Laser en régime stationnaire Laser continu

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1 Laser en régime stationnaire Laser continu. Mode de ité froide Cavité fermée sans erte Cavité ouverte sans erte Modèle du mode homogène Cavité avec erte Nombre de hotons B. Mode laser: équation d évolution Gain; uration Equation d évolution mlitude ntensité C. Laser monomode: régime stationnaire Solutions stationnaires Stabilité des solutions ntensité et gain Seuil laser et transition de hase Brisure sontanée de symétrie D. Laser multimode: cométition de modes Elargissement homogène, inhomogène: uration Scénarios ossibles: multimode; cométition simle ou bistable

2 Oscillateur laser M R L mli LSER L R M S T Condition sur le gain ω ω ω Rebouclage en hase c ω = π entier L M g 0 L T + modes longit. ité oscillation ossible Sujet de l amhi 4 : Traitement quantitatif du comortement du laser: cham à l état stationnaire ω ω 0M ω ω ω riori très difficile : Cham : équations aux dérivées artielles Milieu laser non linéaire

3 Laser en régime stationnaire Laser continu. Mode de ité froide Cavité fermée sans erte Cavité ouverte sans erte Modèle du mode homogène Cavité avec erte Nombre de hotons B. Mode laser: équation d évolution Gain; uration Equation d évolution mlitude ntensité C. Laser monomode: régime stationnaire Solutions stationnaires Stabilité des solutions ntensité et gain Seuil laser et transition de hase Brisure sontanée de symétrie D. Laser multimode: cométition de modes Elargissement homogène, inhomogène: uration Scénarios ossibles: multimode; cométition simle ou bistable 3

4 Modes d une ité fermée sans ertes Rerésentation comlexe du cham (signal analytique) * Er (,) t = E(,) rt + E (,) rt Parois arfaitement réfléchissantes (conducteur arfait) : déveloement iω t E(,) r t = u()e r = {3 indices entiers (3D) + indice bivalué (olariion)} modes { } 3 * u ( r) = base "orthonormée" dru ( r) u ( r) = V δ q q Descrition du cham très simlifiée: suite discrète de nombres comlexes au lieu d un cham vectoriel Evolution temorelle très simle as d aroximation nalogue à solution de l équation de Schrödinger: déveloement sur les états rores de l hamiltonien 4

5 Modes d une ité stable ouverte sans ertes Cavité stable Configuration de miroirs arfaits donnant des solutions stationnaires de l équation de roagation (modes) Condition sur les miroirs (osition, rayon de coubure) Déveloement sur ces modes du cham dans la ité: L R Exemle: ité lan-cone Stable si R > L, et miroirs alignés E ( r, t) = u( r)ex( iω t) Cas limite : R >> L faisceau quasi cylindrique (onde quasi lane) (diamètre des miroirs de lus en lus grand) Modèle du mode homogène 5

6 Modèle du mode homogène Miroirs lans alignés Cavité marginalement stable Mode = onde lane rebouclée E ( r, t) = α e α ex( ik α. r iω t) L α Pas de structure transverse ( seul entier = L / λ ) mlitude constante: calculs simlifiés (termes non linéaires) Modèle du mode homogène cylindrique: calculs simlifiés Faisceau limité transversalement : S V = S L S Energie dans le mode = ε0er (,) = ε0 = N ω U t V V Vecteur de Poynting U Π = ε0cer (,) t = ε0c = c = V U S L tems de rebouclage / c 6

7 Cavité avec ertes: modes généralisés S Π T Π Pertes modérées ( T << ): faibles en tour (durée = L / c ) L R Π du dt du dt = TΠ S = T cu S L = γ U avec γ = T S c L Décomosition en modes généralisés E (,) r t = ( t) u( r) e d dt ertes γ = avec γ c L iω t Cavité ouverte avec absortion ( α ar tour) γ = ( T + α) c L 7

8 Nombre de hotons dans un mode de ité et uissance sortante P int P ext = T P int L R P int U = P int L c U Pext L N = = ω T ω c Exemle: laser He-Ne (λ = µm) P = T = L = ext 0 mw ; 0 ; 0.75 m N 0 = 0 8

9 Laser en régime stationnaire Laser continu 0. Mode de ité froide Cavité fermée sans erte Cavité ouverte sans erte Modèle du mode homogène Cavité avec erte Nombre de hotons B. Mode laser: équation d évolution Gain; uration Equation d évolution mlitude ntensité C. Laser monomode: régime stationnaire Solutions stationnaires Stabilité des solutions ntensité et gain Seuil laser et transition de hase Brisure sontanée de symétrie D. Laser multimode: cométition de modes Elargissement homogène, inhomogène: uration Scénarios ossibles: multimode; cométition simle ou bistable 9

10 0 Cavité avec amli laser: terme de gain Proagation dans l amlificateur S mli Π T Π E = E ex gl ex { ik L } sortie entrée L R Π Evolution de l amlitude d un mode Terme de hase ris en comte dans L = Lgéo + ( n ) L Gain ar assage δ gl d gl c = dt L gain Validité du traitement: les atomes sont dans un régime stationnaire (forcé) vis à vis du cham γ Γatomes

11 Gain uré (rael) De façon générale (régime stationnaire) g L T + modes longit. ité oscillation ossible Γ ω ω ω 0M g( ω) g = + ( ω) ( ω) Variation Lorentzienne ω ω M + Γ / [ ] g n n avec ( ω) = σ( ω) b a nversion de oulation non urée Largeur de la transition laser Pour le mode on écrira g g g = = + + dt = L gain + d g L c

12 Equation d évolution d un mode laser (régime stationnaire our le milieu amlificateur) g L = + = + dt dt dt L L + γ r γ / d d d T + α c c ertes gain / r = g T L + α gain non uré réduit (ramené aux ertes) d dt γ = + + r

13 3 Equation d évolution de l intensité d dt γ r = + + / mlitude et hase: = e iφ aucune contrainte sur la hase d dt γ r + = + / ntensité d dt r = γ + + /

14 Laser en régime stationnaire Laser continu 30. Mode de ité froide Cavité fermée sans erte Cavité ouverte sans erte Modèle du mode homogène Cavité avec erte Nombre de hotons B. Mode laser: équation d évolution Gain; uration Equation d évolution mlitude ntensité C. Laser monomode: régime stationnaire Solutions stationnaires Stabilité des solutions ntensité et gain Seuil laser et transition de hase Brisure sontanée de symétrie D. Laser multimode: cométition de modes Elargissement homogène, inhomogène: uration Scénarios ossibles: multimode; cométition simle ou bistable 4

15 5 ntensité stationnaire d dt r = γ / = = 0 = ( r ) Solution non nulle seulement si r gl = > T + α 0 gain non uré > ertes Si r > : deux solutions stationnaires ossibles! Quelle est celle qui aaraît?

16 Stabilité des solutions stationnaires On linéarise d dt r = γ + + / autour des solutions Stabilité de = ( r ) On ose = + i et on déveloe en i/ Ordre 0 automatiquement isfait Ordre : di r γ i dt r Comme r >, solution stable : r = + δex γ t r Stabilité de stable si r < instable r > u dessus du seuil, le laser émet! Démarrage sur hoton sontané Solution stationnaire stable r < : = 0 r > : = ( r ) 6

17 ntensité et gain stationnaires = ( r ) r g L = = T + α g g seuil «Excitation» du milieu laser r Gain au seuil (non uré) g seuil T +α = = L g r g g seuil Gain stationnaire g g = + / r < : = 0 r > : = (r ) r La uration emêche le gain de déasser la valeur seuil, our assurer la condition gain = ertes 7

18 8 Seuil laser et transition de hase arition d un cham laser si r déasse la valeur seuil r s = r + 0 = + / n a de solution non nulle que si r > arition d un cham laser nalogie avec une transition de hase Ferromagnétisme au oint de Curie : aarition d une magnétiion si T devient inférieure à la temérature de Curie T C ( ) C 0 ct T M+ gtm M = n a de solution non nulle que si T < T C T > T C M = 0 T < T C M M = 0 est instable M C = ( T) ct gt

19 9 Brisure sontanée de symétrie T < T C : aarition d une magnétiion M (aramètre d ordre) M M ( T ) ct C = gt ne détermine as la direction de M!?? Brisure sontanée de symétrie : alignement des domaines r > : aarition d un cham laser = ( r ) = ne détermine as la hase du cham φ acquiert une valeur ar brisure sontanée de symétrie : mise en hase des émetteurs e iφ m{ } φ Re{ }

20 Princie de Curie Violation du rincie de Curie? Les effets ont la symétrie des causes Les solutions d un roblème ont la symétrie des données (équations, conditions aux limites) Magnétiion : a riori roblème invariant ar rotation dans l esace Solution articularise une direction! Cham laser : roblème invariant ar rotation dans le lan de Fresnel Solution articularise une hase Positions ossibles face au conflit. Théorique : Les brisures sontanées de symétrie euvent exister. Pragmatique : il y a toujours un cham résiduel qui brise la symétrie 3. Résolution formelle du conflit : la solution est de nature fondamentalement aléatoire, ce qui ermet de resecter la symétrie 0

21 L amlitude du cham laser : une variable aléatoire? Cherchons les solutions de / = r dans un nouvel esace, celui des variables aléatoires comlexes. = ei φ i i = variable aléatoire avec = ( r ) φ équiarti sur 0, est une solution resecte la symétrie [ π ] m{ } Re{ }

22 mlitude du cham laser dans une exérience articulière : une réaliion de la variable aléatoire = i ei φ = variable aléatoire avec [ π ] = ( r ) i φ équiarti sur 0, Etat de fonctionnement articulier: réaliion articulière (tirage) de la variable aléatoire (échantillon de Gibbs) m{ } Re{ } Méthode uissante: moyennes d ensemble ermettent de décrire des comortements d un laser articulier! (cf. leçons 6 et 7) Descrition dans l esrit de (réaratoire à) la solution du roblème en théorie quantique de la lumière: état du cham sans hase articulière; la mesure fait aaraître une hase.

23 Laser en régime stationnaire Laser continu 55. Mode de ité froide Cavité fermée sans erte Cavité ouverte sans erte Modèle du mode homogène Cavité avec erte Nombre de hotons B. Mode laser: équation d évolution Gain; uration Equation d évolution mlitude ntensité C. Laser monomode: régime stationnaire Solutions stationnaires Stabilité des solutions ntensité et gain Seuil laser et transition de hase Brisure sontanée de symétrie D. Laser multimode: cométition de modes Elargissement homogène, inhomogène: uration Scénarios ossibles: multimode; cométition simle ou bistable 3

24 4 Saturation dans un laser multimode Laser monomode: gain g( ω ) = g + Laser multimode ( ω ) ( ω ) Comment écrire le terme de uration relatif au mode si lusieurs modes actifs? g L T + oscillation ossible Γ ω ω 0M ω ω ω q??? q Déend de la nature du hénomène resonsable de la largeur Γ de la raie laser: Elargissement homogène (le même our tous les atomes) Elargissement inhomogène

25 Elargissement inhomogène σ (ω) La largeur totale de la raie laser résulte de l addition de raies individuelles de centres amlificateurs disersés Γ ω M ω Exemle: élargissement Doler dans un laser à gaz (He-Ne) Effet Doler our un atome à vitesse V en interaction avec onde k L lumineuse de vecteur d onde k L V Vk L δω = kv. = ωl c Elargissement Doler: Γ ωd ω = ω V c T D L largeur individuelle GHz ( V T 0 3 m / s ) 5

26 Saturation our un élargissement inhomogène Fréquences lumineuses distinctes ω et ω interagissent avec des atomes différents σ (ω) V k k ω M ω Pas de uration croisée : chaque mode se comorte comme un laser indéendant des autres. Fonctionnement multimode L mli LSER S g 0L T + g L oscillation ossible + s L Γ ω ω ω 0M ω" ω 6

27 7 Elargissement homogène Tous les atomes ont la même réonse à la lumière. La raie laser globale est identique aux raies individuelles. g L g L + s T + oscillation ossible Γ Chaque atome est uré ar l intensité totale q q ω ω ω Μ ω" ω Comte tenu de la uration, un seul mode eut laser. Cométition entre modes: seul mode survit; fonctionnement monomode Exemles : Nd:YG; CO haute ression; semi conducteurs

28 Situation intermédiaire Le lus souvent, on est dans une situation intermédiaire: il y a un certain degré de uration croisée g( ω ) g ( ω ) = β q + q Equation d évolution our chaque mode En régime de uration modérée q Cas inhomogène ur: β q = δ q Cas homogène ur: β q = d dt = γ + + q r β q q d β β = γ ( r ) γ r γ r dt q q q gain ertes auto uration uration croisée 8

29 9 Deux modes artiellement coulés d dt d dt = α β θ = α β θ gain ertes uration croisée auto uration Solutions stationnaires g L T + T + modes longit. ité oscillation ossible ω ω ω ω 0 ω d 0 dt = = 0 α β θ = 0 d = 0 = 0 dt α β θ = 0 () On cherche les solutions communes aux systèmes () et () () On utilisera une méthode grahique

30 Fonctionnement bimode α θ α β O B C α β θ θ < β β autouration domine α θ () () Cas inhomogène = 0 α β θ = = 0 α β θ = Solutions communes à () et () : intersections bleu-vert 0 0 Etude de stabilité: les symboles indiquent le signe de d et d dt dt O,, B sont instables C est stable: 0 ; 0 fonctionnement bimode g L T + T + modes longit. ité oscillation ossible ω ω ω ω 0 ω 30

31 Cométition entre modes simle α θ α β O B α θ Le mode domine: gain fort (α «grand») et uration croisée sur (θ «grand») α β () () = 0 α β θ = = 0 α β θ = Cas homogène avec mode dominant Solutions communes à () et () : intersection bleu-vert Etude de stabilité (voir oly) O, B sont instables est stable: seul le mode ω est allumé Le mode favorisé éteint le mode moins favorisé: cométition entre modes simle g 0 L L T + T + ω ω 0 ω 0 0 modes longit. ité oscillation ossible ω ω 3

32 Cométition entre mode: bistabilité α β α θ O B C α θ Les deux modes sont très au dessus du seuil (α) Saturations croisées fortes ( θ > β ) α β () () = 0 α β θ = = 0 α β θ = Cas homogène sans mode dominant 0 0 Etude de stabilité (voir oly) : oints stables! Deux solutions distinctes ossibles. Que fait le système? La solution choisie déend de la situation antérieure : mémoire. lications g L T + T + modes longit. ité oscillation ossible ω ω ω ω 0 ω 3

33 Cométition entre modes simle ou bistable g L g L g L n Cométition simle n n n+ T + T + T + ω ω Le mode le lus favorisé l emorte toujours g L g L g L n Cométition bistable n n n+ T + T + T + ω ω Le mode déjà établi continue à l emorter même s il devient moins favorisé (tant que son gain est suffisant) Robustesse: alications n n+ ω n n+ n+ Scenario avec glissement du eigne de modes vers la gauche (dilatation de ité) ω 33

34 34 Conclusion Vu dans cette leçon Traitement en modes: simlification Equation d évolution d un mode: rôle de la uration Régime stationnaire (monomode): seuil, uration du gain, brisure sontanée de symétrie Cométition entre modes: simle ou bistable Comortements non triviaux dus aux termes non linéaires Saturation Termes croisés Généralité des hénomènes étudiés Phénomènes analogues en biologie, chimie, économie La hysique des lasers: un terrain de jeu rivilégié our l étude de la dynamique non linéaire (transition vers le chaos).