MEC3200 TRANSMISSION DE CHALEUR ÉNONCÉ DE LABORATOIRE TRANSFERT DE CHALEUR CONVECTIF

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1 DÉPARTEMENT DE GÉNIE MÉCANIQUE SECTION AÉROTHERMIQUE ÉCOE POYTECHNIQUE DE MONTRÉA MEC3200 TRANSMISSION DE CHAEUR ÉNONCÉ DE ABORATOIRE TRANSFERT DE CHAEUR CONVECTIF OBJECTIF e présent laboratoire vise à étudier le transfert de chaleur convectif. e premier exemple concerne le transfert thermique au travers d une fenêtre impliquant la convection naturelle et le convection externe. Pour la résolution numérique du problème, des notions du cours Calcul Scientifique pour ingénieur seront utilisées et implémentées sur le logiciel MATAB. e deuxième exemple concerne le design thermique d un séchoir à cheveux. Jean-Yves Trépanier. Version 1.0 Novembre

2 MISE EN SITUATION 1 Une fenêtre est un élément très important de l enveloppe d un bâtiment car une fraction importante des déperditions thermiques y sont dues. Afin de minimiser les pertes de chaleur par celle-ci, l ingénieur en bâtiment se doit de comprendre le phénomène de transfert de chaleur pour ainsi faire le bon choix de design. a plupart des fenêtres sont composées de vitrages doubles ce qui augmente leur résistance thermique. Bien que les pertes de chaleur par rayonnement puissent jouer un rôle important pour les fenêtres, nous allons pour l instant les négliger et nous concentrer sur l étude des pertes par convection. a fenêtre étudiée comporte deux plaques de de 3 mm d épaisseur séparées d une distance, tel qu illustré sur la Figure 1. e gaz dans l espacement entre les fenêtres est de l air à pression atmosphérique. Surfaces Intérieur Verre Épaisseur =3 mm k = 1.4 W/ m 2 K H = 1.5 m Extérieur Figure 1: Schéma de la fenêtre a largeur de la fenêtre (perpendiculaire à la figure) est de W=2 mètres. Jean-Yves Trépanier. Version 1.0 Novembre

3 CONTEXTE THÉORIQUE On retrouve dans une fenêtre un transfert de chaleur par conduction dans le et de la convection dû au déplacement de l air sur les parois intérieures et extérieures, ainsi que dans l espace entre les deux vitrages. Bilan d énergie sur les surfaces 1 et 4 e bilan d énergie sur une surface permet d exprimer le flux de chaleur en fonction des températures en jeu. Par exemple, pour la surface 4 (figure 1), soit la paroi extérieure de la fenêtre, nous obtenons l expression suivante : T T k 3 4 = h ( T T ) (1) Afin de déterminer le coefficient de convection moyen h, nous allons utiliser sur la surface 4 les corrélations pour la convection externe présentées au chapitre 7. Celles-ci impliquent de calculer d abord le nombre de Reynolds donné par : Re W = 4 4 U W ν où la viscosité du fluide ν est évaluée à la température du film T ext f T4 + Text =. 2 Nous supposerons que le vent de vitesse U est horizontal et parallèle à la fenêtre, tel qu illustré ci-dessous. U H W Jean-Yves Trépanier. Version 1.0 Novembre

4 a corrélation à employer dépend alors du nombre de Reynolds. Si le nombre de Reynolds est inférieur à 5x10 5, alors, nous emploierons la corrélation pour les couches limites laminaires, eq Sinon, on emploiera la corrélation pour les couches limites mixtes, eq Finalement, on utilise la définition du nombre de Nusselt afin de déterminer la valeur du coefficient de convection moyen h : Nu hw = k Pour la surface 1, nous allons utiliser les corrélations pour la convection naturelle présentées au chapitre 9. Celles-ci demandent de calculer d abord le nombre de Rayleigh et ensuite de déterminer le coefficient h par une corrélation appropriée. Bilan d énergie sur les surfaces 2 et 3 Pour le bilan d énergie sur la surface 3, nous obtenons la relation suivante : T T k 3 4 = h ( T T ) (2) Afin de déterminer le coefficient de convection moyen h, nous allons utiliser les corrélations pour la convection naturelle dans une cavité rectangulaire. Ceci implique tout d abord de déterminer le nombre de Rayleigh : Ra où représente l épaisseur de la lame d air. gβ ( T2 T3 ) = να 3 e nombre du Nusselt Nu sera évalué par une des deux corrélations suivantes : Nu Pr = 0.22 Ra Pr 0.28 H ¼ valide si les conditions suivantes sont respectées : Jean-Yves Trépanier. Version 1.0 Novembre

5 et H 2 < < 10 5 Pr < < Ra < H Nu = 0.42Ra Pr dans le cas où les conditions suivantes sont respectées : H 10 < < < Pr < 2x < Ra < 10 Notez que si Ra est inférieur à 10 3, alors la convection naturelle est absente et le nombre de Nusselt égal à 1, correspondant alors à de la conduction de chaleur au travers de la couche d air. Également, si la corrélation prédit un nombre de Nusselt inférieur à 1, alors, on fixera ce dernier à 1 car le flux de chaleur ne peut pas être inférieur à celui au travers d une lame d air au repos. Cette corrélation est implémentée dans le code MATAB fourni. RÉSOUTION NUMÉRIQUE Dans ce problème, nous retrouvons sept inconnus, soient les quatre températures de surface de la fenêtre ainsi que les coefficients de convection à l intérieur de la pièce, à l intérieur de la lame d air et dans le film extérieur. Toutefois, les coefficients de convection peuvent être exprimés en fonction des températures de surface par les corrélations. Afin de résoudre le système d équations, la méthode de Newton 1 pour les systèmes d équations non linéaires sera utilisée. Pour appliquer cette méthode, il faut exprimer les équations de bilan de chaque surface sous forme de résidus : 1 FORTIN A. Analyse numérique pour ingénieurs, 2e édition Jean-Yves Trépanier. Version 1.0 Novembre

6 T4 T3 Bilan 4 : R(1) = hext ( Text T4 ) k Bilan 3: T R(2) = h23 ( T3 T2 ) T k 4 3 T2 T1 Bilan 2: R(3) = h23 ( T3 T2 ) k T2 T1 Bilan 1: R(4) = hint ( T1 Tint ) k où h ext est fonction de T ext et T 4, h 23 est fonction de T 2 et T 3 et enfin h int est fonction de T 1 et T int. De cette façon, seuls T 1, T 2, T 3 et T 4 sont inconnus. e système de 4 équations non-linéaires pour les 4 températures inconnues est résolu à l aide de la fonction sysnl disponible sur le site web du cours MTH2210C et qui implémente une méthode de Newton pour la résolution du système. T=sysnl('fonction',Tini,nmax,hi,eps,'resul.dat') où function est le fichier.m de Matlab dans lequel on retrouve le calcul des coefficients de convection ainsi que les fonctions résidus et Tini est un vecteur contenant quatre estimations initiales de température. es paramètres nmax,hi et eps vous sont fournis dans le code MATAB. CODE MATAB es codes MATAB implémentant ce modèle sont fournis sur le site MOODE du cours MEC3200, dans la section aboratoires, Convection, Situation 1. Jean-Yves Trépanier. Version 1.0 Novembre

7 En exécutant le script Fenêtre.m, vous obtiendrez un vecteur T qui contient quatre colonnes correspondant à la température de chacune des surfaces de la fenêtre. es dernières lignes de chaque colonne correspondent aux approximations finales de la méthode de Newton pour chacune des températures recherchées. e nombre de lignes obtenues correspond à la quantité d itérations réalisées à l aide de l algorithme de Newton afin de respecter le critère d arrêt. Dans le code MATAB fourni, les corrélations ne sont utilisées que pour le calcul de h 23. Dans le TP, vous devrez implémenter les corrélations appropriées pour le calcul de h 1 et h 4. Jean-Yves Trépanier. Version 1.0 Novembre

8 MISE EN SITUATION 2 entreprise qui vous emploie désire rajeunir sa gamme de séchoir à cheveux. Votre mandat consiste à terminer le design du tout nouveau modèle de la compagnie. e séchoir courant a une conduite de sortie ayant un diamètre interne de D = 4.6cm. élément chauffant est composé d un fil de nichrome et transmets à l air ambiant une puissance de q = 1000 W. a différence de potentiel appliquée à l élément chauffant est de 110 volts. De plus, vous savez que l appareil aspire l air ambiant à une température de T i = 20 C et chauffe cet air jusqu à une température de 50 C. CONTEXTE THEORIQUE e bilan thermodynamique sur l air passant à travers la conduite du séchoir peut être écrit comme suit : q = mc & ( T T ) p o i où m& = ρ AsV, ρ étant la densité de l air, A s la section de passage de l air et V la vitesse moyenne de l écoulement d air. Pour calculer le coefficient de convection entre l air et l élément chauffant, nous allons poser l hypothèse que ce dernier est perpendiculaire à l écoulement. Ainsi, Jean-Yves Trépanier. Version 1.0 Novembre

9 Nu 1 hd ( Re ) m V = = C D Pr 3 D où Re D = k e transfert de chaleur par convection peut donc être calculé en utilisant : c ( ) q = ha T T où Ac = π De e e ν où T e est la température de l élément chauffant, D e son diamètre et e sa longueur. Afin de calculer adéquatement la longueur de l élément et son diamètre, nous devons considérer le chauffage ohmique de l élément. a puissance dissipée q dans l élément et la différence de potentiel appliquée sur ce dernier sont donnés par : q = 0.707VI V = RI où V est la différence de potentiel en Volts, I le courant dans l élément en Ampères et R la résistance électrique de l élément. a résistance électrique de l élément est calculée par : e R = où A σ e A e = aire de la section de l élément chauffant e = longueur de l élément chauffant σ = conductivité électrique du nichrome Nous pouvons donc établir que : e = V A σ q e Finalement, les propriétés devront être évaluées à la température du film T f, qui est donnée par la relation suivante : T = ( T + Te) / 2.0 f Jean-Yves Trépanier. Version 1.0 Novembre

10 RÉSOUTION NUMÉRIQUE Nous allons déterminer T e à l aide d une méthode numérique. Pour ce faire, nous allons écrire une fonction telle que f(t e ) = 0. Cette fonction représente le bilan d énergie sur l élément chauffant. Notez que pour le terme de rayonnement, nous utiliserons une émissivité ε = 0.9. Ainsi, f T q ha T T A T T 4 4 ( e) = c( e ) + σε c( e ) = 0 Cette fois-ci, la fonction fzero de MATAB sera utilisée pour déterminer la racine de cette fonction. CODE MATAB es codes MATAB implémentant ce modèle sont fournis sur le site MOODE du cours MEC3200, dans la section aboratoires, Convection, Situation 2. Jean-Yves Trépanier. Version 1.0 Novembre