Algèbre de Boole Equations logiques

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1 Algère de Boole Equtions logiques L lgère de Boole (du nom du mthémtiien nglis Georges Boole ) est une lgère se proposnt de trduire des signux en expressions mthémtiques. Pour el, on définit hque signl élémentire pr des vriles logiques et leur tritement pr des fontions logiques. Des méthodes (tle de vérité) permettent de définir les opértions que l on désire réliser, et à trnsrire le résultt en une expression lgérique. Grâe à des règles, es expressions peuvent être simplifiées. Cel v permettre de représenter grâe à des symoles un iruit logique, est-àdire un iruit qui shémtise l genement des omposnts de se (u niveu logique) sns se préouper de l rélistion. III- Définitions : Ett: Les étts logiques sont représentés pr 0 et. Vrile: C est une grndeur représentée pr un symole, qui peut prendre deux étts (0 ou ). Fontion: Elle représente un groupe de vriles reliées pr des opérteurs logiques. III-. Notions d étts : On peut ssoier à un grnd nomre de phénomènes physique, un étt logique Exemple : Porte ouverte/fermée ; voynt éliré/éteint On ssoie générlement à l étt logique l sitution tionné du omposnt. Boutons et pteurs : Ationneurs : Contt à fermeture Contt à ouverture étt physique tionné non tionné tionné non tionné étt életrique pssnt non pssnt non pssnt pssnt étt logique 0 0 tionneur étt physique en fontion ne fontionne ps étt logique 0 III-.2 Fontions logiques fondmentles : Oui ; non ; ou ; et ; inhiition Fontions oui non ou et inhiition Equtions = = =+ Tle de vérités héms életriques =* =. = =. 0 0 A Chronogrmmes ymole logiques

2 II-.3 Ciruits életriques : III-.3. Rélistion d un iruit à prtir d une éqution : X= ( + ) X III-.3.2 Mise en éqution d un iruit : d = ( +d ) III-.4 Ciruits logiques : III-.4. Rélistion d un logigrmme à prtir d une éqution : V= ( + ) d d V III-.4.2 Mise en éqution d un logigrmme : M M=( ++ ) d e d e III-2 Fontions logiques omplémentires : III-2. Théorème de De Morgn :. Le omplément d un produit est égl à l somme des thermes omplémentés. =. =. = + Le omplément d une somme est égl u produit des thermes omplémentés. = + = + =.

3 III-2.2 Tleux des fontions omplémentires : Non ou, non et, ou exlusif, non ou exlusif Fontions Non ou (Nord) Non et (Nnd) Ou exlusif (Xor) Non oux Equtions = + =. =. = + = + =. +. = + =. +. Tle de vérités héms életriques Chronogrmmes ymole logiques = = III-3 Propriétés des fontions logiques : Propriétés OU ET Commuttivité + = +. =. Assoitivité ( + ) + = + ( + ) (. ). =. (. ) Distriutivité + (. ) = ( + ). ( + ). ( + ) = (. ) + (. ) Complémentrité + =. = 0 Idempotene + =. = Elément neutre Asortion + 0 = + = + (. ) = + (. ) = +. 0 = 0. =. ( + ) =. ( + ) =. III-4 implifition des équtions logiques : Dès que l on dispose de l expression d un iruit logique, il peut être possile de l minimiser pour otenir une éqution omptnt moins de termes ou de vriles pr terme. Cette simplifition peut se fire de deux fçons différentes : - pr l utilistion des propriétés des fontions logiques - pr l utilistion des tleux de Krnugh - Depuis une tle de vérité

4 III-4. implifition des équtions logiques pr l utilistion des fontions logiques : = = ( + ) + ( + ) = () + () = ( + ) = () = 2= = + 2= ( + ) 3= + ( ) 3= ( + ) Q= ( + + )( + + )( + + ) = + + R= + ( ) = = ( ) + = T = + + = U = ( + )( + + d) d = d III-4.2 implifition des équtions logiques pr l utilistion des tleu de KARNAUGH : III-4.2. Mise en ple : Pr des moyens semi grphiques : - Tle à deux entrées (lignes-olonnes) ; - On équilire les vriles sur les lignes et les olonnes pour s pproher d un tleu rré ; - Les lignes et les olonnes sont odées en ode GRAY ; - Chque se ontient l étt de l sortie (0 ou ) pour les entrées orrespondntes. d III Règles de simplifition : Constituer des groupe de - Ces groupes de tille mximle, doivent être rré ou retngulire ; - Ils doivent ontenir un nomre de ses égl à une puissne de deux ; - Les ords de l tle sont djent ; - On ne retient que les vriles dont l étt logique d entré n est ps modifié à l intérieur du groupement ; - Les vriles d un même groupement sont liées pr une fontion ET, les groupements sont liés pr des fontions OU. III implifier les équtions suivntes : T= xyz= y T 2= xyz = x( y+ z) T3= yw+ zw+ zw+ xyzw+ xyz= w+ yz T 4= z( xy+ xy) = z( x+ y)

5 III Depuis une tle de vérité : L L2 L3 L L= L= + L= L2= L2= + L2= L3= + L3= L3= + L4= L4= + L4= III-5 Opérteurs ou portes logique nor et nnd : III-5. Rélistion des fontions OU : = + = + = + III-5.2 Rélistion des fontions ET : = = = III-5.3 Méthodes de résolution : III-5.3. A prtir du logigrmme : = +

6 III A prtir des équtions logiques : = + = + + = i il y deux rres sur un seul terme, on les supprime. i il y trois rres de même longueur sur plusieurs termes, on en supprime deux. III Exeries : = ( + ) = + ( + ) = 2 = = + = =