CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL.

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1 CHAPITRE : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL.. Fonction népérien (logrithme d une fonction composée). Théorème Si u est une fonction strictement positive et dérivble sur un intervlle I ouvert, lors l fonction f définie sur I pr f ( ) ln [ u( ) ] u'( ) I, f '( ) ( ln [ u( ) ])' u ( ) est dérivble sur I et Eemple Montrer que l fonction clculer s dérivée Même question vec l fonction f : ln + est dérivble sur ], [ ], [ g: ln + D près le signe du trinôme du second degré I + et u ( ) est strictement positif sur + I ], [ ], + [ et donc f est définie sur I, continue sur I et dérivble sur I ' L dérivée d un quotient fournit u'( ) + ( + ) ( + ) + et donc I, f '( ). ( + ) ( + )( ) + Gérrd Hirsch Mths54

2 L fonction S dérivée est g: ln + est définie sur J R {, } ], [ ],[ ], + [ ( + ) J, g'( ) + L formule eplicite de l dérivée de g est l même que celle de f. L seule différence réside dns le fit que l ensemble de définition de f n est qu une prtie de celui de g. Théorème Si u est une fonction strictement positive et dérivble sur un intervlle I ouvert, lors l fonction f définie sur I pr f ( ) ln [ u( ) ] est une primitive sur I de u ' u Corollire Si u est une fonction strictement négtive et dérivble sur un intervlle I ouvert, lors l fonction f définie sur I pr f ( ) ln [ u( ) ] est une primitive sur I de u ' u Conséquence Sur I ] 0, + [ si lors les primitives de f ( ) F( ) ln+ C où C est une constnte réelle Sur J ],0 [ si lors les primitives de f ( ) F( ) ln( ) + C où C est une constnte réelle sur I sont les fonctions sur J sont les fonctions On se trouve sur un intervlle contenu dns I ] 0, + [ ou dns ],0 [ J et les constntes réelles C sont différentes suivnt que l on se trouve sur l intervlle I ou sur l intervlle J. Eemple Gérrd Hirsch Mths54

3 Soit f l fonction définie sur I ], + [ pr : Déterminer les primitives F de f sur I ], + [. L fonction I ], + [ Si u ( ) lors u'( ) est continue sur I ], [ L fonction f dmet pour primitives sur I ], + [ les fonctions F : F( ) ln( ) + C, où C R + et dmet des primitives sur L fonction f définie sur J ],[ pr : ],[ J les fonctions F : F( ) ln( ) + C, où C R dmet pour primitives sur Eemple Déterminer les primitives des fonctions suivntes sur I R. ( )( 5) g , b. ( ) , c. + h ( ) ( + + 5). L fonction f est continue sur R, f possède des primitives sur R Posons u ( ) lors u'( ) + ( + ) et Les fonctions F définies sur R pr sont les primitives de f sur R. f u u 3 ( ) '( ) ( ) R F( ). u ( ) C ( 5) C vec C b. L fonction g est continue sur R, g possède des primitives sur R Posons u ( ) lors u'( ) + ( + ) et Les fonctions G définies sur R pr u'( ) g ( ) u ( ) G ( ).ln[ u ( )] + C ln( + + 5) + CvecC R sont les primitives de g sur R. c. L fonction h est continue sur R, h possède des primitives sur R Gérrd Hirsch Mths54 3

4 Posons u'( ) u ( ) lors u'( ) + ( + ) et h ( ) u ( ) Les fonctions H définies sur R pr H( ). + C + C vec C R u ( ) sont les primitives de h sur R. Eemple Déterminer les primitives de l fonction et enfin sur K ], [ sur I ], + [, puis sur J ],[ L fonction f est continue sur I ], + [, f possède des primitives sur I ], + [ Posons u ( ) 0 < sur ], [ Les fonctions F définies sur I ], [ I + lors u'( ) et + pr u'( ) u ( ) F( ).ln[ u( ) ] + C ln( ) + C vec C R sont les primitives de f sur I ], + [. L fonction f est continue sur J ],[, f possède des primitives sur J ],[ Posons u ( ) 0 > sur ],[ J lors u'( ) et Les fonctions F définies sur J ],[ pr u'( ) u ( ) F( ).ln[ u( ) ] + C ln( ) + C vec C R sont les primitives de f sur J ],[. L fonction f est continue sur K ], [, f possède des primitives sur K ], [ Posons u ( ) 0 < sur ], [ K lors u'( ) et Les fonctions F définies sur K ], [ pr u'( ) u ( ) F( ).ln[ u( ) ] + C ln( ) + C vec C R sont les primitives de f sur K ], [. Gérrd Hirsch Mths54 4

5 L constnte C n est ps l même suivnt que l on se trouve sur l intervlle I, ou J ou encore K.. Autres fonctions logrithmes Définition Soit un réel strictement positif, On ppelle fonction logrithme de bse, l fonction notée log définie sur ] 0,+ [ pr : log ln ln Conséquence log 0 et log Les fonctions logrithmes de bse sont toutes proportionnelles à l fonction logrithme népérien, en effet ] [ 0, + log kln vec k ln ] [ 0, + log ln e L fonction logrithme de bse 0 ( 0 ) est notée log et est ppelée logrithme déciml. ln 0, + log ln0 On donc ] [ 0 et ] 0, + [ log0 kln vec k ~ 0,4349 ln0 Cette fonction est très utile dns les clculs numériques mis ussi en chimie et dns bien d utres domines Gérrd Hirsch Mths54 5

6 Ce sont les mêmes propriétés lgébriques que celles de l fonction logrithme népérien En prticulier ] [ ] [ 0, +, y 0, + log ( y) log + log y 3. Etude de l fonction logrithme de bse 3.. Sens de vrition L fonction L fonction L fonction log est définie sur ] 0,+ [ log est continue sur ] 0,+ [ est dérivble sur ] 0,+ [ log Pour tout ] 0, + [, (log ln )' ln ln Théorème Si >, l fonction log est strictement croissnte sur ] 0,+ [ Si 0< <, l fonction log est strictement décroissnte sur ] 0,+ [ Gérrd Hirsch Mths54 6

7 3.. Tbleu de vrition et représenttion grphique : > 0 + < 0 + f + f f - + f e Eemple Eemple d utilistion de l fonction logrithme déciml 0000 On note N le nombre entier. Déterminer à l ide de l clcultrice l prtie entière de log N En déduire l encdrement 0 N < 0 3. Indiquer le nombre de chiffres de l écriture décimle de N log log ~ 300,9995 et donc 0000 E (log ) 300. A prtir de l prtie entière de log N, on obtient l encdrement 300 log N < 30 que l on peut ussi écrire log0 log N < log L fonction logrithme déciml étnt strictement croissnte sur ] 0,+ [, on : 0 N < Gérrd Hirsch Mths54 7

8 3. L encdrement obtenu prouve que l écriture décimle de N comprend 30 chiffres L cpcité de l mémoire des clcultrices ne permet ps de considérer des nombres ussi grnds. 4. Chngement de bse Soit un réel strictement positif, et b un réel strictement positif, b On cherche l reltion qui lie ] + [ 0,, log et log ln ln ln ] 0, + [, log b. ln b ln ln b Pr définition : ln lnb ln b D où l formule dite de chngement de bse ] [ 0, +, log log. log b b b Gérrd Hirsch Mths54 8

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