Sommaire. Communications numériques Transmission en bande de base. Chaîne de transmission idéale : rappel. Sommaire

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1 Sommaire Communications numériques Transmission en bande de base Laurent Oudre Université Paris 3, Institut Galilée Ecole d ingénieurs Sup Galilée Parcours Informatique et Réseaux Alternance - ème année 6-7 Canal Hypothèses du cours Conversion bits/symboles Mise en forme Energie moyenne par bit Densités spectrale de puissance Hypothèses Interférences entre symboles Réception en absence de bruit Hypothèses optimal Transmission sur un canal à bande passante limitée Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques 6-7 / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques 6-7 / 6 Sommaire Chaîne de transmission idéale : rappel Canal Hypothèses du cours d n Canal de e(t) r(t) ˆdn transmission Transmission sur un canal à bande passante limitée Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

2 Chaîne de transmission idéale : emetteur : différentes étapes d n Canal de e(t) r(t) transmission : transformer le signal numérique d n en un signal physique e(t) (onde électromagnétique, signal électrique, etc...) qui puisse être transmis sur le canal de transmission Transmettre le maximum de données avec une fiabilité maximale S adapter au canal de transmission utilisé d n débit binaire D b Conversion bits/symboles a k période symbole T Conversion bits/symboles (transcodage) : Modification de la taille de l alphabet Filtre de mise en forme h e(t) x(t) Modulation e(t) Modification du rythme Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 : différentes étapes : différentes étapes d n débit binaire D b Conversion bits/symboles a k période symbole T Filtre de mise en forme h e(t) x(t) Modulation e(t) d n débit binaire D b Conversion bits/symboles a k période symbole T Filtre de mise en forme h e(t) x(t) Modulation e(t) Mise en forme : Transformation du signal numérique en un signal physique Choix du filtre de mise en forme dépend de la largeur de bande souhaitée, de la présence de raies à la fréquence d horloge... Modulation : Adaptation au canal de transmission (bande passante) Large choix de possibilités : dépend de la puissance, de la probabilité d erreur acceptable... Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

3 Canal Canal Chaîne de transmission idéale : canal Canal : différentes étapes d n Canal de e(t) r(t) transmission e(t) Filtre de e (t) Bruit r(t) canal h c(t) additif b(t) Canal de transmission : câbles coaxiaux, paires torsadées, réseau hertzien, infrarouge, fibres optiques,... Proprietés physiques différentes selon le canal utilisé : bande passante, débit maximal, etc... Eventuellement source d erreurs (bruit, perte de données, etc...) Canal de transmission Filtre de canal ayant pour fonction de transfert H c (f) Dépend à priori de la fréquence : notion de bande passante du canal Canal idéal : H c (f) constant dans la bande passante Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques 6-7 / 6 Canal Canal : différentes étapes Chaîne de transmission idéale : récepteur e(t) Filtre de e (t) Bruit r(t) canal h c(t) additif b(t) d n Canal de e(t) r(t) transmission Bruit additif b(t) Canal de transmission Souvent supposé bruit blanc additif gaussien indépendant du signal Γ b (f) = N : transformer le signal physique reçu r(t) pour retrouver le signal numérique envoyé Echantillonnage, détection, élimination du bruit Parfois difficile s il y a eu des erreurs de transmission Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques 6-7 / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques 6-7 / 6

4 : différentes étapes : différentes étapes r(t) y(t) Filtre de z(t) h r(t) r(t) y(t) Filtre de z(t) h r(t) z k = z(kt) z k = z(kt) â k â k Démodulation : inverse de l étape de modulation Filtre de réception : Adapté au filtre de mise en forme utilisé lors de l émission Vise à minimiser les interactions entre symboles et à maximiser le rapport signal sur bruit Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 : différentes étapes : différentes étapes r(t) y(t) Filtre de z(t) h r(t) r(t) y(t) Filtre de z(t) h r(t) z k = z(kt) z k = z(kt) â k â k : Transformation du signal physique en signal discret Nécessite une synchronisation sur le temps d horloge : A partir des valeurs échantillonnées, on retrouve les symboles émis Sensible au bruit ajouté par le canal Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

5 Hypothèses du cours : différentes étapes Hypothèses r(t) y(t) Filtre de z(t) h r(t) â k z k = z(kt) : on transforme les symboles détectés en bits d information Filtre de dn Conversion ak x(t) e(t) mise en Modulation bits/symboles débit binaire D b période symbole T forme he(t) e(t) e (t) Bruit r(t) Filtre de canal hc(t) additif b(t) Canal de transmission Filtre de r(t) y(t) z(t) hr(t) zk = z(kt) ˆdn âk On s interesse ici à la transmission en bande de base : Pas d étape de modulation/démodulation Transmission des signaux tels quels, dans la bande de fréquence originale On supposera aussi que le canal utilisé est idéal, invariant, et de gain unitaire H c(f) = Sa bande passante est donc supposée infinie. Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Sommaire Conversion bits/symboles Mise en forme Energie moyenne par bit Densités spectrale de puissance d n débit binaire D b Conversion bits/symboles a k période symbole T Filtre de mise en forme h e(t) x(t) Modulation e(t) Transmission sur un canal à bande passante limitée : Toutes les étapes en bande de base, avant l étape de modulation But : donner de bonnes propriétés au signal physique créé (largeur de bande, raies ou annulations du spectre à certaines fréquences, etc...) Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques 6-7 / 6

6 Conversion bits/symboles Conversion bits/symboles : conversion bits/symboles Débit binaire Entrée : signal binaire initial d n.5 d = d n débit binaire D b Conversion bits/symboles a k période symbole T Filtre de mise en forme h e(t) x(t) Modulation e(t).5 Un bit émis toutes les T b secondes. T b est la période binaire. Débit binaire : D b = T b (bits/seconde) Conversion bits/symboles (transcodage) : Modification de la taille de l alphabet Modification du rythme.5 Tb Tb 3Tb 4Tb 5Tb 6Tb 7Tb 8Tb 9Tb... Le débit binaire D b correspond au nombre de bits envoyés par seconde. d(t) = d n δ(t nt b ) = ) n δ (t n Z n Zd ndb Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques 6-7 / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques 6-7 / 6 Conversion bits/symboles Conversion bits/symboles Transcodage : conversion bits/symboles Codage par dictionnaire Principe : remplacer les bits ou des groupements de bits par des symboles Idée : passer de deux valeurs possibles ( ou ) à M valeurs possibles Plusieurs façons de procéder : Codage par dictionnaire : regrouper les bits m par m et associer un symbole à chaque groupement Codage par diagramme d états Codage par équation linéaire m est le nombre de bits par symbole Regrouper les bits m par m et associer un symbole à chaque groupement On peut définir un dictionnaire de M symboles. M = m m = log M M est le nombre de symboles du dictionnaire et est appelé valence Exemple avec m = : Exemple avec m = : 3 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

7 Conversion bits/symboles Conversion bits/symboles Codage par dictionnaire Exemples Plusieurs façons d attribuer un symbole a k à chaque groupe de m bits Codage M-aire unipolaire : a k {,,,M } Codage M-aire antipolaire : a k { (M ),, 3,,,3,,M } (uniquement les valeurs impaires) Exemple avec m = : 3 (unipolaire) (antipolaire) Codage binaire unipolaire Codage binaire antipolaire d n a k d n a k - Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Conversion bits/symboles Conversion bits/symboles Exemples Rapidité de modulation Si on regroupe les bits m par m, on transmet m fois moins vite. Codage quaternaire antipolaire (ou BQ) d n d n+ a k -3-3 codage de Grey : un bit de différence entre chaque état On appelle période symbole T la période d émission des symboles a k On a un nouveau signal T = mt b = log M T b = log M D b a(t) = k Za k δ(t kt) Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

8 Conversion bits/symboles Mise en forme Exemple : codage BQ : mise en forme d n Tb Tb 3Tb 4Tb 5Tb 6Tb 7Tb 8Tb 9Tb... a k d Filtre de n Conversion a mise en x(t) bits/symboles Modulation e(t) k forme h e(t) T=Tb T=4Tb 3T=6Tb 4T=8Tb Mise en forme : Transformation du signal numérique en un signal physique Choix du filtre de mise en forme dépend de la largeur de bande souhaitée, de la présence de raies à la fréquence d horloge... Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Mise en forme Mise en forme Mise en forme Filtre NRZ (non retour à zéro) Entrée : suite de symboles M-aires a k. Un symbole émis toutes les T secondes a(t) = k Za k δ(t kt) Principe : associer un signal physique x(t) à cette suite de symboles en convoluant a(t) par la réponse impulsionnelle h e (t) d un filtre de mise en forme (aussi appelé filtre d émission). Codes à formant : même filtre de mise en forme pour tous les symboles h e (t) = { si t < T sinon x(t) = a(t) h e (t) = k Za k h e (t kt) T Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

9 Mise en forme Mise en forme Exemple : Codage binaire unipolaire NRZ Exemple : Codage binaire antipolaire NRZ T T 3T 4T T 6T T 8T T.6.8 T T 3T 4T T 6T T 8T T Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Mise en forme Mise en forme Filtre RZ (retour à zéro) Exemple : Codage binaire unipolaire RZ h e (t) = { si t < T sinon.6.4. T T T T 3T 4T T 6T T 8T T Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

10 Mise en forme Mise en forme Exemple : Codage binaire antipolaire RZ Filtre biphase Manchester si t < T h e (t) = si T t < T sinon.8 T T 3T 4T T 6T T 8T T.8 T T Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Mise en forme Energie moyenne par bit Exemple : Codage binaire antipolaire Manchester Notion d énergie T T 3T 4T T 6T T 8T T Comment évaluer l énergie totale du signal en bande de base x(t)? E x = x(t) dt = a k h e (t kt) dt k Z Si le support temporel de h e (t) est égal à T, on a : E x = a k h e (t kt) dt = a k E he k Z k Z Problème : on ne connait pas les a k a priori car ils sont aléatoires! Solution : au lieu de définir une énergie totale, on va définir une énergie moyenne Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

11 Energie moyenne par bit Energie moyenne par bit Energie moyenne par symbole Energie moyenne par symbole L énergie correspondant à l émission d un seul symbole a i est E ai = a i h e(t) dt = a i E he En notant µ a et σ a respectivement la moyenne et la variance des symboles du dictionnaire, on peut remarquer que : Si l on suppose que tous les symboles du dictionnaire sont équiprobables, l énergie moyenne par symbole peut donc être définie comme E sym = M E ai = M a i E he M M i= i= L énergie moyenne par symbole E sym correspond à l énergie moyenne nécessaire pour envoyer un symbole Comme un symbole correspond à m = log M bits, on peut aussi définir l énergie moyenne par bit comme σ a = M = M = M M a i µ a i= M a i M i= M a i µ a + M i= M a i µ a i= M µ a i= E bit = Esym log M = M log M M a i E he i= Donc on a aussi : E sym = (σ a + µ a )E he L énergie moyenne par bit E bit correspond à l énergie moyenne nécessaire pour envoyer un bit Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Energie moyenne par bit Densités spectrale de puissance Exemples Notion de puissance Exemple : dictionnaire binaire antipolaire Chaque symbole est émis durant une période T, donc on peut définir la puissance moyenne totale du signal x(t) comme Exemple : dictionnaire BQ E sym = E bit = (( ) +() )E he = E he E sym = 4 (( 3) +( ) +() +(3) )E he = 5E he E bit = E sym log 4 = 5 E h e P x = E sym T De la même façon, on peut définir la puissance moyenne totale du signal x(t) comme P x = E bit T b = E bit D b La puissance émise moyenne P x correspond à la puissance moyenne nécessaire pour envoyer un signal en bande de base Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

12 Densités spectrale de puissance Densités spectrale de puissance Densité spectrale de puissance Le signal x(t) est un signal aléatoire dont l aspect fréquentiel doit donc être étudié grâce à une densité spectrale de puissance Il correspond au filtrage du signal aléatoire a(t) = k Za k δ(t kt) par un filtre de fonction de transfert H e(f), sa densité spectrale de puissance Γ x(f) vérifie donc : Γ x(f) = H e(f) Γ a(f) Si les symboles sont supposés équiprobables et indépendants, on a : Et donc : Γ a(f) = σ a T + µ a T Γ x(f) = σ a T He(f) + µ a T + k= + k= ( δ f k ) T ( k He T ) ( δ f k ) T Propriétés spectrales des signaux en bande de base Γ x (f) = σ a T H e(f) + µ a T + k= H e ( ) k ( δ f k ) T T La densité spectrale de puissance Γ x (f) correspond à la répartition de la puissance du signal x(t) en fonction de la fréquence Le dictionnaire utilisé influence µ a et σ a : en particulier, si µ a, on fait apparaître sur la DSP des raies fréquentielles aux fréquences multiples de T Le filtre de mise en forme utilisé conditionne la forme de la DSP : en particulier, lorsque l on utilise un filtre NRZ, RZ ou biphase Manchester, on obtient un signal en bande de base, où la majorité de la puissance est répartie dans la bande [ B, +B] où B est la largeur de bande du signal. Comme nous le verrons en Travaux Pratiques, à débit binaire constant, le dictionnaire et le filtre utilisés impactent directement la largeur de bande du signal Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Densités spectrale de puissance Densités spectrale de puissance Liens entre les notions de puissance Nous avons défini avec les mains la puissance moyenne totale P x du signal x(t) comme étant : P x = E sym T = σ a + µ a E he T D un autre côté, nous savons que par définition, on a : P x = + Γ x (f)df Ces deux expressions sont-elles compatibles? Liens entre les notions de puissance Prenons le cas simple d un dictionnaire antipolaire On a donc µ a = et dans ce cas, la définition avec les mains nous donne : P x = E sym T = σ a T E h e En faisant le calcul à partir de la DSP, on trouve : P x = = = σ a T + + σa + Γ x (f)df T H e(f) df H e (f) df = σ a T E h e Les deux définitions sont donc parfaitement cohérentes! Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

13 Densités spectrale de puissance Densités spectrale de puissance Quelques DSP des codes en ligne Quelques DSP des codes en ligne Γ x (f) Γ x (f) Γ x (f) Γ x (f) Γ x (f) Γ x (f) Décibels 5 5 Décibels 5 5 Décibels 5 5 Décibels 5 3 Décibels 5 3 Décibels Db 4Db 3Db Db Db Db Db 3Db 4Db 5Db Fréquence (en Hz) Filtre NRZ B D b T Db 4Db 3Db Db Db Db Db 3Db 4Db 5Db Fréquence (en Hz) Filtre RZ B D b T D b = bit/seconde, M =, dictionnaire antipolaire Db 4Db 3Db Db Db Db Db 3Db 4Db 5Db Fréquence (en Hz) Filtre Manchester B D b T 5 5Db 4Db 3Db Db Db Db Db 3Db 4Db 5Db Fréquence (en Hz) Filtre NRZ B D b T 5 5Db 4Db 3Db Db Db Db Db 3Db 4Db 5Db Fréquence (en Hz) Filtre RZ B D b T 5 5Db 4Db 3Db Db Db Db Db 3Db 4Db 5Db Fréquence (en Hz) Filtre Manchester B D b T D b = bit/seconde, M =, dictionnaire unipolaire Idem au dictionnaire antipolaire, mais apparition de raies fréquentielles pour f = k T Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Densités spectrale de puissance Densités spectrale de puissance Quelques DSP des codes en ligne Quelques DSP des codes en ligne : conclusion 5 Γ x (f) Γ x (f) 5 5 Dictionnaire antipolaire : Décibels 5 Décibels B NRZ T B RZ T 5 5Db 4Db 3Db Db Db Db Db 3Db 4Db 5Db Fréquence (en Hz) Filtre NRZ M = B D b T 5 5Db 4Db 3Db Db Db Db Db 3Db 4Db 5Db Fréquence (en Hz) Filtre NRZ M = 4 B D b T D b = bit/seconde, dictionnaire antiipolaire A débit binaire, dictionnaire et filtre constant, lorsque M augmente, la largeur de bande diminue B Manchester T Dictionnaire unipolaire : idem + apparition de raies fréquentielles pour f = k T Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

14 Hypothèses Sommaire Hypothèses Interférences entre symboles Réception en absence de bruit Transmission sur un canal à bande passante limitée Rappel : On travaille en bande de base e(t) Filtre de e (t) Bruit r(t) canal h c(t) additif b(t) Canal de transmission On suppose le canal idéal, invariant et de gain unitaire H c(f) = (bande passante du canal infinie) Ici, on suppose une absence de bruit b(t) = r(t) = e(t) Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Hypothèses Interférences entre symboles : filtre de réception dn Filtre de Conversion ak mise en x(t) bits/symboles Modulation e(t) forme he(t) e(t) Filtre de e (t) Bruit r(t) canal hc(t) additif b(t) r(t) y(t) Filtre de z(t) h r(t) Canal de transmission z k = z(kt) r(t) y(t) Filtre de z(t) hr(t) zk = z(kt) â k ˆdn âk z(t) = (y h r)(t) y(t) = x(t) = k Za k h e(t kt) z(t) = k Za k h e(t kt) h r(t) z(t) = k Za k h(t kt) avec h = h e h r Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

15 Interférences entre symboles Interférences entre symboles : échantillonnage Interférence entre symboles (IES) r(t) y(t) Filtre de z(t) h r(t) z k = z(kt) z k = a k h()+ k ka k h((k k )T) } {{ } IES â k Problème : pour retrouver a k à partir de z k, il y a un terme parasite qui dépend des symboles émis avant et après : interférence entre symboles Si l on veut que ce terme soit nul, il faut que Si synchronisation parfaite : z k = z(kt) = a k h(kt k T) k Z z k = a k h()+ k ka k h((k k )T) ce qui s écrit aussi h(kt) = pour k h(kt) = h()δ(k) : condition de Nyquist Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Interférences entre symboles Interférences entre symboles Filtres de Nyquist Filtre en cosinus surélevé Filtres de Nyquist : filtre de réponse impulsionnelle h(t) telle que Exemples : h(kt) = h()δ(k) et h() Filtres à support temporel borné centré et strictement inférieur à T Filtres à support temporel non borné mais s annulant à tous les multiples de T Exemple important : filtre en cosinus surelevé ( β ) h(t) = sin(πt/t) πt/t cos(πβt/t) (βt/t) Filtre en cosinus surélevé : h(t) β= β=.5 β=.5 β=.75 β= 4T 3T T T T T 3T 4T Temps (t) β Réponse impulsionnelle : h(t) = sin(πt/t) πt/t Support temporel infini cos(πβt/t) (βt/t) Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

16 Interférences entre symboles Interférences entre symboles Filtre en cosinus surélevé Filtre en cosinus surélevé Filtre en cosinus surélevé : H(f) Fonction de transfert : T [ ( )] T πt β H(f) = +cos β ( f T ) sinon si f < β T si β T < f +β T T T/ β= β=.5 β=.5 β=.75 β= Bande passante : BP = +β T comprise entre T et T /T /T /T /T Fréquence (f) Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Réception en absence de bruit Réception en absence de bruit en absence de bruit en absence de bruit r(t) y(t) Filtre de z(t) h r(t) z k = z(kt) r(t) y(t) Filtre de z(t) h r(t) â k â k z k = z(kt) Si l on suppose que h = h e h r est un filtre de Nyquist, alors l IES est nulle et on a donc z k = a k h() En connaissant h() on peut donc estimer â k = z k. La probabilité d erreur symbole est ici nulle h() car â k = a k En connaissant le dictionnaire utilisé, on peut retrouver à partir de â k = a k de façon parfaite. La probabilité d erreur binaire est nulle car = d n. Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

17 Hypothèses Sommaire Hypothèses optimal Transmission sur un canal à bande passante limitée Rappel : e(t) Filtre de e (t) Bruit r(t) canal h c(t) additif b(t) Canal de transmission On travaille en bande de base (e(t) = x(t), r(t) = y(t)) On suppose le canal idéal, invariant et de gain unitaire H c(f) = (bande passante du canal infinie) Ici, on suppose que b(t) est un bruit blanc gaussien de densité spectrale de puissance Γ b (f) = N y(t) = x(t)+b(t) Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Hypothèses Hypothèses Bruit blanc gaussien Bruit gaussien Temps (t) Ici σ =. Signal aléatoire : on ne peut pas savoir quelles valeurs le signal va prendre, donc on utilise des probabilités Caractérisation par la moyenne (nulle pour un bruit blanc) et la variance σ = N A priori, le signal peut prendre n importe quelle valeur, on sait juste que plus cette valeur est éloignée de la moyenne, moins elle est probable Plus la variance est elevée, plus le signal a le droit de prendre des valeurs éloignées de la moyenne Fonction de Marcum Q(x) Q(x) = + π x e z dz Si b(t) est un bruit gaussien de moyenne nulle et de variance σ p(b(t) > b ) = Q ( ) b σ p(b < b(t) < b ) = Q ( p(b(t) < b ) = Q b ) σ ( ) b Q σ ( b σ ) = Q ( ) b σ Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

18 Hypothèses optimal : filtre de réception dn Filtre de Conversion ak mise en x(t) bits/symboles Modulation e(t) forme he(t) e(t) Filtre de e (t) Bruit r(t) canal hc(t) additif b(t) Canal de transmission r(t) y(t) Filtre de z(t) h r(t) z k = z(kt) r(t) y(t) Filtre de z(t) hr(t) â k zk = z(kt) ˆdn âk z(t) = (y h r)(t) y(t) = x(t)+b(t) = k Za k h e(t kt)+b(t) z(t) = k Za k h(t kt)+n(t) avec h = h e h r et n = b h r Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 optimal optimal : échantillonnage optimal r(t) y(t) Filtre de z(t) h r(t) z k = z(kt) z k = a k h()+ k ka k h((k k )T) } {{ } IES +n(kt) }{{} bruit â k Si synchronisation parfaite : z k = z(kt) = a k h(kt k T)+n(kT) k Z z k = a k h()+ k ka k h((k k )T)+n(kT) Si on veut faire le moins d erreur possible, il faut que l IES soit nulle et que l influence du bruit soit la plus faible possible. On a déjà vu que pour que l IES soit nulle : h = h e h r doit être un filtre de Nyquist h(kt) = (h e h r)(kt) = h()δ(k) Comment choisir le filtre de réception h r(t) pour que l influence du bruit soit la plus faible possible? cf TD : maximisation du rapport signal sur bruit SNR = h() P n h r doit être le filtre adapté à h e Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

19 optimal optimal Rappel : filtrage adapté optimal : domaine temporel x(t) = a k δ(t) h e (t) + h r (t) y(t) Pour maximiser le rapport signal sur bruit en sortie du récepteur il faut H r (f) = He(f) ce qui implique h r (t) = he( t) Dans ce cas, le rapport signal sur bruit vaut b(t) Dans le domaine temporel : Si le filtre de réception est adapté au filtre d émission, on a h r (t) = h e ( t) (on suppose ici que les filtres sont réels) On a donc h(t) = h e (t) h e ( t) On veut que h soit un filtre de Nyquist Cas simple : si h e (t) a un support strictement inférieur à T, alors en prenant h r (t) = h e ( t), h est un filtre de Nyquist (ex : filtre NRZ, RZ, biphase Manchester...) SNR = E h e N Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 optimal optimal Exemple : filtre NRZ Exemple : filtre NRZ x(t) y(t) = x(t) + b(t) Temps (s) Temps (s) Message binaire codé avec un dictionnaire binaire unipolaire et mis en forme par un filtre NRZ avec une période symbole T=s x(t) Lors du passage dans le canal, ce signal a été perturbé par un bruit additif gaussien b(t) de variance σ =. y(t) = x(t)+b(t) Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

20 optimal optimal Exemple : filtre NRZ Exemple : filtre NRZ z(t)=(y * h r )(t) = y(t) * h e ( t) z k =z (kt) Temps (s) Au niveau du récepteur, le signal bruité est passé dans un filtre de réception adapté au filtre de mise en forme : z(t) = (y h r)(t) = y(t) h e( t) Temps (s) Lorsqu on échantillonne ce signal aux multiples de la période symbole T on retrouve les symboles envoyés (mais pas exactement à cause du bruit) Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 optimal optimal optimal : domaine fréquentiel Filtre en racine de cosinus surelevé Filtre en racine de cosinus surélevé : H e (f) Dans le domaine fréquentiel : Si le filtre de réception est adapté au filtre d émission, on a H r (f) = H e (f) On a donc H(f) = H e (f)h r (f) = H e (f), qui est réel et positif Cas simple : partir d un filtre de Nyquist de réponse fréquentielle H(f) réelle et positive et prendre H e (f) = H r (f) = H(f) sqrt(t) sqrt(t)/ β= β=.5 β=.5 β=.75 β= Dans le domaine fréquentiel : racine de la fonction de transfert d un filtre en cosinus surelevé Bande passante BP = +β T /T /T /T /T Fréquence (f) Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

21 optimal optimal Filtre en racine de cosinus surelevé Exemple : filtre RCS x(t) Filtre en racine de cosinus surélevé : h e (t) β= β=.5 β=.5 β=.75 β= Dans le domaine temporel : ce n est plus un filtre de Nyquist (pas d annulation aux multiples de T) En revanche, h(t) = h e(t) h e( t) est un filtre de Nyquist Temps (s) 4T 3T T T T T 3T 4T Temps (t) Message binaire codé avec un dictionnaire binaire unipolaire et mis en forme par un filtre TRC avec une période symbole T=s x(t) Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 optimal optimal Exemple : filtre RCS Exemple : filtre RCS y(t) = x(t) + b(t) z(t)=(y * h r )(t) = y(t) * h e ( t) Temps (s) Temps (s) Lors du passage dans le canal, ce signal a été perturbé par un bruit additif gaussien b(t) de variance σ =. y(t) = x(t)+b(t) Au niveau du récepteur, le signal bruité est passé dans un filtre de réception adapté au filtre de mise en forme : z(t) = (y h r)(t) = y(t) h e( t) Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

22 optimal optimal Exemple : filtre RCS optimal : bilan.5.5 z k =z (kt) Conditions : h r (t) doit être le filtre adapté h e (t) pour maximiser le SNR en sortie du récepteur h r (t) = h e ( t) H r (f) = He(f) h = h e h r doit être un filtre de Nyquist Temps (s) Lorsqu on échantillonne ce signal aux multiples de la période symbole T on retrouve les symboles envoyés (mais pas exactement à cause du bruit) h(kt) = h()δ(k) Deux cas simples de filtres formant un récepteur optimal h e (t) de support temporel inférieur à T, et h r (t) = h e ( t) OU H e (f) = H r (f) = H(f) où H(f) est un filtre de Nyquist Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 optimal : conséquences Rappel : z k = a k h()+ l k a l h((k l)t) } {{ } IES +n(kt) }{{} bruit Si le récepteur est optimal (ce qui sera le cas dans la suite du cours) : IES = h() = + He(f)H e(f)df = E he Donc : z k = E he a k +n(kt) Il va falloir estimer â k à partir de z k, malgré le bruit r(t) y(t) Filtre de z(t) h r(t) â k z k = z(kt) Etape supplémentaire à cause de la présence de bruit : il faut affecter une valeur de symbole à chaque z k Exemple : z k =.6E he â k =, z k =.34E he â k =, etc... Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

23 par seuil : cas binaire par seuil : cas M-aire Idée : utiliser un seuillage pour décider de la valeur de chaque symbole Exemple : codage binaire antipolaire a k = ou a k = (qu on suppose équiprobable) On a donc zk = E he +n(kt) ou z k = E he +n(kt) n(kt) est aléatoire et gaussien, de moyenne nulle Une idée intuitive est de seuiller : si z k > alors â k = sinon â k = Dans le cas de M symboles, on utilise le même principe On calcule z k E he et on regarde quel symbole du dictionnaire est le plus proche (au sens de la distance euclidienne) On décide ensuite que â k est ce symbole Exemple : M = 4 et z k E he = Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Probabilité d erreur Calcul de la probabilité d erreur (cas binaire) Si le bruit est trop important, on risque de faire des erreurs Probabilité d erreur par symbole La probabilité d erreur symbole Psym err correspond à la probabilité de faire une erreur sur un symbole P err sym = p(â k a k ) Cette erreur sur les symboles se répercute ensuite sur les bits après décodage. Probabilité d erreur par bit La probabilité d erreur par bit Pbit err correspond à la probabilité de faire une erreur sur un bit Pbit err = p( d n ) Supposons que l on utilise un dictionnaire binaire antipolaire (a k = ou a k = ). Quelle est la probabilité de faire une erreur sur le symbole? On a soit z k = E he +n(kt), soit z k = E he +n(kt) On a déjà vu que P n = N + Hr(f) df = N E he (car le récepteur est supposé optimal) n(t) est un bruit gaussien de moyenne nulle et de variance σ n = P n Intuitivement on va dire que si z k >, alors â k =, et sinon â k = Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

24 Calcul de la probabilité d erreur (cas binaire) Calcul de la probabilité d erreur (cas binaire) Quand va-t-on faire une erreur? cas : Quand a k = et que z k > Quand a k = et que z k < Si a k = alors z k = E he +n(kt). Si on a z k >, c est donc que n(kt) > E he. Or n(t) est gaussien de moyenne nulle et de variance P n donc ( ) ( ) Ehe E he p(n(kt) > E he ) = Q Pn = Q N Si a k = alors z k = E he +n(kt). Si on a z k <, c est donc que n(kt) < E he. Or n(t) est gaussien de moyenne nulle et de variance P n donc ( ) ( ) ( ) Ehe Ehe E he p(n(kt) < E he ) = Q Pn = Q Pn = Q N Finalement comme les a k sont équiprobables, ( ( ) Psym err = Q E he )+ N Q E he = Q N ( ) E he N Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Probabilité d erreur M-aire (antipolaire) Energie moyenne par bit Généralisation (admise) : on peut montrer qu avec un dictionnaire antipolaire à M éléments, on a ( ) Psym err = M M Q Ehe Remarque : on retrouve bien notre expression quand M =! La probabilité d erreur dépend du nombre de symboles du dictionnaire M, de la variance du bruit blanc additif gaussien σ = N, et de l énergie du filtre de mise en forme/filtre de réception E he. N Rappel : Dans le cas d un dictionnaire antipolaire à M symboles, on peut montrer que E bit = M 3log M E h e où E bit est l énergie moyenne par bit. On a aussi E bit = P x D b où P x est la puissance émise moyenne et D b le débit binaire. Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

25 Probabilité d erreur M-aire (antipolaire) Probabilité d erreur M-aire (antipolaire) Avec cette définition, on peut réécrire pour un dictionnaire M-aire antipolaire ( ) Psym err = M M Q Ebit 3log M N M Probabilité d erreur symbole pour un dictionnaire M aire antipolaire 4 Pour minimiser Psym err, il faut augmenter E bit donc soit augmenter la puissance émise moyenne P x, soit diminuer le débit binare D b A E bit N fixé, plus on augmente M, plus la probabilité d erreur augmente Remarque : si on utilise un codage de Grey on a Pbit err Perr sym log M err P sym 6 8 M = M = 4 M = 8 M = 6 M = E bit /N (en db) Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Sommaire Transmission sur un canal à bande passante limitée r(t) y(t) Filtre de z(t) h r(t) z k = z(kt) â k Transmission sur un canal à bande passante limitée En connaissant le dictionnaire utilisé, on peut retrouver à partir de â k = a k. La probabilité d erreur binaire dépend de la probabilité d erreur par symbole et du dictionnaire utilisé. Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques 6-7 / 6

26 Transmission sur un canal à bande passante limitée Largeur du bande du signal Transmission sur un canal à bande passante limitée Bande passante du canal Nous avons vu en TP que les signaux en bande de base ont une largeur de bande que l on peut écrire : filtre NRZ : B T filtre RZ : B T filtre biphase Manchester : B T filtre en racine de cosinus surelevé : B = +β T B dépend du type de filtre de mise en forme h e (t), du débit binaire D b, et de la taille M de l alphabet utilisé Pour le moment, on a considéré que le canal était idéal et avait une bande passante infinie (H c (f) = ) En réalité, la bande passante du canal BP est limitée et le canal est plutot de la forme { si BP < f < BP H c (f) = sinon Ceci est du soit à la nature physique du canal (ex : type de câble, atténuation du signal sur de grandes distances, etc...) soit à des réglementations (ex : bande de fréquence achetée par un opérateur téléphonique, etc...) Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques 6-7 / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques 6-7 / 6 Transmission sur un canal à bande passante limitée Transmission en bande de base Transmission sur un canal à bande passante limitée Paramètres d une chaîne de transmission Afin de transmettre le plus d information possible on fait en sorte d utiliser toutes les capacités du canal, mais sans les dépasser! Si l on connait la bande passante du canal (ce qui est en pratique toujours le cas), on va faire en sorte que la largeur du bande du signal en bande de base soit du même ordre B BP En effet, si B > BP de l information sera perdue lors de la transmission, et si B < BP alors on a tendance à être plus sensible au bruit Connaissant la bande passante du canal de transmission, la largeur de bande va donc être fixée. Ceci va contraintre les choix de dictionnaire, filtres de mise en forme, etc... D b : débit binaire (en bits/seconde) B : largeur de bande du signal en bande de base (en Hz) (égale à la bande passante BP du canal). P x = E bit D b : puissance émise moyenne (en W) P err bit : probabilité d erreur par bit On veut D b le plus grand possible, P x et P err bit les plus petits possibles, et B = BP est souvent fixe. Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6

27 Transmission sur un canal à bande passante limitée Evaluation d une chaîne de transmission Transmission sur un canal à bande passante limitée Dimensionnement d une chaîne de transmission Efficacité spectrale η = D b B = log M T B η le plus grand possible : D b maximal et B minimal Taux d erreur binaire nombre de bits mal détectés TEB = nombre total de bits emis NB : Pbit err est le TEB quand le nombre total de bits est infini Principe : on a des contraintes sur D b, B (=BP), P x et/ou P err bit Selon l application et le type de transmission, on va réaliser des compromis entre ces paramètres On va choisir en fonction de ces contraintes le dictionnaire (valence + type de dictionnaire) et les filtres d émission/réception Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6 Laurent Oudre laurent.oudre@univ-paris3.fr Communications numériques / 6