ÉLECTROMAGNÉTISME. Partie I

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1 Spé ψ Devoi n 2 ÉLECTROMAGNÉTISME Patie I DISTRIBUTIONS ORTHORADIALES DE COURANT ÉLECTRIQUE On cheche à détemine le champ magnétique céé pa diveses distibutions othoadiales de couant électique continu ciculant dans un cylinde de ayon a et de hauteu H On suppose que a est tès petit devant H (a << H) ; de ce fait : On négligea les effets de bods ( ce qui evient à considée le cylinde comme illimité dans la diection ) Le champ magnétique BEXT On utilisea les coodonnées cylindiques ( ) à l extéieu du cylinde est nul,, e, eθ, e θ et la base ( ) Dans toute la suite, on considéea que les popiétés électomagnétiques de l ai sont identiques à celles du vide Les données sont : a, H et la peméabilité du vide μ 0 I-1 ) Distibution volumique othoadiale de couants Le couant électique cicule dans le cylinde ; la densité de couant volumique en un point M(, θ, ) intéieu au cylinde est : J1 =α eθ ; elle n est donc pas unifome Cette distibution cée, au point M, le champ magnétique B1 a) Pa des considéations qualitatives pécises, détemine la diection de B1 puis la (ou les) coodonnée(s) dont dépend la valeu algébique B 1 de ce champ b) Détemine B 1 en fonction de α, et des données, pou tout inféieu ou égal au ayon a I-2 ) Distibution sufacique othoadiale À pésent, le couant électique ne cicule que su la suface latéale du cylinde, l intéieu étant «vide» Il est caactéisé pa le vecteu densité de couant sufacique JS = JS eθ, JS étant unifome et constant Cette distibution cée, à l intéieu, le champ B0 ( appelons que B EXT est nul ) a) Monte qu un champ unifome B0 satisfait aux équations de Maxwell à l intéieu du cylinde b) Rappele les elations de passage elatives aux composantes du champ magnétique à une inteface c) En déduie l expession de B0 Patie II FOUR À INDUCTION Un fou à induction est constitué d une bobine cylindique fomée de N spies égulièement espacées, de ayon a, épaties su une couche de hauteu H noyée dans une matice éfactaie Un couant électique d intensité i () t = I cos m ( ω t ) cicule dans chaque spie On se place dans le cade d un égime électomagnétique quasi H stationnaie : les expessions des champs touvées à la question I estent valables II-1) Champ magnétique à l intéieu du fou «vide» e Spé ψ page 1/6 Devoi n 2 H a a e eθ i i e

2 On assimile cette distibution de couant fomée pa les N spies à une distibution sufacique othoadiale de couant, de densité sufacique JS = JS eθ, JS étant unifome Les données sont : N, i, H, a, μ 0 a) Évalue J S en fonction de i, N et H b) Détemine le champ magnétique B0 à l intéieu On met sa valeu algébique sous la fome B 0 = KI cos m ( ω t ) ; donne l expession de K II-2) Teme pincipal du champ électomagnétique du fou «chagé» L intéieu de la bobine est complètement empli du matéiau non feeux à fonde Dans la suite, on fea les hypothèses suivantes : Ce matéiau est conducteu électique : il obéit localement à la loi d Ohm avec la conductivité électique γ constante et unifome Les champs électique et magnétique dans le matéiau obéissent aux mêmes équations de Maxwell que dans le vide sauf la elation de Maxwell-Ampée qui s écit : E ot ( B) =μ 0 J +ε0 On est en égime électomagnétique quasi stationnaie t On néglige le champ magnétique cée pa les couants induits, de sote que le champ magnétique dans le matéiau vaut B0 (avec B 0 = KI cos m ( ω t ) touvé en II-1 b ) Les données sont K, a, H, I m, γ et α a) On cheche le champ électique induit en un point M du matéiau à la distance de E1 = E1, t eθ En expimant la ciculation de E 1 su un contou l axe de la bobine sous la fome ( ) que l on pécisea, touve E ( ) 1, t en fonction de, t et des données b) Rappele la loi locale d Ohm En déduie l expession de la densité volumique de couant induit J 1 au point M II-3) Puissance tansféée a) Donne l expession de la puissance volumique locale p V cédée pa le champ électique aux poteus de chage b) Évalue la puissance instantanée totale tansféée au matéiau conducteu contenu dans le fou c) En déduie la puissance moyenne P (on donnea l expession en fonction des données et du volume V occupé pa le matéiau ) Monte que le modèle explique pouquoi dans le chauffage pa induction, on choisit une féquence de 20 kh plutôt que le 50 H diectement accessible d ) On évalue les fuites énegétiques pa ayonnement à η = 15% de l énegie equise pou la fusion Détemine littéalement puis calcule numéiquement la duée τ f de cette fusion ; on donne : f = 4000 H ; I m = 150 A ; K = 10 5 T A 1 ; a = 15 cm ; γ = 1, S m 1 ; l enthalpie massique de fusion du matéiau est Δh FUS = 350 kj kg ; Au dépat, le matéiau est solide à la tempéatue de fusion ; sa masse est M = 80kg et il occupe un volume V = 0,03 m 3 supposé quasi invaiant pendant toute la fusion Patie III ALIMENTATION ÉLECTRIQUE DU FOUR À INDUCTION III-1) On maintient une tension u = U m cos(ωt) aux bones d une bobine inductive de ésistance R et d auto-inductance L L intensité du couant électique est alos i = I m cos(ωt + ϕ) Les données sont : L, R, U m Pou les applications numéiques, on penda : R = 100 Ω ; Lω = 400 Ω losque f = 4000 H ; U m = 1,50V a) Détemine littéalement : Spé ψ page 2/6 Devoi n 2

3 l amplitude I m et la valeu efficace I EFF, en fonction de ω et des données ; la puissance électique moyenne P tansféée à la bobine ; la valeu maximale P MAX de P, pou R, L et U m fixés ; b) Détemine littéalement le taux de tansfet de puissance TP = P/ P MAX puis calcule numéiquement sa valeu pou la féquence f = 4000 H III-2) On ajoute un condensateu de capacité C en séie avec la bobine pécédente Cet ensemble est alimenté pa la tension pécédente u = U m cos(ωt) a) Donne l expession littéale du taux de tansfet TP, P MAX étant le même qu en III-1-a et P la puissance moyenne founie pa la souce d alimentation b) Établi l expession littéale de la valeu C 0 de C pemettant un tansfet optimal de puissance électique à la bobine, à la féquence imposée f = 4000 H Calcule numéiquement C 0 et TP(C 0 ) Conclue c) Tace, apès une étude asymptotique, une epésentation gaphique de TP en fonction de C d) Losque C = C 0, donne l expession littéale de I m et ϕ III-3) On éalise le cicuit ci conte, avec U m = 1,50 V, = 30 Ω Y 2 C et f = 4000 H La sensibilité veticale su les deux voies est de i 0,5 V/division a) La bobine étant «vide», on ègle la valeu de la capacité à C = 37,5 nf pou obteni l oscillogamme n 1 (appel : V PP est la GBF u = U m cos(ωt) tension cête à cête) Déduie de l oscillogamme n 1 les valeus de la ésistance R V de cette bobine et de son inductance «à vide» L V losque la bobine est «vide» Bobine Y 1 Oscillogamme n 1 V PP (1) = 1,734 V ; V PP (2) = 3,000 V ; f = 4000 H ; base de temps: 50μs/division b) On insèe un moceau d aluminium (substance non feeuse) dans la bobine ; on obseve alos un décalage des coubes ( oscillogamme n 2 ) Détemine le déphasage de i pa appot à u Oscillogamme n 2 V PP (1) = 0,470 V ; V PP (2) = 3,000 V ; f = 4000 H ; base de temps: 50μs/division Spé ψ page 3/6 Devoi n 2

4 c) Pou obteni l oscillogamme n 3, on doit faie passe la capacité à la valeu C = 43,7 nf Détemine les valeus de sa ésistance R C et de son inductance L C losque la bobine contient un moceau d aluminium Oscillogamme n 3 V PP (1) = 1,078 V ; V PP (2) = 3,000 V f = 4000 H base de temps: 50μs/division III-4) La chage mise à fonde dans le fou change les paamètes électiques R et L de ce fou En paticulie, l inductance L baisse en cous de chauffe On désie que le fou tavaille constamment à puissance optimale Dans la patique, on choisit C de manièe à optimise le tansfet de puissance «à foid», puis on égule en cous de chauffe en jouant su un aute paamète Pécise quel est ce paamète et quel doit ête le sens de son évolution en cous de chauffe Justifie vote éponse Patie IV ÉTUDE DES COURANTS DE FOUCAULT Dans cette patie est poposée une aute modélisation qui pemetta d expime la puissance dissipée pa les couants de Foucault de la plaque IV-A - Modélisation IVA1) On considèe une spie de ayon R pacouue pa un couant I On note O son cente et O son axe et on tavaille en coodonnées cylindiques d axe O a) Monte pa des considéations de symétie et d invaiance claiement explicitées que le champ magnétique en un point M (, θ, ) quelconque de l espace s écit : B ( M) = B(, ) u + B(, ) uz b) On se limite ici aux points de l axe Apès avoi pécisé la diection du champ dans ce cas paticulie, l expime en fonction de, R et I IVA2) On assimile le matéiau conducteu à une plaque métallique cylindique de ayon a, d épaisseu e Cette plaque est posée au-dessus de l inducteu (voi figue 1) On supposea pou simplifie que l inducteu est une bobine plate constituée de N spies de ayons voisins pis tous égaux à R, chacune pacouue pa un couant I On supposea que l on s est placé dans des conditions telles que le champ magnétique céé pa l inducteu au niveau de la base inféieue de la plaque avant qu on ne mette la plaque, peut ête considéé comme unifome, égal à celui que céeaient les spies en leu cente Dans toute cette patie, on penda comme oigine de l axe des, le point Ω cente de la base inféieue de la plaque (voi figue 2) La plaque est constituée d acie magnétique de conductivité électique γ On supposea ici que cet acie est un milieu magnétique linéaie, homogène et isotope de peméabilité magnétique μ, c est à die que les équations de Maxwell dans ce milieu s écivent : Spé ψ page 4/6 Devoi n 2

5 div = 0 1 ot = 2 t div = 0 3 ot =μ +ε μ 4 t B ( E) [ M ] ( E) [ M ] E ( B) [ M ] ( B) J 0 [ M ] avec E champ électique, B champ magnétique dans le milieu, J vecteu densité volumique de couant et μ=μ 0 μ, peméabilité magnétique de l acie On supposea en oute que la loi d Ohm locale est véifiée dans l acie a figue 1 figue 2 e Plaque Ω I Inducteu (N spies) Données : N = 10 ; R = 16,0 cm ; a = 4,0 cm ; e = 5,0 mm ; I = 5,0 A ; γ = 5, Ω 1 m 1 ; 1 μ = 100 ; ε 0 = F m 1 ; μ 9 0 = 4π 10 7 H m 1 36π10 a) Quelle équation de Maxwell pemet d affime qu il y a continuité de la composante nomale de B à l inteface ente le vide et les bases inféieues et supéieues de la plaque étudiée? Étant constituée d acie magnétique, la plaque s aimante et modifie à son tou le champ magnétique dans le vide On supposea dans la suite que ce phénomène et le espect de la continuité vue en ci-dessus donnent pou valeu de la composante nomale de B au niveau de la base inféieue de la plaque (en = 0 + ), la valeu du champ céé en ce point dans le vide avant intoduction de la plaque multipliée pa une constante appelée peméabilité elative μ de la plaque + b) Écie B (, θ, = 0 ), composante axiale du champ magnétique au niveau de la base inféieue de la plaque en fonction de N, R, I, μ 0 et μ IVB - Calcul des couants de Foucault dans la plaque Le couant ciculant dans l inducteu est maintenant sinusoïdal de féquence f = 20 kh : i t = Icos ω t avec ω = 2πf () ( ) Comme on se limitea à l étude du égime sinusoïdal établi, on poua utilise les epésentations complexes des gandeus Ainsi, à tout champ vectoiel A (, θ, t, ) dans la plaque, on as- iωt iωt iωt sociea A = A e e + Aθ e eθ + A e e, où i 2 = 1 et A = Re( A) ; A, A θ, A sont des fonctions complexes des seules vaiables, θ et IVB1) Monte que pou la féquence utilisée, l équation de Maxwell-Ampèe [M4] peut ête simplifiée Donne le nom de l appoximation ainsi faite Dans toute la suite, on tavaillea avec la fome simplifiée IVB2) Monte que J véifie l équation difféentielle : ΔJ γωμ i J = 0 (5) IVB3) Donne des aguments qui pemettent de justifie que l on cheche les couants in- iωt J = J, e eθ duits dans la plaque sous la fome : ( ) Spé ψ page 5/6 Devoi n 2

6 Pou la suite, on admetta qu il existe une solution de la fome J(, ) = g( ) où g( ) est une fonction complexe de la seule vaiable On se popose de détemine g( ) IVB4) En utilisant (5), monte que g( ) véifie l équation difféentielle : 2 d g( ) = iγωμ g( ) (6) 2 d IVB5) Donne la solution généale de (6) en utilisant la gandeu 2 δ= γωμ (7) On supposea que l épaisseu e de la plaque est suffisamment gande pou pouvoi assimile la plaque conductice au demi-espace des positifs IVB6) Donne, à une constante d intégation pès, l expession de J(, ) IVB7) Calcul de la constante d intégation estante : a) En utilisant l équation [M2], détemine le champ magnétique B ( M, t) de l expession de J(, ) à pati b) En utilisant la condition aux limites explicitée en IVA2), détemine la constante d intégation en fonction de γ, ω, N, R, I, μ 0 et μ J, θ,, t IVB8) En déduie la gandeu éelle ( ) IVB9) Quelle est la dimension de δ? Donne sa signification physique et la calcule Compae la valeu touvée à celle de e et conclue quant à la validité de l appoximation faite au IVB5) Fomulaie Dans la base cylindique ( u, u θ, u Z ) f (, θ, ) 1 f(, θ, ) f(, θ, ) gad f = u + uθ + u θ f 1 f f f Δ = θ ( ) Z ( ) θ Z 1 A (, θ, ) 1 A (, θ, ) A (, θ, ) div( A) = + + θ Z ( ) Z ( ) ot ( ) 1 A A A 1 θ A Aθ A A = u + uθ + uz θ θ A θ A Δ A= ΔA A u + ΔAθ A u A 2 θ + θ +Δ u θ θ ot ot A = gad div A ΔA ( ( )) ( ) ( ) Z Spé ψ page 6/6 Devoi n 2