Exo7. Espaces euclidiens. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur
|
|
- Marin St-Laurent
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Exo7 Espaces euclidies Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice 1 *** I ( ) Motrer que la matrice de HILBERT H = 1 i+ j 1 1 i, j est défiie positive. [005786] Exercice *** I 1. Soit A ue matrice carrée réelle de format et S = t AA. Motrer que S S + (R).. Réciproquemet, motrer que pour toute matrice S symétrique positive, il existe ue matrice A carrée réelle de format telle que S = t AA. A-t-o l uicité de A? 3. Motrer que S est défiie positive si et seulemet si A est iversible.. Motrer que rg(a) = rg(s). 5. (Racie carrée d ue matrice symétrique positive) Soit S ue matrice symétrique positive. Motrer qu il existe ue et ue seule matrice R symétrique positive telle que R = S. [005787] Exercice 3 **** I Soit E u espace euclidie de dimesio o ulle. Soit (x 1,...,x p ) ue famille de p vecteurs de E (p ). O dit que la famille (x 1,...,x p ) est ue famille obtusagle si et seulemet si (i, j) [[1, p]] (i < j x i x j < 0). Motrer que si la famille (x 1,...,x p ) est ue famille obtusagle alors p + 1. [005788] Exercice **I Iégalité de HADAMARD Soit E u espace euclidie de dimesio 1 et B ue base orthoormée de E. Motrer que pour tout -uplet de vecteurs (x 1,...x ), o a : det B (x 1,...,x ) x 1... x. Cas d égalité? [005789] Exercice 5 ** Motrer que pour toute matrice carrée A réelle de format, o a deta j=1 ( ) i=1 a i, j. [005790] Exercice 6 *** Soit A ue matrice orthogoale. Motrer que la valeur absolue de la somme des coefficiets de A est iférieure ou égale à. Cas d égalité si de plus tous les coefficiets de A sot positifs? [005791] 1
2 Exercice 7 ** O muit E = M 3 (R) mui du produit scalaire usuel. 1. Détermier l orthogoal de A 3 (R).. Calculer la distace de la matrice M = au sous-espace vectoriel des matrices atisymétriques [00579] Exercice 8 ** Soit (e 1,e,e 3 ) ue base orthoormée directe d u espace euclidie orieté E de dimesio 3. Matrice de la rotatio d agle π 3 autour de e 1 + e. [005793] Exercice 9 *** Soit A ue matrice carrée réelle symétrique positive de format. Motrer que 1 + det(a) det(i + A). [00579] Exercice 10 ** Détermier card(o (R) M (Z)). [005795] Exercice 11 Soit f ue applicatio de C das C, R-liéaire. 1. Motrer qu il existe deux complexes a et b tels que pour tout z C, f (z) = az + bz.. Calculer Tr( f ) et det( f ) e foctio de a et b. 3. C.N.S. pour que f soit autoadjoit das C mui de sa structure euclidiee caoique. [005796] Exercice 1 *** Trouver tous les edomorphismes de R 3 vérifiat (x,y) (R 3 ), f (x y) = f (x) f (y). [005797] Exercice 13 ** Soit A ue matrice carrée réelle. Motrer que les matrices t AA et A t A sot orthogoalemet semblables. [005798] Exercice 1 *** I Motrer que le produit de deux matrices symétriques réelles positives est à valeurs propres réelles positives. [005799] Exercice 15 *** I Soiet A et B deux matrices carrées réelles symétriques positives. Motrer que deta + detb det(a + B). [005800] Exercice 16 **
3 Valeurs et vecteurs propres de l edomorphisme de R 3 euclidie orieté défii par x R 3, f (x) = a (a x) où a est u vecteur doé. [005801] Exercice 17 *** I Soit f u edomorphisme d u espace euclidie de dimesio qui coserve l orthogoalité. Motrer qu il existe u réel positif k tel que x E, f (x) = k x. [00580] Exercice 18 ** I Soit P le pla de R d équatios euclidiee caoique. { x + y + z +t = 0 x + y z t = 0 das ue base orthoormée B de R mui de sa structure 1. Détermier les matrices das B de la projectio orthogoale sur P et de la symétrie orthogoale par rapport à P.. Calculer la distace d u vecteur quelcoque de R à P. [005803] Exercice 19 ** La matrice est-elle positive? défiie? [00580] Exercice 0 *** O (R) est-il covexe? [005805] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7.emath.fr 3
4 Correctio de l exercice 1 La matrice H est symétrique réelle. Soit X = (x i ) 1 i M,1 (R). t XH X = = 1 i, j 1 0 x i x 1 j i + j 1 = x i x j t i+ j dt = 1 i, j 0 ( ) x i t i 1 dt 0. i=1 1 0 ( x i x j t )dt i+ j 1 i, j De plus, si X 0, le polyôme i=1 x iy i 1 est pas le polyôme ul et doc, puisqu u polyôme o ul admet u ombre fii de racies, la foctio t ( i=1 x it i 1) (. Aisi, la foctio t i=1 x i t i 1) est cotiue positive et o ulle sur [0,1] et o e déduit que 1 ( 0 i=1 x i t i 1) dt > 0. O a motré que X M,1 (R)\{0}, t XH X > 0 et doc que la matrice H est symétrique défiie positive. Correctio de l exercice 1. t S = t ( t AA) = t A t ( t A) = t AA = S. Doc S S (R). Soit X M,1 (R), t XSX = t X t AAX = t (AX)AX = AX 0. Doc S S + (R). A M (R), t AA S + (R).. Soit S S + (R). D après le théorème spectral, il existe P das O (R) et D das D (R) telles que S = PD t P. Posos D = diag(λ 1,...,λ ). Puisque S est das S + (R), D est das D + (R) et o peut poser D = diag( λ 1,..., λ ) de sorte que D = D. O peut alors écrire et la matrice A = D tp coviet. S = PD t P = PD D t P = t (D t P)D t P, S S + (R), A M (R)/ S = t AA. 3. O a aussi t ( A)( A) = S et comme e gééral A A, o a pas l uicité de la matrice A. S défiie positive X M,1 (R) \ {0}, t XSX > 0 X M,1 (R) \ {0}, AX > 0 X M,1 (R) \ {0}, AX 0 KerA = {0} A G L (R).. Motros que les matrices A et S ot même oyau. Soit X M,1 (R). X KerA AX = 0 t AAX = 0 SX = 0 X KerS, et X KerS t AAX = 0 t X t AAX = 0 t (AX)AX = 0 AX = 0 AX = 0 X KerA. Aisi, Ker( t AA) = Ker(A) et e particulier, grâce au théorème du rag, o a motré que A M (R), rg( t AA) = rg(a).
5 5. Soit S S + (R). Existece. D après le théorème spectral, il existe P 0 O (R) et D 0 D + (R) telles que S = P 0 D 0 t P 0. Posos D 0 = diag(λ 1,...,λ ) où les λ i, 1 i, sot des réels positifs puis 0 = diag( λ 1,..., λ ) et efi R = P 0 0 t P 0. La matrice R est orthogoalemet semblable à ue matrice de D + (R) et est doc u élémet de S + (R). Puis R = P 0 0 t P 0 = P 0 D 0 t P 0 = S. Uicité. Soit M u élémet de S + (R) telle que M = S. M est diagoalisable d après le théorème spectral et doc M,1 (R) = λ Sp(M) E M (λ). Mais si λ est ue valeur propre de M, Ker(M λi ) Ker(M λ I ) = Ker(S λ I ). De plus, les valeurs propres de M état positive, les λ, λ Sp(M), sot deux à deux disticts ou ecore les Ker(S λ I ), λ Sp(M), sot deux à deux disticts. Ceci motre que pour chaque λ Sp(M), Ker(M λi ) = Ker(S λ I ) et que les λ, λ Sp(M), sot toutes les valeurs propres de S. Aisi, écessairemet la matrice t P 0 MP 0 est ue matrice diagoale D. L égalité M = S fourit D = D 0 puis D = 0 (car D D + (R)) et fialemet M = R. S S + (R),!R S + (R)/ R = S. Correctio de l exercice 3 1 ère solutio. Soit p. Motros que si la famille (x 1,...,x p ) est obtusagle alors la famille (x 1,...,x p 1 ) est libre. Soit (x 1,...,x p ) ue famille obtusagle. Supposos que la famille (x 1,...,x p 1 ) soit liée. Il existe doc (λ 1,...,λ p 1 ) R p 1 \ {(0,...,0)} tel que p 1 k=1 λ kx k = 0. Quite à multiplier les deux membres de l égalité par 1, o peut supposer que l u des λ i au mois est strictemet positif. O pose I = {k [[1, p 1]]/ λ k > 0} et J = {k [[1, p 1]]/ λ k 0} (évetuellemet J est vide). Si J est vide, il reste i I λ i x i = 0 et si J est o vide, i I λ i x i = ( i I λ i x i ) ( j J λ j x j ) = (i, j) I J λ i λ j (x i x j ) 0 (car (i, j) I J, (x i x j ) < 0 et λ i λ j 0). Aisi, das tous les cas, i I λ i x i = 0. Mais ceci est impossible car ( i I λ i x i ) x p = i I λ i (x i x p ) < 0. O a motré que la famille (x 1,...,x p 1 ) est libre et o e déduit que p 1 ou ecore p + 1. ème solutio. Motros par récurrece sur = dime 1 que tout famille obtusagle de E a u cardial iférieur ou égal à + 1. Pour = 1. Soiet x 1, x et x 3 trois vecteurs de E 1. O peut idetifier ces vecteurs à des réels. Deux des trois réels x 1, x ou x 3 ot même sige et o e peut doc avoir x 1 x < 0 et x 1 x 3 < 0 et x x 3 < 0. Ue famille obtusagle de E 1 a doc u cardial iférieur ou égal à. Soit 1. Supposos que toute famille obtusagle d u espace euclidie de dimesio a u cardial iférieur ou égal à + 1. Soit (x 1,...,x p ) ue famille obtusagle de E +1. Si p = 1 alors p +. Supposos doréavat p. O va costruire à partir de cette famille ue famille obtusagle de cardial p 1 d u espace euclidie de dimesio. Soit F = x p. Puisque la famille (x 1,...,x p ) est obtusagle, le vecteur x p est pas ul et F est u espace euclidie de dimesio. O ote y 1, y,..., y p 1 les projetés orthogoaux des vecteurs x 1,..., x p 1 sur F. O sait que Soit (i, j) [[1, p 1]] tel que i j. i [[1, p 1]], y i = x i (x i x p ) x p x p. 5
6 (y i y j ) = (x i x j ) (x i x p )(x j x p) x p + (x i x p )(x j x p) x p x p = (x i x j ) (x i x p )(x j x p) x p < 0. Aisi, la famille (y i ) 1 i p 1 est ue famille obtusagle d u espace euclidie de dimesio et par hypothèse de récurrece p et doc p +. Le résultat est démotré par récurrece. Correctio de l exercice Si la famille (x 1,...,x ) est liée, l iégalité est vraie. Si la famille (x 1,...,x ) est libre, o peut cosidérer B 0 = (e 1,...,e ) l orthoormalisée de SCHMIDT de la famille (x 1,...,x ). Les bases B 0 et B sot des bases orthoormées de E et doc (x 1 e 1 ).... det B (x 1,...,x ) = det B0 (x 1,...,x ) = abs (x e ) = = k=1 k=1 (x k e k ) x k. k=1 x k e k (d après l iégalité de CAUCHY-SCHWARZ) (x 1,...,x ) E, det B (x 1,...,x ) k=1 x k (iégalité de HADAMARD). Esuite, - si la famille (x 1,...,x ) est liée, o a l égalité si et seulemet si l u des vecteurs x k est ul - si la famille (x 1,...,x ) est libre, o a l égalité si et seulemet si k [[1,]], (x k e k ) = x k e k. Les cas d égalité de l iégalité de CAUCHY-SCHWARZ état cous, o a l égalité si et seulemet si k [[1,]], x k est coliéaire à e k ou ecore si et seulemet si la famille (x 1,...,x ) est orthogoale. E résumé, l iégalité de HADAMARD est ue égalité si et seulemet si la famille (x 1,...,x ) est orthogoale libre ou si l u des vecteurs est ul. Correctio de l exercice 5 C est l exercice. Correctio de l exercice 6 1 Soit A = (a i, j ) 1 i, j ue matrice orthogoale. O pose X =. M,1 (R). 1 D après l iégalité de CAUCHY-SCHWARZ 1 i, j a i, j = 1 i, j 1 a i, j 1 = t XAX = (AX X) AX X (d après l iégalité de CAUCHY-SCHWARZ) = X (puisque la matrice A est orthogoale) =. O a l égalité si et seulemet si la famille (X,AX) est liée ce qui équivaut à X vecteur propre de A. O sait que les valeurs propres (réelles) de A e peuvet être que 1 ou 1. Doc, 6
7 égalité AX = X ou AX = X i [[1,]], j=1 a i, j = 1 Il paraît difficile d améliorer ce résultat das le cas gééral. Supposos de plus que (i, j) [[1,]], a i, j 0. Soit i [[1,]]. Puisque tous les a i, j sot élémets de [0,1], 1 = j=1 a i, j j=1 a i, j = 1. L iégalité écrite est doc ue égalité et o e déduit que chaque iégalité a i, j a i, j, 1 j, est ue égalité. Par suite, (i, j) [[1,]], a i, j {0,1}. Ceci motre que la matrice A est ue matrice de permutatio qui réciproquemet coviet. Correctio de l exercice 7 Le produit scalaire usuel de M 3 (R) est défii par (A,B) (M 3 (R)), (A B) = Tr( t AB) = 1 i, j a i, j b i, j. 1. Détermios l orthogoal de A 3 (R) das M 3 (R). Soit (A,B) S ( R) A 3 (R). (A B) = Tr( t AB) = Tr(AB) = Tr(BA) = Tr( t BA) = (B A). ( et doc (A B) = 0. Doc S 3 (R) (A 3 (R)) et comme de plus, dim(s 3 (R)) = dim ((A 3 (R)) ), o a motré que (A 3 (R)) = S 3 (R).. Aisi, la projectio orthogoale de M sur A 3 (R) est exactemet la partie atisymétrique p a (M) de M et la distace cherchée est la orme de M p a (M) = p s (M) avec p s (M) = = Par suite, d (M,A 3 (R)) = p s (M) = = 1. Correctio de l exercice 8 Posos k = 1 (e 1 + e ). Soit u = xe 1 + ye + ze 3 E. O sait que r(u) = (cosθ)u + (1 cosθ)(u k)k + (siθ)k u = 1 u + 1 (u (e 1 + e ))(e 1 + e ) + «=» 1 x y x (x + y) y z 0 0 z = 1 x y z (x + y) z z 0 x + y 3 x + 1 y + 6 z = 1 x + 3 y 6 z = x y 6 x + 6 y + 1 z z et la matrice cherchée est 7 6 (e 1 + e ) u
8 M = Correctio de l exercice 9 La matrice A est symétrique réelle positive. Doc ses valeurs propres λ 1,..., λ sot des réels positifs. De plus, L iégalité à démotrer équivaut doc à : deta = λ 1...λ et det(i + A) = χ A ( 1) = (1 + λ 1 )...(1 + λ ). (λ 1,...,λ ) (R + ), 1 + k=1 λ k k=1 (1 + λ k ). Soit doc (λ 1,...,λ ) (R + ). Si l u des λ k est ul, l iégalité est immédiate. Supposos doréavat tous les λ k strictemet positifs. L iégalité à démotrer s écrit l ( 1 + exp ( 1 (l(λ 1) l(λ )) )) 1 (l(1 + exp(l(λ 1))) l(1 + exp(l(λ )))) ou ecore f ( 1 (x x ) ) 1 ( f (x 1) f (x )) où x R, f (x) = l(1 + e x ) et k [[1,]], x k = l(λ k ). L iégalité à démotrer est ue iégalité de covexité. La foctio f est deux fois dérivable sur R et pour tout réel x, f (x) = ex e x +1 = 1 1 e x +1 puis f (x) = ex 0. (e x +1) La foctio f est doc covexe sur R ce qui démotre l iégalité ( ). A S + (R), 1 + det(a) det(i + A). ( ) Correctio de l exercice 10 Soit A ue matrice orthogoale à coefficiets etiers. Puisque les coloes ou les liges de A sot uitaires, o trouve par lige ou par coloe u et u seul coefficiet de valeur absolue égale à 1, les autres coefficiets état uls. A est doc obteue e multipliat chaque coefficiet d ue matrice de permutatio par 1 ou 1. Réciproquemet, ue telle matrice est orthogoale à coefficiets etiers. Il y a! matrices de permutatio et pour chaque matrice de permutatio faços d attribuer u sige + ou à chaque coefficiet égal à 1. Doc card(o (R) M (Z)) =!. Correctio de l exercice Soit f u edomorphisme du R-espace vectoriel C. Pour tout ombre complexe z f (z) = f ((Re(z)).1 + (Im(z)).i) = (Re(z)) f (1) + (Im(z)) f (i) = 1 (z + z) f (1) + 1 (z z) f (i) i = f (1) i f (i) z + f (1) + i f (i) z, f (1) i f (i) f (1)+i f (i) et o peut predre a = et b =. (Réciproquemet pour a et b complexes doés, l applicatio f aisi défiie est R-liéaire et o a doc l écriture géérale complexe d u edomorphisme du pla). 8
9 . Tr( f ) = Re( f (1)) + Im( f (i)) = Re(a + b) + Im(i(a b)) = Re(a + b) + Re(a b) = Re(a) et det( f ) = Re(a + b)im(i(a b)) Im(a + b)re(i(a b)) = Re(a + b)re(a b) + Im(a + b)im(a b) = (Re(a)) (Re(b)) + (Im(a)) (Im(b)) = a b. Tr( f ) = Re(a) et det( f ) = a b. 3. Soiet z et z deux ombres complexes. O rappelle que z z = (Rez)(Rez ) + (Imz)(Imz ) = 1 (z + z)(z + z ) 1 (z z)(z z ) = 1 (zz + zz ) = Re(zz ). et au passage si o oriete le pla de sorte que la base orthoormée (1,i) soit directe, [z,z ] = (Rez)(Imz ) + (Imz)(Rez ) = 1 i (z + z)(z z ) 1 i (z z)(z + z ) = 1 i (zz zz ) = Im(zz ). Notos M la matrice de f das la base (1,i). Puisque la base (1,i) est orthoormée, f = f M = t M Im(a + b) = Re(i(a b)) Im(a + b) = Im(a b) Ima = 0 a R. f = f a R. Correctio de l exercice 1 Soit (i, j,k) ue base orthoormée directe de R 3 euclidie orieté. Posos u = f (i), v = f ( j) et w = f (k). Nécessairemet, u v = f (i) f ( j) = f (i j) = f (k) = w et de même v w = u et w u = v. 1er cas. Si l u des vecteurs u ou v ou w est ul alors u = v = w = 0 et doc f = 0. Réciproquemet, l applicatio ulle coviet. ème cas. Si les trois vecteurs u, v et w sot o uls alors u v 0 et doc la famille (u,v) est libre. Mais alors la famille (u,v,w) est ue base directe de R 3. Esuite w = u v est orthogoal à u et v et v = w u est orthogoal à u. O e déduit que la famille (u,v,w) est ue base orthogoale directe de R 3. Efi, puisque u et v sot orthogoaux, w = u v = u v et de même u = v w et v = u w. Puis u v w = ( u v w ) et doc, puisque les vecteurs u, v et w sot o uls, u v w = 1. Les égalités u v w = 1 et u = v w fourisset u = 1 et de même v = w = 1. Fialemet, la famille (u,v,w) est ue base orthoormée directe. E résumé, l image par f d ue certaie base orthoormée directe de R 3 est ue base orthoormée directe de R 3 et o sait que f est u automorphisme orthogoal positif de R 3 c est-à-dire ue rotatio de R 3. Réciproquemet, si f est la rotatio d agle θ autour du vecteur uitaire e 3. O cosidère e 1 et e deux vecteurs de R 3 tels que la famille (e 1,e,e 3 ) soit ue base orthoormée directe. Pour vérifier que f est solutio, par liéarité, il suffit de vérifier les 9 égalités : (i, j) {1,,3}, f (e i e j ) = f (e i ) f (e j ). Pour vérifier ces 9 égalités, il suffit se réduiset e fi de compte d e vérifier : f (e 1 ) f (e ) = e 3 = f (e 3 ) = f (e 1 e ) et f (e3) f (e1) = e 3 f (e 1 ) = f (e ) = f (e 3 e 1 ). Les edomorphismes cherchés sot doc l applicatio ulle et les rotatios de R 3. Correctio de l exercice 13 Puisque les matrices S 1 = t AA et S = A t A sot symétriques réelles, ces deux matrices sot à valeurs propres réelles. O sait d autre part que si M et N sot deux matrices quelcoques alors les matrices MN et NM ot même polyôme caractéristique. Notos alors (λ i ) 1 i la famille des valeurs propres des matrices S 1 et S et posos D = Diag(λ 1,...λ ). D après le théorème spectral, il existe deux matrices orthogoales P 1 et P telles que S 1 = P 1 D t P 1 et S = P D t P. Mais alors 9
10 S = P ( t P 1 S 1 P 1 ) t P = (P t P 1 )S 1 t (P t P 1 ). Comme la matrice P t P 1 est orthogoale, o a motré que les matrices S 1 et S sot orthogoalemet semblables. A M (R), les matrices t AA et A t A sot orthogoalemet semblables. Correctio de l exercice 1 Remarque. Il faut predre garde au fait que le produit de deux matrices symétriques est pas écessairemet symétrique. Plus précisémet, si A et B sot deux matrices symétriques alors AB S (R) t (AB) = AB t B t A = AB BA = AB et le produit de deux matrices symétriques est symétrique si et seulemet si ces deux matrices commutet. Doc au départ, rie impose que les valeurs propres de AB soiet toutes réelles. Soiet A et B deux matrices symétriques réelles positives. D après l exercice, il existe deux matrices carrées M et N telles que A = t MM et B = t NN. O a alors AB = t MM t NN. La matrice AB a même polyôme caractéristique que la matrice N( t MM t N = t (M t N)M t N. D après l exercice, cette derière matrice est symétrique positive et a doc des valeurs propres réelles positives. O a motré que les valeurs propres de la matrice AB sot réelles et positives. (A,B) (S + (R), Sp(AB) R +. Correctio de l exercice 15 Soiet A et B deux matrices symétriques réelles positives. 1er cas. Supposos qu aucue des deux matrices A ou B est iversible, alors deta + detb = 0. D autre part, la matrice A + B est symétrique car (S (R),+,.) est u espace vectoriel et ses valeurs propres sot doc réelles. De plus, pour X vecteur coloe doé, t X(A + B)X = t XAX + t XBX 0. La matrice A + B est doc symétrique réelle positive. Par suite, les valeurs propres de la matrice A + B sot des réels positifs et puisque det(a + B) est le produit de ces valeurs propres, o a det(a + B) 0 = deta + detb. ème cas. Sio, ue des deux matrices A ou B est iversible (et doc automatiquemet défiie positive). Supposos par exemple A défiie positive. D après l exercice, il existe ue matrice iversible M telle que A = t MM. O peut alors écrire A + B = t MM + B = t M(I + t (M 1 BM 1 )M et doc det(a + B) = (detm) det(i + t (M 1 )BM 1 = (detm) det(i +C) où C = t M 1 BM 1. La matrice C est symétrique, positive car pour tout vecteur coloe X, t XCX = t X t (M 1 )BM 1 X = t (M 1 X)B(M 1 X) 0 et ses valeurs propres λ 1,..., λ sot des réels positifs. Les valeurs propres de la matrice I +C sot les réels 1 + λ i, 1 i et doc det(i +C) = (1 + λ 1 )...(1 + λ ) 1 + λ 1...λ = 1 + detc. Maiteat, deta = (detm) puis detb = (detm) detc et doc O a motré que deta + detb = (detm) (1 + detc) (detm) det(i +C) = det(a + B). 10
11 (A,B) (S + (R), deta + detb det(a + B). Correctio de l exercice 16 Si a = 0, f = 0 et il y a plus rie à dire. Si a 0, puisque f (a) = 0, 0 est valeur propre de f et Vect(a) E 0 ( f ). D autre part, si x est orthogoal à a, d après la formule du double produit vectoriel f (x) = (a.x)a a x = a x. Doc le réel o ul a est valeur propre de f et a E a. Maiteat, dimvect(a)+dima = 3 et doc Sp( f ) = (0, a, a ) puis E 0 ( f ) = Vect(a) et E a = a. O e déduit aussi que f est diagoalisable. O peut oter que, puisque f est diagoalisable et que les sous-espaces propres sot orthogoaux, f est u edomorphisme symétrique. Correctio de l exercice 17 Il s agit de motrer qu u edomorphisme d u espace euclidie E qui coserve l orthogoalité est ue similitude. O peut raisoer sur ue base orthoormée de E que l o ote B = (e i ) 1 i. Par hypothèse, la famille ( f (e i )) 1 i est orthogoale. De plus, pour i j, (e i +e j ) (e i e j ) = e i e j = 0 et doc f (e i +e j ) f (e i e j ) = 0 ce qui fourit f (e i ) = f (e j ). Soit k la valeur commue des ormes des f (e i ), 1 i. Si k = 0, tous les f (e i ) sot uls et doc f est ulle. Si k 0, l image par l edomorphisme 1 k f de la base othoormée B est ue base orthoormée. Doc l edomorphisme 1 k f est u automorphisme orthogoal de E et doc l edomorphisme 1 k f coserve la orme. Das tous les cas, o a trouvé u réel positif k tel que x E, f (x) = k x. Correctio de l exercice 18 Les deux formes liéaires cosidérées sot idépedates et doc P est u pla. Ue base de P est par exemple (i, j) = ((1, 1, 0, 0)(1, 0,, 3)). O orthoormalise la base (i, j). O pred e 1 = 1 (1, 1,0,0) puis e = j ( j e 1)e 1 = (1,0,, 3) 1 (1, 1,0,0) = 1 (1,1,, 6) puis e = (1,1,, 6). Ue base orthoormée de P est (e 1,e ) où e 1 = 1 (1, 1,0,0) et e = (1,1,, 6). 1. Le projeté orthogoal de u = (x,y,z,t) sur P est p P (u) = (u e 1 )e 1 + (u e )e = 1 (x y)(1, 1,0,0) + 1 (x + y + z 6t)(1,1,, 6) 5 = 1 (1x 13y + z 3t, 13x + 1y + z 3t,x + y + 8z 1t, 3x 3y 1z + 18t). 7 La matrice das la base caoique de la projectio orthogoale sur P est M = La matrice das la base caoique de la symétrie orthogoale par rapport à P est 11
12 . La distace de u = (x,y,z,t) à P est S = M I = u p P (u) = 1 (1x + 13y z + 3t,13x + 1y z + 3t, x y + 19z + 1t,3x + 3y + 1z + 9t) 7 = 1 (1x + 13y z + 3t) 7 + (13x + 1y z + 3t) + ( x y + 19z + 1t) + (3x + 3y + 1z + 9 Correctio de l exercice 19 1ère solutio. ( utilisat pas les valeurs propres) Soiet A la matrice de l éocé puis X = (x i ) 1 i u élémet de M,1 (R). t XAX = ( 1) i=1 = (x i x j ) 0 i j ( xi x i x j = i i j i j(x x i x j ) = 1 xi x i x j + x j i j et doc la matrice A est positive. De plus, si X = (1) 1 i 0, t XAX = 0 et doc la matrice A est pas défiie. ème solutio. La matrice A est symétrique réelle. Doc ses valeurs propres sot réelles et A est diagoalisable. Par suite, la dimesio de chacu de des sous-espaces propres de A est égale à l ordre de multiplicité de la valeur propre correspodate. O ote alors que rg(a I ) = 1 et doc est valeur propre de A d ordre 1. Soit λ la valeur propre maquate. ( 1) + λ = TrA = ( 1). Doc λ = 0. Aisi, Sp(A) R + et doc la matrice A est positive mais 0 est valeur propre de A et doc la matrice A est pas défiie. La matrice A est positive et o défiie. ) Correctio de l exercice 0 Soiet A et B deux matrices orthogoales distictes. Motros que pour tout réel λ ]0,1[, la matrice (1 λ)a + λ B est pas orthogoale. Supposos par l absurde qu il existe λ ]0,1[ tel que la matrice (1 λ)a + λb soit orthogoale. Pour j [[1,]], o ote respectivemet A j, B j et C j la j-ème coloe de matrice A, de la matrice B et de la matrice (1 λ)a + λb. Ces trois matrices état orthogoales, pour tout j [[1,]], 1 = C j (1 λ) A j + λ B j = (1 λ) + λ = 1, et doc C j = (1 λ) A j + λ B j. O est das u cas d égalité de l iégalité de MINKOWSKI. Puisque λ ]0,1[, les coloes ( λ)a j et λb j e sot pas ulles et doc sot coliéaires et de même ses. Puisque les réels 1 λ et λ sot strictemet positifs, il e est de même des coloes A j et B j et puisque ces coloes sot des vecteurs uitaires, ces coloes sot e fi de compte égales. E résumé, si il existe λ ]0,1[ tel que la matrice (1 λ)a + λb soit orthogoale, alors A = B. Ceci est ue cotradictio et o a motré que O (R) est pas covexe. 1
Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X
Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **
Plus en détailGroupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3
1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.
Plus en détailChapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)
Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice
Plus en détailExercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1
Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a
Plus en détailEtude de la fonction ζ de Riemann
Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.
Plus en détailLimites des Suites numériques
Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet
Plus en détailComportement d'une suite
Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer
Plus en détailSolutions particulières d une équation différentielle...
Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod
Plus en détailIntégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :
Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +
Plus en détailSéries réelles ou complexes
6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés
Plus en détail1 Mesure et intégrale
1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios
Plus en détailCHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES
CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.
Plus en détailx +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite
Plus en détail. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1
Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S
Plus en détail14 Chapitre 14. Théorème du point fixe
Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailSéquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire
Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa
Plus en détailSÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1
Plus en détailModule 3 : Inversion de matrices
Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que
Plus en détailEXERCICES : DÉNOMBREMENT
Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailDETERMINANTS. a b et a'
2003 - Gérard Lavau - http://perso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio
Plus en détailDénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices
Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.
Plus en détailSuites et séries de fonctions
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de
Plus en détailProcessus et martingales en temps continu
Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de
Plus en détailFEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI
FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue
Plus en détailLes Nombres Parfaits.
Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie
Plus en détail4 Approximation des fonctions
4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour
Plus en détailStatistique descriptive bidimensionnelle
1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détail20. Algorithmique & Mathématiques
L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus
Plus en détailPolynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.
Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités
Plus en détailIntroduction : Mesures et espaces de probabilités
Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,
Plus en détailExercices de mathématiques
MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble
Plus en détailConvergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9
Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios
Plus en détailUniversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015
Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Scorig Marie Chavet http://www.math.u-bordeaux.fr/ machave/ 2014-2015 1 Itroductio L idée géérale est d affecter ue ote (u score) global à u idividu à partir
Plus en détailDes résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières
Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace E-mail: richardchoulet@waadoo.fr Received
Plus en détailDénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions
Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter
Plus en détailII LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009
M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailPROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales
PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières
Plus en détailDeuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES
DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détail55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.
55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique
Plus en détailLES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.
Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la
Plus en détailcapital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...
Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailFormation d un ester à partir d un acide et d un alcool
CHAPITRE 10 RÉACTINS D ESTÉRIFICATIN ET D HYDRLYSE 1 Formatio d u ester à partir d u acide et d u alcool 1. Nomeclature Acide : R C H Alcool : R H Groupe caractéristique ester : C Formule géérale d u ester
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailCours de Statistiques inférentielles
Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios
Plus en détailConsolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe
Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das
Plus en détail3.1 Différences entre ESX 3.5 et ESXi 3.5 au niveau du réseau. Solution Cette section récapitule les différences entre les deux versions.
3 Réseau Le réseau costitue u aspect essetiel d u eviroemet virtuel ESX. Il est doc importat de compredre la techologie, y compris ses différets composats et leur coopératio. Das ce chapitre, ous étudios
Plus en détailChaînes de Markov. Arthur Charpentier
Chaîes de Markov Arthur Charpetier École Natioale de la Statistique et d Aalyse de l Iformatio - otes de cours à usage exclusif des étudiats de l ENSAI - - e pas diffuser, e pas citer - Quelques motivatios.
Plus en détailProbabilités et statistique pour le CAPES
Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détail16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.
16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme
Plus en détailSéries numériques. Chap. 02 : cours complet.
Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm
Plus en détailUNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4
UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»
Plus en détailSTATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES
STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................
Plus en détailStatistique Numérique et Analyse des Données
Statistique Numérique et Aalyse des Doées Arak DALALYAN Septembre 2011 Table des matières 1 Élémets de statistique descriptive 9 1.1 Répartitio d ue série umérique uidimesioelle.............. 9 1.2 Statistiques
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailRECHERCHE DE CLIENTS simplifiée
RECHERCHE DE CLIENTS simplifiée Nous ous occupos d accroître votre clietèle avec le compte Avatage d etreprise Pour trouver des cliets potetiels grâce à u simple compte bacaire Vous cherchez des idées
Plus en détail2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES
2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul
Plus en détailChapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES. 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.
Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES PLAN DU CHAPITRE 2 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.1 Pla de sodage 2.2.2 Probabilités d iclusio 2.3 SONDAGE
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailCours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE
Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-
Plus en détailStatistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1
Aalyse des doées Statistiques appliquées à la gestio Cours d aalyse de doés Master F. SEYTE : Maître de coféreces HDR e scieces écoomiques Uiversité de Motpellier I M. TERRAZA : Professeur de scieces écoomiques
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailSTATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES
STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailProcessus géométrique généralisé et applications en fiabilité
Processus géométrique gééralisé et applicatios e fiabilité Lauret Bordes 1 & Sophie Mercier 2 1,2 Uiversité de Pau et des Pays de l Adour Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applicatios - Pau UMR
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailTerminale S. Terminale S 1 F. Laroche
Termiale S Exercices. Rappels et exercices de base 3.. QCM (P. Egel) 3.. QCM, Atilles 005 4. 3. QCM, Liba 009, 3 poits 4. 4. QCM, C. étragers 007. 5. QCM, Frace 007 5 6. 6. QCM, N. Calédoie 007 7. 7. QCM
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailINTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES. par. Djalil Chafaï
INTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES par Djalil Chafaï Résumé. E cocevat les mathématiques comme u graphe, où chaque sommet est u domaie, la théorie des probabilités et l algèbre liéaire figuret parmi
Plus en détailTRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )
RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude
Plus en détailMobile Business. Communiquez efficacement avec vos relations commerciales 09/2012
Mobile Busiess Commuiquez efficacemet avec vos relatios commerciales 9040412 09/2012 U choix capital pour mes affaires Pour gérer efficacemet ses affaires, il y a pas de secret : il faut savoir predre
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailEn général, il n y a pas d algorithme fini pour trouver une solution. On est donc obligé d utiliser
Chapitre VI Méthodes Itératives Equatios o Liéaires E pratique, o est souvet coroté à la résolutio d u système d équatios o liéaires. C estàdire pour ue octio tel que doée, o cherche u poit (0.1) E gééral,
Plus en détailChapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction
Chapitre 3 : Trasistor bipolaire à joctio ELEN075 : Electroique Aalogique ELEN075 : Electroique Aalogique / Trasistor bipolaire U aperçu du chapitre 1. Itroductio 2. Trasistor p e mode actif ormal 3. Courats
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailJournées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015
et et Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore Télécom ParisTech david.madore@enst.fr 29 mai 2015 1/31 et 2/31 : définition Un réseau de R m est un sous-groupe (additif) discret L
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailLe théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche
Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailC algèbre d un certain groupe de Lie nilpotent.
Université Paul Verlaine - METZ LMAM 6 décembre 2011 1 2 3 4 Les transformations de Fourier. Le C algèbre de G/ Z. Le C algèbre du sous-groupe G 5 / vect{u,v }. Conclusion. G un groupe de Lie, Ĝ l ensemble
Plus en détail