Exo7. Espaces euclidiens. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Transcription

1 Exo7 Espaces euclidies Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice 1 *** I ( ) Motrer que la matrice de HILBERT H = 1 i+ j 1 1 i, j est défiie positive. [005786] Exercice *** I 1. Soit A ue matrice carrée réelle de format et S = t AA. Motrer que S S + (R).. Réciproquemet, motrer que pour toute matrice S symétrique positive, il existe ue matrice A carrée réelle de format telle que S = t AA. A-t-o l uicité de A? 3. Motrer que S est défiie positive si et seulemet si A est iversible.. Motrer que rg(a) = rg(s). 5. (Racie carrée d ue matrice symétrique positive) Soit S ue matrice symétrique positive. Motrer qu il existe ue et ue seule matrice R symétrique positive telle que R = S. [005787] Exercice 3 **** I Soit E u espace euclidie de dimesio o ulle. Soit (x 1,...,x p ) ue famille de p vecteurs de E (p ). O dit que la famille (x 1,...,x p ) est ue famille obtusagle si et seulemet si (i, j) [[1, p]] (i < j x i x j < 0). Motrer que si la famille (x 1,...,x p ) est ue famille obtusagle alors p + 1. [005788] Exercice **I Iégalité de HADAMARD Soit E u espace euclidie de dimesio 1 et B ue base orthoormée de E. Motrer que pour tout -uplet de vecteurs (x 1,...x ), o a : det B (x 1,...,x ) x 1... x. Cas d égalité? [005789] Exercice 5 ** Motrer que pour toute matrice carrée A réelle de format, o a deta j=1 ( ) i=1 a i, j. [005790] Exercice 6 *** Soit A ue matrice orthogoale. Motrer que la valeur absolue de la somme des coefficiets de A est iférieure ou égale à. Cas d égalité si de plus tous les coefficiets de A sot positifs? [005791] 1

2 Exercice 7 ** O muit E = M 3 (R) mui du produit scalaire usuel. 1. Détermier l orthogoal de A 3 (R).. Calculer la distace de la matrice M = au sous-espace vectoriel des matrices atisymétriques [00579] Exercice 8 ** Soit (e 1,e,e 3 ) ue base orthoormée directe d u espace euclidie orieté E de dimesio 3. Matrice de la rotatio d agle π 3 autour de e 1 + e. [005793] Exercice 9 *** Soit A ue matrice carrée réelle symétrique positive de format. Motrer que 1 + det(a) det(i + A). [00579] Exercice 10 ** Détermier card(o (R) M (Z)). [005795] Exercice 11 Soit f ue applicatio de C das C, R-liéaire. 1. Motrer qu il existe deux complexes a et b tels que pour tout z C, f (z) = az + bz.. Calculer Tr( f ) et det( f ) e foctio de a et b. 3. C.N.S. pour que f soit autoadjoit das C mui de sa structure euclidiee caoique. [005796] Exercice 1 *** Trouver tous les edomorphismes de R 3 vérifiat (x,y) (R 3 ), f (x y) = f (x) f (y). [005797] Exercice 13 ** Soit A ue matrice carrée réelle. Motrer que les matrices t AA et A t A sot orthogoalemet semblables. [005798] Exercice 1 *** I Motrer que le produit de deux matrices symétriques réelles positives est à valeurs propres réelles positives. [005799] Exercice 15 *** I Soiet A et B deux matrices carrées réelles symétriques positives. Motrer que deta + detb det(a + B). [005800] Exercice 16 **

3 Valeurs et vecteurs propres de l edomorphisme de R 3 euclidie orieté défii par x R 3, f (x) = a (a x) où a est u vecteur doé. [005801] Exercice 17 *** I Soit f u edomorphisme d u espace euclidie de dimesio qui coserve l orthogoalité. Motrer qu il existe u réel positif k tel que x E, f (x) = k x. [00580] Exercice 18 ** I Soit P le pla de R d équatios euclidiee caoique. { x + y + z +t = 0 x + y z t = 0 das ue base orthoormée B de R mui de sa structure 1. Détermier les matrices das B de la projectio orthogoale sur P et de la symétrie orthogoale par rapport à P.. Calculer la distace d u vecteur quelcoque de R à P. [005803] Exercice 19 ** La matrice est-elle positive? défiie? [00580] Exercice 0 *** O (R) est-il covexe? [005805] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7.emath.fr 3

4 Correctio de l exercice 1 La matrice H est symétrique réelle. Soit X = (x i ) 1 i M,1 (R). t XH X = = 1 i, j 1 0 x i x 1 j i + j 1 = x i x j t i+ j dt = 1 i, j 0 ( ) x i t i 1 dt 0. i=1 1 0 ( x i x j t )dt i+ j 1 i, j De plus, si X 0, le polyôme i=1 x iy i 1 est pas le polyôme ul et doc, puisqu u polyôme o ul admet u ombre fii de racies, la foctio t ( i=1 x it i 1) (. Aisi, la foctio t i=1 x i t i 1) est cotiue positive et o ulle sur [0,1] et o e déduit que 1 ( 0 i=1 x i t i 1) dt > 0. O a motré que X M,1 (R)\{0}, t XH X > 0 et doc que la matrice H est symétrique défiie positive. Correctio de l exercice 1. t S = t ( t AA) = t A t ( t A) = t AA = S. Doc S S (R). Soit X M,1 (R), t XSX = t X t AAX = t (AX)AX = AX 0. Doc S S + (R). A M (R), t AA S + (R).. Soit S S + (R). D après le théorème spectral, il existe P das O (R) et D das D (R) telles que S = PD t P. Posos D = diag(λ 1,...,λ ). Puisque S est das S + (R), D est das D + (R) et o peut poser D = diag( λ 1,..., λ ) de sorte que D = D. O peut alors écrire et la matrice A = D tp coviet. S = PD t P = PD D t P = t (D t P)D t P, S S + (R), A M (R)/ S = t AA. 3. O a aussi t ( A)( A) = S et comme e gééral A A, o a pas l uicité de la matrice A. S défiie positive X M,1 (R) \ {0}, t XSX > 0 X M,1 (R) \ {0}, AX > 0 X M,1 (R) \ {0}, AX 0 KerA = {0} A G L (R).. Motros que les matrices A et S ot même oyau. Soit X M,1 (R). X KerA AX = 0 t AAX = 0 SX = 0 X KerS, et X KerS t AAX = 0 t X t AAX = 0 t (AX)AX = 0 AX = 0 AX = 0 X KerA. Aisi, Ker( t AA) = Ker(A) et e particulier, grâce au théorème du rag, o a motré que A M (R), rg( t AA) = rg(a).

5 5. Soit S S + (R). Existece. D après le théorème spectral, il existe P 0 O (R) et D 0 D + (R) telles que S = P 0 D 0 t P 0. Posos D 0 = diag(λ 1,...,λ ) où les λ i, 1 i, sot des réels positifs puis 0 = diag( λ 1,..., λ ) et efi R = P 0 0 t P 0. La matrice R est orthogoalemet semblable à ue matrice de D + (R) et est doc u élémet de S + (R). Puis R = P 0 0 t P 0 = P 0 D 0 t P 0 = S. Uicité. Soit M u élémet de S + (R) telle que M = S. M est diagoalisable d après le théorème spectral et doc M,1 (R) = λ Sp(M) E M (λ). Mais si λ est ue valeur propre de M, Ker(M λi ) Ker(M λ I ) = Ker(S λ I ). De plus, les valeurs propres de M état positive, les λ, λ Sp(M), sot deux à deux disticts ou ecore les Ker(S λ I ), λ Sp(M), sot deux à deux disticts. Ceci motre que pour chaque λ Sp(M), Ker(M λi ) = Ker(S λ I ) et que les λ, λ Sp(M), sot toutes les valeurs propres de S. Aisi, écessairemet la matrice t P 0 MP 0 est ue matrice diagoale D. L égalité M = S fourit D = D 0 puis D = 0 (car D D + (R)) et fialemet M = R. S S + (R),!R S + (R)/ R = S. Correctio de l exercice 3 1 ère solutio. Soit p. Motros que si la famille (x 1,...,x p ) est obtusagle alors la famille (x 1,...,x p 1 ) est libre. Soit (x 1,...,x p ) ue famille obtusagle. Supposos que la famille (x 1,...,x p 1 ) soit liée. Il existe doc (λ 1,...,λ p 1 ) R p 1 \ {(0,...,0)} tel que p 1 k=1 λ kx k = 0. Quite à multiplier les deux membres de l égalité par 1, o peut supposer que l u des λ i au mois est strictemet positif. O pose I = {k [[1, p 1]]/ λ k > 0} et J = {k [[1, p 1]]/ λ k 0} (évetuellemet J est vide). Si J est vide, il reste i I λ i x i = 0 et si J est o vide, i I λ i x i = ( i I λ i x i ) ( j J λ j x j ) = (i, j) I J λ i λ j (x i x j ) 0 (car (i, j) I J, (x i x j ) < 0 et λ i λ j 0). Aisi, das tous les cas, i I λ i x i = 0. Mais ceci est impossible car ( i I λ i x i ) x p = i I λ i (x i x p ) < 0. O a motré que la famille (x 1,...,x p 1 ) est libre et o e déduit que p 1 ou ecore p + 1. ème solutio. Motros par récurrece sur = dime 1 que tout famille obtusagle de E a u cardial iférieur ou égal à + 1. Pour = 1. Soiet x 1, x et x 3 trois vecteurs de E 1. O peut idetifier ces vecteurs à des réels. Deux des trois réels x 1, x ou x 3 ot même sige et o e peut doc avoir x 1 x < 0 et x 1 x 3 < 0 et x x 3 < 0. Ue famille obtusagle de E 1 a doc u cardial iférieur ou égal à. Soit 1. Supposos que toute famille obtusagle d u espace euclidie de dimesio a u cardial iférieur ou égal à + 1. Soit (x 1,...,x p ) ue famille obtusagle de E +1. Si p = 1 alors p +. Supposos doréavat p. O va costruire à partir de cette famille ue famille obtusagle de cardial p 1 d u espace euclidie de dimesio. Soit F = x p. Puisque la famille (x 1,...,x p ) est obtusagle, le vecteur x p est pas ul et F est u espace euclidie de dimesio. O ote y 1, y,..., y p 1 les projetés orthogoaux des vecteurs x 1,..., x p 1 sur F. O sait que Soit (i, j) [[1, p 1]] tel que i j. i [[1, p 1]], y i = x i (x i x p ) x p x p. 5

6 (y i y j ) = (x i x j ) (x i x p )(x j x p) x p + (x i x p )(x j x p) x p x p = (x i x j ) (x i x p )(x j x p) x p < 0. Aisi, la famille (y i ) 1 i p 1 est ue famille obtusagle d u espace euclidie de dimesio et par hypothèse de récurrece p et doc p +. Le résultat est démotré par récurrece. Correctio de l exercice Si la famille (x 1,...,x ) est liée, l iégalité est vraie. Si la famille (x 1,...,x ) est libre, o peut cosidérer B 0 = (e 1,...,e ) l orthoormalisée de SCHMIDT de la famille (x 1,...,x ). Les bases B 0 et B sot des bases orthoormées de E et doc (x 1 e 1 ).... det B (x 1,...,x ) = det B0 (x 1,...,x ) = abs (x e ) = = k=1 k=1 (x k e k ) x k. k=1 x k e k (d après l iégalité de CAUCHY-SCHWARZ) (x 1,...,x ) E, det B (x 1,...,x ) k=1 x k (iégalité de HADAMARD). Esuite, - si la famille (x 1,...,x ) est liée, o a l égalité si et seulemet si l u des vecteurs x k est ul - si la famille (x 1,...,x ) est libre, o a l égalité si et seulemet si k [[1,]], (x k e k ) = x k e k. Les cas d égalité de l iégalité de CAUCHY-SCHWARZ état cous, o a l égalité si et seulemet si k [[1,]], x k est coliéaire à e k ou ecore si et seulemet si la famille (x 1,...,x ) est orthogoale. E résumé, l iégalité de HADAMARD est ue égalité si et seulemet si la famille (x 1,...,x ) est orthogoale libre ou si l u des vecteurs est ul. Correctio de l exercice 5 C est l exercice. Correctio de l exercice 6 1 Soit A = (a i, j ) 1 i, j ue matrice orthogoale. O pose X =. M,1 (R). 1 D après l iégalité de CAUCHY-SCHWARZ 1 i, j a i, j = 1 i, j 1 a i, j 1 = t XAX = (AX X) AX X (d après l iégalité de CAUCHY-SCHWARZ) = X (puisque la matrice A est orthogoale) =. O a l égalité si et seulemet si la famille (X,AX) est liée ce qui équivaut à X vecteur propre de A. O sait que les valeurs propres (réelles) de A e peuvet être que 1 ou 1. Doc, 6

7 égalité AX = X ou AX = X i [[1,]], j=1 a i, j = 1 Il paraît difficile d améliorer ce résultat das le cas gééral. Supposos de plus que (i, j) [[1,]], a i, j 0. Soit i [[1,]]. Puisque tous les a i, j sot élémets de [0,1], 1 = j=1 a i, j j=1 a i, j = 1. L iégalité écrite est doc ue égalité et o e déduit que chaque iégalité a i, j a i, j, 1 j, est ue égalité. Par suite, (i, j) [[1,]], a i, j {0,1}. Ceci motre que la matrice A est ue matrice de permutatio qui réciproquemet coviet. Correctio de l exercice 7 Le produit scalaire usuel de M 3 (R) est défii par (A,B) (M 3 (R)), (A B) = Tr( t AB) = 1 i, j a i, j b i, j. 1. Détermios l orthogoal de A 3 (R) das M 3 (R). Soit (A,B) S ( R) A 3 (R). (A B) = Tr( t AB) = Tr(AB) = Tr(BA) = Tr( t BA) = (B A). ( et doc (A B) = 0. Doc S 3 (R) (A 3 (R)) et comme de plus, dim(s 3 (R)) = dim ((A 3 (R)) ), o a motré que (A 3 (R)) = S 3 (R).. Aisi, la projectio orthogoale de M sur A 3 (R) est exactemet la partie atisymétrique p a (M) de M et la distace cherchée est la orme de M p a (M) = p s (M) avec p s (M) = = Par suite, d (M,A 3 (R)) = p s (M) = = 1. Correctio de l exercice 8 Posos k = 1 (e 1 + e ). Soit u = xe 1 + ye + ze 3 E. O sait que r(u) = (cosθ)u + (1 cosθ)(u k)k + (siθ)k u = 1 u + 1 (u (e 1 + e ))(e 1 + e ) + «=» 1 x y x (x + y) y z 0 0 z = 1 x y z (x + y) z z 0 x + y 3 x + 1 y + 6 z = 1 x + 3 y 6 z = x y 6 x + 6 y + 1 z z et la matrice cherchée est 7 6 (e 1 + e ) u

8 M = Correctio de l exercice 9 La matrice A est symétrique réelle positive. Doc ses valeurs propres λ 1,..., λ sot des réels positifs. De plus, L iégalité à démotrer équivaut doc à : deta = λ 1...λ et det(i + A) = χ A ( 1) = (1 + λ 1 )...(1 + λ ). (λ 1,...,λ ) (R + ), 1 + k=1 λ k k=1 (1 + λ k ). Soit doc (λ 1,...,λ ) (R + ). Si l u des λ k est ul, l iégalité est immédiate. Supposos doréavat tous les λ k strictemet positifs. L iégalité à démotrer s écrit l ( 1 + exp ( 1 (l(λ 1) l(λ )) )) 1 (l(1 + exp(l(λ 1))) l(1 + exp(l(λ )))) ou ecore f ( 1 (x x ) ) 1 ( f (x 1) f (x )) où x R, f (x) = l(1 + e x ) et k [[1,]], x k = l(λ k ). L iégalité à démotrer est ue iégalité de covexité. La foctio f est deux fois dérivable sur R et pour tout réel x, f (x) = ex e x +1 = 1 1 e x +1 puis f (x) = ex 0. (e x +1) La foctio f est doc covexe sur R ce qui démotre l iégalité ( ). A S + (R), 1 + det(a) det(i + A). ( ) Correctio de l exercice 10 Soit A ue matrice orthogoale à coefficiets etiers. Puisque les coloes ou les liges de A sot uitaires, o trouve par lige ou par coloe u et u seul coefficiet de valeur absolue égale à 1, les autres coefficiets état uls. A est doc obteue e multipliat chaque coefficiet d ue matrice de permutatio par 1 ou 1. Réciproquemet, ue telle matrice est orthogoale à coefficiets etiers. Il y a! matrices de permutatio et pour chaque matrice de permutatio faços d attribuer u sige + ou à chaque coefficiet égal à 1. Doc card(o (R) M (Z)) =!. Correctio de l exercice Soit f u edomorphisme du R-espace vectoriel C. Pour tout ombre complexe z f (z) = f ((Re(z)).1 + (Im(z)).i) = (Re(z)) f (1) + (Im(z)) f (i) = 1 (z + z) f (1) + 1 (z z) f (i) i = f (1) i f (i) z + f (1) + i f (i) z, f (1) i f (i) f (1)+i f (i) et o peut predre a = et b =. (Réciproquemet pour a et b complexes doés, l applicatio f aisi défiie est R-liéaire et o a doc l écriture géérale complexe d u edomorphisme du pla). 8

9 . Tr( f ) = Re( f (1)) + Im( f (i)) = Re(a + b) + Im(i(a b)) = Re(a + b) + Re(a b) = Re(a) et det( f ) = Re(a + b)im(i(a b)) Im(a + b)re(i(a b)) = Re(a + b)re(a b) + Im(a + b)im(a b) = (Re(a)) (Re(b)) + (Im(a)) (Im(b)) = a b. Tr( f ) = Re(a) et det( f ) = a b. 3. Soiet z et z deux ombres complexes. O rappelle que z z = (Rez)(Rez ) + (Imz)(Imz ) = 1 (z + z)(z + z ) 1 (z z)(z z ) = 1 (zz + zz ) = Re(zz ). et au passage si o oriete le pla de sorte que la base orthoormée (1,i) soit directe, [z,z ] = (Rez)(Imz ) + (Imz)(Rez ) = 1 i (z + z)(z z ) 1 i (z z)(z + z ) = 1 i (zz zz ) = Im(zz ). Notos M la matrice de f das la base (1,i). Puisque la base (1,i) est orthoormée, f = f M = t M Im(a + b) = Re(i(a b)) Im(a + b) = Im(a b) Ima = 0 a R. f = f a R. Correctio de l exercice 1 Soit (i, j,k) ue base orthoormée directe de R 3 euclidie orieté. Posos u = f (i), v = f ( j) et w = f (k). Nécessairemet, u v = f (i) f ( j) = f (i j) = f (k) = w et de même v w = u et w u = v. 1er cas. Si l u des vecteurs u ou v ou w est ul alors u = v = w = 0 et doc f = 0. Réciproquemet, l applicatio ulle coviet. ème cas. Si les trois vecteurs u, v et w sot o uls alors u v 0 et doc la famille (u,v) est libre. Mais alors la famille (u,v,w) est ue base directe de R 3. Esuite w = u v est orthogoal à u et v et v = w u est orthogoal à u. O e déduit que la famille (u,v,w) est ue base orthogoale directe de R 3. Efi, puisque u et v sot orthogoaux, w = u v = u v et de même u = v w et v = u w. Puis u v w = ( u v w ) et doc, puisque les vecteurs u, v et w sot o uls, u v w = 1. Les égalités u v w = 1 et u = v w fourisset u = 1 et de même v = w = 1. Fialemet, la famille (u,v,w) est ue base orthoormée directe. E résumé, l image par f d ue certaie base orthoormée directe de R 3 est ue base orthoormée directe de R 3 et o sait que f est u automorphisme orthogoal positif de R 3 c est-à-dire ue rotatio de R 3. Réciproquemet, si f est la rotatio d agle θ autour du vecteur uitaire e 3. O cosidère e 1 et e deux vecteurs de R 3 tels que la famille (e 1,e,e 3 ) soit ue base orthoormée directe. Pour vérifier que f est solutio, par liéarité, il suffit de vérifier les 9 égalités : (i, j) {1,,3}, f (e i e j ) = f (e i ) f (e j ). Pour vérifier ces 9 égalités, il suffit se réduiset e fi de compte d e vérifier : f (e 1 ) f (e ) = e 3 = f (e 3 ) = f (e 1 e ) et f (e3) f (e1) = e 3 f (e 1 ) = f (e ) = f (e 3 e 1 ). Les edomorphismes cherchés sot doc l applicatio ulle et les rotatios de R 3. Correctio de l exercice 13 Puisque les matrices S 1 = t AA et S = A t A sot symétriques réelles, ces deux matrices sot à valeurs propres réelles. O sait d autre part que si M et N sot deux matrices quelcoques alors les matrices MN et NM ot même polyôme caractéristique. Notos alors (λ i ) 1 i la famille des valeurs propres des matrices S 1 et S et posos D = Diag(λ 1,...λ ). D après le théorème spectral, il existe deux matrices orthogoales P 1 et P telles que S 1 = P 1 D t P 1 et S = P D t P. Mais alors 9

10 S = P ( t P 1 S 1 P 1 ) t P = (P t P 1 )S 1 t (P t P 1 ). Comme la matrice P t P 1 est orthogoale, o a motré que les matrices S 1 et S sot orthogoalemet semblables. A M (R), les matrices t AA et A t A sot orthogoalemet semblables. Correctio de l exercice 1 Remarque. Il faut predre garde au fait que le produit de deux matrices symétriques est pas écessairemet symétrique. Plus précisémet, si A et B sot deux matrices symétriques alors AB S (R) t (AB) = AB t B t A = AB BA = AB et le produit de deux matrices symétriques est symétrique si et seulemet si ces deux matrices commutet. Doc au départ, rie impose que les valeurs propres de AB soiet toutes réelles. Soiet A et B deux matrices symétriques réelles positives. D après l exercice, il existe deux matrices carrées M et N telles que A = t MM et B = t NN. O a alors AB = t MM t NN. La matrice AB a même polyôme caractéristique que la matrice N( t MM t N = t (M t N)M t N. D après l exercice, cette derière matrice est symétrique positive et a doc des valeurs propres réelles positives. O a motré que les valeurs propres de la matrice AB sot réelles et positives. (A,B) (S + (R), Sp(AB) R +. Correctio de l exercice 15 Soiet A et B deux matrices symétriques réelles positives. 1er cas. Supposos qu aucue des deux matrices A ou B est iversible, alors deta + detb = 0. D autre part, la matrice A + B est symétrique car (S (R),+,.) est u espace vectoriel et ses valeurs propres sot doc réelles. De plus, pour X vecteur coloe doé, t X(A + B)X = t XAX + t XBX 0. La matrice A + B est doc symétrique réelle positive. Par suite, les valeurs propres de la matrice A + B sot des réels positifs et puisque det(a + B) est le produit de ces valeurs propres, o a det(a + B) 0 = deta + detb. ème cas. Sio, ue des deux matrices A ou B est iversible (et doc automatiquemet défiie positive). Supposos par exemple A défiie positive. D après l exercice, il existe ue matrice iversible M telle que A = t MM. O peut alors écrire A + B = t MM + B = t M(I + t (M 1 BM 1 )M et doc det(a + B) = (detm) det(i + t (M 1 )BM 1 = (detm) det(i +C) où C = t M 1 BM 1. La matrice C est symétrique, positive car pour tout vecteur coloe X, t XCX = t X t (M 1 )BM 1 X = t (M 1 X)B(M 1 X) 0 et ses valeurs propres λ 1,..., λ sot des réels positifs. Les valeurs propres de la matrice I +C sot les réels 1 + λ i, 1 i et doc det(i +C) = (1 + λ 1 )...(1 + λ ) 1 + λ 1...λ = 1 + detc. Maiteat, deta = (detm) puis detb = (detm) detc et doc O a motré que deta + detb = (detm) (1 + detc) (detm) det(i +C) = det(a + B). 10

11 (A,B) (S + (R), deta + detb det(a + B). Correctio de l exercice 16 Si a = 0, f = 0 et il y a plus rie à dire. Si a 0, puisque f (a) = 0, 0 est valeur propre de f et Vect(a) E 0 ( f ). D autre part, si x est orthogoal à a, d après la formule du double produit vectoriel f (x) = (a.x)a a x = a x. Doc le réel o ul a est valeur propre de f et a E a. Maiteat, dimvect(a)+dima = 3 et doc Sp( f ) = (0, a, a ) puis E 0 ( f ) = Vect(a) et E a = a. O e déduit aussi que f est diagoalisable. O peut oter que, puisque f est diagoalisable et que les sous-espaces propres sot orthogoaux, f est u edomorphisme symétrique. Correctio de l exercice 17 Il s agit de motrer qu u edomorphisme d u espace euclidie E qui coserve l orthogoalité est ue similitude. O peut raisoer sur ue base orthoormée de E que l o ote B = (e i ) 1 i. Par hypothèse, la famille ( f (e i )) 1 i est orthogoale. De plus, pour i j, (e i +e j ) (e i e j ) = e i e j = 0 et doc f (e i +e j ) f (e i e j ) = 0 ce qui fourit f (e i ) = f (e j ). Soit k la valeur commue des ormes des f (e i ), 1 i. Si k = 0, tous les f (e i ) sot uls et doc f est ulle. Si k 0, l image par l edomorphisme 1 k f de la base othoormée B est ue base orthoormée. Doc l edomorphisme 1 k f est u automorphisme orthogoal de E et doc l edomorphisme 1 k f coserve la orme. Das tous les cas, o a trouvé u réel positif k tel que x E, f (x) = k x. Correctio de l exercice 18 Les deux formes liéaires cosidérées sot idépedates et doc P est u pla. Ue base de P est par exemple (i, j) = ((1, 1, 0, 0)(1, 0,, 3)). O orthoormalise la base (i, j). O pred e 1 = 1 (1, 1,0,0) puis e = j ( j e 1)e 1 = (1,0,, 3) 1 (1, 1,0,0) = 1 (1,1,, 6) puis e = (1,1,, 6). Ue base orthoormée de P est (e 1,e ) où e 1 = 1 (1, 1,0,0) et e = (1,1,, 6). 1. Le projeté orthogoal de u = (x,y,z,t) sur P est p P (u) = (u e 1 )e 1 + (u e )e = 1 (x y)(1, 1,0,0) + 1 (x + y + z 6t)(1,1,, 6) 5 = 1 (1x 13y + z 3t, 13x + 1y + z 3t,x + y + 8z 1t, 3x 3y 1z + 18t). 7 La matrice das la base caoique de la projectio orthogoale sur P est M = La matrice das la base caoique de la symétrie orthogoale par rapport à P est 11

12 . La distace de u = (x,y,z,t) à P est S = M I = u p P (u) = 1 (1x + 13y z + 3t,13x + 1y z + 3t, x y + 19z + 1t,3x + 3y + 1z + 9t) 7 = 1 (1x + 13y z + 3t) 7 + (13x + 1y z + 3t) + ( x y + 19z + 1t) + (3x + 3y + 1z + 9 Correctio de l exercice 19 1ère solutio. ( utilisat pas les valeurs propres) Soiet A la matrice de l éocé puis X = (x i ) 1 i u élémet de M,1 (R). t XAX = ( 1) i=1 = (x i x j ) 0 i j ( xi x i x j = i i j i j(x x i x j ) = 1 xi x i x j + x j i j et doc la matrice A est positive. De plus, si X = (1) 1 i 0, t XAX = 0 et doc la matrice A est pas défiie. ème solutio. La matrice A est symétrique réelle. Doc ses valeurs propres sot réelles et A est diagoalisable. Par suite, la dimesio de chacu de des sous-espaces propres de A est égale à l ordre de multiplicité de la valeur propre correspodate. O ote alors que rg(a I ) = 1 et doc est valeur propre de A d ordre 1. Soit λ la valeur propre maquate. ( 1) + λ = TrA = ( 1). Doc λ = 0. Aisi, Sp(A) R + et doc la matrice A est positive mais 0 est valeur propre de A et doc la matrice A est pas défiie. La matrice A est positive et o défiie. ) Correctio de l exercice 0 Soiet A et B deux matrices orthogoales distictes. Motros que pour tout réel λ ]0,1[, la matrice (1 λ)a + λ B est pas orthogoale. Supposos par l absurde qu il existe λ ]0,1[ tel que la matrice (1 λ)a + λb soit orthogoale. Pour j [[1,]], o ote respectivemet A j, B j et C j la j-ème coloe de matrice A, de la matrice B et de la matrice (1 λ)a + λb. Ces trois matrices état orthogoales, pour tout j [[1,]], 1 = C j (1 λ) A j + λ B j = (1 λ) + λ = 1, et doc C j = (1 λ) A j + λ B j. O est das u cas d égalité de l iégalité de MINKOWSKI. Puisque λ ]0,1[, les coloes ( λ)a j et λb j e sot pas ulles et doc sot coliéaires et de même ses. Puisque les réels 1 λ et λ sot strictemet positifs, il e est de même des coloes A j et B j et puisque ces coloes sot des vecteurs uitaires, ces coloes sot e fi de compte égales. E résumé, si il existe λ ]0,1[ tel que la matrice (1 λ)a + λb soit orthogoale, alors A = B. Ceci est ue cotradictio et o a motré que O (R) est pas covexe. 1