Le cours de physique. Principes de la mécanique quantique. Outils pour le cours de mécanique quantique. Quand a-t-on besoin de la mécanique quantique?

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1 18 blocs pour apprendre la mécanique quantique et la physique statistique Résonance magnétique Principe du laser Le cours de physique Structure des atomes M.Q. + P.S. Nature du "réel" Physique des solides Physique stellaire Outils pour le cours de mécanique quantique Livres (eistent aussi en anglais) : «Mécanique quantique» «Problèmes quantiques» Jean-Louis Basdevant et Jean Dalibard Les fichiers pdf des diapositives ainsi que les infos du cours sont disponibles àl'adresse : cours 2ème année physique quantique et statistique PHY432 transparents Mécanique quantique 7 blocs + Physique statistique 11 blocs Voie A Voie B Deu CD-roms: Illustrations et simulations du cours, Manuel Joffre Premiers amphis de mécanique quantique de Jean-Louis Basdevant, bande audio + transparents + tetes Principes de la mécanique quantique Idée clés de la description quantique d'un système physique : Etats du système "Observables" de ce système Evolution temporelle du système 1. Quand a-t-on besoin de la mécanique quantique? Relations d'incertitude : Avec quel degré de précision peut-on espérer connaître plusieurs grandeurs physiques simultanément?

2 Physique newtonienne ou physique ondulatoire? Particule ponctuelle de masse m (non relativiste) Newton : Schrödinger : Electrons confinés sur un billard formé par 48 atomes de fer sur une surface de cuivre groupe quantronique, Saclay Conduction d électrons par un fil a Pont d aluminium déposé sur un isolant électron d impulsion p action caractéristique : pa à comparer à la cte. de Planck : h Description probabiliste : IBM Description quantique en terme d'onde plane de longueur d'onde Les concepts classiques cessent de s'appliquer quand : action caractéristique < constante de Planck h action = longueur caractéristique impulsion caractéristique λ = h / p (de Broglie) Les phénomènes non classiques (diffraction) seront dominants si : λ=h/p > a h > pa Ordres de grandeur (h=6, J s) La physique quantique peut également être macroscopique Système considéré Masse (kg) Vitesse (m/s) Taille de l'ouverture (m) p a / h Superfluidité de l'hélium liquide à basse température (T < 2,3 K) Homme passant une porte Globule rouge dans un capillaire Electron dans un fil étroit Supraconductivité de certains métau à basse température Mécanique quantique = physique des objets microscopiques Caractère quantique marqué si : distance entre voisins < longueur d'onde de de Broglie

3 Mesures sur une particule ponctuelle Particule ponctuelle de masse m dans un état 2. Les principes de la mécanique quantique fonction d onde complee : continue et Mesure de position : le résultat n'est pas certain variable aléatoire de densité de probabilité Particule ponctuelle et physique ondulatoire Si on effectue une mesure de position sur un grand nombre de particules, toutes préparées dans le même état ψ, on peut tracer un histogramme : N() ψ (r,t ) 2 position moyenne : Mesures de position et mesures d'impulsion Mesure de position Mesures (suite) A toute grandeur de la physique newtonienne, on associe un opérateur Action de l'opérateur position sur la fonction d'onde : multiplication par Action de l'opérateur impulsion sur la fonction d'onde : Mesure d'impulsion dérivation par rapport à (gradient) Opérateur moment cinétique : Action sur :

4 Formulation générale de la mécanique quantique L'état d'un système quantique est caractérisé par un vecteur d'un espace de Hilbert 3. Description d'un système quantique quelconque Particule ponctuelle : Atome d'hydrogène : Fonctions de carré sommable Autres types de degrés de liberté : moment magnétique, spin, polarisation Espaces de dimension finie Le vecteur est normé : généralisation de Eemple : états de polarisation d un photon On dispose désormais de sources délivrant des photons "un par un". On considère un photon de vecteur d onde k = k u bien défini. 0 z L état de polarisation peut s écrire comme combinaison des deu états de polarisation linéaire: et espace de dimension 2 polarisation linéaire quelconque : z Observables Relation entre le formalisme et les quantités physiquement mesurables : A toute grandeur physique A, on associe un opérateur agissant dans l'espace de Hilbert En dimension finie, est une matrice carrée Les opérateurs associés au grandeurs physiques sont hermitiens Observables polarisation circulaire gauche ou droite : vecteur ligne matrice carrée vecteur colonne

5 Eemple : la polarisation d'un photon Mesures individuelles z Cube polariseur Principe : Dans une mesure de A, les seuls résultats possibles sont les valeurs propres a α de. polarisation inconnue polarisation horizontale polarisation verticale La probabilité de trouver la valeur propre a α, de vecteur propre associé, est : Observable : composante de la polarisation le long de l'ae z 2 résultats possibles : ε z =1 photon de pol. verticale ε z =0 photon de pol. horizontale Notion qui sera approfondie lors de l'étude de l'epérience de Stern & Gerlach Si la valeur propre est dégénérée, cette formule se complique un peu : où est le projecteur sur le sous-espace propre de a α. Eercice : valeur moyenne des résultats d'une mesure de A, effectuées sur un grand nombre de systèmes tous préparés dans l'état : N(a) (réel) a a 1 a 2 a 3 a 4 Un eemple concret : énergie d'un électron dans un puits quantique Sandwich de Al Ga As Ga As Al Ga As Potentiel électrostatique vu par un électron de conduction V() Le puits quantique (suite) Une mesure de l'énergie de l'électron ne peut donner comme résultat qu'une des valeurs propres E α de l'hamiltonien : 2 2 ˆ d H = + V( ) 2 2md L'observable (particulièrement importante!) associée à l'énergie est l'hamiltonien. pour une particule ponctuelle à 1D : avec V() E α Spectre continu d'énergie : états asymptotiquement libres Partie discrète du spectre : états liés

6 Emission de lumière par un puits quantique de nitrure de gallium Un autre eemple : l'oscillateur harmonique n=3 n=2 12 couches atomiques 6 couches atomiques n=1 n=0 Spectre discret : Etat fondamental (n=0) : fonction d'onde gaussienne avec Eemple : vibration d'une molécule (CO) Evolution temporelle des systèmes Principe : équation de Schrödinger Jet moléculaire de CO E 1 E 2 Electrons incidents Electrons diffusés 1,13 Å Courant électronique diffusé Perte d'énergie E 1 -E 2 (ev) Cette équation fait jouer un rôle particulier au vecteurs propres de Si on a pu déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres E α ( indépdt. du temps) alors, pour tout état initial, il suffit de : décomposer sur la base : avec ω / 2π = Hz obtenir le vecteur à n'importe quel instant ultérieur grâce à :

7 Un eemple d'évolution : mouvement dans un puits carré Si l'état initial est V() ψ 1 () ψ 0 () Pas de mouvement! état stationnaire 4. Relations d'incertitude Si l'état initial est : alors Modulation de à la pulsation Avec quelle précision peut-on mesurer une observable? On considère N systèmes tous préparés dans le même état Avec quelle précision peut-on mesurer deu observables? On considère 2N systèmes tous préparés dans le même état N(a) Valeur moyenne des résultats : N(a) N(b) a 1 a 2 a 3 a 4 a Variance : a 1 a 2 a 3 a 4 a b 1 b 2 b 3 b Mesure de A sur N systèmes Mesure de B sur N systèmes Peut-on avoir un résultat certain, c'est-à-dire a = 0? Oui, si le système est dans un état propre de Peut-on avoir simultanément a = 0 et b = 0? En général, non! Plus précisément : avec

8 Eemple d'application : position & impulsion N particules 2N particules dans le même état N particules Eemple d'application : position & impulsion (2) Commutateur La relation générale détecteur Mesure de la position selon donne alors : Autre démonstration possible à partir des propriétés de la transformation de Fourier détecteur Mesure de l'impulsion selon Cette relation d'incertitude n'a rien à voir avec la résolution des appareils de mesure, c'est-à-dire la largeur des canau des histogrammes Une illustration de ces résultats : condensats de Bose-Einstein Refroidissement par évaporation Boulder, juin 1995 : 2000 atomes accumulés dans l'état fondamental d'un piège magnétique à 10 9 atomes 10 3 à 10 6 atomes On prépare les atomes avec un moment magnétique opposé à Si la température est assez basse, la majeure partie des atomes restants s'accumule dans l'état fondamental du piège (voir cours de Phy. Stat.) : Hamiltonien :

9 Observation epérimentale Test de l'inégalité de Heisenberg z Bobines de champ magnétique Caméra CCD Atomes de sodium y Laser z après Mesure simultanée de et z pour un grand nombre de systèmes quantiques (atomes) tous préparés dans le même état. "temps de vol" Un meilleur confinement selon que selon z entraîne une dispersion en vitesse v plus grande que v z

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