Corrigé - Baccalauréat blanc TS

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1 Corrigé - Baccalauréat blanc TS - 00 EXERCICE 5 points Commun à tous ls candidats Parti A : Étud d un fonction On considèr la fonction f défini sur ]0 ; + [ par f = + ln On not C la courb rprésntativ d f dans l plan rapporté à un rpèr orthonormal O, ı, j ; unité graphiqu 5 cm.. Calculr ls limits d f n 0 t n +. Détrminr ls asymptots d C. lim f = lim + ln ln = car lim = par quotint avc lim f = lim ln lim ln = 0 lim = 0 0 ln = par somm avc lim = 0 par croissancs comparés. + J pu déduir d la limit d f n 0 qu la droit d équation = 0 st asymptot vrtical à C t j déduis d la limit d f n + qu la droit d équation y = st asymptot horizontal à C au voisinag d +.. Étudir l sns d variation d f. Drssr l tablau d variation d f. f = + U V avc U = ln t U = f = U V UV V V = t V = f ln = = ln fonction U V dérivé U V UV Comm l dénominatur st positif, l sign d f st, sur ]0 ; + [, clui du numératur ln 0 α + ln 0 ln f V f = + ln = ln = f 0 - f = + ln = [ ]. Montrr qu l équation f = 0 admt sur l intrvall ; un solution uniqu noté α. Détrminr un ncadrmnt d α, d amplitud 0. Donnr, suivant ls valurs d, l sign d f sur ]0 ; + [. ] D après l tablau d variations d la fonction f, l équation f = 0 admt un uniqu solution α sur. J n déduis qu f 0 sur ]0 ; α] t f 0 sur [α ; + [ d où l tablau d signs : [ ; f 0 α À l aid d la calculatric, j trouv 0,56 < α < 0,57. Parti B : Étud d un tangnt. Détrminr un équation d la tangnt D à C au point d absciss. La tangnt D au point d absciss a pour équation y = f + f = + J obtins D : y =. a. Soit ϕ la fonction défini pour tout > 0 par : ϕ = + ln. Calculr ϕ. En déduir l sns d variation d ϕ puis l sign d ϕ, sur l intrvall ]0 ; + [. ϕ = u v + w avc u = ; v = t w = ln avc f = ln = ϕ = u v + w u = ; v = t w = ϕ = + = + + pour tout > 0, ctt dérivé st du sign du numératur + + L numératur st un trinôm qui s annul pour = t pour =

2 ϕ ϕ D après l tablau d variations d la fonction ϕ : ϕ 0, sur l intrvall ]0 ; + [.. b. Montrr qu, pour tout > 0, f = ϕ Pour tout > 0, f = + ln c. En déduir la position rlativ d C t D. + ln = = ϕ D après l sign d la fonction ϕ, pour tout > 0, f 0 J pu n déduir qu sur l intrvall ]0 ; + [, la courb C st toujours n-dssous d la droit D d équation y =. EXERCICE 6 points Commun à tous ls candidats - Ls partis A t B sont indépndants On chrch à modélisr d du façons différnts l évolution du nombr, primé n millions, d foyrs français possédant un télévisur à écran plat, n fonction d l anné. Parti A : un modèl discrt Soit u n l nombr, primé n millions, d foyrs possédant un télévisur à écran plat l anné n. On pos n = 0 n 005, u 0 = t, pour tout n 0, u n+ = 0 u n 0 u n. Soit f la fonction défini sur [0 ; 0] par f = 0 0 a. Étudir ls variations d f sur [0 ; 0]. On a f = 0, donc f = 5. D plus f 0 0 t f 0 0. La fonction f st donc croissant sur [0 ; 0] t décroissant sur [0 ; 0]. b. En déduir qu pour tout [0 ; 0], f [0 ; 0]. Sur [0 ; 0], l maimum d f st donc f 0 = 0 f 0 = 0 t f 0 = 0 sont ls minimums d f. On a donc qul qu soit [0 ; 0], f [0 ; 0]. c. On donn ci-après la courb rprésntativ C d la fonction f dans un rpèr orthonormal O, ı, j du plan. Rprésntr, sur l a ds abscisss, à l aid d c graphiqu, ls cinq prmirs trms d la suit u n n À rndr avc la copi u 0 u u u u 4

3 . Montrr par récurrnc qu pour tout n N, 0 u n u n+ 0. Initialisation : On a u = f u 0 = f = 0, =, On a bin 0 u 0 u 0. Hérédité : Supposons qu il ist un valur n pour laqull 0 u n u n+ 0. On a vu qu sur l intrvall [0 ; 0], la fonction f st croissant, donc u n u n+ f u n f u n+ u n+ u n+. D plus d après la qustion. b. qul qu soit un nombr dans l intrvall [0 ; 0] t à fortiori dans l intrvall [0 ; 0], son imag par f t ll aussi dans l intrvall [0 ; 0] ; on a donc bin 0 u n+ u n+ 0. Concusion : la proposition st vrai pour n = 0, ll st héréditair donc par récurrnc on a : pour tout n N, 0 u n u n+ 0.. Montrr qu la suit u n n 0 st convrgnt t détrminr sa limit. On vint n fait d démontrr qu la suit u n n 0 st croissant. Comm ll st majoré par 0, ll convrg vrs un limit l infériur ou égal à 0. Comm la fonction f st continu on obtint par passag à la limit : Donc lim u n = 0. l = l l 0 l = l 0 = l 0 l = 0. Parti B : un modèl continu Soit g l nombr, primé n millions, d tls foyrs l anné. On pos = 0 n 005, g 0 = t g st un solution, qui n s annul pas sur [0 ; + [, d l équation différntill : E : y = y0 y 0. On considèr un fonction y qui n s annul pas sur [0 ; + [ t on pos z = y a. Montrr qu y st solution d E si t sulmnt si z st solution d l équation différntill : E : z = z + z = y y = z. z st dérivabl t z = y y = y z y = z z y st solution d E y = z y0 y 0 z = 0 z 0 z. On a donc : b. Résoudr l équation E t n déduir ls solutions d l équation E. Ls solutions d l équation E sont ls fonctions d la form : z = K + Ls solutions d E sont donc ls fonctions d la form : 0. Montrr qu g st défini sur [0 ; + [ par g = + g st un solution d E tll qu g 0 = K Finalmnt g = = z = z + 0 z st solution d E. K avc K R. avc K R. = = = K + 0, K = 0, = K + 0, 0.. Étudir ls variations d g sur [0 ; + [. On a g = 0 = Ctt dérivé n comportant qu ds trms positifs st positiv : + la fonction g st donc croissant sur [0 ; + [. 4. Calculr la limit d g n + t intrprétr l résultat. On a lim + = 0, donc lim g = 0. + Cci signifi qu à long trm l nombr d foyrs équipés d télévisurs à écran plat va s rapprochr d 0 millions. 5. En qull anné l nombr d foyrs possédant un tl équipmnt dépassra-t-il 5 millions? Il faut résoudr l inéquation g > 5 0 > 5 > + > + > ln > > ln > ln soit nviron 4, ans ou n 5 ans à an près soit n 00.

4 EXERCICE 5 points Commun à tous ls candidats L plan st rapporté à un rpèr orthonormal dirct O, u, v. On désign par A t B ls points, d affis rspctivs t. On fra un dssin unité graphiqu cm qui sra complété slon ls indications d l énoncé. La qustion. st indépndant ds qustions. t.. a. Résoudr dans l nsmbl ds nombrs compls l équation : z 4z + 6 = 0 z 4z + 6 = 0 z = 0 z + = 0 z z + i z i = 0 i = 0 z = i ou z = + i b. On désign par M t M ls points d affis rspctivs z = + i t z = i S = { i ; + i } Détrminr la form algébriqu du nombr compl z. En déduir qu l triangl OB M st rctangl. z L quotint z = + i z + i = + i i = + + i + i = i. C st donc un imaginair pur z En prnant ls argumnts arg = OM, BM = π, c qui signifi qu l triangl OBM st rctangl n M. z c. Démontrr sans nouvau calcul qu ls points O,B,M t M, appartinnnt à un mêm crcl C qu l on précisra. Tracr l crcl C t placr ls points M t M sur l dssin. L triangl précédnt st inscrit dans un crcl d diamètr [OB]. Or z t z étant conjugués, ls points M t M sont symétriqus autour d O, u : l point M appartint lui aussi au crcl circonscrit au triangl OBM.. On appll f l application du plan qui, à tout point M d affi z associ l point M d affi z défini par l égalité : z = z 4z + 6. On désign par Γ l crcl d cntr A t d rayon. C crcl n sra pas tracé sur l dssin. a. Vérifir l égalité suivant : z = z On a : z = z 4z + 6 = z 4z + 4 = z. b. En déduir un rlation ntr z t z, puis ntr arg z t argz, pour tout compl z. Traduir cs du rlations n trms d distancs t d angls t n déduir qu si M appartint au crcl Γ, alors M st situé sur un crcl Γ dont on précisra l cntr t l rayon. Tracr Γ sur l dssin. z = z = z qui s traduit par AM = AM t lorsqu z, arg z u = arg z u = arg z [π] qui s traduit par ; AM = ; AM [π] Lorsqu M décrit l crcl Γ, on a AM = = z donc z = = donc AM = M décrit l crcl d cntr A t d rayon. D M D Γ v Γ O u A B M + i 6. On appll D l point d affi d = + t on désign par D l imag d D par f. a. Écrir sous form trigonométriqu l nombr compl d. En déduir qu D st situé sur l crcl Γ + i 6 d = = + i = cos π + isin π = i π. On n déduit qu d = c st-à-dir qu D appartint au crcl d cntr A t d rayon, soit au crcl Γ. u b. À l aid la qustion. b. donnr un msur d l angl ; AD t placr l point D sur l dssin. D après la qustion. b. argd = π u [π] donc, AD u =, AD = π [π].

5 EXERCICE 4 4 points Candidats n ayant pas suivi l nsignmnt d spécialité Soit v = v n n 0 un suit. On considèr la suit u défini pour tout ntir naturl n par u n = v n + Parti A Pour chacun ds qustions, quatr propositions sont proposés dont un sul st act. Pour chacun ds qustions donnr, sans justification, la bonn répons sur votr copi. Un bonn répons donn 0,75 point, un mauvais répons nlèv 0,5 point t l absnc d répons st compté 0 point. Tout total négatif st ramné à zéro.. a st un rél strictmnt positif t ln désign la fonction logarithm népérin. Si v 0 = ln a alors : a. u 0 = a + b. u 0 = c. u 0 = a + d. u 0 = a + + a v 0 = ln a, alors : u 0 = ln a + = ln a + = +. Répons a. a. Si v st strictmnt croissant, alors : a. u st strictmnt décroissant t majoré par b. u st strictmnt croissant t minoré par c. u st strictmnt croissant t majoré par d. u st strictmnt décroissant t minoré par Si v st strictmnt croissant, alors : v st décroissant, v st décroissant car la fonction ponntill st croissant t v + l st aussi t st minoré par. Répons d.. Si v divrg vrs +, alors : a. u convrg vrs b. u divrg vrs + c. u convrg vrs d. u convrg vrs un rél l tl qu l > Si v divrg vrs +, alors : lim v n = 0, donc lim u n =. Répons c. 4. Si v st majoré par, alors : a. u st majoré par + b. u st minoré par + c. u st majoré par + d. u st minoré par + Si v st majoré par, alors : v n v n v n + v n +. Répons b. Parti B : Démonstration d cours Prérquis : définition d un suit tndant vrs + «Un suit tnd vrs + si, pour tout rél A, tous ls trms d la suit sont, à partir d un crtain rang, supériurs à A». Démontrr l théorèm suivant : «un suit croissant non majoré tnd vrs +.» Soit un suit u n non majoré t croissant, t A un rél arbitrair. Comm la suit st non majoré, il ist au moins un trm u p d la suit tl qu u p > A. Or la suit étant croissant, si l on prnd n supériur à p, on aura u n supériur à u p, c st-à-dir, u n supériur à A. Donc on a prouvé qu, à partir du trm u p, tous ls trms d la suit sont supériurs à A. C st la définition d lim u n = +

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