Économétrie. Francesco Quatraro M1 EFM 2010/2011
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- Laurence Sévigny
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1 Francesco Quatraro M1 EFM 2010/2011 1
2 Pour mieux comprendre le concept de multicolinéarité on peut partir de la corrélation partielle Considérons l exemple du marchand de glaces prés de la tour Eiffel Il cherche à calculer le coefficient de corrélation entre ses ventes (x 1 ) et le nombre de touristes visitant ce monument (x 2 ) C est claire que ces deux variables sont influencées par une troisième variable, c.à.d. le climat (x 3 ) 2
3 Nous pouvons penser que la relation entre x 1 et x 2 est positive Toutefois le calcul d un coefficient de corrélation simple n est pas révélateur de ce lien, car c est raisonnable penser que la variable climat influence la vente de glaces et la fréquentation de touristes En d autres termes, le coefficient de corrélation simple calculé ainsi intégré l apport de la variable «climat» sans en pouvoir isoler l influence 3
4 Le coefficient de corrélation partielle mesure la liaison entre deux variables, lorsque l influence d une troisième variable est retirée Donc dans notre exemple on peut calculer les coefficients suivants: r 12 = coeff corr entre x 1 et x 2 r 13 = coeff corr entre x 1 et x 3 r 23 = coeff corr entre x 2 et x 3 r 12,3 = coeff corr partielle entre x 1 et x 2 r 13,2 = coeff corr partielle entre x 1 et x 3 4
5 En général, le coefficient de corrélation partielle mesure la liaison entre deux variables lorsque l influence d une ou des autres variables explicatives est retirée Soit y une variable à expliquer et x 1, x 2 et x 3 des variables explicatives La variance de y expliquée par la variable x 1 seule, x 2 seule et x 3 seule est mesuré respectivement par: 5
6 Si nous avons m variables (explicatives et à expliquer) on peut calculer m*(m-1)/2 coefficients de corrélation partielle de premier ordre Cette notion de corrélation partielle est très importante car elle permet de juger de la pertinence d inclure une variable explicative dans une modèle Plus le coefficient de corrélation partielle d une variable est élevé, plus la contribution de cette variable est importante à l explication globale du modèle 6
7 Le coefficient de corrélation partielle peut se calculer de deux manières à partir: Du coefficient de corrélation simple entre Le résidu de la régression de la variable y sur le sous ensemble des k-1 variables explicatives Et le résidu de la régression de la variable x i sur les k-1 variables explicatives Pour exemple si on est intéressé à la corrélation entre y et x 3, il faut d abord calculer le résidu des régressions de le deux sur x 1 et x 2 7
8 Étape 1 Étape 2 Étape 3 8
9 On peut aussi calculer le coefficient de corrélation partielle à partir du t de Student Cette relation n est vérifiée que pour un coefficient de corrélation partielle d ordre k-1 Dans le cas particulier d une relation entre 3 variables: 9
10 Le terme de multicolinéarité est employé dans le cas d un modèle incorporant des séries explicatives qui sont liées entre elles À l opposé, pour des séries explicatives de covariance nulle, nous dirons qu elles sont orthogonales Dans la réalité, les séries explicatives son toujours plus ou moins liées entre elles Il faut donc examiner les conséquences 10
11 On peut citer trois effets principaux de la multicolinéarité a) augmentation de la variance estimée de certains coefficients, lorsque la colinéarité entre les variables explicatives augmente b) Instabilité des estimateurs des coefficients des moindres carrés: des faibles fluctuations concernant les donnés entraînent des fortes variations des valeurs estimées des coefficients c) En cas de multicolinéarité parfaite, la matrice X X est singulière et donc non inversible 11
12 Pour détecter la multicolinéarité on peut utiliser le test de Klein, qui est fondé sur la comparaison du coefficient de détermination R², calculé sur le modèle à k variables aussi que sur les coefficients de corrélation entre le variables explicatives Si le coefficient détermination est supérieur à chaque coefficient de corrélation partielle on peut conclure qu il n y a pas de multicolinéarité 12
13 Le test de Farrar et Glauber consiste à calculer le déterminant de la matrice des coefficients de corrélation entre les variables explicatives Lorsque la valeur du déterminant D tend vers 0, le risque de multicolinéarité est importante On peut construire un test statistique pour vérifier si D est significativement différent de 1 13
14 Pour remédier à la multicolinéarité il y a différentes techniques Augmenter la taille de l échantillon, c est efficace seulement si l ajout d observations diffère significativement de celles figurant déjà dans le modèle La «ridge regression» consiste en la transformation de la matrice X X en (X X+cI) où c et une constante choisie arbitrairement 14
15 Des procédures statistiques permettent de déterminer quelles variables retirer ou quelles variables ajouter dans un modèle Cette démarche exclut tout raisonnement économique Il permet en fait d aboutir à des modèles économétriques qui sont suivent bon sur le plan statistique mais dont l interprétation économique s avère nulle 15
16 Au problème de la sélection des variables explicatives s ajoute celui du choix à effectuer entre plusieurs modèle concurrents, c.à.d. des modèles dont les variables sont toutes significatives mais qui ne sont pas le mêmes Le critère de maximisation du R² consiste à retenir le modèle dont le R² est le plus élevé. Ce critère présente l inconvénient de ne pas arbitrer entre la perte de degrés de liberté du modèle et l ajustement qui en résulte 16
17 On préfère utiliser les critères d Akaike ou de Schwarz Nous retenons le modèle qui minimise la fonction de Akaike (Akaike Information Criterion): Ou la fonction de Schwarz (Schwarz criterion) 17
18 Nous allons examiner cinq méthodes qui vont nous permettre de retenir le meilleur modèle, celui qui est composé des variables qui sont: Les plus corrélées avec la variable à expliquer Les moins corrélées avec elles On peut essayer toutes le régressions possibles (2 k -1 possibilités) et le modèle retenu est celui dont le critère de Akaike ou de Schwarz est minimum 18
19 L élimination progressive (backward elimination) consiste à éliminer de proche en proche les variables explicatives dont les t de Student sont en dessous du seuil critique La sélection progressive (forward regression): on sélectionne d abord la variable explicative dont le coefficient de corrélation simple est le plus élevé avec la variable y. D après on calcule le coefficients de corrélation partielle entre les autres variables. On s arrête lorsque les t de Student des variables explicatives sont inférieurs au seuil critique 19
20 Régression pas à pas (stepwise regression), c est identique à la sélection progressive, sauf qu après avoir incorporé une nouvelle variable explicative, nous examinons le t de Student de chaque variable et nous éliminons celles dont le t de Student est inférieur au seuil critique Régression par étage 20
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