Analyse Spectrale. Mesure des grandeurs spectrales. P. Granjon. année Grenoble INP, ense3, gipsa-lab

Transcription

1 Spectrale Mesure des grandeurs s P. pierre.granjon@grenoble-inp.fr Grenoble INP, ense3, gipsa-lab année 2-22

2 du cours à estimer 2 Estimateur par banc de filtres 3 Estimateurs basés sur le périodogramme 4 Estimateurs basés sur le corrélogramme 5 d application 2 / 34

3 à estimer 2 Estimateur par banc de filtres 3 Estimateurs basés sur le périodogramme 4 Estimateurs basés sur le corrélogramme 5 d application 3 / 34

4 à estimer Densité de puissance Définitions s S X (λ) = TFr [C X [k]] estimateurs basés sur le corrélogramme [ X 2 N (λ) 2 ] S X (λ) = E lim N + N estimateurs basés sur le périodogramme Interprétation physique DSPM = Densité Spectrale de Puissance Moyenne = «répartition dans le domaine fréquentiel de la puissance moyenne du signal» estimateurs en banc de filtres 4 / 34

5 à estimer 2 Estimateur par banc de filtres Définition Performances 3 Estimateurs basés sur le périodogramme 4 Estimateurs basés sur le corrélogramme 5 d application 5 / 34

6 Structure à banc de filtres x (n) répartition fréquentielle de la puissance autour de λ i = estimation de la densité de puissance (DSP) en λ i unités : Unités Physiques au carré par Hertz F ( λ λi ) Π B ( λ λi ) F λ i λ x i (n) N ˆ B F CX ( ) xi ( n) i = N n= 2 B F puissance dans la bande B F autour de λ i = estimation du spectre de puissance (SP) en λ i unités : Unités Physiques au carré filtrage dans une bande calcul de puissance normalisation 6 / 34

7 à estimer 2 Estimateur par banc de filtres 3 Estimateurs basés sur le périodogramme Le périodogramme Le périodogramme moyenné 4 Estimateurs basés sur le corrélogramme 5 d application 7 / 34

8 Algorithme du périodogramme x[n] = une réalisation sur N échantillons d un SASE X[n]. x(n) TFD N (algo FFT). ² S ˆ P X ( m) g(n) A 8 / 34

9 Algorithme du périodogramme x[n] = une réalisation sur N échantillons d un SASE X[n]. x(n) TFD N (algo FFT). ² S ˆ P X ( m) g(n) A x(n) db -2-4 Module des TFD des fenêtres G(l), en db porte hanning fréquence réduite. ² A S ˆ P X ( m) banc de filtres puissance normalisation fonction de transfert = θg*(l-m) forme fixée par g(n) aucun moyennage grande variance 9 / 34

10 Biais du périodogramme ] ( p E [ŜX [m] = Aβ S X [ ] G[ ] 2) [m] A DSP = θ N n= g[n] 2 S X ( m) G( m) 2 m * [ S p m X ( )] E ˆ m Biais : m faible si variations spectre lentes dans bande de G[m] 2 fort si variations spectre rapides dans bande de G[m] 2 / 34

11 Effet de l échantillonnage en fréquence x[n] = 2 exponentielles complexes de même amplitude, une fréquence sur un canal TFD, l autre pas. sans «zero-padding» avec «zero-padding» fréquence réduite SP estimés par périodogramme SP estimés par périodogramme sans zero padding sans zero padding avec zero padding fréquence réduite zero-padding améliore uniquement l aspect visuel / 34

12 Fenêtres de pondération Principales caractéristiques Quelques exemples... Porte Hanning Blackman.5 g(n) 5 g(n).5 5 g(n).5 5 Echantillons.5 G(m) ².. G(m) ².5.. G(m) ².5.. fréquence réduite G(m) ² (db) G(m) ² (db).. G(m) ² (db) fréquence réduite 2 / 34

13 Fenêtres de pondération Principales caractéristiques Quelques exemples... Porte Hanning Blackman.5 g(n) 5 g(n).5 5 g(n).5 5 Echantillons.5 G(m) ².. G(m) ².5.. G(m) ².5.. fréquence réduite G(m) ² (db).. G(m) ² (db) G(m) ² (db) fréquence réduite.9 B G = N H 2 = 3 db.4 B G = N H 2 = 3 db.7 B G = N H 2 = 58 db Principales caractéristiques : largeur lobe central B G «pouvoir de résolution» hauteur lobes 2 daires H 2 «fuites s» 3 / 34

14 Fenêtres de pondération Un exemple d application S X (!) SP du signal à analyser..25!" 5 Signal fenêtré, fenêtre porte 5 Signal fenêtré, fenêtre Hanning échantillons SP estimé par périodogramme échantillons SP estimé par périodogramme fréquence réduite fréquence réduite Pour une même durée, chacun ses avantages/inconvénients 4 / 34

15 Variance relative du périodogrammme ] p Var [ŜX [m] S X 2 [m] variance relative du périodogramme constante, N! x[n] = bruit blanc gaussien de variance DSP estimée par périodogramme, N = DSP estimée par périodogramme, N = 8 x fréquence réduite fréquence réduite périodogramme inexploitable pour signaux bruités 5 / 34

16 Bilan périodogramme Implantation estimateur simple et rapide, OK pour temps-réel (algo FFT) Performances approx t. non biaisé pour spectres à variations lentes variance relative importante et constante signaux déterministes ou très peu bruités uniquement! Paramètres N : temps d observation, le + grand possible N FFT = pn : p 8 ou 6 pour zero-padding g[n] : fenêtre de pondération (résolution/fuites s) A : facteur de normalisation (mesure de DSP ou SP) 6 / 34

17 à estimer 2 Estimateur par banc de filtres 3 Estimateurs basés sur le périodogramme Le périodogramme Le périodogramme moyenné 4 Estimateurs basés sur le corrélogramme 5 d application 7 / 34

18 Algorithme du périodogramme moyenné sur L réalisations du SASE X[n] : x ( n) M xl ( n) L réalisations du SASE X(n) g(n) TFD N (algo FFT). ² A Sˆ ( m) p X ˆ p S ( m) X L M L réalisations S ˆ p X m de ( ) L L i = ( ) périodogramme moyenné S ˆ pm X ( m) 8 / 34

19 Algorithme du périodogramme moyenné sur L réalisations du SASE X[n] : x ( n) M xl ( n) L réalisations du SASE X(n) g(n) TFD N (algo FFT). ² A Sˆ ( m) p X ˆ p S ( m) X L M L réalisations S ˆ p X m de ( ) L L i = ( ) périodogramme moyenné S ˆ pm X ( m) sur réalisation du SASE X[n] : g(n) A x(n) Découpage en L blocs x ( n) M xl ( n) TFD N (algo FFT). ² L L i = ( ) S ˆ pm X ( m) L réalisations du SASE X(n) 9 / 34

20 Performances d estimation du périodogramme moyenné Biais même biais que périodogramme (car ŜXpm moy. de Ŝ X p ) : Variance faible si variations spectre lentes dans bande de G[m] 2 fort si variations spectre rapides dans bande de G[m] 2 inversement proportionnelle au nombre de blocs L : ] pm Var [ŜX [m] S 2 X [m] L = M MB N G moyennage diminue la variance d estimation 2 / 34

21 Comment régler la taille N d un bloc pour M fixé? erreur d estimation biais ² variance N min N opt N max =M N N petit largeur lobe central G ² importante - mauvaise résolution fréquentielle - biais important nombre de blocs L important - variance faible zone optimale à déterminer N grand largeur lobe central G ² faible - bonne résolution fréquentielle - biais faible nombre de blocs L faible - variance importante Signaux très bruités Signaux peu bruités Tout dépend du signal analysé et de ce que l on veut faire : séparer des composantes proches ( N grand) estimer correctement la DSP d un bruit ( N faible)... 2 / 34

22 Bilan périodogramme moyenné Implantation estimateur simple, OK pour temps-réel (algo FFT) Performances approx t. non biaisé pour spectres à variations lentes variance relative inversement prop. elle nombre de blocs Paramètres N : durée d un bloc (résolution, biais/variance) D : décalage entre blocs, N 4 pour diminuer la variance N FFT = pn : p 8 ou 6 pour zero-padding g[n] : fenêtre de pondération (résolution/fuites d énergie) A : facteur de normalisation (mesure de DSP ou SP) 22 / 34

23 à estimer 2 Estimateur par banc de filtres 3 Estimateurs basés sur le périodogramme 4 Estimateurs basés sur le corrélogramme Définition Performances d estimation Bilan 5 d application 23 / 34

24 Définition à estimer : S X (λ) = TFr [C X [k]] Définition ] c Ŝ X [m] = ATFD [f [k]ĉx[k] avec 2 degrès de liberté : A = facteur de normalisation estimateur ANB f [k] = fenêtre de pondération moyennage fréquentiel 24 / 34

25 Intérêt d une pondération f [k] Effet temporel : C x (k) estimée non biaisée fenêtre de pondération f(k) support N Retards atténuation des erreurs d estimation de ĈX[k] Effet fréquentiel : ] c Ŝ X [m] = AβTFD [ĈX [k] TFD [f [k]] ) = Aβ (ŜX [ ] F [ ] [m] lissage sur une plage fréquentielle réduite de N 25 / 34

26 Quelques exemples pour f [k] Hypothèse : on analyse une réalisation x[n] de durée M f [k] = : "( M ") "( M ") "( M ") f ( k) f k ( ) f ( k) k ( M ") support 2M k "( M ") f ( k f [k] = M m ( M ") support ) 2M M : " ( M " ) k ( M ") support 2M f ( k) f ( k ) k ( M ") support M k "( M ") ( M ") support f ( k) M k "( M ") ( M ") support f ( k f [k] de ) M N < M : "( M ") "( M ") f ( k) k ( M ") support N<<M ( M ") support N<<M k ( M ") support N<M k support de f [k] > support de x[n] aucun lissage fréquentiel et ŜXc [m] parfois < jamais utilisé support de f [k] M support de x[n] lissage fréquentiel minimal et ŜXc [m] = Ŝ X p [m] possible, mais estimateur inconsistant (variance) support de f [k] < support de x[n] lissage fréquentiel plus important variance et biais d estimation 26 / 34

27 Algorithme Le corrélogramme Corrélateur ˆ C X ANB (k) f(k) TFD A corrélogramme TFD Le périodogramme lissé F(m) A TFD périodogramme lissé corrélogramme périodogramme lissé (en fréquence) diminution de la variance augmentation du biais mais beaucoup plus efficace en temps de calcul 27 / 34

28 Performances du corrélogramme Etude à l ordre Biais ] c E [ŜX [m] = Aβ (S X [ ] F [ ]) [m] ŜXc [m] biaisé car SX [m] lissée par F [m] = TFD [f [k]] si N, le biais comme le support de F [m] Pouvoir de résolution Pvr de résolution = largeur à -3dB de F [m], varie comme N si N, le pouvoir de résolution s améliore Normalisation A DSP = f [] ŜX c [m] estime une DSP c A SP = [m] estime un SP θ N n= f [n] ŜX 28 / 34

29 Performances du corrélogramme Etude à l ordre 2 Variance proportionnelle au rapport (support f [k]) / (support x[n]) : ] c Var [ŜX [m] S 2 N X [m] M = M MB N F on retrouve donc : si N, la variance l antagonisme biais/variance un résultat homogène à ceux du périodogramme moyenné et du banc de filtres 29 / 34

30 Bilan corrélogramme Implantation estimateur simple, OK pour temps-réel (algo FFT) Performances approx t. non biaisé pour spectres à variations lentes variance relative en Paramètres N=support fenêtre pondération M=support signal N : durée fenêtre pondération (résolution, biais/variance) N FFT = pn : p 8 ou 6 pour zero-padding f [k] : fenêtre de pondération (résolution/fuites d énergie) A : facteur de normalisation (mesure de DSP ou SP) 3 / 34

31 à estimer 2 Estimateur par banc de filtres 3 Estimateurs basés sur le périodogramme 4 Estimateurs basés sur le corrélogramme 5 d application 3 / 34

32 d un signal bruité des vibrations d un compteur à gaz : le problème Objectif : obtenir des informations sur les éléments mécaniques internes d un compteur à gaz 3 signal vibratoire à analyser accéléromètre temps (s) entrée gaz compteur gaz sortie gaz 32 / 34

33 d un signal bruité des vibrations d un compteur à gaz : par périodogramme moyenné 3 2 DSP estimée 2 DSP estimée 2 périodogramme 4 périodogramme moyenné fréquence réelle (Hz) DSP estimée périodogramme périodogramme périodogramme moyenné périodogramme moyenné fréquence réelle (Hz) fréquence réelle (Hz) partie périodique spectre discret info sur débit du gaz (fréquence de rotation pièces) partie non périodique spectre continu info sur structure mécanique (fréquence de résonance) 33 / 34

34 d un signal bruité des vibrations d un compteur à gaz : par corrélogramme 3 2 DSP estimée 2 DSP estimée 2 périodogramme 4 corrélogramme fréquence réelle (Hz) DSP estimée périodogramme périodogramme corrélogramme corrélogramme lissé fréquence réelle (Hz) fréquence réelle (Hz) partie périodique spectre discret info sur débit du gaz (fréquence de rotation pièces) partie non périodique spectre continu info sur structure mécanique (fréquence de résonance) 34 / 34