Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann

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1 Corrigé du problème: autour de la foctio zeta alterée de Riema I Gééralités Pour x >, la suite décroît vers, doc la série coverge par le critère spécial des séries alterées Pour x, e ted pas vers, ce qui motre la divergece grossière de la série Fialemet, F est défiie sur ], + [ Pour t [, [, g t t+ qui ted vers lorsque ted vers + Pour tout, g +t +t est cotiue sur [, [ et est domiée par la foctio costate égale à doc itégrable sur [, [ Le théorème de covergece domiée permet alors d écrire gt dt lim + dt lim + t + k g t dt k k + l F 3 Pour x,, terme gééral d ue série de Riema covergete La série x coverge doc ormalemet sur [, + [, et doc uiformémet sur [, + [ Le théorème de la double limite s applique, comme Fx + + et que pour tout, lim x +, x o obtiet que F a pour limite e + 4 a O fixe x > et o défiit sur [, + [, φ : u l u La foctio φ est dérivable et u x φ u x l u u x+ Cette dérivée est égative ou ulle pour u e /x, ce qui prouve que la suite l est décroissate à partir du rag E e /x + b Soit a > Pour tout, la fotio f : x est de classe C sur [a, + [ et a pour dérivée x l Comme la suite l décroît à partir d u certai rag et est de limite ulle croissace comparée, la série l x vérifie le critère spécial pour les séries alterées, e particulier so reste de rag vérifie pour x [a, + [ et pour E e /a +, l l + l + + x + a k+

2 5 Lie avec ζ Soit x > Ce derier terme ted vers lorsque ted vers +, ce qui prouve la covergece uiforme de la série des dérivées l sur [a, + [ Puisque de plus f coverge simplemet sur [a, + [ ;o a que F est de classe C sur [a, + [, et ce pour tout a >, ce qui permet de coclure Fx ζx O e déduit bie que Fx ζx x k k x x ζx Quad x ted vers +, x e x l ted vers, doc c est à dire Fx x ζx a la même limite que F, II Produit de Cauchy de la série alterée par elle-même 6 Étude de la covergece a Pour x >, est absolumet covergete, comme le produit de deux séries absolumet covergetes est absolumet coverget, la série c x est absolumet covergete doc covergete O a de plus b O a c k k k x c x Fx k k x k k x Comme la foctio triôme k k k a pour maximum 4 atteit e k, o a c x k k /4 x 4x x 4 x Pour au voisiage de +, o a E particulier pour < x, e x x x ted pas vers, ce qui empêche c x de tedre vers et doc prouve la divergece grossière de c x 7 Désormais o suppose que x a O a X X X + X c x Aisi k k + k H

3 b Posos t H pour O a t + t H + H + ce qui prouve la décroissace de t c O sait que H l, o e déduit que H comparée Comme o viet de voir que H est e plus décroissate, la série c x est cover- gete par le critère spécial des séries alterées H + l, qui ted vers par croissace III Calcul de la somme d ue série à l aide d ue étude de zeta au voisiage de 8 Développemet asymptotique e a Puisque F est dérivable e, o a pour x au voisiage de : Fx F + x F + ox l + x F + ox Comme x est au voisiage de, o a : x x l e + x l + x l! + ox b O a aisi ζx ζx x l x l! l + x F + ox x l x l + ox! l + x F + ox x l x l + ox x l [l + x F + ox ] l + x F + x x l F x + l + l + o + ox + x l l + ox + ox 9 Développemet asymptotique e bis a Par la décroissace de t t x, o a + x + ce qui doe facilemet l ecadremet souhaité 3 dt t x,

4 b O a e sommat de à N, l ecadremet de la questio précédete v x, M + x ce qui prouve que la série v x est covergete puisque c est ue série à termes positifs dot la suite des sommes partielles est majorée c Pour x ], ] et N, o a v x N+ x dt t x [ ] N + x x puis e faisat tedre N vers l ifii, comme les deux termes de la somme de droite coverget, o a v x ζx + x d Preos x das [, ] E sommat de N + à M l ecadremet du départ, o a M N+ v x ce qui doe e faisat tedre M vers l ifii, N+ v x N + x M + x, N + x N + Ce reste de rag N coverge doc uiformémet vers sur [, ], ce qui prouve que la série v coverge uiformémet sur [, ] e Grâce à la covergece uiforme sur [, ], + v est cotiue e +, aisi v lim v x, x + ce qui doe e utilisat les questios précédetes γ lim x + ζx + x Cela permet de coclure que pour x au voisiage de +, o a ζx x + γ + o 4

5 Applicatio O a doc obteu deux développemets asymptotiques avec celui de la questio 8 de ζ e + L uicité de la limite doe que γ F, o trouve alors que l + l l F l γ l III Calcul des Fk à l aide des ombres de Beroulli Soit B ue suite de polyômes de Beroulli Comme B B, B X + c De plus B + c, ce qui doe B X De même, o obtiet B X X + Il viet 6 b et b 6 Pour, B B B B B }{{} 3 Symétrie Cosidéros le polyôme C B X O a C et pour, C B X B X C Efi, C B x dx B u du, par le chagemet de variable u x La suite de polyômes C vérifie doc les propriétés des polyômes de Beroulli, par uicité o a B C, ce qui doe B X B X 4 Développemet e série de Fourier Soit k u etier aturel L applicatio π-périodique g k est de classe C par morceaux sur R et est cotiue sur R puisque g k π B k B k g k c est bie vrai pour k puisque puisque B Le théorème de covergece ormale s applique et g k est limite simple sur R il y a covergece ormale, mais ce est pas utile ici de sa série de Fourier Il e reste plus qu à prouver que g k est paire pour coclure Si x [ π, ], g k x B k x B π k + x B π+x π k π gk x + π g k x, l avat derière égalité découle du fait que x + π [π, π] 5 Expresio des coefficiets a Soit et k O va effectuer deux itégratios par parties IPP successives Pour la première, o posera u B k t et π v cost, pour la deuxième o posera u B k t π 5

6 et v sit π a k B k t cost dt π π [ }{{} π B k t ] π t si π IPP }{{} }{{} IPP b Soit O a Comme a π k π π k π k π [ B t k π π B k t π sit dt B k t π sit dt car B k t kb π k t π ] π π π cost + π B k t π cost dt π B k k B k + π B k t π k π B k B k a π kk π a k B B }{{} π a π cos t dt pour, o a a π cost dt c Soit et k O a k 3 d où B k B k Aisi a k kk 4 π a k Ue récurrece sur k immédiate doe alors a k 4 π k k! k π k k k! a O remarque pour la suite que cette formule reste vraie pour k 6 Coclusio Soit k Comme k, o a a k π B π k t dt π L égalité etre g k et sa série de Fourier évaluée e, doe g k b k a k k k! k π k k, ce qui doe ζk k k π k b k k! 7 Calcul effectif des b 6

7 a La formule de Taylor appliquée au polyôme B de degré doe B X k B k X k k! Or B k X k + B k X, ce qui doe et permet de coclure B k k! b k, k b Avec x, o obtiet B k k b k, comme pour, B B, o obtiet b b + b k et doc b b k Fialemet la suite b est défiie k k k k par b,, b + b k + k k Voici ue petite procédure MAPLE doat la valeur exacte des b k : > b[] : : for to do b[] :-/+*sumbiomial+,k*b[k],k- ; od ; O trouve alors par exemple b 5 66, et ζ π et F 73π