Limite à l infini. Branches infinies

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1 DOCUMENT 25 Limite à l infini. Branches infinies 1. Introduction et notations Considérons les trois fonctons réelles f, g et h définies par : f() = e, g() = sin, h() = 1/ 2 et donnons de grandes valeurs à. La fonction f prend aussi des valeurs très grandes et pour dépasser un nombre réel donné A > 0 il suffit que A. Pour toutes les valeurs de de la forme kπ, k N, la fonction g est nulle, elle prend des valeurs très grandes si = (π/2) + 2kπ et des valeurs négatives très petites si = (π/2) + 2kπ. En revanche, les valeurs prises par la fonction h se rapprochent de 0 lorsque les valeurs de augmentent. L objet du document est l étude précise du comportement des fonctions réelles lorsque la variable prend des valeurs très grandes. Pour pouvoir étudier une fonction f, définie sur une partie D f de R, lorsque la variable prend des valeurs arbitrairement grandes il est nécessaire que pour tout A R, il eiste D f tel que > A. Si cela est réalisé on dit que + est adhérent à D f ce qui sera noté + D f. De même, est adhérent à D f, noté D f, si, pour tout A R il eiste D f tel que < A. Remarquons les équivalences : + D f A R, D f ]A, + [ D f A R, D f ], A[ on peut remarquer que + N. Ce qui suit peut donc s appliquer au suites Limite finie. 2. Limite à l infini d une fonction à valeurs réelles. Définition Soit f une fonction definie sur D f et l R. On dit que l est une ite de f lorsque tend vers + si + D f et si ɛ > 0, il eiste A R tel que D f ]A, + [ implique f() l < ɛ. On dit que l est une ite de f lorsque tend vers si D f et si ɛ > 0, il eiste A R tel que D f ], A[ implique f() l < ɛ. Remarquons que f tend vers l lorsque tend vers + si et seulement si f( ) tend vers l lorsque tend vers. Cette remarque permet souvent de ne considérer que le cas où la variable tend vers +. Proposition Toute fonction f possède au plus une ite finie quand tend vers + ou. 265

2 LIMITE À L INFINI. BRANCHES INFINIES Preuve. On peut toujours supposé que tend vers +, ce qui suppose que + D f. Soit l 1 et l 2 deu ites de f et ɛ > 0. Il eiste deu nombres réel A 1 et A 2 tels que : D f ]A 1, + [ implique f() l 1 < ɛ/2 ; D f ]A 2, + [ implique f() l 2 < ɛ/2. Posons A = ma(a 1, A 2 ) et, comme + D f, soit 0 D f ]A, + [. On a : l 1 l 2 < l 1 f( 0 ) + f( 0 ) l 2 < ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ d où l 1 = l 2 (sinon ɛ = l 1 l 2 /2 conduit à une contradiction). Notations Si la ite de f quand tend vers + (resp. f() ou f (resp. f() ou f). + ) eiste on la désigne par Eemples et remarques. 1) Soit f définie par f() = sur R \ { 1} et ɛ > 0. On a évidemment + D f et, pour > 0, = 2 < 2/. + 1 Donc > A = 1 2ɛ implique f() 1 < ɛ d où f() = 1. 2) Soit g la fonction de R dans R définie par g() = sin. Si g() = l alors pour tout ɛ > 0 il eiste A tel que > A implique g() l < ɛ. Soit n un entier naturel plus grand que A. On a 2nπ > A d où, comme g(2nπ) = 0, l < ɛ et donc l = 0. Pour tout réel B, si n > 0 est un entier plus grand que B alors 2nπ > B et g(2nπ + π/2) = 2nπ + π/2 > 1 ce qui contredit g() = 0. Finalement g n a pas de ite quand tend vers +. Il en est de même si tend vers car f() = f( ). 3) On a f() = l si et seulement si f() l = 0. (f() l) = 0 ce qui équivaut encore à 4) Si la fonction f admet la ite l lorsque tend vers + alors la restriction de f à une partie X telle que + X D f admet aussi la ite l en +. Réciproquement si une restriction de f à une partie X admet une ite l en + et s il eite α R tel que ]α, + [ X alors f() = l. 5) Si f() = l alors il eiste un intervalle de la forme ]α, + [ sur lequel f est bornée car il eiste α R tel que ]α, + [ D f implique f() l < 1 ce qui équivaut à l 1 < f() < l + 1 ou encore f() < ma( l 1, l + 1 ). 6) Une suite est une application définie sur N. Comme + N, tous les résultats concernant les ites en + sont valides pour les suites.

3 2.2. Limite infinie. 2. LIMITE À L INFINI D UNE FONCTION À VALEURS RÉELLES. 267 Définition Soit f une fonction réelle définie sur un ensemble D f tel que + D f. On dit que f tend vers + quand tend vers + (resp. ) si : A R, il eiste B R tel que ]B, + [ D f implique f() > A. (resp. A R, il eiste B R tel que ], B[ D f implique f() < A.) On dit que f tend vers quand tend vers + (resp. ) si f() tend vers + quand tend vers + (resp. ). Unicité de la ite et notations. Il est clair que f ne peut pas tendre à la fois vers + et vers lorsque tend vers +. Si f tend vers + ou lorsque tend vers + alors f n est bornée sur aucun intervalle du type ]α, + [ et donc une fonction ne peut pas avoir à la fois une ite finie et une ite infinie en +. Il y a donc encore ici unicité de la ite d où les notations : f() =, f() = +, f() =. f() = +, Eemples et remarques 1) Soit f définie par f() = e. Comme e > 0 on a f() > + 1 et donc pour tout A R, > B = A 1 implique f() > A d où f() = +. dt 2) Considérons, pour > 0, ln() =. Cette fonction ayant une dérivée strictement 1 t positive est strictement croissante et donc ln 2 > ln 1 = 0. Soit A R. Il eiste un entier n tel que n > A ln 2 et posons B = 2n. Si > B alors ln() > ln B = n ln 2 > A > A et donc ln() = +. 3) Si f() = + alors il eiste A tel que ]A, + [ D f implique f() > 0. On a donc ]A, + [ D f D 1/f d où, en utilisant D 1/f D f, on a ]A, + [ D f =]A, + [ D 1/f. Il en résulte que + D 1/f. Soit ɛ > 0 et B = 1/ɛ. Il eiste C tel que > C et D f impliquent f() > B. Si ]C, + [ D 1/f alors 0 < 1/f() < 1/B = ɛ d où 1/f() = 0. On a le même résultat dans les trois autres cas : f() =, f() =. sin La réciproque est plus délicate. Par eemple, = 0 et sin kπ, k Z, n a pas de ite quand tend vers +. Le résultat correct est : si et si + D 1/f alors f() = +,, définie pour f() = 0 1/f() = +. Si f garde un signe constant sur un intervalle ]α, + [ on peut supprimer la valeur absolue et on a un résultat analogue si f() = Utilisation des voisinages. La méthode précédente amène à considérer de nombreu cas. On peut éviter cela de la façon suivante. On désigne par R l ensemble R {, + }. On prolonge la relation d ordre sur R à R en posant, pour tout R, < et < +. Pour tout élément a de R on définit un ensemble V(a) d intervalles ouverts de R, appelés voisinages de a, de la façon suivante. V(a) = {]a η, a + η[ η > 0} si a R V(+ ) = {]A, + [ A R}

4 LIMITE À L INFINI. BRANCHES INFINIES V( ) = {], A[ A R} Il est clair que l intersection de deu voisinages de a est encore un voisinage de a. On remarque aussi que si a 1 et a 2 sont deu points distincts de R alors il eiste V 1 V(a 1 ) et V 2 V(a 2 ) tels que V 1 V 2 =. L élément 0 R est adhérent à un partie X de R si et seulement si tout voisinage de 0 rencontre X et on peut donner une seule définition pour toutes les notions de ites. Définition Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur une partie D f de R, 0 D f et l R. On dit que f possède la ite l quand tend vers 0 si U V(l) il eiste V V( 0 ) tel que f(d f V ) U. Cette nouvelle définition coïncide dans chaque cas particulier (ite finie en un point de R, ite infinie en un point de R, ite finie ou infinie en ± ) avec celles dejà introduitent et on va voir qu elle simplifie beaucoup certaines démonstrations. Donnons d abord une nouvelle preuve, englobant tous les cas, de l unicité de la ite. Soit l 1 et l 2 deu ites de f lorsque tend vers 0 D f. Soit U 1 V(l 1 ) et U 2 V(l 2 ). Il eiste V i V( 0 ), i = 1, 2, tel que f(v i D f ) U i d où f(v 1 V 2 D f ) U 1 U 2. On a V 1 V 2 V( 0 ) d où V 1 V 2 D f et donc U 1 U 2 ce qui implique l 1 = l 2. Cette technique est particulièremant efficace pour démontrer le théorème concernant la ite d une fonction composée. Si l on n utilise pas les voisinages, il y a 27 cas à considérer. Proposition Soit f et g deu fonctions de R dans R telles que f(d f ) = D g et soit 0 D f un élément de R. Si f a la ite l quand tend vers 0 alors l D g. Si g possède la ite k R quand tend vers l alors g f admet la ite k lorsque tend vers 0. Preuve. Pour prouver que l D g, il suffit de prouver qu en général f() = l implique 0 l f(d f ). Soit U V(l). Il eiste V V( 0 ) tel que f(v D f ) U. Comme 0 D f, il eiste V D f d où f() U f(d f ). Ce dernier ensemble est donc non vide d où l D f. Soit U V(k). Il eiste V V(l) tel que g(v D g ) U. Il eiste aussi W V( 0 ) tel que f(w D f ) V. On a D f = D g f (grâce à l hypothèse f(d f ) D g ) et f(w D f ) f(d f ) D g d où f(w D g f ) V D g et g f(w D g f ) g(v D g ) U et finalement g f() = k. 0 Un cas particulier intéressant du résultat précédent est celui où la fonction f est une suite. Dans ce cas on a évidemment 0 = Opérations sur les ites Le cas des ites finies. Les résultats concernant les opérations sur les ites finies à l infini sont eactement les mêmes que pour les ites finies en un point de R et il est très facile de modifier les preuves pour obtenir le cas où la variable tend vers l infini. Rappelons ces résultats avec ± désignant l un des deu symboles + ou. Lemme Soit f : D f R telle que ± D f. a) Si f possède une ite finie quand tend vers ± alors f est borné dans un voisinage de ±. b) Si de plus f 0 alors ± D 1/f et 1/f est borné dans un voisinage de ±. Lemme Soient f : D f R, g : D g R telles que ± (D f D g )

5 a) Si f() = (f + g)(() = 0. b) Si 2. LIMITE À L INFINI D UNE FONCTION À VALEURS RÉELLES. 269 g() = 0 alors f + g à une ite quand tend vers ± et f() = 0 et si g est borné dans un voisinage de ± alors fg à une ite quand tend vers ± et c) Si (fg)() = 0. f() = 0 et si, dans un voisinage de ±, g() f() alors g à une ite quand tend vers ± et g() = 0. Proposition Soient f : D f R, g : D g R telles que ± (D f D g ). On suppose que f() = l 1 et g() = l 2 a) Pour tout (λ, µ) dans R 2, la fonction λf + µg a une ite quand tend vers ± et (λf + µg)() = λl 1 + µl 2. b) La fonction fg a une ite quand tend vers ± et (fg)() = l 1l 2. Proposition Soit f : D f R telle que ± D f. Si f possède une ite l 0 quand tend vers ± alors 1/l est la ite de 1/f en ±. En utilisant les propositions précédentes on obtient le résultat concernant la ite d un quotient de deu fonctions Le cas des ites infinies. Une partie des résultats précédents s étend au cas où l une des fonctions au moins possède une ite infinie. Il y a de nombreu cas particuliers et le tableau suivant en donne quelques uns. On considère deu fonctions f et g de R dans R possédant une ite finie ou infinie lorsque la variable devient infinie. Le symbole ± désigne + ou et on suppose que ± D f D g. Le symbole l désigne un nombre réel et? signifie que l on ne peut pas conclure dans le cas général. f l > 0 l < 0 l > 0 l < g f + g + + +?? fg f/g ???? (On peut encore ajouter a ce tableau deu colonnes pour le cas l = 0.) Donnons par eemple les preuves des résultats de la première colonne avec +. Soit A R. Il eiste B R tel que si ]B, + [ D f alors f() l < l/2 et donc l/2 < f(). Il eiste C R tel que ]C, + [ D g implique g() > A. Soit D = ma(b, C) Si ]D, + [ D f+g alors (f + g)() > l/2 + g() > g() > A et donc (f + g) = +. + Il eiste C 1 R tel que ]C 1, + [ D g implique g() > 2A/l. Soit D 1 = ma(b, C 1 ). Si ]D 1, + [ D f+g alors f()g() > (l/2).(2a/l) = A et donc (fg) = +. + Considérons maintenant ɛ > 0. Il eiste C 2 R tel que ]C 2, + [ D g implique g() > 3l 2ɛ. Soit D 2 = ma(b, C 2 ). Si ]D 1, + [ D f/g alors 0 < f() < (3l/2).(2ɛ/3l) = ɛ et donc (f/g) = 0. + g()

6 LIMITE À L INFINI. BRANCHES INFINIES 2.5. Inégalités et ite à l infini. Les résultats concernant les ites en un point de R s étendent au cas des ites à l infini. Dans ce paragraphe on désigne encore par ± l un des deu symboles + ou. Lemme Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur D f tel que ± D f. Si f possède en ± la ite l R et si la restriction de f à un voisinage de ± est positive alors l 0. Preuve. Soit U le voisinage de ± sur lequel f est positive. Supposons l < 0. Il eiste V V(± ) tel que V D f implique f() ]l+l/2, l l/2[ d où 0 > l/2 > f(). L intersection de deu voisinages de ± étant encore un voisinage de ±, il eiste α U V D f et l on a f(α) < 0 ce qui est contradictoire avec α U. On a donc l 0. On peut ausi démontrer que si f possède en ± la ite ± et si la restriction de f à un voisinage de ± est positive alors cette ite est +. Proposition Soit f et g deu fonctions a valeurs réelles telles que ± D f D g. Si f() g() pour tout U D f D g, où U est un voisinage de ±, et si f et g possèdent des ites respectives l 1 R et l 2 R lorsque tend vers ± alors l 1 l 2. Preuve. On applique le lemme à g f. Proposition Soit trois fonctions f, g et h. Si f et h ont la même ite l R quand tend vers ± et s il eiste U V(± ) tel que U D f D g D h implique f() g() h() alors, en supposant ± D g, g possède en ± la ite l. Dans le cas d une ite finie, le résultat est le suivant. Proposition Soit f et g deu fonctions. Si f possède en ± la ite + (resp. ) et s il eiste U V(± ) tel que U D f D g implique f() g() (resp. f() g()) alors, en supposant ± D g, g possède la ite + (resp. - ) en ±. 3. Branches infinies de la courbe représentative d une fonction. Définition Soit f une fonction réelle définie sur une partie D f de R et 0 D f. On dit que f possède une branche infinie quand tend vers 0 (éventuellement à gauche, à droite ou par valeurs différentes) si f() 2 = +. Par eemple, la fonction f, définie sur R\{ 1, +1} par f() = possède une branche 1 infinie pour tendant vers, -1, 1, +. Dans le cas où 0 R, on a une branche infinie pour tendant vers 0 si et seulement si f() = +. Si la fonction est définie au point 0 on considère la ite par valeurs 0 différentes de 0. Si on a une branche infinie pour tendant vers 0 R, on dit que la droite d équation = 0 est une asymptote verticale au graphe de f. Dans la suite on suppose que tend vers ± Plan d étude. Soit f une fonction définie sur D f avec ± D f. On considère la fonction f() pour ±. Il y a deu possibilités.

7 3. BRANCHES INFINIES DE LA COURBE REPRÉSENTATIVE D UNE FONCTION. 271 f() n a pas de ite. L étude est terminée. C est par eemple le cas pour f définie par f() = + sin. f() tend vers a R. On dit que a est une direction asymptotique. Si a = ± on dit que f possède une branche parabolique de direction a = ±. C est le cas de f définie par f() = 2. Si a R on considère maintenant la fonction f() a pour ±. Les différents cas sont : f() a n a pas de ite. L étude est terminée. C est le cas de f donnée par f() = + sin. f() a tend vers b. Deu cas possibles : b = ±. On dit qu il y a une branche parabolique dans la direction de pente a. Eemple : f() = + pour +. b R. On dit que la fonction a + b est asymptote à f. On peut remarquer que si f() tend vers c R pour tendant vers ± alors la fonction constante c est asymptote à f. Par eemple, si f est définie pour > 0 par f() = (1+1/) alors f() = e et donc e est asymptote à f Interprétation géométrique. Soit (O, u, v) un repère orthonormé d un plan affine euclidien P, f une fonction réelle définie sur D f et M le point de coordonnées (, f()). On a OM = 2 + f() 2 et il y a une branche infinie pour tendant vers 0 si et seulement si OM = +. 0 Supposons maintenant que 0 = ±. La quantité f() représente, pour 0, la pente de la droite OM. Il y a une direction asymptotique si et seulement si cette pente à une ite (finie ou infinie) quand tend vers ±. f() Si = a R alors considérons P M = f() a. Il y a une asymptote si et seulement si P M b R ce qui équivaut à NM = f() a b tend vers 0 lorsque tend vers ±. Si Q est la projection orthogonale de M sur la droite d équation y = a + b alors MQ est la distance du point M à cette droite. On a MQ = MN 1 + a 2 et donc la droite d équation y = a + b est asymptote au graphe de f si est seulement si la distance entre un point du graphe de f et cette droite tend vers 0 (lorsque tend vers ± ). La courbe représentative de f est au-dessus (resp. au-dessous) de son asymptote si, pour suffisamment proche de 0, MN = f() a b 0 (resp. MN 0).

8 LIMITE À L INFINI. BRANCHES INFINIES Il est possible qu une courbe ne soit, ni au-dessus, ni au dessous, de son asymptote. C est le cas de la courbe représentative de la fonction f définie par f() = + (sin )/ Utilisation des développements ités. Soit toujours f une fonction définie sur D f avec ± D f. S il eiste un développement ité au voisinage de ± de f() de la forme f() = a 0 + a 1 + a p p + 1 p ɛ(), avec ɛ() = 0 et a p 0, alors la droite d équation y = a 0 + a 1 est asymptote à la courbe représentative de f et on peut trouver la position de la courbe par rapport à son asymptote. En effet, pour suffisamment proche de ±, (a p + ɛ()) à le signe de a p ce qui permet de déterminer le signe de f() (a 0 + a 1 ) = 1 p 1 (a p + ɛ()). Eemples 1). Considérons la fonction f définie par f() = Pour > 0 on a f() = + 2 1/2 + (1/)ɛ 1 () et pour < 0, f() = 2 + 1/2 + (1/)ɛ 2 () avec et ɛ 1() = 0 ɛ 2() = 0. Pour tendant vers + la droite d équation y = + 2 est asymptote à la courbe représentative de f et la courbe est au-dessous de son asymptote. Pour tendant vers la droite d équation y = 2 est asymptote à la courbe représentative de f et la courbe est au-dessous de son asymptote. 2). Soit f, définie sur R \ [ 1, 1], par f() = + ln( 2 1). Pour tendant vers ± il y a un branche parabolique dans la direction de pente Courbes asymptotes. Soit f et g deu fonctions définies sur un voisinage de ± (ou telles que ± D f D g ). On dit que f et g sont asymptotes (ou que leurs courbes représentatives sont asymptotes) quand tend vers ± si dans cette circonstance f() g() tend vers 0. Cela est une relation d équivalence sur l ensemble des fonctions définies sur un voisinage de ±. Toute classe contient au plus une application affine et f et a + b sont asymptotes si et seulement si a + b est l asymptote de f définie au paragraphe précédent. Eemples et remarques 1). Considérons la fonction f définie pour 1 par On a: = ( 1)( 2 + 1) + 3 d où f() = ce qui montre que f et la fonction 2 +1 sont asymptotes. 2). Supposons que f et a n, a R, n R, soient asymptotes : si n > 1 alors f possède une branche parabolique de direction Oy ; si n = 1, a est l asymptote de f ; si 0 < n < 1 alors f possède une branche parabolique de direction O ; si n = 0 alors a est l asymptote de f ; si n < 0 alors O est asymptote.

9 3. BRANCHES INFINIES DE LA COURBE REPRÉSENTATIVE D UNE FONCTION ). La définition donnée ici des courbes asymptotes n est pas très bonne car elle dépend du repère et n est pas une propriété géométrique de la figure formée par les deu courbes. Considérons par eemple les fonctions f et g définies sur R + par f() = 2 + 1, g() = 2. Ces deu fonctions possèdent des applications réciproques définies par f 1 () = 1, [1, + [, et g 1 () =, 0. Les fonctions f et g ne sont pas asymptotes (f() g() = 1) et, pour 1, f 1 () g 1 () = 1 1 = 1 + et donc f 1 () g 1 () = 0. Les fonctions f 1 et g 1 sont donc asymptotes. La figure formée par les graphes de f 1 et g 1 se déduit de celle formée par les graphes de f et g par la réfleion par rapport à la première bissectrice et donc la propriété les courbes représentatives des fonctions f et g sont asymptotes n est pas conservée par isométrie. Pour obtenir une bonne définition des courbes asymptotes, on peut se placer dans le cadre des courbes en coordonnées paramétriques.

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