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1 1 ère ES1 Le second degré Introduction à la factorisation feuille n 1 Partie 1 : correction 1) Factoriser les expressions suivantes : x² - 8x + 16 x² + 6x x² - 81 ( 4x 1 )² - 9 ( 2x 1 )² - ( x + 3 )² ( x + 5 )² - 16 ( x 3 )² 2) Après avoir factorisé, résoudre les équations suivantes : 2x² - 28x + 98 = 0 (5x + 2)² = ( x 3 )² 4x² = 81 9x² - 1 = ( 3x 1 ) ( x + 2 ) Partie 2 : Vers la forme canonique 1) Compléter les égalités suivantes : x² - 6x + = (x - )² x² + 4x + = ( x + )² x² + 8x + = ( )² x² + 3x + = ( )² 2) En utilisant les égalités précédentes, compléter : x² - 6x = (x - )² - x² + 4x = (x + )² - x² + 8x = ( )² - x² + 3x = ( )² - 3) En remplaçant les deux premiers termes par les résultats obtenus dans 2), factoriser, quand cela est possible, les expressions suivantes, puis résoudre les équations dans. x² - 6x + 8 = 0 x² + 4x 21 = 0 x² + 8x 20 = 0. x² + 3x + 5 = 0. 4) En utilisant la méthode suggérée dans les questions précédentes, factoriser les expressions suivantes quand cela est possible : x² + 10x 24 =0 -x² - 4x + 5 = 0 -x² + 3x 5 = 0 3x² + 6x 45 =

2 1 ère ES1 Le second degré Activités préparatoires feuille n 2 AP1 : Utiliser les formes d un polynôme de degré 2 page 34 correction Conclusion : Un polynôme qui s écrit ax 2 + bx +c, où a est différent de zéro, est un polynôme de degré 2, de la variable réelle x. On parle aussi de trinôme du second degré Ce trinôme peut s écrire sous trois formes :. AP2/ Découvrir le rôle du discriminant Avec le logiciel Géogébra (TP1) on a créé : trois curseurs a, b et c variant de -5 à 5 avec un pas de 0.1 l expression f(x) = ax 2 +bx +c Le nombre Δ = b 2 4ac Δ s appelle le discriminant du trinôme ax 2 +bx +c Les points d intersection de la courbe f avec l axe des abscisses. En faisant varier les curseurs, conjecturer un lien entre le réel Δ et le nombre de solutions de l équation f(x) = 0 Que se passe-t-il si a est négatif? Que se passe-t-il si a = 0? Que se passe-t-il si Δ est positif? si Δ est négatif? si Δ est nul? AP3 : Rechercher les solutions d une équation du second degré Une équation du second degré est une équation de la forme ax² + bx + c = 0 avec a différent de 0. Résoudre une telle équation revient à trouver la ou les valeurs de x qui annulent l expression ax²+bx+c. En fonction des valeurs de a ; b ; c il peut y avoir 0 ; 1 ou 2 solutions. Deux méthodes peuvent être utilisées : La méthode graphique Représenter la fonction f(x) = ax² + bx + c dans un repère (on peut utiliser du papier millimétré, une calculatrice graphique ou un logiciel de mathématique en l occurrence géogébra ) Déterminer l abscisse des points d intersection entre la parabole tracée et l axe des abscisses. Utilisation de la calculatrice On définit les fonctions suivantes sur IR : f 1 (x) = -0.5x 2 + x f 2 (x) = 2x x -4 f 3 (x) = x 2-2x + 1 f 4 (x) = - x 2 - x -1 f 5 (x) = -0.5x 2 - x f 6 (x) = 2x 2-2x + 1 Pour chaque fonction, compléter le tableau ci-dessous en suivant le modèle indiqué pour la fonction f 1 2

3 Coefficients a b c Calculatrice Solutions de l équation f(x) = 0 Δ = b 2 4ac f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 F 6 Utilisation de Géogébra (TP2) 3

4 A l aide de la fenêtre géogébra ci-dessous, résoudre les équations suivantes : Les solutions (si ils y en a) sont les abscisses des points A et B. La méthode algébrique 2 x² + x -10 = 0 0,5 x² - 3x - 8 = 0 -x² + 2x + 8 = 0 2x² + 4x + 2 = 0 x² + 2x +5 = 0-2x² - 7x - 3 = 0 Déterminer la valeur de chacun des coefficients a, b et c. Calculer le discriminant, En déduire les éventuelles solutions de l équation. 2 x² + x -10 = 0 Δ = x 1 = x 2 = S = 0,5 x² - 3x - 8 = 0 Δ = x 1 = x 2 = S = -x² + 2x + 8 = 0 Δ = x 1 = x 2 = S = 2x² + 4x + 2 = 0 Δ = x 1 = x 2 = S = x² + 2x +5 = 0 Δ = x 1 = x 2 = S = -2x² - 7x - 3 = 0 Δ = x 1 = x 2 = S = A l aide d un programme ( ALGO) page 35 AP4 : Déterminer le signe du polynôme du second degré Pour chaque fonction f 1 à f 6 de l AP3, compléter le tableau ci-dessous, en suivant le modèle indiqué pour la fonction f 1 et en s aidant de la calculatrice : 4

5 a Δ Signe de a Signe de Δ Allure de la parabole Tableau de signes x f négatif positif f 1 (x) x f positif positif f 2 (x) x f positif Nul f 3 (x) x f négatif négatif f 4 (x) x f négatif nul f 5 (x) x f positif négatif f 6 (x) AP4 : Résoudre une équation à l aide d un programme page 35 AP5 : Etudier la position de deux courbes page 35 5

6 1 ère - ES1 Le second degré Fiche d exercices feuille n 3 1) Forme canonique correction Exercice 1 : Mettre sous forme canonique les polynômes suivants. P 1 (x) = x 2 4x + 5 P 2(x) = x 2 10x + 25 P 3(x) = 2x 2 + 8x + 6 2) Résolution d équations Exercice 2 : Résoudre dans IR les équations suivantes (n utiliser le discriminant que lorsque cela est nécessaire). 1) 5x² + 14x 3 = 0 11) x x 323 = 0 21) 7x 2 + 8x = 0 2) 2x² + 3x 7 = 0 12) 2x 2 + x 4 = 0 22) x 2 = 5 3) x² + x + 1 = 0 13) 5x 2 7x 6 = 0 23) 25x x 9 = 0 4) 4x² 4x + 1 = 0 14) x x 4 = 0 24) 25x 2 49 = 0 5) x² + 7x 1 = 0 15) 7x² + 9 = 9 25) 12x² + 3x = 0 6) 2x 2 7x + 3 = 0 16) x 2 5x 3 = 0 26) x² 12 = 0 7) 13x 2 3x + 7 = 0 17) 5x² + 3 = 0 27) x² + 12 = 5x 8) 49x 2 28x + 4 = 0 18) 5x² 11x = 4 28) 2x ² 2x 50 = x 9) 8x 2 + 3x 20 = 0 19) 3x² + 20x +50 = 4x +5 29) 16x 2 + 6x = 1 10 x² 45 x = 0 20) x² 16 x 16 = 0 30) 13 x² 6x + 27 = 0 Exercice 3 : Résoudre dans IR les équations suivantes : a) (2x + 1) 2 = 2x + 5 b) (2x + 3)(x 1) = (3x 2)(2x 6) c) (x + 2)(x2 3) = (2x + 3)(x2 + x 2) d) = 2 e) f) g) 3) Factorisation d un trinôme Exercice 4 : Factoriser en produit de facteurs du premier degré, si possible, les trinômes suivants : 1) 3x 2 + 8x 11 4) 20x 2 + x 12 7) 9x 2 + 6x 1 2) x 2 3x 10 5) x 2 + 4x 21 8) 6x 2 x 2 3) x 2 + x + 1 6) 2x 2 + 9x 5 9) 30x 2 5x 10 4) Résolution d inéquations Exercice 5 : Etablir le tableau de signes des fonctions suivantes : f1(x) = 15x² x + 2 f2(x) = 2x² + 3x + 12 f3(x) = 3x² + 42x 147 f4(x) = f5(x) = (x 5)( 2x² + 15x 7) 6

7 Exercice 6 : Résoudre dans IR les inéquations suivantes : 1) 4x 2 15x + 16 < 0 8) 3x2 + 2x 5 < 0 15) 0 2) 3x 2 + 5x 2 0 9) 2x 2 x ) x2 6x + 9 > 0 10) 5x 2 + x + 3 < 0 4) 2x² + x ) 10x ² 20x 3x² + x ) 4x² ) 7x ² 21x 70 > 0 6) x² ) (x2 16)( x2 + x 1) 0 7) x² + 4x 4 > 0 14) ( 6x² x + 1)( 2x² + 7x 3) > 0 5) Trinôme et représentation graphique Exercice 7 : En calculant les discriminants, associer chaque fonction à sa représentation graphique : 1) f (x) = x 2 3x 1 g (x) = x 2 5x + 3 h(x) =x 2 3x + 5 I (x) = x 2 5x 7 2) f (x)=x 2 15x + 36 g(x) = x 2 + 6x + 16 h(x ) = x 2 + 3x + 10 k(x) = x 2 + x 8 7

8 1 ère ES1 Le second degré Introduction à la factorisation Partie 1 : 1) Factoriser les expressions suivantes : x² - 8x + 16 x² + 6x x² - 81 = (x-4)² = (x+3)² = (4x-9)(4x+9) ( 4x 1 )² - 9 ( 2x 1 )² - ( x + 3 )² ( x + 5 )² - 16 ( x 3 )² = (4x-3)(4x+2) = (3x+2)(x-4) = (5x-9)(-3x+15) 2) Après avoir factorisé, résoudre les équations suivantes : 2x² - 28x + 98 = 0 ( 5x + 2 )² = ( x 3 )² 4x² = 81 9x² - 1 = ( 3x 1 ) ( x + 2 ) 2(x-7)²= 0 (4x+5)(6x-1) = 0 (2x-9)(2x+9) = 0 (3x-1)(2x-1) = 0 Partie 2 : Vers la forme canonique 1) Compléter les égalités suivantes : x² - 6x + 9 = ( x - 3 )² x² + 4x + 4 = ( x + 2 )² x² + 8x + 16 = ( x + 4 )² x² + 3x + 9/4 = ( x + 3/2 )² 2) En utilisant les égalités précédentes, compléter : x² - 6x = ( x - 3 )² - 9 x² + 4x = ( x + 2 )² - 4 x² + 8x = ( x + 4 )² - 16 x² + 3x = ( x + 3/2)² - 9/4 3) En remplaçant les deux premiers termes par les résultats obtenus dans 2), factoriser, quand cela est possible, les expressions suivantes, puis résoudre les équations dans IR. x² - 6x + 8 = 0 ( x - 3 )² =0 ( x - 3 )² - 1 =0 (x-3-1)(x-3+1)=0 ( x 4 ) ( x 2 ) = 0 X 4 = 0 ou x -2 = 0 X=4 ou x = 2 S= 2 ; 4 x² + 8x 20 = 0 ( x + 4 )² = 0 ( x + 4 )² - 36 =0 (x +4 +6)(x +4-6 ) =0 ( x + 10 ) ( x 2 ) = 0 X+10 = 0 ou x 2 = 0 X = -10 ou x = 2 S= -10 ; 2 x² + 4x 21 = 0 ( x + 2 )² = 0 ( x + 2 )² - 25 = 0 ( x + 2 )² = 0 (x+2+5)(x+2-5) = 0 ( x + 7 ) ( x 3 ) = 0 X + 7 = 0 ou x-3 = 0 X = -7 ou x = 3 S= -7 ; 3 x² + 3x + 5 = 0 ( x + 3/2)² - 9/4 +5 = 0 ( x + 3/2)² + 11/4 = 0 (x + 3/2 )² +11/4 = 0 S = 8

9 4) En utilisant la méthode suggérée dans les questions précédentes, factoriser les expressions suivantes quand cela est possible : x² + 10x 24=0 (x+5) =0 (x+5) 2 49 = 0 (x+5 +7)(x+5-7) = 0 ( x + 12 ) ( x 2 )=0 X+12 = 0 ou x-2 = 0 X = -12 ou x = 2 S= -12 ; 2 -x² - 4x + 5=0 - (x² + 4x) + 5 = 0 -( (x +2) 2-4) + 5 = 0 - ((x +2) 2-4-5) = 0 -((x +2) 2-9) = 0 -(x+2+3)(x+2-3) = 0 - ( x + 5 ) ( x 1 )=0 X + 5 = 0 ou x 1 = 0 X =-5 ou x = 1 S= -x² + 3x 5=0 -((x + 3/2) 2-9/4-5 = 0 - ( ( x 3 )² + 1 )=0 S= 3x² + 6x 45=0 3 ( x 3 ) ( x + 5 )=0 S= 9

10 Ap1 : Utiliser les formes d un polynôme de degré 2 : 1- a. f(1) = 0.5(1 2 ) = = -2 0,5 (x 1) 2 2 = 0,5 (x 2 2 x + 1) 2 = 0,5 x 2 x + 0,5 2 = f (x). x 1 + f(x) -2 b. 0,5 (x + 1) (x 3) = 0,5 (x 2 3 x + x 3) = 0,5 x 2 x 1,5 = f (x) f (x) = 0 x + 1 = 0 ou x 3 = 0 x = 1 ou x = 3 Donc S = { 1 ; 3}. 2- a. 10

11 Les coordonnées du sommet de la parabole sont (3 ; -1) avec = 3 et = -1 b. 0,5 (x 3) 2 1 = 0,5 (x 2 6 x + 9) 1 = 0,5 x x 4,5 1 = g (x). c. a = 0,5 négatif, la parabole Cg est tournée vers le bas d où le tableau de variations : x g(x) Le maximum de la fonction g est 1. Donc l équation g (x) = 0 n a pas de solution. 3- En développant les formes canoniques, on obtient : h (x) a pour forme canonique 3 (x 1) 2 1 et pour tableau de variations C. k (x) a pour forme canonique (x + 2) et pour tableau de variations B. m (x) a pour forme canonique (x 2) et pour tableau de variations A. 11

12 Le second degré : correction de la fiche d exercices 1) Forme canonique Exercice 1 : P1(x) = x 2 4x + 5 = (x 2) = (x 2) P2(x) = x 2 10x + 25 = (x 5) = (x 5) 2. P3(x) = 2x 2 + 8x + 6 = 2(x 2 + 4x + 3) = 2[(x + 2) ] = 2[(x + 2) 2 1] 2) Résolution d équations Exercice 2 : 1) 5x² + 14x 3 = 0 : = 256 et les solutions sont 3 et 2) 2x² + 3x 7 = 0 : = 47, cette équation n a donc pas de solution. 3) x² + x + 1 = 0 : = 3, cette équation n a donc pas de solution. 4) 4x² 4x + 1 = 0 : = 0, cette équation a pour unique solution 5) x² + 7x 1 = 0 : = 45 et les solutions sont 6) 2x 2 7x + 3 = 0 : = 25 et les solutions sont et 3. 7) 13x 2 3x + 7 = 0 : = 355, cette équation n a donc pas de solution. 8) 49x 2 28x + 4 = 0 : = 0, cette équation a pour unique solution 9) 8x 2 + 3x 20 = 0 : = 649 et les solutions sont 10) x² 45 x = 0 : = 0, cette équation a pour solutions 130 et 50 11) x x 323 = 0 : = 4 et les solutions sont 17 et ) 2x 2 + x 4 = 0 : = 31, cette équation n a donc pas de solution. S= 13) 5x 2 7x 6 = 0 : = 169 = 13 2 et les solutions sont et 2. 14) x x 4 = 0 : = 185 et les solutions sont 15) 7x² + 9 = 9 x 2 = 0, donc cette équation a pour unique solution 0. 16) x² 5x = 0 : = 37 et les solutions sont 17) 5x² + 3 = 0 x 2 = donc cette équation a pour solutions 18) 5x² 11x = 4 5x 2 11x 4 = 0 : = 201 et les solutions sont et 19) 3x² + 20x +50 = 4x +5 3x x + 45 = 0 : = 36 et les solutions sont 5 et 3. 20) x² x 16 = 0 : = et les solutions sont 21) 7x 2 + 8x = 0 x (7x + 8) = 0 : les solutions sont donc 0 et 22) x 2 = 5 : les solutions sont 5 et 5. 23) 25x x 9 = 0 : = 0, cette équation a pour unique solution 24) 25x 2 49 = 0 x 2 = donc cette équation n a pas de solution. S = 25) 12x 2 + 3x = 0 3x( 4x + 1) = 0, les solutions sont donc 0 et 26) x 2 12 = 0 x 2 = 12 et donc les solutions sont 2 et ) x = 5x x 2 5x + 12 = 0 : = 2 et les solutions sont 28) 2x 2 2x 50 = x 2x 2 12x 54 = 0 : = 576 = 24 et les solutions sont 3 et 9. 29) 16x 2 + 6x = 1 16x 2 + 6x 1 = 0 : = 100 et les solutions sont 30) x² 6x + 27 = 0 : = 0 et donc cette équation a pour unique solution 9. 12

13 13

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