Barycentre. Activités d'approche du barycentre de deux points pondérés. 5 3 x A 2 3 x B y G. 2 3 y B. = 5 3 y A. 2 3 z B. z G.

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1 Barycentre Cette notion va généraliser des connaissances mathématiques anciennes: milieu d'un segment, centre de gravité d'un triangle, centre de gravité d'un tétraèdre, moyenne pondérée (avec coefficients), mais aussi fournir un outil pour la physique: centre d'inertie d'un solide, étude de position d'équilibre. Activités d'approche du barycentre de deux points pondérés 1. Équilibre de forces e n physique: n 1 p Étude d'un problème mathématique : A et B étant deux points quelconques de l'espace, prouvons qu'il existe un point G unique aligné avec A et B tel que, pour tout point M de l'espace, on ait l'égalité vectorielle: 5MA2MB3MG. Cette égalité est équivalente à: 5MA2 MAAB3 MAAG Ce qui s'écrit: 5MA2MA2AB3MA3AG. C'est à dire: 2AB3AG qui s'écrit: AG 2 3 AB. On voit bien que cette dernière égalité (équivalente aux quatre précédentes) définit bien un point G unique aligné avec A et B: On dit que le point G est le barycentre du système de points pondérés { A,5 ; B, 2} L'égalité 5MA2MB3MG étant vérifiée pour tout point M de l'espace, on peut prendre pour M quelques points particuliers intéressants: Pour M G, on obtient l'égalité utilisée comme définition du barycentre dans votre livre: 5GA2GB0. Pour M A, on obtient l'égalité déjà obtenue ci-dessus: 2AB3AG qui s'écrit: AG 2 3 AB. Pour M B, on obtient alors: 5BA3BG qui s'écrit: BG 5 3 BA. Si l'espace est muni d'un repère O ;i ;j ;k avec A x A ; z A et B x B ; z B, alors, en prenant MO, cela donne: 5OA2OB3OG et donc: OG 5 3 OA 2 3 OB. En notant: G x G ;, on obtient: {xg 5 3 x A 2 3 x B y G 5 3 y A 2 3 y B 5 3 z A 2 3 z B Réciproquement, s'il existe un point C de l'espace tel que: 5CA2CB 3CG, alors, pour tout point M de l'espace, on peut écrire: 5 CM MA 2 CM MB3 CM MG qui se transforme en: 5CM 5MA 2CM 2MB 3CM 3MG et donc: 5MA2MB3MG. On a donc démontré l'équivalence des phrases: Pour tout point M de l'espace:5ma2mb3mg. Pour un point C de l'espace: 5CA2CB 3CG ou ses écritures particulières: 5GA2GB0, AG 2 3 AB, BG 5 3 BA ou OG 5 3 OA 2 3 OB. B.Sicard - E:\math\Cours\1S\barycentre\barycentre_cours.odt 1

2 Barycentre de deux points pondérés: Étude du cas général A et B sont deux points quelconques de l'espace et et sont deux nombres réels quelconques. Existe-t-il un point G unique aligné avec A et B tel que, pour tout point M de l'espace, on ait l'égalité vectorielle:mambmg? Cette égalité est équivalente à: MA MAAB MAAG Ce qui s'écrit: MAMAAB MAAG. C'est à dire: MAAB MAAG qui s'écrit: ABAG. 1) Lorsque 0, on a alors: AG AB. On voit bien que cette dernière égalité (équivalente aux cinq précédentes lorsque 0) définit bien un point G unique aligné avec A et B. 2) Lorsque 0, le point G n'existe pas. On a alors: MAMBMA MAABMAMAABMAABAB. Dans ce cas, pour tout point M de l'espace, le vecteur MAMB est un vecteur constant. Dans le cas où 0, on dit que le point G est le barycentre du système de points pondérés { A, ;B,} et l'égalité MAMBMG étant vérifiée pour tout point M de l'espace, on peut prendre pour M quelques points particuliers intéressants: Pour M G, on obtient l'égalité utilisée comme définition du barycentre dans votre livre: GAGB0. Pour M A, on obtient l'égalité déjà obtenue ci-dessus: ABAG qui s'écrit: AG AB. Pour M B, on obtient alors: BABG qui s'écrit: BG BA Si l'espace est muni d'un repère O ;i ;j ;k avec A x A ; z A et B x B ; z B, alors, en prenant MO, cela donne: OAOB OG et donc: OG OA OB. En notant: G x G ;, on obtient: {xg x A y A z A x B y B z B Réciproquement, s'il existe un point C de l'espace tel quecacbcg, alors, pour tout point M de l'espace, on peut écrire: CM MA CM MB CM MG qui se transforme en: CM MACM MBCM MG. C'est à dire: CM MAMBCM MG et donc: MAMBMG. L'illustration ci dessus est réalisée avec 1,5 et 0,8. B.Sicard - E:\math\Cours\1S\barycentre\barycentre_cours.odt 2

3 Théorème et définition Si A et B sont deux points quelconques de l'espace et si et sont deux nombres réels quelconques tels que, 0, il existe un point G unique aligné avec A et B tel que, pour tout point M de l'espace, on ait l'égalité vectorielle: MAMBMG. Ce point G est appelé le barycentre du système de points pondérés { A, ;B,}. Ce point G peut aussi être défini par l'une des égalités ci-dessous: GAGB0. AG AB CACBCG où C est un point donné de l'espace. BG BA Si l'espace est muni d'un repère O ;i ;j ;k avec A x A ; z A et B x B ; z B, alors: OAOB OG qui s'écrit: OG OA OB et permet d'exprimer les coordonnées de G en fonctions de celles de A et de B et des réels et. En notant: G x G ;, on obtient: {xg x A y A z A x B y B z B Exemples, propriétés et remarques: 1) Milieu du segment [ AB](isobarycentre de A et B) a) Le point I tel que: IAIB0 est le barycentre du système de points pondérés { A,1 ; B,1}. C'est le milieu du segment [ AB]. On dit aussi que c'est l'isobarycentre de A et B car les coefficients affectés à A et à B sont les mêmes (ici: 1). Remarquons que l'égalité vectorielle ci-dessus est équivalente à: kia kib0 pour tout réel k 0. Ici, on a le même coefficient: k. b) Si ABC est un triangle, le point J défini par CACB2CJ est le milieu de [ AB]. 2) Le point C défini par: 3CA2CB0 est le barycentre du système { A,3 ; B,2}. 3) Le point G défini par l'égalité: AG 3 7 AB est le barycentre du système { A,4 ; B,3}. En effet: 3 et 7. B.Sicard - E:\math\Cours\1S\barycentre\barycentre_cours.odt 3

4 4) Le point H défini par: BH 5 2 BA est le barycentre du système { A,5 ; B,3}. En effet: 5 et 2. 5) A est le barycentre du système de points pondérés { A,1 ; B,0}. En effet: 1AA 0AB0. 6) Si C est un point quelconque de l'espace, le point K tel que: 3CA2CBCK est le barycentre du système { A,3 ; B, 2}. On remarquera que cette égalité permet de voir que: A est le barycentre de { K,1 ; B,2}. En effet: CK2CB 3CA. B est le barycentre de { A,3 ; K,1}. En effet: 3CACK2CB. De façon plus générale, il est facile de voir que pour trois points alignés, chacun d'entre eux est le barycentre d'un système formé par les deux autres points affectés de coefficients que l'on peut trouver. 7) La droite AB est l'ensemble de tous les barycentres des points A et B affectés de tous les coefficients réels et tels que 0. En effet, si G est le barycentre du système de points pondérés { A, ; B,}, nous avons déjà vu que G est aligné avec A et B. Réciproquement, si G AB, alors, il existe un réel k tel que AG kab et donc: G est le barycentre du système de points pondérés { A,1 k ; B, k }. 8) De nombreux exemples et exercices animés (geoplan et geogebra) sont accessibles sur le site math.sicard.free.fr rubrique «barycentres» de la partie réservée aux premières S. 9) Rappelons enfin la propriété vue dans un cas particulier: Si le point G est barycentre du système de points pondérés { A, ;B,}, alors: Pour tout réel k 0, G est le barycentre du système de points pondérés { A, k ; B, k } Barycentre de trois points pondérés: Étude du cas général On procède de façon analogue à celle vue pour deux points. A, B et C sont trois points quelconques de l'espace et, et sont trois nombres réels quelconques vérifiant 0. Montrons qu'il existe un point G unique tel que, pour tout point M de l'espace, on ait l'égalité vectorielle: MAMBMCMG. Cette égalité est équivalente à: MA MAAB MAAC MAAG Après calculs, on obtient: ABACAG. Avec 0, on a alors: AG AB AC. On voit que cette dernière égalité équivalente aux précédentes lorsque 0 définit bien un point G unique coplanaire avec A, B et C. Si A, B et C sont alignés, alors G est aligné avec ces 3 points. B.Sicard - E:\math\Cours\1S\barycentre\barycentre_cours.odt 4

5 Comme pour 2 points, lorsque 0, le point G n'existe pas et le vecteur MAMBMC est un vecteur constant indépendant du point M. Lorsque 0, on dit que le point G ainsi défini est le barycentre du système de points pondérés { A, ;B, ; C,}. L'égalité MAMBMCMG étant vérifiée pour tout point M de l'espace, on peut prendre pour M quelques points particuliers intéressants: Pour M G, on obtient l'égalité: GAGBGC0. Pour M A, on obtient: ABACAG qui s'écrit: AG AB AC. Pour M B, on obtient: BABCBG qui s'écrit: BG BA BC. Pour M C, on obtient: CACBCG qui s'écrit: CG CA CB. Si l'espace est muni d'un repère O ;i ;j ;k avec A x A ; z A, B x B ; z B et C x C ; y C ; z C. En prenant M O, l'égalité s'écrit: OAOBOCOG. C'est à dire: OG OA OB OC. En notant: G x G ;, on obtient: {xg x A y A z A x B y B z B x C y C z C Réciproquement, s'il existe un point D de l'espace tel que: DADBDCDG, alors, pour tout point M de l'espace, en utilisant l'égalité de Chasles, comme pour deux points, on obtient: MAMBMCMG. L'illustration ci dessus est réalisée avec 1,6, 0,6 et 1,5. B.Sicard - E:\math\Cours\1S\barycentre\barycentre_cours.odt 5

6 Théorème et définition Si A, B et C sont trois points quelconques de l'espace et, et sont trois nombres réels quelconques tels que 0, il existe un point G unique coplanaire avec A, B et C tel que, pour tout point M de l'espace, on ait l'égalité vectorielle: MAMBMCMG. Ce point G est appelé le barycentre du système de points pondérés { A, ;B, ; C,}. Ce point G peut aussi être défini par l'une des égalités ci-dessous: GAGBGC0 AG AB AC. BG BA BC CG CA CB DADBDCDG où D est un point donné de l'espace. Si l'espace est muni d'un repère O ;i ;j ;k avec A x A ; z A, B x B ; z B et C x C ; y C ; z C, alors: OAOBOCOG qui s'écrit: OG OA OB OC permet d'exprimer les coordonnées de G en fonctions de celles de A, de B et de C et des réels, et. En notant: G x G ;, on obtient: {xg x A y A z A x B y B z B x C y C z C Exemples, propriétés et remarques: 1) Centre de gravité du triangle ABC (isobarycentre de A, B et C) a) Le point G tel que: GAGBGC0 est le barycentre du système de points pondérés { A,1 ; B,1 ; C,1}. C'est le centre de gravité du triangle ABC. On dit aussi que c'est l'isobarycentre de A, B et Ccar les coefficients affectés à A, B et C sont les mêmes (ici: 1). b) Si ABC est un triangle et M un point de l'espace, alors le point G défini par: MAMBMC3MG est le centre de gravité du triangle ABC. Si I est le milieu de [ AB], l'égalité ci-dessus s'écrit: 2MIMC3MG. G est donc le barycentre de { I,2 ;C,1} et donc: IG 1 3 IC. G est bien le centre de gravité de ABC. B.Sicard - E:\math\Cours\1S\barycentre\barycentre_cours.odt 6

7 2) Exemple d'introduction à la propriété d'associativité du barycentre (utilisation de barycentres partiels). A, B, C et D sont quatre points de l'espace et E barycentre de { A,3 ; B,2 ; C, 4}. On a donc: 3DA2DB 4DCDE. Si F est le barycentre de { A,3 ; B,2}, alors: 3DA2DB 5DF. On a donc: 5DF4DCDE. Ceci montre que: E est le barycentre de { F,5 ; C,4}. Si G est le barycentre de { B,2 ; C,4}, alors: 2DB4DC2DG. On a donc: 3DA2DGDE. Ceci montre que: E est le barycentre de { A,3 ; G,2}. Si H est le barycentre de { A,3 ; C,4}, alors: 3DA4DCDH. On a donc: 2DBDH DE. Ceci montre que: E est le barycentre de { B,2 ; H,1}. En indiquant les barycentres partiels, tout ceci peut se résumer, par: E est le barycentre de: { A,3 ; B,2 ; C,4} { A,3 ; ou B,2 ; C, 4} { ou A,3 ; C, 4 ; B,2}. F,5 G,2 H,1 Les trois constructions possibles du point E sont montrées ci-dessous: On comprend aisément que cette méthode peut s'appliquer à un nombre quelconque de points munis de coefficients dont la somme n'est pas nulle. D'où la règle opératoire suivante: Associativité du barycentre avec l'utilisation de barycentres partiels. On ne change pas le barycentre d'un système de points pondérés en remplaçant une partie de ces points par leur barycentre affecté de la somme de leurs coefficients (supposée non nulle). Application: Si A, B, C et D sont quatre points non coplanaires de l'espace, prouver que l'isobarycentre G de ces quatre points (centre de gravité du tétraèdre ADCD) est tel que: G est le point de concours des droites joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée. En notant H le centre de gravité du triangle ABC, vérifier que G est défini par l'égalité vectorielle: HG 1 4 HD. G est le point de concours des droites joignant les milieux des trois paires d'arêtes opposées et il est situé au milieu des trois segments joignant les milieux des trois paires d'arêtes opposées. Par exemple, si L milieu de [ AB] et M milieu de [CD], alors G est le milieu de [ LM ]. B.Sicard - E:\math\Cours\1S\barycentre\barycentre_cours.odt 7