Lois normales. Intervalle de fluctuation. Estimation.

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1 Lois ormales. Itervalle de fluctuatio. Estimatio.. Loi ormale cetrée réduite... p. Théorème de Moivre-Laplace... p 3. Loi ormale (µ ; σ²)... p3 Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réserwidevec{}vés 4. Itervalle de fluctuatio asymptotiqueestimatio... p4

2 . Loi cetrée réduite.. Nouvelle foctio de desité sur ℝ Soit ϕ la foctio défiie sur ℝ par φ( )= ϕ est cotiue et dérivable sur ℝ. ' (e ) e. π = e. e Doc, pour tout réel, φ ' ( )=. π Pour tout ombre réel, le sige de φ ' ( ) est le sige de ( ). X φ( )=. lim = et lim e = doc lim X φ( )=. De même, lim + Tableau de variatios : φ()=,4 π Représetatio graphique : Remarques : La foctio φ est paire doc la courbe représetative de φ sur ℝ est symétrique par rapport à l'ae ( y ' y). O admet que l'aire e uité d'aire de la partie du pla comprise etre la courbe et l'ae des abscisses est égale à. Page

3 + O peut oter : φ( ) d = Coséquece : + φ est cotiue et positive sur ℝ et φ( ) d = doc φ est ue desité de probabilité sur ℝ... Valeurs remarquables O dit qu'ue variable aléatoire X à valeurs réelles suit la loi ormale cetrée réduite otée (,) lorsque X admet pour desité de probabilité la foctio φ défiie sur ℝ e par φ( )=. π v Doc, si u et v sot deu ombres réels vérifiat u v alors P (u X v )= u e d π P (u X v ) est l'aire e uité d'aire de la partie du pla colorée e vert..3. Remarques a) Problème : o e sait pas écrire ue primitive de φ sur ℝ avec des foctios usuelles. b) La courbe représetative de φ est symétrique par rapport à l'ae des ordoées doc : o a l'aire e U.A comprise etre la courbe et l'ae des abscisses sur l'itervalle ] ; ] est égale à l'aire e U.A comprise etre la courbe et l'ae des abscisses sur l'itervalle [ ;+ [. Doc, P ( X )=P ( X ) Or, P ( X )+P ( X )= Doc, P ( X )=P ( X )= Page 3

4 c) P ( X u)=p (u X ) d) Si u alors P ( u X )=P ( X u) O a doc P ( u X u)= P ( X u) et P ( X u)+p ( u<ux u)+p ( X u)= Doc, P ( u X u)= P ( X u).4. Foctio de répartitio a) Défiitio Si X suit ue loi ormale, réduite (;) sa foctio de répartitio ϕ est défiie pour tout réel par ϕ( )=P ( X ). b) Remarques φ est cotiue sur ℝ doc φ admet des primitives sur ℝ. O ote G la primitive de φ sur ℝ telle que G( )=. Page 4

5 Doc, G( )= φ(t) d t (G ' ( )=φ( )) Si, alors G( ) est l'aire e U.A de la partie de pla comprise etre la courbe représetative de φ et l'ae des abscisses sur [ ; ]. Si, alors G( )= φ( t) d t est l'opposé de l'aire e U.A de la partie de pla comprise etre la courbe représetative de φ et l'ae des abscisses sur [ ; ]. O a aussi : (c'est l'aire e U.A de la partie de pla comprise etre la courbe et l'ae des abscisses sur + [ ;+ [ ) et lim G( )=. lim G( )= c) Égalités Pour tout réel, o a P ( X )=ϕ( )= +G ( ) avec G( )= φ(t )d t ϕ est dérivable sur ℝ et ϕ ' ()=G ' ( )=φ( ) Coclusio : ϕ est ue primitive de φ sur ℝ. d) Coséqueces Si u et v sot deu ombres réels vérifiat u v alors : v v P (u X v )= φ( ) d =[ ϕ( ) ]u = ϕ( v) ϕ(u) u ϕ( )=P ( X ) Si > alors P ( X )+ P( X )+P ( X )= Or, P ( X )=P ( )=ϕ( ) Doc, P ( X )= ϕ( ) P ( X )+P ( X )= Or, P ( X )=P ( X )=ϕ( ) Doc, ϕ( )+ϕ( )= Si alors P ( X )= ϕ( )= ( ϕ())= ϕ( ) P ( X )= ϕ( ) Page 5

6 e) Étude de la foctio ϕ est ue primitive de φ sur ℝ. Doc, ϕ est dérivable sur ℝ et pour tout ombre réel : ϕ ' ()=φ( )> ϕ( )= +G ( ) ϕ( )= Or, lim G( )= doc lim + + ϕ( )= et lim G( )= doc lim Tableau de variatios : Courbe représetative : La droite d'équatio y= est ue asymptote à la courbe représetative de ϕ e + et y= e..5. Calculs umériques a) O peut facilemet doer des valeurs approchées des probabilités du type P (a X b) e utilisat ue calculatrice ou u logiciel. Par eemple, calculos P ( X,5) Casio Graph 35+ Par la touche OPTN choisir Stat, Dist, Norm, Normcd Norm CD(,.5,,) Résultat :,54 TI 8, STAT, 83 Par la touche de Var choisir ormal Frép ormal Frep(,.5,,) Résultat :,54 Page 6

7 géogébra b) O peut doer des valeurs approchées de ϕ(a ) pour a réel. Si a, alors ϕ(a )= +P ( X a ) La calculatrice doe ue valeur approchée de P ( X a) Eemple : a=,5 ϕ(a )=,5+P ( X,5) ϕ(a )=,5+,95 ϕ(a )=,695 Si a, alors ϕ(a )=,5 P (a X ) Or, P (a X )=P ( X a ) Doc ϕ(a )=,5 P ( X a ) Page 7

8 Eemple : a=, P ( X,)=,793 ϕ(,)=,5,793=,47 Avec géogébra, o a directemet ϕ(a ) Pour a=,5 c) Il est possible que l'o iterdise à u eame l'utilisatio de la calculatrice ou d'u logiciel (o peut peser à l'eame de fi de première aée de médecie) Das ce cas, o peut doer au cadidat u etrait d'ue table doat pour les ombres décimau avec au plus deu chiffres après la virgule compris etre et 3 (ou 4) ue valeur approchée à -4 près. Par eemple : ϕ(,)=,8888 ϕ(,35)=,95 ϕ(,37)= ϕ(,37)=,93=,869 P (, X,35)=ϕ(,35) ϕ(,) Or, ϕ(,)= ϕ(,) Page 8

9 P (, X,35)=,8888+,95 =,83 P (, X,)= ϕ(,) =,8888 =, Espérace et variace d'ue loi ormale cetrée réduite Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi ormale cetrée et réduite ( ;). So espérace mathématiques est E ( X )=. Sa variace est V ( )= E (( X E ( X )) )= Démostratio : + E ( )= t φ(t )d t O cosidère, pour, t φ(t) d t Or, pour tout réel t, φ ' (t)= t φ(t), doc ue primitive de t Doc, t φ( t) est φ(t). t φ(t)d t=[ φ(t)]= φ( )+φ() lim φ( )= + Doc, lim t φ(t)d t=φ() + O cosidère, pour y, t φ(t)d t y t φ(t)d t=[ φ(t )] y= φ()+φ( y) y lim φ( y)= y Doc, lim t φ(t )d t= φ() y y E ( )= lim t φ(t) d t+ lim t φ(t) d t= φ()+φ( )= + y y E ( X )= O admet que V ( )=σ= Remarque : Ces résultats justifiet la otatio ( ;) : pour l'espérace mathématique et pour la variace. Page 9

10 .7. Théorème Si X est ue variable aléatoire suivat ue loi ormale cetrée et réduite ( ;) alors pour tout ombre réel α apparteat à l'itervalle ];[, il eiste u uique ombre réel strictemet positif u α tel que : P ( u α X u α )= α Démostratio : La démostratio peut faire l'objet d'ue restitutio orgaisée des coaissaces au baccalauréat. O cosidère la foctio H défiie sur [ ;+ [ par : H ( )=P ( X )= φ(t) d t = [ ϕ(t) ] = ϕ( ) ϕ( ) (Rappel : ϕ est ue primitive de φ sur [ ;+ [ ) H est dérivable sur [ ;+ [ H ' ( )=ϕ' ( ) ( ϕ' ( ))=ϕ' ( )+ϕ' ( )=φ( )+φ( )= φ( )> (car φ est ue foctio paire et positive) H est doc strictemet croissate sur [ ;+ [. lim ϕ( )= + lim ( )= et lim ϕ( X )= doc lim ϕ( )= X lim H ( )= Doc, + + H ()= H ( )=, le théorème des valeurs H est cotiue, strictemet croissate sur [ ;+ [, H ()= et lim + itermédiaires ous permet d affirmer que pour tout y tel que y< il eiste uique tel que H ( )= y. Si <α<, o pose y= α et y ] ; [. O ote u α l'uique atécédet de y= α. u α ] ;+ [, et P ( u α X u α )= α..8. Cas particuliers Premier cas : α=,5 P ( u,5 X u,5)=,95 H ( )= φ(t) d t =ϕ( ) ϕ( ) et, ϕ( )= ϕ( ) Doc, H ( )= ϕ( ) H (u,5)= ϕ(u,5) ϕ(u,5 ) =,95,95 ϕ(u,5)= =,975 O utilise la calculatrice ou u logiciel ou o regarde ue table de valeurs approchées de ϕ( ). O obtiet u,5=,96 Ce résultat doit être cou : P (,96 X,96)=,95 Page

11 Deuième cas : α=, P ( u, X u,)=,99 H ( )= φ(t) d t =ϕ( ) ϕ( ) et, ϕ( )= ϕ( ) Doc, H ( )= ϕ( ) H (u,)= ϕ(u,) ϕ(u, ) =,99,99 ϕ(u,)= =,995 O utilise la calculatrice ou u logiciel ou o regarde ue table de valeurs approchées de ϕ( ). O obtiet u,=,58 Ce résultat doit être cou : P (,58 X,58)=,99. Théorème de Moivre-Laplace.. Propriétés de l espérace mathématique et de la variace d'ue variable aléatoire X est ue variable aléatoire. E ( X ) est so espérace mathématique. V ( X ) est sa variace. Si b est u ombre réel alors : E ( X +b)=e ( X )+b V ( X +b)=v ( X ) Si o ajoute à chaque valeur de X le ombre b alors o ajoute b à la moyee. Si o ajoute à chaque valeur de X le ombre b alors les écarts des ouvelles valeurs à la ouvelle espérace mathématique sot égau au précédets. Cas particuliers : O pose μ=e ( X ) E ( X μ )= V ( X μ)=v ( X ) Page

12 Si a est u réel o ul alors : E (ax )=a E ( X ) V (a X )=a² V ( X ) Si o multiplie toutes les valeurs de X par a alors o multiplie par a la moyee. Si o multiplie toutes les valeurs de X par a alors o multiplie par a les écarts au carré des ouvelles valeurs de X à la ouvelle espérace mathématique. Cas particuliers : Si σ est la variace de X, alors X V ( σ )= V ( X )= σ X E ( σ )= σ E ( X ) Coséquece : Soit X ue variable aléatoire réelle, o ote E ( X )=μ et V ( X )=σ. La valeur aléatoire X μ a pour espérace mathématiques et pour variace. σ E ( X σ μ )= et V ( X σ μ )=... Lois biomiales ℕ * p ]; [ X est la loi biomiale de paramètres et p b(;p) si et seulemet si X pred les valeurs ; ; ; ; () p k ( p) k avec les probabilités : P ( X =k )= (pour tout etier aturel k compris etre et ). p L espérace mathématique de X est : p μ=e ( X )=p σ =V ( X )=p( p) O cosidère la variable aléatoire : Z = X p X μ = σ p( p) Alors, E ( Z )= et V ( Z )= La loi de probabilité de Z 'est pas ue loi biomiale car les valeurs de Z e sot pas des etiers (compris etre et ). Page

13 .3. Théorème de Moivre-Laplace (admis) Si la variable aléatoire X suit la loi biomiale b(;p) alors la variable Z défiie par X p Z = coverge vers la loi ormale cetrée réduite (;), c'est à dire p( p) que pour les réels a et b tels que a b : b b lim P (a Z b)= φ(t) d t= e d + a a π 3. Loi ormale (µ ;σ ²) 3.. Défiitio μ est u ombre réel doé. σ est u ombre réel strictemet positif doé. μ suit O dit que la variable aléatoire X suit la loi ormale (µ;σ²) si la variable X σ la loi ormale cetrée et réduite (;). 3.. Coséqueces E ( X σ μ )= doc V ( X σ μ )= Doc σ V ( X μ )= doc σ V ( )= doc V ( )=σ E ( X )=μ ( La foctio de desité est défiie sur ℝ par f ( )= e σ π μ σ ) La droite d'équatios =μ est u ae de symétrie de la courbe représetative de f. Eemples : Pour μ=8 et σ=5 : Page 3

14 spour μ=6 et σ=, : ( ) F est la foctio de répartitio. Pour tout ombre réel, F ()=P ( X )=ϕ μ. σ 3.3. Probabilités des évéemets : X [µ-σ;µ+σ] ;X [µ-σ;µ+σ];x [µ-3σ;µ+3σ] μ )=Φ()-=,843-=,686 P(X [µ-σ;µ+σ])=p(µ-σ X µ+σ)=p(- X σ O retiedra : P(X [µ-σ;µ+σ])=,68 μ )=Φ()-=,977-=,9544 P(X [µ-σ;µ+σ])=p(µ-σ X µ+σ)=p(- X σ O retiedra : P(X [µ-σ;µ+σ])=,95 μ 3)=Φ(3)-=,9987-=,9974 P(X [µ-3σ;µ+3σ])=p(µ-3σ X µ+3σ)=p(-3 X σ O retiedra : P(X [µ-3σ;µ+3σ])=,99 4. Itervalle de fluctuatio asymptotique-estimatio 4.. Rappels a) Échatilloage Page 4

15 Das ue populatio où la fréquece d'u caractère est p (p ];[), la variable aléatoire X ( etier aturel supérieur ou égal à ) qui a tout échatillo de taille associe le ombre d'idividus qui possèdet le caractère étudié suit la loi biomiale de paramètres et p : b(;p). X La variable aléatoire fréquece est : F = 'est pas ue loi biomiale car F e pred pas que des valeurs etières. b) Itervalle de fluctuatio (cours de ère S) [ ] U itervalle de fluctuatio au seuil de 95% est u itervalle, de la forme I = a b ; où a et b sot des etiers ( a F b )=P ( F I ),95. a b Pour obteir u itervalle I =[ ; ] de plus faible amplitude, o détermie les plus petits etiers aturels a et compris etre et, tel que : P b tels que P ( X =a ),5 et P ( X b)<,975. c) Itervalle de fluctuatio simplifié (cours de de) [ Lorsque 3, p 5 et p ( p) 5, l'itervalle I = p X au seuil de 95%. P (F I ),95 ] ; p+ est u itervalle «simplifié» de F = 4.. Itervalle de fluctuatio asymptotique a) Théorème O suppose 3, p 5 et p ( p) 5, α ] ;[ uα Soit u α l'uique réel strictemet positif tel que Si X suit la loi biomiale b(;p) X si F = p( p) p( p) ; p+u α si I = p u α Alors, lim ( F I )= α [ φ( ) d = α. u α ] + Démostratio : Cette démostratio peut faire l'objet d'ue restitutio orgaisée des coaissaces au baccalauréat. X p Z = p( p) Le théorème de Moivre-Laplace permet d'affirmer, que pour tous les ombres réels a et b, que : b lim P (a Z b)= φ( )d + a uα Et, lim P ( u α Z u α )= φ( )d = α + u α Page 5

16 X p F p Z = = Or, p ( p) p( p) p ( p) F p+u p( p) = α Doc, lim P p u α α + Soit, lim ( F I )= α ( ) + b) Défiitio [ ] Pour tout α ] ;[, I p u α p ( p) p( p) ; p+u α se omme itervalle X de fluctuatio asymptotique de la variable aléatoire F = au seuil de α. I cotiet F avec ue probabilité d'autat plus proche de α que est grad. c) Cas particulier α=5 % α=,95 (95%) u,5=,96 (valeur approchée à / près par défaut) [ I = p,96 p( p) p ( p) ; p+,96 X aléatoire F = au seuil de 95%. ] est u itervalle de fluctuatio asymptotique de la variable d) Remarque O cosidère la foctio défiie sur ];[ par h ( )= ( )= + h est dérivable sur ];[. Le maimum de h sur ];[ est. 4 Page 6

17 = (la foctio racie carrée est croissate sur [ ;+ [ ) 4,96,96 p( p) p ( p) ; p+ ; p+ I = p,96 ; p+,96 p p O peut doc majorer p ( p) par [ ] [ ] [ O retrouve l'itervalle de fluctuatio cosidéré e secode, et lim + ( p ] ) F p+, Prise de décisio au seuil de 5% La proportio du caractère C étudié das ue populatio est supposée être égale à p ( p ] ;[). la prise de décisio cosiste, à partir d'u échatillo de taille, à valider ou o cette hypothèse. p( p) ; p+,96 p ( p). O vérifie que : 3 ; p 5 et ( p) 5 et o détermie I = p,96 f O calcule la fréquece sur l'échatillo cosidéré. O applique la règle de décisio au seuil de 5%. Si f I alors o rejette l'hypothèse (la proportio est égale à p). Si f I alors o e rejette pas l'hypothèse (o accepte l'hypothèse). [ ] Remarque : Le théorème précédet permet d'affirmer que la probabilité de rejeter l'hypothèse faite sur p alors qu'elle est vraie est d'eviro, Itervalle de cofiace O e coaît pas la proportio p du caractère C das la populatio. O coaît la fréquece f du caractère sur u échatillo de taille (assez grad : 3, f 5, ( f ) 5 ) Peut-o estimer la proportio p à partir de f? [ a) E termiale, o utilise l'itervalle de fluctuatio de la fréquece F : J = p lim P (F J ),95 ] ; p+. + C'est à dire pour assez grad P (F J ),95 Or, f est ue fréquece obteue sur u échatillo de taille, doc : P p f p+,95 Or, p f p+ f p f +,95 et P f p f + ( ) ( ) Page 7

18 b) Défiitio Soit f ue fréquece du caractère C sur u échatillo de taille. ;f+ L'itervalle f est u itervalle de cofiace au seuil de 95% de la proportio icoue p das la populatio. L'amplitude de l'itervalle est. [ ] Page 8

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