Approximation de lubrification : écoulements quasiparallèles quasi-stationnaires

Transcription

1 Approimation de lubrification : écoulements quasiparallèles quasi-stationnaires (v.grad)v << ν Δv si Uho 1 Re = << ν θ h v/ t<< ν Δv si T >> 0 ν (temps T d évolution >> temps de diffusion visqueuse) Ecoulement localement identique à un écoulement parallèle Mais vitesse et gradient de pression varient lentement avec Equation de Reynolds de la lubrification y +d Q(,t) h(,t) (U,V) O h ( t, ) pt (, ) U( tht, ) (, ) h Q Qt (, ) = + = 1μ t p h 6μ h U U h h = + + t h h = V U h p 6μ h U U h = + V t 1

2 Généralisation à dimensions de l équation de Reynolds Couche d épaisseur h(,z) << L, L z h/ << 1, h/ z << 1 r r h (, t) Uh h Q = grad p + = divq 1μ t div h gradp = h Δp + h grad h. grad p h = 6μ hdivu + U.grad h+ t h r = V U. grad h t [ U - U.grad ] h gradp hdiv h+ V div = 6μ Descente d un cylindre vers un plan 1 h = cst./,z p 1μ dh Δp = r = r r r h dt Equilibre force de pression-force appliquée (poids etc...) 1/ 4 πμr 1 1/4 η V 0 1 h(t) = h(t) = 1/4 1/ 8 π F ( ) 4 Fet ( t+ to) et t+ to Avec :8π t 0 F et = μ V 0 /h 4 0 avec: 4t 0 F et = π μ R 4 /h 0

3 Cellule de Hele Shaw Ladhy Ecole Polytechnique Ecoulements entre plaques parallèles très proches. Lignes de courant reproduisant un écoulement potentiel D autour des obstacles placés entre les plaques. Forces de lubrification entre cylindres de diamètre proche 1. Apparition de pressions importantes pendant la rotation. Variations de pression changeant de sens avec le sens de rotation. Dépressions suffisantes pour créer des bulles.

4 Ecoulement entre deu cylindres d aes parallèles y Pression (a.u.) = θr πr -R -R R R πr δr(1+λ) ΩR δr(1-λ) e() δr(1+λ) πr 0 πr Modélisation comme l espace entre un plan mobile et une surface courbe. Variation de pression antisymétrique par rapport au point d ouverture minimum Force résultante verticale sur l ae si le point d épaisseur minimum n est pas à la verticale de O. Chute d un film liquide sur une paroi verticale Vitesse nulle sur la paroi, contrainte nulle sur la surface, p=p at àla surface Injection liquide à débit constant q p p = 0 = 0 y 1 p v g = ν ρ y q g y p at ρ g v = y ( h y ) μ h q = v dy = ρ gh μ 0 ρ μ h h q 1/ 4

5 Force sur un film fluide : tension superficielle dw = F dl = γ L dl = γ ds Force par unité de longueur γ ( interfaces pour un film liquide) Pour une ligne sur une interface, si γ = cst. Équilibre entre les forces de part et d autre d une ligne tracée sur l interface. Avec une variation de tension superficielle sur l interface : déséquilibre des forces et écoulements par effets Marangoni Déséquilibre de forces créé par un tensioactif Le tensioactif abaisse la tension superficielle à l intérieur de la boucle Le liquide etérieur tire plus fort sur la boucle que l intérieur et celleci prend une aire maimale (avec une forme circulaire). 5

6 Effet Marangoni dû à de l alcool Les vapeurs d alcool abaissent la tension superficielle Liquide tiré vers la zone non contaminée Phénomène voisin des larmes de vin Effet Marangoni dû à des charges électriques Effet de pile entre le mercure et un clou en présence d un électrolyte Appport de charges modifiant la tension superficielle du mercure avec l électrolyte et produisant des mouvements du mercure 6

7 Effet Marangoni thermique Elevation de température par le fer à souder abaissant la tension superficielle liquide chassé vers les régions plus froides. Effet inverse avec la glace Instabilité de Bénard-Marangoni Couche liquide à surface libre chauffée par en dessous Mouvement du gradients de γ à cause des variations de T en surface Instabilité de Rayleigh-Bénard différente entre deu plaques 7

8 Effet Marangoni thermique : film infini T γ (T) = γ (To) (1 - b (T- To) ) 1 γ dγ T T = = - b γ (T o) dt z L F 1 d F Contrainte sur un élément de surface en présence d un gradient de T ( γ ) df F F1 ( γ γ1) L γ T σy = = = = = -b γ(t o) Ld Ld Ld v p = p atmosphérique + ρg (a - y) μ = 0 y ( γ ) ( n) T v σy + σy = -b γ(t o) - μ = 0 y int erface b γ (T o) T v (y)= - y μ Effet Marangoni thermique : film de longueur finie v μ γ = - b γ (T o ) T T =-b γ(t ) o y int erface y a O p = p atmosphérique h() dγ > 0 d Accumulation de fluide à l etrêmité créant un gradient de pression a En régime stationnaire : v ( y ) dy = 0 0 v p dh ρg dh y hy μ = = ρg v = y d μ d v (y) dt < 0 d μρ g dh h dt = bγ (Τ o ) μ d d bγ (Τ o) dt ρ g d h () - h ( 0) = - ( o) 8