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1 This docuent ust be cited according to its final version which is published in a conference proceeding as: B. Da Silva 1, I. Bobard 1, P. Dufour 1, P. Laurent 1, «Etude expérientale de la robustesse d une coande prédictive d un procédé de cuisson sous infrarouge de peintures en poudre», Société Française de Therique (SFT), paper 53 Vannes, France, ay All open archive docuents of Pascal Dufour are available at: The professional web page (Fr/En) of Pascal Dufour is: 1 Université de Lyon, Lyon, F-69003, France; Université Lyon 1; CNRS UMR 5007 LAGEP (Laboratoire d Autoatique et de GEnie des Procédés), 43 bd du 11 novebre, Villeurbanne, France Tel +33 (0) Fax +33 (0)

2 Étude expérientale de la robustesse d une coande prédictive d un procédé de cuisson sous infrarouge de peintures en poudre Bruno da Silva, Isabelle Bobard, Pascal Dufour*, Pierre Laurent Université de Lyon, Lyon, F-69003, France; Université Lyon 1; CNRS UMR 5007 LAGEP (Laboratoire d Autoatique et de GEnie des Procédés), 43 bd du 11 novebre, Villeurbanne, France ; *(auteur correspondant : dufour@lagep.univ-lyon1.fr) Résué - L objectif de ce travail est de ontrer la robustesse d une loi de coande prédictive en teps réel d un procédé de cuisson de peintures en poudre sur un support plan et étallique sous infrarouge. En dépit d un odèle de connaissance non parfait dû à des propriétés radiatives (statique et dynaique) de l éetteur coplexes à odéliser et à esurer en ligne, cette coande en boucle ferée peret de contrôler expérientaleent l état du feuil de peinture qui est étroiteent lié à la aîtrise de l évolution des tepératures pendant la cuisson, en particulier au sein de la couche de peinture. Noenclature j J N p N t u index discret du teps futur, critère de perforance, index discret du teps présent, horizon de prédiction, nobre d échantillons, variable de teps continue, variable de coande, y variable de consigne ou de sortie, Indices const contraint, signal pour le odèle, p signal pour le procédé, ref signal pour la référence. 1. Introduction L objectif de ce travail est de ontrer que la coande prédictive à odèle interne peret de coander en ligne un procédé de cuisson de peintures en poudre sous infrarouge, et ce algré des incertitudes sur un des paraètres principaux du procédé, l absorption du rayonneent infrarouge. Cette étude a été conduite pour deux couleurs de peinture (blanc et noir) et pour différents horizons de prédiction (le paraètre de réglage principal dans la coande prédictive). Le odèle utilisé dans la structure de coande est un odèle de connaissances, aux équations à dérivées partielles et à coande frontière, régi par les lois des transferts de chaleur et développé pour décrire l évolution en tepérature et en degré de réticulation en tout point de la couche de peinture [1]. Dans ce systèe, les paraètres iportants sur le coporteent du fil de peintures sont en particulier les aspects radiatifs du systèe, à savoir le coporteent vis-à-vis du flux infrarouge de la peinture (la variable de coande anipulée en ligne) et la variation du spectre d éission des éetteurs en fonction de leur tension d alientation. La coande en ligne est nécessaire, car le coporteent du coefficient d absorption de la peinture vis-à-vis des éetteurs infrarouges (en fonction de leur tension d alientation) est forteent variable, difficileent odélisable, et conduit à une iportante variation de tepérature : une incertitude de +/- 20% sur le

3 coefficient d absorption iplique une erreur de 20 C sur la tepérature [1]. Cette étude est la suite des résultats présentés lors du congrès SFT 2008 [2]. 2. Coande prédictive à odèle interne La coande prédictive à odèle interne est une coande très présente dans l industrie et dans de nobreux doaines d applications [3]. La coande prédictive, avec une connaissance du odèle (qui peut être incoplète), envisage le coporteent du procédé dans le futur en fonction des objectifs à atteindre. La stratégie de ise en œuvre de la coande prédictive s articule autour de quatre points clés : 1. un critère d optiisation traduisant l objectif de fonctionneent souhaité du procédé et éventuelleent les différentes phases pour y parvenir, 2. des caractéristiques de fonctionneent sur les actionneurs et les sorties qui engendrent des contraintes, 3. un odèle athéatique de prédiction du coporteent du procédé à coander, 4. une éthode de résolution du problèe d optiisation qui à partir de l écart entre le coporteent constaté et celui voulu, va trouver la coande future à appliquer pour atteindre l objectif établi. De précédentes études [2,4] ont ontrés que la coande prédictive à odèle interne et la structure de coande retenue étaient bien adaptées à la cuisson sous infrarouge de peintures en poudre. Le détail de la déarche retenue pour cette étude et les coparaisons avec une coande proportionnelle intégrale dérivée (PID) sont détaillées dans [4] Structure de coande utilisée Dans notre étude, l algorithe [5] utilise un odèle d équations aux dérivées partielles linéaire teps variant. L idée consiste à supposer que la variation vers un coporteent voulu peut être décrite par une linéarisation du odèle initial autour d un fonctionneent noinal. La coande est un problèe d optiisation sur un horizon glissant N p ou le critère de perforance (J tot ) intègre l écart à la trajectoire de référence (J), et peut aussi prendre en copte d autres contraintes, dites externes (J ext ), telles que les caractéristiques physiques et liitations du procédé : J in J ( u) = J ( u) J ( u) (1) tot tot + j= + N p j= Logiciel de coande : MPC@CB 1 ext ( u) = f ( y ( j), y ( ), y ( ), u) (2) ref Le logiciel de coande utilisé MPC@CB est développé sous Matlab. Il peut être facileent utilisé pour le contrôle de procédé dont la dynaique est régie par des équations aux dérivées partielles, des équations aux dérivées ordinaires, non linéaires ou linéaires. Ce logiciel peret la résolution de nobreux problèes de coande basée sur un odèle : p 1 Université Claude Bernard Lyon 1 EZUS. Pour utiliser MPC@CB, erci de contacter son auteur : dufour@lagep.univ-lyon1.fr

4 coande prédictive pour un problèe de poursuite de trajectoire, avec ou sans contraintes de sortie, coande prédictive pour un problèe de iniisation du teps avec ou sans contraintes de sortie, le procédé siulé et le odèle peuvent être décrits par le êe ou un jeu différent d équations et/ou de paraètres, coande prédictive en siulation ou en teps réel d un procédé pilote. 3. Résultats expérientaux 3.1. Montage expériental Dans le cas de nos peintures, l actionneur est représenté par la puissance de l éetteur infrarouge, alors que la sortie est la esure de la tepérature du support étallique. Le dispositif expériental a été présenté en détail lors de précédents travaux [2]. Pratiqueent, la tepérature de la couche de peinture peut ensuite être reconstruite au oyen d un odèle de cuisson tandis que l évolution de l avanceent de la réaction de polyérisation est calculée avec un odèle cinétique. A partir de esures expérientales du coefficient d absorption (en fonction de la tepérature des peintures), nous avons ici étudié le coporteent de la coande et notaent sa robustesse vis-à-vis de ce paraètre (celui-ci dépendant de la coande, et cette variation n étant pas pris en copte ni dans le odèle ni dans la loi de coande) Conditions expérientales Cette étude a été conduite pour deux couleurs de peinture : blanc et noir, et pour différents horizons de prédiction. Le odèle de coporteent therique de l enseble peinture et support utilise coe paraètre principal le coefficient d absorption infrarouge ; pratiqueent ce coefficient dépend de la tepérature de la surface ais aussi de la puissance de l éetteur (au travers de la longueur d onde d éission) et varie au cours de la cuisson [6]. Nous avons cependant retenu les valeurs constantes du tableau 1 esurées pour la peinture blanche et la peinture noire (pour un éetteur à pleine puissance fonctionnant coe un corps noir, nous ne disposons pas d étude du coporteent radiatif de l éetteur en dynaique [4]), le odèle oyen utilisant la oyenne des deux valeurs précédentes. Ceci représente l incertitude paraétrique principale dont l ipact doit être atténué par la loi de coande en boucle ferée. Modèle de peinture noire Modèle de peinture blanche Modèle oyen 0.95 (-) 0.55 (-) 0.75 (-) Tableau 1 : Réglage du coefficient d absorption La variable esurée est la tepérature esurée sous l échantillon, où une incertitude de 1K est considérée. La variable anipulée est le flux infrarouge calculé par l algorithe de coande. La période d échantillonnage est de 1s.

5 La sortie du procédé doit poursuivre une référence teps variant connue et fixée à l avance : la trajectoire de tepérature y ref (t). Afin d évaluer la capacité du contrôleur à respecter des contraintes externes elles aussi spécifiées, la sortie du procédé y p (t) ne doit pas dépasser une valeur axiale (arbitraire) : y p ( t) 450K (3) Le flux infrarouge déteriné par le contrôleur doit respecter les contraintes physiques sur l aplitude et la vitesse de variation du flux infrarouge : 0 W. u( t) 23500W. 1 du( t) W. s 10000W. dt. s 1 (4) 3.3. Résultats expérientaux Les résultats obtenus avec les deux types de peintures noire et blanche sont présentés. Pour les deux peintures, l influence du choix de l horizon de prédiction ainsi que le réglage du coefficient d absorption sont présentés. Pour coparer ces résultats, nous avons utilisé la racine de l erreur quadratique oyenne (REQM) calculée sur toute la durée de l expérience : La REQM de la poursuite de trajectoire (REQM P ) qui représente la REQM entre la référence contrainte et la sortie du procédé, La REQM du odèle (REQM M ) qui représente la REQM entre la sortie du procédé et la sortie du odèle Peinture noire REQM REQM P M = = = N = 1 = N = 1 ( y ( y ref _ const p ( ) y N ( ) y Une série d expériences a été réalisée sur la peinture noire (Figure 1). La figure 2 représente la poursuite de trajectoire contrainte avec 14 pour horizon de prédiction et avec le coefficient d absorption de la peinture blanche pour paraètre du odèle (REQM P = 5K). La poursuite de trajectoire s effectue correcteent en dépassant légèreent la contrainte iposée à la trajectoire. La figure 1 ontre que la valeur du coefficient d absorption utilisée dans le odèle n influence que très faibleent la qualité de la poursuite (REQM P ), êe si l erreur de odélisation (REQM M ), est plus iportante avec le odèle de peinture noire pour paraètre du odèle. Par ailleurs, on note une certaine convexité dans le réglage de l horizon de prédiction (Np=12 ou 14) quelque soit le coefficient d absorption. En raison des incertitudes, la différence entre la sortie du procédé et la sortie du odèle utilisée par la coande augente la REQM M de 15-20K pour le odèle oyen ou de peinture blanche, à 40-45K pour le odèle de peinture noire. En revanche, la REQM P passe de 3-4K pour le odèle de peinture blanche, à 4-5K pour le odèle de peinture noire. L influence de la variabilité du N p ( )) 2 ( )) 2 (5)

6 coefficient d absorption est donc liitée par la coande en boucle ferée, et ce devant l incertitude de esure proche de 1K. Figure 1: Peinture noire, influence du odèle sur les REQM : o (noir), + (blanc), losange (oyen) Figure 2 : Peinture noire, exeple de résultats de poursuite, et coande appliquée Peinture blanche Une série d expériences a égaleent été réalisée pour la peinture blanche (Figure 3). Concernant le suivi de trajectoire, les eilleurs résultats (Figure 4) ont été obtenus pour le coefficient d absorption correspondant à la peinture blanche pour un horizon de prédiction de 12, correspondant à la REQM P = 3K. Pour les trois odèles, on retrouve là aussi une convexité dans le réglage de l horizon de prédiction, Np=10 ou 12 assure des résultats satisfaisants. Si l horizon de prédiction est trop petit, la connaissance du coporteent dynaique n est pas suffisante pour assurer un bon contrôle du procédé. En revanche, si l horizon est trop grand, les erreurs de odélisation influencent de anière trop iportante la coande. Figure 3 : Peinture blanche, influence du odèle sur les REQM : o (noir), + (blanc), losange (oyen) Figure 4 : Peinture blanche, eilleurs résultats de poursuite, et coande appliquée e Les incertitudes de odélisation engendrent une augentation de la REQM M qui passe de 10-20K pour le odèle de peinture blanche à 70-80K pour le odèle de peinture noire

7 (Figure 3). En outre, la coande prédictive et la boucle ferée perettent à nouveau de liiter l influence de l erreur de odélisation sur l objectif de coande, le REQM P étant de 3-5K pour le odèle de peinture blanche et 5-10K pour le odèle de peinture noire. 4. Conclusion En conclusion, ce travail ontre que la couleur blanche est la plus sensible à la variation en ligne de l absorptivité. Pour les deux peintures considérées, l utilisation d une valeur constante pour le coefficient d absorption de la peinture dans la coande prédictive à odèle interne, conduit à une certaine robustesse de la coande en boucle ferée du procédé de cuisson de peinture, en dépit du fait que le coefficient réel d absorption de peinture est teps variant. Par conséquent, le contrôle en boucle ferée peret, grâce à la coande prédictive à odèle interne qui possède de façon intrinsèque des propriétés de robustesses intéressantes, d atteindre les objectifs de coande fixés. Le cycle de cuisson d une peinture, êe avec une éconnaissance de certains des paraètres theriques, peut donc être coandé en ligne par un contrôleur prédictif basé sur le odèle. En outre, il existe à chaque fois un optiu sur le réglage de l horizon de prédiction de la coande. Une perspective intéressante concerne l évaluation de l utilisation d un observateur (capteur logiciel en ligne basé sur un odèle) pour estier le coefficient d absorption. En injectant cette estiation en tant que perturbation d entrée esurée, ceci devrait perettre d aéliorer les résultats de poursuite. Références [1] Bobard, I., Laurent, P., Lieto, J., (2008). A odel for the infrared cure of powder coatings based on surface absorptivities in situ easureents, Journal of Coatings Technology and Research, 5(3), [2] Bobard, I., da Silva, B., Dufour, P., Laurent, P., Lieto, J., Contrôle par coande prédictive d un procédé de cuisson sous infrarouge de peintures de poudre, Congrès Français de Therique, SFT 2008, Toulouse, (Juin 2008). [3] Qin, S.J., Badgwell, T.A. (2003). A survey of industrial odel predictive control technology, Control Engineering Practice, 11(7), [4] Bobard, I., Contribution à l étude, au contrôle et à la coande d un procédé de cuisson radiatif de peintures en poudre, thèse de l Université Claude Bernard Lyon 1 (2007). [5] Dufour, P., Touré, Y., Blanc, D., Laurent, P., (2003). A nonlinear distributed paraeter odel predictive control strategy : On-line calculation tie reduction and application to an experiental drying process, Coputers & Cheical Engineering, 27(11), [6] Bobard, I., Laurent, P, Jeandel, G., Lieto, J., Etude de l influence des propriétés radiatives des peintures et des lapes infrarouge sur la cuisson des peintures en poudre, Congrès Français de Therique, SFT 2007, Ile des Ebiez, (29 ai 1er juin 2007). Reercieents Ce travail a été réalisé grâce au support financier et technique de Philips Eclairage, EDF et de l ADEME. La société Dupont Powder Coatings France SAS a gracieuseent fourni les peintures utilisées durant l étude. Les auteurs souhaitent exprier leurs reercieents à ces sociétés pour leur aide et leurs conseils.