GRANDEURS ET MESURES LE NOMBRE AU CYCLE 2 (2008) PARTIE 4 DOCUMENTS D ACCOMPAGNEMENT DES PROGRAMMES 2002

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1 GRANDEURS ET MESURES LE NOMBRE AU CYCLE 2 (2008) PARTIE 4 DOCUMENTS D ACCOMPAGNEMENT DES PROGRAMMES 2002

2 Apporter un éclairage sur les relations entre nombres et mesure Nécessité de construire d abord la grandeur indépendamment du mesurage et du recours au nombre

3 COMPARER, COMPTER, MESURER Domaine de la mesure Notions numériques Notions géométriques

4 DEVELOPPEMENT DES CONCEPTS Situations familières (sources de problèmes) Comparaison sans mesurage Avec mesurage Directe de 2 objets Indirecte avec un objet intermédiaire Fait correspondre un nombre à la grandeur

5 Comparaison directe sans mesurer

6 Comparaison indirecte (avec un outil intermédiaire)

7 Comparaison indirecte (avec un outil intermédiaire)

8 Comparaison indirecte (avec un outil intermédiaire)

9 LES ACTIVITES DE COMPARAISON Elles sont essentielles Elles donnent accès à la notion de grandeur en considérant une ou plusieurs qualités de l objet: Par exemple pour un ballon: sa masse, son volume, son diamètre

10 COMPARAISON AVEC MESURAGE Le mesurage c est: Utiliser un référent (étalon, grandeur unité) Sectionner, couper, transformer la grandeur à mesurer en petits morceaux tous égaux (l unité) Compter, calculer, dénombrer Choisir des unités qui dépendent de l objet, de sa grandeur pour communiquer avec des références communes

11 Reporter un étalon

12 DIFFICULTES RENCONTREES PAR LES ELEVES

13 Mesurage d une grandeur discrète (ex : billes) ON COMPTE Les «uns» se voient : chaque bille Les «uns» sont entiers, ils ne fusionnent pas Le «un» est associé au pointage Mesurage d une grandeur continue (ex : un segment) ON MESURE Les «uns» ne se voient pas : un segment de 3 cm Les «uns» fusionnent (sans chevauchement, sans espacement) Le «un» est associé à un intervalle Difficultés rencontrées Liées à la perception des unités (cm) Liées au matériel : les bandes-unités peuvent se chevaucher lors des manipulations L E compte les graduations au lieu des intervalles On commence à compter par 1 On repère à partir de 0 Erreurs nombreuses On trouve toujours un nombre entier Accord entre cardinal et ordinal Il n y a rien entre deux nombres Les unités ne se coupent pas «ça ne tombe pas toujours juste» : tolérance, incertitude le nombre n est pas toujours entier Cardinal «en retard» sur l ordinal Sur les instruments de mesure, rien entre deux graduations-nombres Les unités peuvent se couper en sousmultiples Difficulté à donner une mesure approchée, non exacte (encadrement de la mesure) Le nombre de graduations est > à celui des intervalles (la graduation 12 = l entrée dans le 13 e cm) Il y a une infinité de longueurs dont la mesure est comprise entre deux nombres Changement d unités Conversions

14 QUELQUES DIFFICULTES DANS LA CONSTRUCTION DU CONCEPT DE GRANDEUR

15 De la grandeur perçue à la grandeur mesurée Estimation tributaire de ses perceptions et de ses affects => notions subjectives Il faut donc introduire un deuxième terme de comparaison Puis un objet unité Les premiers outils de mesurage Le matériel peut faire apparaître des ambiguïtés: confusion entre longueur et aire de la bande mesureétalon Dans une première approche de la longueur, ne pas avoir de graduations, mais des références à l unité:

16 Le langage Lever les ambiguïtés de langage en associant contexte et lexique spécifique à chaque grandeur: long, court, avant, après concernent aussi bien les longueurs et les durées Grandeur et vie courante On s appuie sur une perception des situations de la vie courante. Il faut s appuyer sur des repères «forts» de la vie courante Difficulté pour l estimation d une grandeur donnée (cf tableau suivant)

17 Type d exercice présent aux évaluations CE1 Hauteur d un immeuble 20 cm 20 m Longueur d un crayon 15 cm 15 m Prix d une bouteille de jus d orange 3 3 centimes Coût d un vélo 100 centimes 100 Poids d une vache 500 kg 500 g Les élèves doivent mettre en relation leurs expériences de vie courante, leur connaissance des nombres et les unités en jeu, sans passage par le mesurage.

18 SITUATIONS ILLUSTRANT LES PROPRIETES DES NOMBRES ET LES RELATIONS ENTRE LES UNITES Différenciation chiffre/nombre Ex: pour avoir 453, trouver le nombre de billets de 100, de 10 et de pièces de 1 4,5 et 3 ont le statut de chiffres pour la position et de nombres pour le résultat des groupements (4 centaines) Conversions m/cm cts/ kg/g km/m De gauche à droite, chaque chiffre indique une unité 10 fois plus grande que celui de droite Cette propriété est une des base de la compréhension des techniques opératoires et constitue la cohérence entre nombre et unité Utilisation du mot chiffre pour nombre est source de confusion

19 Résolution de problèmes Articulation système décimal/unités de grandeurs Spontanément, les élèves ont du mal à utiliser leurs connaissances du système décimal pour résoudre des problèmes de grandeurs et de mesures. Tableau de correspondances:

20 Champ des nombres (934) Champ des objets (grandeur discrète) (934 objets) Champ des grandeurs (934 cm) Désignation de position: le nom des chiffres Centaine Dizaine Unité idem idem Désignation du nombre qui représente chacun des groupements lorsque tout est groupé 9 centaines 3 dizaines 4 unités 9 centaines d objets, 3 dizaines d objets, 4 unités d objets 9c 3d 4u 9m 3 dm 4 cm Désignation de la valeur 9 paquets de paquets de 10 4 unités 9 paquets de 100 objets 3 paquets de 10 objets 4 objets 9 fois 100 cm 3 fois 10 cm 4 cm Désignation dans une autre unité 93 est le nombre de dizaines lorsque l unité est la dizaine 93 est le nombre de dizaines d objets lorsque l unité est la dizaine d objet 93 est le nombre de dm si la mesure est exprimée en dm

21 Gestion de différents champs Les élèves présentent des difficultés à utiliser leurs connaissances hors contexte c-à-d en changeant de champ On veut couper une bande de 250m de tissu en rubans de 10cm. Combien aura-t-on de rubans? On veut couper une bande de 250m de tissu en rubans de 10cm. Combien aura-t-on de rubans? Combien de dizaines dans 250? Combien de dizaines dans 250?

22 Le statut de la multiplication L addition est une opération interne L addition agit sur des nombres de même statut pour donner un résultat de même statut: Billes+billes = billes Cm + cm = cm La multiplication est interne sur les nombres mais pas sur les grandeurs Nbre x nbre = nbre Nbre x grandeur = grandeur Grandeur x grandeur = autre grandeur Ceci est un obstacle à la commutativité: 3X4m = 4X3m

23 RELATION ENTRE SYSTEME DECIMAL ET UNITES DE GRANDEURS: UN OUTIL DE REFERENCE POUR LES CYCLES Construire dans l école un système de référence comme par exemple la tableau suivant:

24 Evolution des évaluations depuis 2005 dans le domaine Grandeurs et Mesure

25 ACTIVITES POUR LE CYCLE 2 (ACTIVITES POUR LE CYCLE 2 de la grandeur perçue (1) 1) distinguer la grandeur en question d autres grandeurs ; comprendre ce qu est la grandeur choisie pour l objet en question en appréhendant ses variations, notamment par comparaisons ; percevoir dans certains cas la nécessité d utiliser un outil intermédiaire Percevoir la transitivité pour ordonner.

26 ACTIVITES POUR LE CYCLE 2 (ACTIVITES POUR LE CYCLE 2 à la grandeur mesurée utiliser une grandeur-étalon (1) utiliser des outils de mesure 1) construire et utiliser des instruments de mesure dénombrer à partir d une grandeur-étalon, introduire les nombres ; réaliser la mesure par des calculs utiliser des unités usuelles pour que tout le monde "se comprenne " être capable d estimer une mesure faire quelques relations entre les unités usuelles

27 REPERES POUR UNE PROGRAMMATION D ECOLE

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30 REPERES BIBLIOGRAPHIQUES 50 activités pour mesurer les longueurs au cycle2 N Hansel CRDP de Lorraine Enseigner les mathématiques à l école primaire: géométrie, grandeurs et mesures: formation initiale et continue des professeurs des écoles A Noirfalise Y Matheron Vuibert 2009 Travailler par cycles de la PS au CM2 en mathématiques Ch Mettoudi, A Yaïche Hachette Edition 1992 Cheminement en maternelle collection l école au quotidien G Meyer, D Larois, E l Heritier- Hachette Edition 1991 Se former pour enseigner les Maths, tome 2,Grandeurs et Mesure, M Pauvert, M Fénichel, Bordas De la construction mathématique à sa représentation GS - L Baron Magnard 1995