Compléments à la fonction ln. Fonctions exponentielles. Fonctions puissances.

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1 Compléments à la fonction ln. Fonctions exponentielles. Fonctions puissances.. Fonctions composées avec ln... p2 4. Fonctions puissances... p8 2. Exposants réels... p4 5. Croissances comparées... p0 3. Fonctions exponentielles... p5 6. Logarithmes décimaux... p Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés

2 . Fonctions composées avec ln.. Remarque u est une fonction numérique définie et strictement positive sur l'intervalle I. I u ]0;+ [ ln R x u(x) ln(u( x)) ln o u x I, g ( x)=ln(u(x))=(ln ou)(x).2. Théorème Si u est une fonction numérique strictement positive et dérivable sur l'intervalle I alors g =ln o u est dérivable sur I et : x I, g ' (x )=(ln o u)' (x)= u ' (x ) u( x) Démonstration : (g o f )' ( x)=g ' ( f ( x)) f ' ( x) (ln ou)' ( x)=ln' (u( x)) u ' (x) Or, ln ' (x)= x donc ln ' (u (x))= u( x) (ln o u )' ( x)= u ' ( x) u (x) Exemple : u(x)=3 x 2 + u est dérivable et strictement positive sur R. x R, g ( x)=ln(3 x 2 +) g ' (x)= 6 x 3 x 2 + Conséquence : Le signe de g ' (x) est égal au signe de u' ( x). Donc, g et u sont les mêmes variations sur I. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 2

3 .3. Limites Dans ce qui suit, on peut remplacer x a par x a + ou x a - ou x + ou x. a) Si u( x)=+ x a alors ln(u(x))=+ x a. b) Si x a c) Si x a u( x)=0 avec u(x)>0 alors x a u( x)=b>0 alors x a ln(u(x))=ln b. ln(u (x))=..4. Exercice f : x f (x)=ln ( x 2 x+3) a) Démontrer que f est définie sur l'ensemble ] ; 3 [ ]2;+ [. b) Calculer sa dérivée et indiquer son sens de variation. c) Déterminer les ites de f aux bornes de l'ensemble de définition. a) x D f x 2 x+3 >0 Donc, D f =] ; 3[ ] 2;+ [ b) u(x)= x 2. u est dérivable sur ] ; 3[ et sur ]2;+ [. x+3 u' (x) x D f, f ' ( x)= u( x) = 5 ( x+3) x+3 2 x 2 = 5 (x+3)( x 2) >0 f est strictement croissante sur ] ; 3[ et sur ]2;+ [. x 2 c) De même, x 2 x 3 - x+3 = donc f ( x)=ln =0. f (x)=ln =0. x+3 =+ donc f (x)=+ x 3 - x 2 x+3 =0 donc f (x)= x 2 + x 2 + Les droites d'équations x= 3 et x=2 sont des asymptotes verticales à la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. La droite d'équation y=0 est une asymptote horizontale à la courbe en + et en. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 3

4 2. Exposants réels 2.. Racine n ième x ]0 ;+ [ n N * ln x n =nln x= y x n =e y =e nln x x ]0 ;+ [ n N * L'unique nombre réel y strictement positif tel que y n = x se nomme racine n ième de x et se note : y= n x. n x= y y n = x Or, ln( n x)=ln y et ln y n =ln x=nln y, donc : ln y= n ln x On a donc : ln( n x)= n ln x Ainsi : n n x=e ln x. L'unique nombre réel y strictement positif tel que y n = x se nomme racine n ième de x et se note : y=n x= x n =e n ln x 2.2. Exposants rationnels x ]0 ;+ [ r Q r= p q On note : x r =x p =( q x q) p =(x p ) q p Z et q N *. p ln x r =ln x =ln[( q x Donc, ln x r =r ln x q) p ]= p ln x q = p q ln x= p ln x=rln x q x ]0;+ [ r Q x r =e r ln x Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 4

5 2.3. Exposants réels Définition : x ]0;+ [ α R x α =e α ln x On peut vérifier les propriétés des exposants : α R β R x ]0 ;+ [ y ]0;+ [ x α x β = x α+β x α x β =xα β (x α ) β = x αβ (xy) α = x α y α 3. Fonctions exponentielles 3.. Définition a est un nombre réel strictement positif et différent de. On nomme fonction exponentielle de base a, la fonction exp a qui au réel x associe a x. exp a : R ]0 ;+ [ x exp a (x)=a x =e xln a Pour a=e, on obtient la fonction exponentielle Propriétés x R, a>0 et a ln a x =x ln a x R, y R, a>0 et a a x+ y =a x a y a x a y=ax y (a x ) y =a xy 3.3. Variations exp a (x)=a x =e xln a exp a est dérivable sur R. exp a ' ( x)=(ln a)e x ln a =(ln a )a x Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 5

6 Le signe de exp a ' ( x) est le signe de ln a. Si 0<a< alors ln a<0 et exp a ' ( x)<0 exp a est strictement décroissante sur R. Si a> alors ln a>0 et exp a ' ( x)>0 exp a est strictement croissante sur R Limites exp a (x)=a x =e xln a Si 0<a< alors ln a<0 e x =+ et x ln a=+ et e x =0. Donc, e x ln a =0 e x =+. Donc, e x ln a =+ Si a> alors ln a>0 x ln a=+ et x ln a= et e x =+. Donc, e x ln a =+ e x ln a =0 e x =0. Donc, 3.5. Tableaux de variation Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 6

7 3.6. Représentations graphiques exp a (0)= Si 0<a< alors la droite d'équation y=0 est une asymptote à la courbe C a en +. Si a> alors la droite d'équation y=0 est une asymptote à la courbe C a en. Exemples : a=2 exp 2 (x)=2 x a= 2 exp ( x)=( x 2) 2 Remarque : ) C 2 M (x ;2 x ) C 2 M '( x; ( x 2) ( x =2 2) x Donc M et M' sont symétriques par rapport à ( y' y). C 2 et C sont symétriques par rapport à ( y' y). 2 Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 7

8 4. Fonctions puissances 4.. Définition α R f α :]0 ;+ [ ]0 ;+ [ x f α ( x)= x α =e αln x Pour α=, f (x )=x = x Pour α=0, f 0 (x)=x 0 =e 0 ln x = Pour α= n (n N* ), f n est la fonction racine n ième Fonction dérivée α 0, f α est dérivable sur ]0 ;+ [ f ' α (x)=α x eα ln x = α x eα ln x =α xα =α xα x 4.3. Limites a) α<0 α ln x= et αln x=+ et x 0 + e x =0. Donc, x α =0 e x =+. Donc, x 0 + x α =+ La droite d'équation x=0 est une asymptote verticale à la courbe représentative de f α. La droite d'équation y=0 est une asymptote horizontale à la courbe représentative de f α en +. b) α>0 α ln x=+ et αln x= et x 0 + e x =+. Donc, x α =+ e x =0. Donc, x 0 + x α =0 On peut alors considérer la fonction g α définie sur [0;+ [ par : g α (x)=0 (= x 0 + f α (x)=0 )et x ]0 ;+ [, g α (x)= f α ( x) On dit alors que g α est le prolongement de f α par continuité en 0. (On peut étudier la dérivabilité en 0 du prolongement par continuité de f α ) Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 8

9 4.4. Tableaux de variation 4.5. Représentations graphiques f α ()= α =e αln = On trace les cas particuliers C 0 et C, puis C ; C 2 et C 2. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 9

10 5. Croissances comparées 5.. Fonction logarithme et fonctions puissances en + ln x=+. Si α>0 alors x α =+. Nous avons déjà montré que ln x α =αln x donc, ln x x = ln xα α α x α ln x x =0. x α =+ ln x et x =0 ln x donc x =0 α Cas particuliers : n N * ln x x =0 ln x n et x =0 On dit que les fonctions puissances (d'exposant strictement positif) l'emportent sur la fonction ln lorsque x tend vers Fonction exponentielle et fonctions puissances en + On peut démontrer que : e x x α =+ avec α>0 Cas particuliers : n N * e x x n =+ et e x x =+ On dit que la fonction exponentielle l'emporte sur toutes les fonctions puissances lorsque x tend vers +. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 0

11 5.3. Fonction logarithme et fonctions puissances en 0 On vérifie que : n N * x n ln x=0 x Fonction exponentielle et fonctions puissances en - On vérifie que : n N * x n e x =0 6. Logarithmes décimaux 6.. Définition On nomme fonction logarithme décimal, la fonction log, définie sur ]0;+ [ par : log x= ln x ln Propriétés log =0 et log 0= log est dérivable sur ]0;+ [, log ' (x)= x ln0 log 0>0 donc la fonction logarithme décimal est strictement croissante sur ]0 ;+ [. a ]0;+ [ et b ]0;+ [ log(ab)=log(a)+log(b) log ( a ) = log a log ( a =log a logb b) Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page

12 log a= 2 log a x R, log a x =x log a Pour a=0, log 0 x =x log0=x log y=x y=0 x 6.3. Remarque Avant l'utilisation des calculatrices en classe, on utilisait les logarithmes décimaux pour des calculs numériques. a ]0;+ [ a= x 0 m avec x [ ;0[ et m Z log a=log x+log 0 m =m+log x x<0 alors 0 log 0< log x est la mantisse de log a. m est la caractéristique de log a. Si a admet 4 chiffres significatifs, log x étant donné par «une table de logarithmes décimaux», la caractéristique m place la virgule parmi les chiffres significatifs. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 2