Amérique du Nord Mai 2011 Série S Exercice Partie A : Restitution organisée des connaissances

Transcription

1 Amériqe d Nord Mai 0 Série S Exercice Partie A : Restittio orgaisée des coaissaces Démotrer le théorème de Gass e tilisat le théorème de Bézot Partie B O rappelle la propriété coe sos le om de petit théorème de Fermat : «Si p est ombre premier et q etier atrel premier avec p, q modlo p» alors ( ) O cosidère la site ( ) défiie por tot etier atrel o l par : = Calcler les six premiers termes de la site Motrer qe, por tot etier atrel o l, est pair Motrer qe, por tot etier atrel pair o l, est divisible par 4 O ote ( E ) l esemble des ombres premiers qi diviset a mois terme de la site ( ) 4 Les etiers,, et 7 appartieet-ils à l esemble ( E )? Soit p ombre premier strictemet spérier à a Motrer qe : 6 modlo p ( ) et 6 ( modlo p) b E dédire qe 6 0 ( modlo p) c Le ombre p appartiet-il à l esemble ( E )? PaaMaths [ - ] Ji 0

2 Aalyse Divisibilité et cogreces sot les igrédiets essetiels de cet exercice A-delà de la restittio orgaisée des coaissaces (Attetio! La démostratio demadée est très classiqe et doit être coe!) et des premières qestios de la partie B, c est la qestio qi s avère être la pls délicate et la pls itéressate même si, là ecore, elle fait essetiellemet appel à qelqes propriétés fodametales des cogreces Résoltio Partie A : Restittio orgaisée des coaissaces Rappelos le théorème de Gass : Si a, b et c sot trois etiers relatifs o ls tels qe a divise le prodit bc e état premier avec b alors a divise c Comme a et b sot premiers etre ex, le théorème de Bézot os permet d affirmer q il existe dex etiers et v tels qe l o a : a + bv = Il viet alors : ( a + bv) c = c, soit : ac + bvc = c Comme a divise le prodit bc, il existe etier k tel qe : bc = ka L égalité précédete se récrit alors : ac vka c ac+ vk = c a divise bie c + =, soit : ( ) Qestio O a facilemet : Partie B = = 0 = = 48 = = = = 9 = = = = = 0, = 48, = 0, 4 = 9, = 800 et 6 = PaaMaths [ - ] Ji 0

3 Qestio Comme et 6 sot pairs et qe est etier atrel o l, o e dédit immédiatemet qe et 6 sot dex etiers pairs Il e va de même por ler somme Aisi, est pair si, et selemet si, est pair Or, tot pissace d exposat etier atrel d etier impair est impaire (o retrove rapidemet ce résltat e cosidérat ( k + ) et e tilisat la formle d biôme de Newto) Aisi, est etier impair et est etier pair Le résltat est aisi établi Por tot etier atrel o l, est pair Qestio O vet motrer ici qe l o a : *, 4 Por tot etier atrel pair o l, o a : ( 9 ) + = + = + L etier état o l, o e dédit aisi qe + 6 est divisible par 4 Itéressos-os désormais à : = 9 modlo 4 O a immédiatemet : ( ) Il viet alors, por tot etier atrel : ( ) ( modlo 4) ( ) modlo4 E défiitive est divisible par 4 =, c'est-à-dire : + 6 et état divisibles par 4 por tot etier atrel o l, il e va de même por ler somme, c'est-à-dire Por tot etier atrel o l, est divisible par 4 Qestio 4 appartiet à ( E ) pisq il est premier et divise tos les termes (doc a mois!) de la site ( ) appartiet à ( E ) pisq il est premier et divise : = 48 = 6 appartiet à ( E ) pisq il est premier et divise : = 0 = 0 7 appartiet à ( E ) pisq il est premier et divise : = 8 00 = 7 0,, et 7 appartieet à l esemble ( E ) PaaMaths [ - ] Ji 0

4 Qestio a Soit p etier premier strictemet spérier à Pisq il premier, il est impair et doc premier avec Le petit théorème de Fermat os permet alors d écrire : ( modlo p) Comme p >, o a p > > 0 et o pet écrire : ( modlo p) modlo p 6 modlo p D où : ( ), soit : ( ) Comme p est premier et strictemet spérier à (c est fodametalemet ici qe cette hypothèse iterviet), il est premier avec et le petit théorème de Fermat os doe : ( modlo p) Comme précédemmet, o pet alors écrire : ( modlo p) D où : ( modlo p), soit : 6 ( modlo p) Por tot etier premier strictemet spérier à, o a : 6 modlo p 6 modlo p ( ) et ( ) Qestio b O a : p 6 = + + p Doc : 6 = = p Comme (cf la qestio précédete) : ( modlo p) et ( modlo p ) p p ( modlo p), soit : 6 ( modlo p), il viet : O a doc : 6 ( modlo p) et, d après la qestio précédete : 6 ( modlo p ) et 6 ( modlo p) p O e tire alors : ( modlo p) p D où : ( modlo p), soit 6 0 ( modlo p) Por tot etier p premier strictemet spérier à, o a : 6 0 modlo p ( ) PaaMaths [ 4 - ] Ji 0

5 Qestio c D après la qestio précédete, l etier premier p divise 6 p Or, p état premier et strictemet spérier à, il est premier différet de et et doc premier avec 6 Le théorème de Gass os permet alors d affirmer qe p divise p L etier p état premier et divisat le terme p ( E ) de la site ( ) L etier p appartiet à l esemble ( E ), il est élémet de l esemble Remarqe : et sot élémets de ( E ) (qestio 4) et tot etier premier p strictemet spérier à état égalemet élémet de ( E ), o e dédit qe tot etier premier est élémet de ( E ) PaaMaths [ - ] Ji 0