FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

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1 FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Cours Termiale S La foctio logarithme épérie O a vu das u chapitre précédet que la foctio epoetielle est cotiue et strictemet croissate sur R et que l image de R par cette foctio est ] ; + [ Doc d après le théorème des valeurs itermédiaires, quel que soit le réel m strictemet positif, l équatio d icoue, e m admet ue solutio et ue seule das R ) Défiitio Défiitio : O appelle logarithme épérie du réel strictemet positif m l uique solutio de l équatio d icouue : e m lm, qui se lit «logarithme épérie de m» O ote cette solutio ( ) La foctio logarithme épérie est la foctio qui, à tout réel strictemet positif associe l( ) C est vers 64 que l écossais Joh Napier, ou Néper e Frace, (55-67) ivete les logarithmes qui portet so om, sous ue forme u peu différete de ce qui est fait das ce chapitre (le terme proviet, du grec logos logique, raiso et arithmos ombre) So objectif était de simplifier les calculs trigoométriques de l'astroomie (trigoométrie sphérique) e remplaçat les multiplicatios et divisios par des additios et soustractios Remarques : O dit que les foctios epoetielle et logarithme épérie sot réciproques l ue de l autre Cela se traduira graphiquemet par le fait que leurs courbes représetatives sot symétriques par rapport à la droite d équatio y E Scieces Epérimetales, o utilise la foctio logarithme décimal, otée log Elle l( ) défiie, pour tout réel strictemet positif, par log( ) C est Hery Briggs qui l iveta les logarithmes décimau vers 67 ) Coséqueces Propriétés : ( ) ( ) ( e) y l avec > équivaut à l ; l ; l l e pour tout réel, ( ) pour tout réel strictemet positif, l( ) Démostratios : C est la coséquece de la défiitio O sait que e e y ( ) e, alors d après la propriété précédete, l( )

2 O sait que O sait que e e, alors d après la propriété précédete, l( ) e e e, alors d après la propriété précédete, l Soit u réel Si o a y e, alors ( ) y, c est-à-dire ( ) l l e Soit u réel strictemet positif Si o a l( ) y y, alors e, c est-à-dire l( ) e Propriétés de la foctio logarithme épérie ) Relatio foctioelle a b a b Théorème : Pour tous réels a et b strictemet positifs, l( ) l( ) + l( ) Démostratio : l( a) + l( b) l( a) l( a) l l + l e e e a b et a b a b Par coséquet, ( ) ( ) ( ) ) Corollaires l ( a b) e a b D où ( a) + ( b) ( a b) l l l e e Propriétés : Pour tous réels a et b strictemet positifs : l l( b) b a l l( a) l( b) b l( a) l( a ) l a l a pour tout etier relatif, ( ) ( ) l + l l l b b Démostratios : ( b ) b ( ) a b b b l l a l( a) + l l( a) l( b) l( ) l ( ) l( ) + l( ) l( ) a a a a a b ; d où l l( b) a a Démotros par récurrece que, pour tout etier aturel, l( ) l( ) - La propositio est vraie pour E effet, l( a ) l( ) l( a ) p - Supposos cette propriété vraie au rag p : l( ) l( ) démotros qu elle est alors vraie au rag p + : p+ ( ) ( p p a a a ) ( a) + ( a ) ( a) + p ( a) ( p + ) ( a ) l l l l l l l a p a (hypothèse de récurrece) et - La propriété est doc vraie pour tout etier aturel Soit maiteat u etier égatif Posos m, avec m etier aturel l( a ) l( a m ) l l( a m ) ml( a) l m ( a ) puisque la propriété est vraie pour m a etier aturel l a l a pour etier égatif D où ( ) ( )

3 Applicatios : Simplifier les epressios suivates : l( + ) + l( ), ( e ) l l ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) l + + l l + l l 4 l l( ) l( 6) l( ) l( ) l( ) 4l( ) 6 l( ) l e l( e) ( l( ) l( e) ) 4l( e) l( ) 4 l( ) Étude de la foctio logarithme épérie ) Cotiuité et dérivabilité l 6 et Propriétés : La foctio logarithme épérie est cotiue et dérivable sur ] ; + [ l Pour tout réel strictemet positif, ( ) Démostratio : La cotiuité est admise Soiet a et deu réels strictemet positifs l( ) l( a) l( a) Le tau de variatio de la foctio l e a est, soit a e a l( a) l l( ) ( ) l( a) l( a) Comme a e, alors l( a) l ( a a ) e e e e l a Comme la foctio l est cotiue e a, alors lim l( ) l( ) a a De plus, la foctio epoetielle est dérivable sur R, alors l( a) e e l( a) lim ep ( l( a) ) ep( l( a) ) e l( a) l a ( ) O e déduit que lim ( ) ( a) l l a e a a l( a) l a Par coséquet, la foctio l est dérivable e a, et ( a) ( ) e posat ) Variatios Propriété 4 : La foctio logarithme épérie est strictemet croissate sur ] ; + [ l Démostratio : Comme ( ) pour tout réel strictemet positif, alors ( ) Doc la foctio l est strictemet croissate sur ] ; + [ ) Coséqueces Propriétés 5 : Pour tous réels a et b strictemet positifs : l a l b équivaut à a b ( ) ( ) ( ) ( ) l a < l b équivaut à a < b l >

4 4) Applicatios Résoudre l équatio () : l ( + 5) l l( + 5) Sur ],5 ; [ a) Applicatio : résoudre des équatios ou des iéquatios est défiie pour + 5 >, soit >,5 +, () + 5 (),5 ; +, l équatio () admet pour uique solutio : Comme ] [ Résoudre l iéquatio () : l < ; +, () l < l e Sur ] [ () Doc s ; e () l < l( e ) < e b) Applicatio Détermier le sige de u() l u ( ) s écrit égalemet ( ) l l( e ) u ( ) > équivaut à l > l( ) u ( ) équivaut à l l( ) ( ) < l < l u équivaut à ( ) u e, c est-à-dire à e, c est-à-dire à e, c est-à-dire à > e e < e 5) Limites e et e + Propriétés 6 : lim l( ) + et lim l( ) + > Démostratio : Soit A u réel strictemet positif l > A l > l e A A, c est-à-dire à > e équivaut à ( ) Doc quel que soit l itervalle ouvert ] A ; + [ ( A > ) des réels strictemet supérieurs à O e déduit que lim l + Posos + ; lim foctio composée) + A e sot das cet itervalle alors lim l( ) lim l lim ( l ) + + >, toutes les images par la foctio l (limite d ue 6) Tableau de variatios et représetatio graphique + l () + l + - 4

5 Si o ote c la courbe représetative de l, o démotre aisémet que la tagete à c au poit de coordoées ( ; ) a pour équatio y 4 D autres limites ) Croissaces comparées Propriétés 7 : pour tout l( ) lim + Démostratios das le cas où : Posos Or lim ; doc + e Posos Or l( ) lim + l Alors l ( ) e et lim lim l e ; doc ( ) > > et ( ) lim l > lim l Alors l( ) e et lim + + ) Autre limite ( + ) l Propriétés 8 : lim Démostratio : Par défiitio, le ombre dérivé de la foctio l e est l et Or ( ) l( + ) l l( + ) lim lim Doc l( + ) lim l( + ) l lim ) Applicatios a) Applicatio : Détermier lim ( l ) et lim ( l ) 5 + lim et liml Doc lim ( l ) + (par somme de limites) l l Or De plus, lim + + Posos Alors l l lim, alors lim + + (par somme de limites) lim l + (par produit de limites) Doc ( ) + l b) Applicatio : Détermier lim et + l( + ) (limite d ue foctio composée) et lim Or ( + ) l lim l l lim ; doc lim l l l l Posos Alors et lim (par valeur positive) + l Or lim l et lim ( ) ; d où lim (par quotiet de limites) > > >

6 Doc l lim + (limite d ue foctio composée) 5 Foctio l u Propriété 9 (admise) : Soit u ue foctio dérivable et strictemet positive sur u itervalle I La foctio l( u ) est dérivable sur I et ( l ) u u u Eemple : Soit la foctio f défiie sur ] ; [ par ( ) O a f lu avec u ( ) + La foctio u est dérivable sur ] ; [, et ( ) Doc f est dérivable sur ] ; [ 5 ( ) f l + ( + ) ( ) 5 ( + ) ( + ), et, pour tout réel de ] ; [, f ( ) ( + ) ( + )( ) + u Remarque : Comme u est strictemet positive sur I, alors le sige de ( l u ) est le même que celui de u Doc la foctio lu a les mêmes variatios que celles de la foctio u 6