τ alors p(x) = p n 1 (x), si K(v 2 + η)(u p n 1 ) kp n 1 (x) > τ alors p(x) = K(v2 + η)u K(v 2 + η) + k (x) τ K(v 2 + η)(u p n 1 ) kp n 1 (K(v 2 + η) + k) K(v 2 + η)(u p n 1 ) kp n 1 (x), où k > est une constante d écrouissage. 5.6 Etude numérique des pénomènes dissipatifs durant la déformation- Simulations numériques 1D et 2D Dans cette section, nous étudions numériquement des évolutions des modèles 1-3 en fonction de leurs paramètres mécaniques pour voir si pendant une évolution plusieurs pénomènes dissipatifs peuvent être observés. Remarque 3 Comme nous imposons un cargement croissant durant les évolutions étudiées, nous omettons la condition d irréversibilité ϕ v n 1 dans le calcul numérique Expérience de traction 1D Considérons une barre = (, L) de longueur L, de module de Young K >. Elle est fixée en x =. On impose une condition de type Diriclet u(l, t)=tl en son extrémité droite x = L. A caque temps t n, un, vn sont approcés par des éléments finis P1, alors que p n est approcé par des éléments P. Modèle élasto-parfaitement plastique avec rupture Si nous posons β 1 = dans le Modèle 1 ou β 2 = dans le Modèle 2, ces modèles se réduisent au modèle d élasto-plasticité parfaite avec rupture numérique. min E el(v, E(z) q) + E p (q, p n 1 (z,q,ϕ) B(t n ) ) + E S (ϕ). (5.14) Dans cet exemple, nous illustrons l importance de l étape de backtracking. Nous appliquons l algoritme de minimisation alternée sans backtracking

118 118 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE avec le coix de paramètres suivants : L = 1, K = 4, τ = 1.5, pas de discrétisation en espace x =.15, pas de discrétisation en temps =.25, η = 1 6, ε =.94. Avec ce coix de paramètres, nous observons sur la figure 5.5 que si la barre est élastique (v = 1, p = ) au temps t =, elle reste élastique jusqu au temps t.5 quand la barre commence à se déformer plastiquement. Une fracture apparaît au temps t 3. Comme le cargement est monotone, si le système est sans fracture et si p = en t = il devrait rester en régime élastique jusqu au moment où la contrainte atteint le seuil de plasticité ou bien la fracture apparaît. On peut facilement vérifier que s il n y a pas de rupture, le seuil de plasticité devrait être atteint au temps t p = τ/k, tandis que s il n y pas de déformation plastique, la rupture devrait apparaître au temps t c = 2/KL. Avec le coix de paramètres ci-dessus, nous obtenons t p =.375 et t c =.224. Sur la figure 5.5 cependant, nous observons que la barre reste élastique jusqu au temps t.5, bien au délà des temps t p et t c téoriques. La Figure 5.6 montre la même expérience numérique de traction avec l étape de backtracking en plus. Nous voyons que le matériau élastique se casse au temps de simulation t.25 ce qui est proce du temps téorique t c =.224. Cangons maintenant le paramètre plastique à τ = Surface energy Surface energy 7 Elastic energy Plastic energy 7 Elastic energy Plastic energy Total energy Total energy Energy 4 Energy Tim e Tim e Figure 5.5 Evolution des énergies totale, élastique, plastique et de surface sans backtracking durant expérience de la traction 1D, τ = 1.5. Figure 5.6 Evolution des énergies totale, élastique, plastique et de surface avec backtracking durant expérience de la traction 1D, τ = 1.5. de sorte que le temps de plastification attendu téorique devienne t p =.2. La Figure 5.7 montre que, comme attendu, comme t p < t c, la déformation plastique a lieu avant la rupture. Comme dans ce modèle l énergie élastique reste constante après la plastification, aucune rupture peut apparaître après t p. Dans la suite nous utiliserons les mêmes paramètres de discrétisation et le

119 5.6. SIMULATIONS NUMÉRIQUES Surface energy Elastic energy Plastic energy Total energy 6 5 Energy Tim e Figure 5.7 Evolution des énergies totale, élastique, plastique et de surface avec backtracking durant expérience de la traction 1D, τ =.8. module de Young est coisi comme dans On applique le test de traction aux modèles 1, 2, 3 pour plusieurs coix de paramètres mécaniques τ, β 1, β 2 pour avoir une idée qualitative de leur comportement. Dans tous les calculs suivants, la stratégie de backtracking est appliquée. Modèle 1 - Modèle élasto-plastique avec viscoélasticité et rupture. Le modèle 1 peut montrer différents mécanismes de dissipation : élastoplasticité (Figure. 5.8), élasticité avec rupture (Figure. 5.9), viscoélasticité avec rupture (Figure. 5.1), élasto-visco-plasticité avec rupture (Figure. 5.11), elasto-visco-plasticité sans rupture (Figure. 5.12). Modèle 2 - Modèle élasto-plastique avec viscoplasticité et rupture. Pour ce modèle, nous ne pouvons pas exclure des régimes complexes, cependant dans toutes nos simulations numériques, nous observons seulement qu après le régime élastique initial, soit le matériau plastifie (Figure 5.13), soit la rupture apparaît (Figure 5.14). Modèle 3 - Modèle elasto-plastique avec écrouissage cinématique et la rupture. Nous coisissons le paramètre d écrouissage k =.5. Pour τ = 1, la Figure 5.15 montre le régime élastique avec rupture. Pour τ =.7, le matériau

120 12 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE 8 Surface energy 8 Surface energy 7 Elastic energy Plastic energy 7 Elastic energy Plastic energy Viscoelastic energy Viscoelastic energy 6 Total energy 6 Total energy 5 5 Energy 4 Energy Tim e Tim e Figure 5.8 Evolution des énergies totale, élastique, plastique,viscoélastique et de surface avec backtracking durant expérience de la traction 1D, τ = 1, β 1 =.1. Figure 5.9 Evolution des énergies totale, élastique, plastique, viscoélastique et de surface avec backtracking durant expérience de la traction 1D, τ = 1.5, β 1 = Surface energy Surface energy 7 Elastic energy Plastic energy 7 Elastic energy Plastic energy Viscoelastic energy Viscoelastic energy 6 Total energy 6 Total energy 5 5 Energy 4 Energy Tim e Tim e Figure 5.1 Evolution des énergies totale, élastique, plastique, viscoélastique et de surface avec backtracking durant expérience de la traction 1D, τ = 5, β 1 =.1. Figure 5.11 Evolution des énergies totale, élastique, plastique, viscoélastique et de surface avec backtracking durant expérience de la traction 1D, τ = 1.5, β 1 =.1.

121 5.6. SIMULATIONS NUMÉRIQUES Surface energy Surface energy 7 Elastic energy Plastic energy 7 Elastic energy Plastic energy Viscoelastic energy Viscoplastic energy 6 Total energy 6 Total energy 5 5 Energy 4 Energy Tim e Tim e Figure 5.12 Evolution des énergies totale, élastique, plastique, viscoélastique et de surface avec backtracking durant expérience de la traction 1D, τ = 1, β 1 = 5. Figure 5.13 Evolution des énergies totale, élastique, plastique, viscoplastique et de surface avec backtracking durant expérience de la traction 1D, τ = 1, β 2 = Surface energy Elastic energy Plastic energy Viscoplastic energy Total energy 5 Energy Tim e Figure 5.14 Evolution des énergies totale, élastique, plastique, viscoplastique et de surface avec backtracking durant expérience de la traction 1D, τ = 1, β 2 = 1.

122 122 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE plastifie tout d abord et il casse après comme le montre la Figure En effet, l écrouissage cinématique permet la translation de la surface de seuil de plasticité et pour cela l énergie élastique peut augmenter après la plastification, et donc la rupture peut apparaître. 8 Surface energy 8 Surface energy 7 Elastic energy Plastic energy Hardening energy 7 Elastic energy Plastic energy Hardening energy 6 Total energy 6 Total energy 5 5 Energy 4 Energy Tim e Tim e Figure 5.15 Evolution des énergies totale, élastique, plastique, d écrouissage de surface avec backtracking durant expérience de la traction 1D, τ = 1. Figure 5.16 Evolution des énergies totale, élastique, plastique, d écrouissage et de surface avec backtracking durant expérience de la traction 1D, τ = Expériences numériques de traction 2D - Modèle 3 Des expériences numériques de la traction 1D des modèles 1,2 et 3 nous concluons que numériquement les modèles 1 et 3 permettent des évolutions plus complexes, cacun de leur mécanisme dissipatif peut être réalisé. Ces deux modèles permettent de plastifier le matériau et après le casser durant l évolution. Tandis que pour le modèle 3, nous pouvons justifier de point de vue pysique un tel comportement, pour le modèle 1 notre conclusion n est basée que sur les expériences numériques. Le comportement des modèles construits dépend fortement du coix des paramètres mécaniques (τ, β 1, β 2, K). Dans cette section, nous illustrons le comportement du modèle 3 sur une expérience de traction 2D. Rappelons qu à la différence du cas 1D, la minimisation de l énergie totale par rapport à p n est pas explicite, et que nous implémentons p avec la métode de descente de gradient. Nous considérons une barre de longueur L = 1 et de section S = 1 (donc = (, L) (, 1)) qui est fixée à l extrémité gauce en (x, y) = (, y) pour y (, S). Les paramètres élastiques du modèle sont K = 1 et ν =.252 le coefficient de Poisson. Pour y (, S), nous imposons au temps t n un

123 5.6. SIMULATIONS NUMÉRIQUES 123 déplacement constant en espace t n W = (t n U, ) avec U > à l extremité droite (x, y) = (L, y) de la barre. Nous considérons la matrice d écrouissage B comme matrice diagonale B = ki 2 avec k >. Nous présentons les expériences numériques avec les paramètres suivants : =.1, x =.5, ε =.25, k = 1, τ = 1, U = 1. L évolution du modèle 3 montre qu avec ce Elastic energy Fracture energy Plastic energy Hardening 1 energy time Figure 5.18 Profil de v(t,.)- approximation en espace de rupture au temps t = 5. Figure 5.17 Evolution des énergies élastique, plastique, d écrouissage et de surface avec backtracking pendant l expérience de la traction 2D. Figure 5.19 Profil de la norme matricielle p(t,.) au temps t = 5, ( p(t,.) =.8 (jaune), p(t,.) =.9 (vert)). coix de paramètres, le matériau est déformé plastiquement et puis une fissure apparaît. Nous reproduisons qualitativement le comportement similaire à celui de l expérience de la traction 1D Sur la Figure 5.18, la zone jaune représente la zone fracturée tandis que la zone magenta représente la zone sans rupture v 1. La Figure 5.19 montre les zones de déformation plastique Simulation numérique 2D de l expérience de Peltzer et Tapponnier En utilisant le modèle 3, nous reproduisons numériquement les premières étapes de l expérience de Peltzer et Tapponnier, voir Figure 5.2. Rappelons que, cette expérience est utlisée pour modéliser l action de l Inde (vu comme un poinçon) sur le Plateau Tibétain (modélisé par une couce de plasticine). Nous considérons le domaine carré = (, 1) (, 1), qui représente la couce de plasticine, voir Figure Au temps t n, le poinçon est

124 124 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE modelisé par un déplacement imposé u = t n U = (, t n U ) avec U > sur 3. Nous imposons aussi une condition u = sur 6 qui modélise que le bord Nord de l expérience est fixé et nous imposons aussi une condition de non pénétration u. n = sur 1 pour favoriser les mouvements orizontaux afin de s approcer au mieux de l expérience de Peltzer et Tapponnier. Rappelons que nous coisissons le modèle 3 pour la simulation numérique, car ce modèle nous permet d observer plusieurs pénomènes dissipatifs lors d une évolution : déformation plastique et rupture. L objectif de quelques tests numériques, que nous allons présenter, est d étudier le comportement du modèle 3 appliqué à l expérience de Peltzer et Tapponnier en fonctions des paramètres d élasticité et de plasticité (K, k, τ, µ), de rupture ε et de discrétisation en temps et en espace (, x) pour avoir une idée qualitative de comportement mécanique et numérique de notre modèle. Tout d abord, nous utilisons les paramètres suivants : =.5, x =.17, ε =.15, K = 1, k = 1, τ = 1, ν =.252, U = 1. Sur la Figure 5.28 des énergies, nous observons que le modèle 3 permet de déformer plastiquement la couce de plasticine (t p.5) et puis une fissure se crée au temps t c.25. Plus précisement une fissure se crée au Nord du poinçon (Figures 5.22), puis elle se propage de façon symétrique (Figures 5.23), pour après se propager vers l Est (Figures 5.24) et l Ouest (Figures 5.25). Sur la Figure 5.26 nous montrons le profil de rupture au temps t = 2. Le comportement observé est en accord qualitatif avec l expérience analogue, nous observons tout d abord une légère déformation de la plasticine et puis une fissure apparaît. Sa géométrie est similaire à la géométrie de la rupture de la plasticine. La Figure 5.27 indique les régions de la déformation plastique au temps t = 2. Cette déformation n est pas localisée le long de la rupture. Prenons maintenant dans les calculs numériques ε =.85. Une Figure 5.2 Expérience de la plasticine de Tapponnier et Peltzer. Figure 5.21 Domaine avec la partition du bord. fissure se crée au temps t =.2 au Nord du poinçon et puis et se propage

125 5.6. SIMULATIONS NUMÉRIQUES 125 Figure 5.22 Profil de v(t,.)- approximation de la rupture au temps t =.25. Figure 5.23 Profil de v(t,.)- approximation de la rupture au temps t =.3. Figure 5.24 Profil de v(t,.)- approximation de la rupture au temps t =.35. Figure 5.25 Profil de v(t,.)- approximation de la rupture au temps t =.55.

126 126 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE Figure 5.26 Profil de v(t,.)- approximation de la rupture au temps t = 2. Figure 5.27 Profil de la norme matricielle de tenseur plastique p(t,.) au temps t = Elastic energy Fracture energy Plastic energy Hardening Elastic energy Fracture energy Plastic energy Hardening 1 1 energy.8.6 energy time time Figure 5.28 Evolution des énergies élastique, plastique, d écrouissage et de surface, ε =.15 Figure 5.29 Evolution des énergies élastique, plastique, d écrouissage et de surface, ε =.85

127 5.6. SIMULATIONS NUMÉRIQUES 127 en se refermant de 2 côtés de poinçon (Figures 5.3, 5.31, 5.32, 5.33, 5.34). Sur la figure 5.29 nous observons que le matériau se déforme plastiquement, puis une rupture apparaît. Observons aussi que la déformation plastique n est pas très localisée le long de la fissure (Figure 5.35). Pour ce coix de ε, une rupture ne se propage pas vers l Ouest du domain comme attendu. Nous Figure 5.3 Profil de v(t,.)- approximation de la rupture au temps t =.2. Figure 5.31 Profil de v(t,.)- approximation de la rupture au temps t =.25. allons maintenant étudier le modèle 3 en fonctions de différents paramètres mécaniques K, k, τ, ν. Pour ε =.15, nous proposons 8 expériences différentes dont nous traçons les évolutions des énergies au cours de temps. Pour ces évolutions, la rupture a la géometrie de l expérience de la plasticine. Pour les expériences 1 et 2 nous augmentons les valeurs de K, ce qui permet d augmenter les énergies d écrouissage et de plasticité (Figures 5.37 et Figures 5.38). Si on augemente le paramètre de seuil de plasticité τ = 1, l évolution a tendance à devenir seulement élastique avec rupture. Sur la figure 5.39, à caque temps, l énergie d écrouissage et de plasticité sont principalement d ordre La plasticité n est pas très localisée une fois la rupture apparue. Pour les expériences 4, 6, 7 et 8 nous observons une localisation de la déformation plastique le long de la rupture (Figures 5.45, 5.47, 5.48, 5.49). Avec le coix des paramètres donnés, dans le cadre de l expérience 4 il y a plus de déformation plastique que dans les cas 6, 7 et 8. Il y a aussi une très légère localisation pour l expérience 5 (Figure 5.46). Pour le coix de τ = 1 dans ces expériences, nous observons sur les figures d évolution d énergies la présence de l énergie plastique plus importante avant l apparition de la rupture (Figures ). Détaillons en particulier, le calcul numérique lors d une évolution pour l expérience 4. Sur les figures nous traçons la déformation plastique et le profil de la rupture au cours de temps.

128 128 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE Figure 5.32 Profil de v(t,.)- approximation de la rupture au temps t =.3. Figure 5.33 Profil de v(t,.)- approximation de la rupture au temps t =.45. Figure 5.34 Profil de v(t,.)- approximation de la rupture au temps t = 2. Figure 5.35 Profil de la norme matricielle de tenseur plastique p(t,.) au temps t = 2.

129 5.6. SIMULATIONS NUMÉRIQUES 129 Nous observons une localisation de l énergie plastique ainsi que la propagation d une fissure avec accord de l expérience de Tapponnier et Peltzer. Plus précisement, il y a une plastification du matériau jusqu à t =.1 où la déformation plastique se cumule dans le matériau (Figures 5.5, 5.51), puis quand une fissure apparaît (Figures 5.53 et 5.55), le système se relâce et la déformation plastique se localise le long de la rupture (Figures 5.52, 5.54). Dans la suite de calcul numérique pour l expérience 4 nous prenons ε =.85. Avec les paramètres coisis, une fissure apparait à t =.2, qui est plus localisée et garde sa géometrie en accord avec l expérience de la plasticine (Figure 5.61). La déformation plastique se cumule jusqu à t =.15 (Figures 5.56, 5.57 et 5.58) en se localisant une fois la fissure apparue (Figure 5.6). Avec les calculs numériques effectués, nous pouvons conclure que le modèle 3 est sensible aux paramètres mécaniques ainsi qu au paramètre de la rupture ε. Pour certains coix de paramètres mécaniques, nous observons qualitativement le comportement similaire à celui de l expérience de Peltzer et Tapponnier. Pour tester la stabilité du calcul numérique pour la discrétisation en espace, nous prenons maintenant x.8. A caque temps, nous obtenons une erreur en valeur absolue pour caque énergie au plus d ordre 1 2. Qualitativement, nous obtenons le comportement similaire pour x.17 et pour x.8 (Figure 5.62 et Figure 5.63). Pour tester la stabilité du calcul numérique pour la discrétisation en temps, nous considérons les paramètres : ε =.85, x =.17, =.25. Nous constatons qu une fissure (généralisée) apparaît à t =.175 au lieu t =.2 (Figures 5.69 et 5.7) avec la géometrie de rupture similaire (Figure 5.71) que celle de la plasticine. Jusqu à t =.15, le matériau plastifie et le lieu de plastification est similaire à celui avec =, 5. Il suffit de comparer la figure 5.56 avec la figure 5.65 (t =.5), figure 5.57 avec 5.67 (t =.1), figure 5.58 avec figure 5.69 (t =.15). Le comportement numérique de discrétisation en temps paraît qualitativement stable. Sur la figure 5.73, nous présentons l évolution des énergies. Nous observons les profils des énergies élastique, de rupture et d écrouissage similaires aux profils des énergies pour =.5 (Figure 5.62). Le profil de l énergie plastique E pl paraît un peu différent ce qui est lié à la définition de E pl dont l intégrande dépend de p n pn 1.

130 13 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE K τ k ν Expérience Expérience Expérience Expérience Expérience Expérience Expérience Expérience Figure 5.36 Le tableau des différents paramètres mécaniques pour les expériences numériques Elastic energy Fracture energy Plastic energy Hardening Elastic energy Fracture energy Plastic energy Hardening 1 1 energy.8.6 energy time time Figure 5.37 Expérience 1 Figure 5.38 Expérience Elastic energy Fracture energy Plastic energy Hardening Elastic energy Fracture energy Plastic energy Hardening 1 1 energy.8.6 energy time time Figure 5.39 Expérience 3 Figure 5.4 Expérience 4

131 5.6. SIMULATIONS NUMÉRIQUES Elastic energy Fracture energy Plastic energy Hardening Elastic energy Fracture energy Plastic energy Hardening 1 1 energy.8.6 energy time time Figure 5.41 Expérience 5 Figure 5.42 Expérience Elastic energy Fracture energy Plastic energy Hardening Elastic energy Fracture energy Plastic energy Hardening 1 1 energy.8.6 energy time time Figure 5.43 Expérience 7 Figure 5.44 Expérience 8 Figure 5.45 Expérience 4- Profil de la norme matricielle du tenseur plastique p(t,.) au temps t = 2. Figure 5.46 Expérience 5- Profil de la norme matricielle du tenseur plastique p(t,.) au temps t = 2.

132 132 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE Figure 5.47 Expérience 6- Profil de la norme matricielle du tenseur plastique p(t,.) au temps t = 2. Figure 5.48 Expérience 7- Profil de la norme matricielle du tenseur plastique p(t,.) au temps t = 2. Figure 5.49 Expérience 8- Profil de la norme matricielle du tenseur plastique p(t,.) au temps t = 2.

133 5.6. SIMULATIONS NUMÉRIQUES 133 Figure 5.5 Expérience 4- Profil de la norme matricielle du tenseur plastique p(t,.) au temps t =.5. Figure 5.51 Expérience 4- Profil de la norme matricielle du tenseur plastique p(t,.) au temps t =.1. Figure 5.52 Expérience 4- Profil de la norme matricielle du tenseur plastique p(t,.) au temps t =.15. Figure 5.53 Expérience 4- Profil de v(t,.)-approximation de la rupture au temps t =.15.

134 134 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE Figure 5.54 Expérience 4- Profil de la norme matricielle du tenseur plastique p(t,.) au temps t =.2. Figure 5.55 Expérience 4- Profil de v(t,.)-approximation de la rupture au temps t =.2. Figure 5.56 Expérience 4- p(t,.) au temps t =.5, =.5, ε =.85. Figure 5.57 Expérience 4- p(t,.) au temps t =.1, =.5, ε =.85.

135 5.6. SIMULATIONS NUMÉRIQUES 135 Figure 5.58 Expérience 4 p(t,.) au temps t =.15, =.5, ε =.85. Figure 5.59 Expérience 4 p(t,.) au temps t = 2, =.5, ε =.85. Figure 5.6 Expérience 4 p(t,.) au temps t =.2, =.5, ε =.85. Figure 5.61 Expérience 4 Profil de v(t,.)-approximation de la rupture au temps t =.2, =.5, ε =.85.

136 136 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE Elastic energy Fracture energy Plastic energy Hardening Elastic energy Fracture energy Plastic energy Hardening 1 1 energy.8.6 energy time time Figure 5.62 Expérience 4- Energies, ε =.85, x.17, =, 5. Figure 5.63 Expérience 4- Energies, ε =.85, x.8, =.5. Figure 5.64 Expérience 4- p(t,.) au temps t =.25, =.25. Figure 5.65 Expérience 4- p(t,.) au temps t =.5, =.25.

137 5.6. SIMULATIONS NUMÉRIQUES 137 Figure 5.66 Expérience 4- p(t,.) au temps t =.75, =.25. Figure 5.67 Expérience 4- p(t,.) au temps t =.1, =.25. Figure 5.68 Expérience 4- p(t,.) au temps t =.125, =.25. Figure 5.69 Expérience 4- p(t,.) au temps t =.15, =.25.

138 138 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE Figure 5.7 Expérience 4- p(t,.) au temps t =.175, =.25. Figure 5.71 Expérience 4- Profil de v(t,.)-approximation de la rupture au temps t =.175, = Elastic energy Fracture energy Plastic energy Hardening 1 energy time Figure 5.72 Expérience 4- p(t,.) au temps t = 2, =.25. Figure 5.73 Expérience 4- Energies, ε =.85, x.17, =.25.

139 5.7. CONCLUSION Conclusion Dans ce capitre, nous avons implémenté des modèles 1,2 et 3 en 1D sur l expérience de la traction d une barre 1D et le modèle 3 sur une expérience de traction 2D et de plasticine. Les modèles 1 et 3 paraissent avoir le comportement les plus complexes car ils permettent de mettre en oeuvre plusieurs mécanismes de dissipation simultanément (plasticité et rupture). Pour le modèle 3, ceci s explique par la possibilité de translater le convexe de plasticité. En effet, l énergie élastique peut augmenter après la plastification et donc le mécanisme de rupture peut se déclencer. La simulation numérique du modèle 3 dans le cadre de l expérience de plasticine nous paraît qualitativement être en bon accord avec les premières étapes de l expérience analogue de Tapponnier et Peltzer. Nous avons étudié le modèle 3 en fonction de différents paramètres mécaniques et nous concluons que le modèle est sensible à ces paramètres, surtout concernant de ε. Pour certain coix de paramètres (par exemple Expérience 4) nous pouvons localiser la déformation plastique le long de la rupture ce qui nous paraît aussi en bon accord avec la téorie de la rupture ductile, où l apparition de la fissure est précédée par la déformation anélastique. Nous avons aussi testé la robustesse des algoritmes en variant le pas de discrétisation en temps et en espace, et les calculs obtenus nous paraissent qualitativement stables.

140 14 CHAPITRE 5. ETUDE NUMÉRIQUE

141 Conclusion et perspectives Conclusion Le travail présenté porte sur la modélisation, l analyse et simulations numériques de matériaux solides combinant différents mécanismes de dissipation : plasticité, viscoplasticité, viscoélasticité, écrouissage cinématique linéaire et rupture. Ce travail a été motivé par des discussions avec des géopysiciens qui s intéressent à la modélisation de la crôute terrestre et en particulier à la modélisation de grandes failles à l écelle du continent asiatique. Nous avons essayé de nous approcer de leurs préoccupations via une classe de modèles matématiques et numériques qui pourraient reproduire (au moins partiellement) l expérience de Peltzer et Tapponnier qui est un modèle analogue de localisation de failles dans la croûte terrestre. Nos modèles sont basés seulement sur l observation qualitative de cette expérience. Maintenant nous disposons d outils numériques qui pourraient être utilisés pour des comparaisons quantitatives avec l expérience de Peltzer et Tapponnier. Tout d abord, nous avons construit une classe de modèles d évolution combinant plusieurs pénomènes dissipatifs et avons montré une inégalité termodynamique de type Clausius-Duem. Ensuite, point de vue de l analyse matématique de nos 4 modèles, l existence des évolutions a été prouvée pour le modèle d évolution élasto-viscoplastique avec rupture (Modèle 1) et pour le modèle d évolution élastoviscoplastique avec écrouissage cinématique linéaire et rupture approcée utilisant le r-laplacien (Modèle 4). Enfin, nous avons étendu l algoritme de backtracking aux matériaux à mémoire. Numériquement, nous avons montré que les modèles 1 et 3 paraissent avoir les comportements les plus complexes car ils permettent de mettre en oeuvre plusieurs mécanismes de dissipation simultanément (plasticité et rupture). En plus, le modèle 3 nous a permis reproduire numériquement les premières étapes de l expérience de Tapponnier et Peltzer pour 141

142 142 CONCLUSION certains coix de paramètres mécaniques. Présentons maintenant quelques pistes que nous pourrions suivre à l issue de cette tèse. Perspectives de ce travail en 5 problèmes A la fin de ce travail, j ai envie de présenter au lecteur quelques problèmes qui restent ouverts à l issue de cette tèse et sur lequels j ai envie continuer à travailler. Les perspectives presentées concernent la modélisation matématique, l analyse des EDPs et le calcul numérique. Modélisation et analyse matématique Problème 1 Il serait intéressant d étudier un modèle d évolution élasto-plastique avec écrouissage cinématique et rupture via un principe de minimisation et une égalité d énergie. Cela revient à remplacer le modèle 3 par un modèle 3 : Pour w H 1 ([, T ], H 1 ()), nous définissons l ensemble cinématiquement admissible A(w(t)) := {(e, p) L 2 (, M 2 2 sym) L 2 (, M 2 2 sym) t.q. il existe u H 1 (, R 2 ) t.q. E(u) = e + p, et u = w(t) sur D }. L évolution du modèle est définie par le triplet de fonctions (e, p, v) : [, T f ] M 2 2 sym M 2 2 sym R vérifiant : pour tout t [, T ], (e(t), p(t)) A(w(t)), v(t) 1, v(t) = 1 sur D, pour tout s t T : v(t) v(s) ; la stabilité globale : pour tout t [, T ], pour tout (ξ, q) A(w(t)), pout tout z H 1 (), tel que z v(t) sur, z = 1 sur D, E el (e(t), v(t)) + E S (v(t)) + E (p(t)) E el (ξ, z) + E S (z) + E (q) + τ q p(t) dx le principe de conservation d énergie : pour tout t [, T ], t E el (e(t), v(t)) + E S (v(t)) + E (p(t)) + τ ṗ(s) dx ds = E el (e(), v()) + E S (v()) + E (p()) t + (v(s) 2 + η)ae(s) : Eẇ(s) dx ds

143 143 Le modèle 3 rentre dans un cadre des modèles d évolution indépendant des vitesses proposé par A. Mielke [52]. Il serait intéressant de cercer un résultat d existence des solutions pour le modèle 3 ou pour le modèle 3. Pour le moment, nous n avons pas suffisamment de compacité pour la déformation élastique e ou plastique p. En effet les outils de Γ-convergence utilisés par A. Giacomini [37] dans le cas élastique ne s appliquent pas en présence de plasticité. Nous avons essayé d utiliser les tecniques de Dal Maso-Toader [25] de passage à la limite en temps dans leur modèle élasto-plastique avec rupture et les combinées avec le travail d A. Giacomini [37] mais sans arriver à conclure. Problème 2 Pour prouver l existence des solutions du modèle 2, en présence de la viscoplasticité, on pourra utiliser les mêmes tecniques que dans le papier de Babadjian, Francfort et Mora [5], i.e. de montrer que les approximations élastiques constantes e + et linéaires par morceaux e sont de Caucy dans L (, T, L 2 (, M 2 2 sym)). Cet argument pourra nous permettre d établir l existence des evolutions du modèle 2. Or en présence de rupture v nous sommes amenés à résoudre un passage à la limite dans des termes supplémentaires. Pour palier ce problème, nous avons été amenés à étudier la régularité de la rupture v. En particulier, nous voulons savoir si v a plus de régularité en espace que H 1 (, R). En étudiant la régularité des solutions dans les inégalités variationnelles [38], [39], nous pouvons montrer dans le cas du modèle 1 seulement (car e n L (, M 2 2 sym)) que v n est localement Hölder continue en espace. Téorème Soit v n avec < λ < 2. Alors v n la solution de (3.8). Supposons que vn 1 L 2,λ est localement Hölder-continue. loc () La régularité de v n dépend de mémoire de l évolution semi-discrète en temps et donc on n arrive pas à conclure sur la régularité pour le camp v limite quand le pas de discrétisation en temps converge. L autre difficulté liée à ce problème est l extension de régularité jusqu au bord du domaine. Problème 3 Un autre problème de modélisation est d introduire dans nos modèles le glissement des blocs de plasticine le long des failles. Les modèles proposés dans cette tèse sont formés en petites déformations, mais on pourrait envisager de construire une autre classe de modèles en grandes déformations ou bien des modèles à deux écelles de temps couplant structure fluide-solide. On pourrait imaginer que sur des grandes écelles de temps l écoulement

144 144 CONCLUSION plastique soit fluide et qu à petite écelle le comportement élastique solide soit quasi-statique. Etude numérique et simulations Problème 4 Nous voulons améliorer notre code de calcul en tenant compte numériquement de la condition d irréversibilité de rupture v v n 1. Bourdin dans [1], Amor dans [2] résolvent le problème d irréversibilité en considérant le problème de minimisation dans la direction de v comme un problème de minimisation sous contrainte. Afin de simplifier le problème de minimisation suivant v, au lieu de minimiser sous contrainte, on ajoute un terme d énergie lié à l irréversibilité : 1 v 2 (1 v n 1 ) 2 dx. (5.15) ε Pour le moment, nous n avons pas encore établi correctement la validité de ce modèle énergétique d irréversibilité. Numériquement, nous avons testé nos modèles pour différents paramètres mécaniques pour avoir une idée de leur comportement et savoir si un pénomène dissipatif domine un autre. Même dans des cas simples (traction d une barre 1D), il n est pas facile de comprendre la dynamique de l évolution de manière analytique. Il faudra aussi étudier plus en détail la stabilité des scémas numériques utilisés. Le calcul numérique pour l expérience de la plasticine n exclut pas d autre régimes (élasticité et rupture seulement). Nous ne pouvons non plus assurer que pour d autres paramètres du modèle, la géometrie des fissures soient identique, vu la sensibilité des modèles aux paramètres. La métode de backtracking ne donne qu une condition nécessaire pour des minima globaux des problèmes de minimisation étudiés. Il serait intéressant de réflécir à une autre stratégie numérique d élimination des points critiques qui ne sont pas des minimuma globaux. Problème 5 Un autre callenge numérique consiste à tester nos modèles sur l expérience analogique de déformation d une couce de sable [51], Figure Cette expérience reproduit l épaississement de la litospère terrestre, par empilement successif d écailles le long de cevaucements (faille le long de laquelle le bloc du dessus cevauce celui du dessous). La déformation est

145 145 principalement localisée le long de ces cevaucements, les écailles entre sont peu déformées. C est ce processus qui est à l origine de la formation de la caine de l Himalaya, avec 4 cevaucements successifs qui s activent au cours de la collision. Les codes utilisés dans la communauté géopysique ont été testés sur cette expérience classique [17]. Dans ces modèles, la localisation de la déformation est obtenue avec un comportement plastique utilisant le critère de Mor-Coulomb. Une comparaison d une simulation de cette expérience avec nos modèles élasto-plastiques avec rupture, serait un bon test comparatif. Figure 5.74 Coupe montrant la déformation localisée sur des cevaucements successifs d une couce de sable de 1,5 cm d épaisseur après 2 cm de convergence provoquée par la traction du support sous le sable [54].