COURS SUR LES MELANGES EN FILATURE DE COTON PARTIE 07. Section IV ELEMENTS DE STATISTIQUES APPLIQUES EN FILATURE

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1 COURS SUR LES MELANGES EN FILATURE DE COTON PARTIE 07 Secto IV ELEMENTS DE STATISTIQUES APPLIQUES EN FILATURE

2 7.7. Elémets de statstques Caractérstques de posto. Moyee arthmétque La moyee est la somme des gradeurs mesurées dvsée par le ombre d dvdus. Sot la sére de valeur : x ; x ;... ; x ;... ; x ; sa moyee arthmétque est doée par la relato suvate: x x... x... x x x ; (IV.0a). Exemple : Das le précédet échatllo de 9 persoes, le pods moye vaut : Das le secod échatllo de 0 persoes, le pods moye vaut : Pour des doées groupées e classes, o peut calculer ue valeur approxmatve de la moyee e supposat que tous les dvdus d ue classe se stuet au cetre de celle-c. La relato suvate est utlsée das le cas de varables aléatores dscrètes. k x k X fx (IV.0b). Das le cas de varables aléatores cotues et très ombreuses, ue étude complète sera doée (vor étude de cas).. Mode Le mode, be qu'l sot detfé comme ue mesure de tedace cetrale, 'est ue moyee de gradeur, ue moyee de posto, mas plutôt ue moyee de fréquece. Le mode Le mode (Mo) ou valeur domate est la valeur de la varable statstque pour laquelle la fréquece est maxmale. La classe modale est défe das le cas d'ue dstrbuto cotue de doées groupées. O appelle dstrbuto umodale, ue dstrbuto présetat u seul mode (cf. fg.iv.0). Fg.IV.0 : Dstrbuto umodale Prcpe des mélages et caractérstques - ISGP-05 Page 73

3 Ue dstrbuto bmodale est ue dstrbuto présetat deux modes (cf. fg.iv.0) Fg.IV.0 : Dstrbutos bmodales Ue dstrbuto multmodale est ue dstrbuto présetat pluseurs modes (, 3, ). Elle est souvet le reflet d ue populato composée de pluseurs sous-populatos dstctes. Par exemple, le polygoe des fréqueces c-dessous, qu représete la dstrbuto de la talle des dvdus das ue populato adulte, présete deux modes. Ceux-c sot le reflet de la présece de deux sous-populatos : les femmes et les hommes, ces derers état gééralemet plus grads. Fg. IV.03 : Dstrbuto bmodale à deux sous-populatos Das le cas d'ue sére groupée e classes, o peut alors predre le cetre de la classe domate comme valeur modale. O l'appelle auss la pseudo-moyee et sert au calcul smplfé de la moyee arthmétque (vor étude de cas). Par exemple, das u magas de chaussures, o e dra pas que la poture moyee que l'o ved est le 4, mas plutôt la poture la plus fréquemmet vedue est le 4.. La Médae La moyee arthmétque est sas cotredt la mesure de tedace cetrale la plus utlsée. D'alleurs, das les prochaes partes de ce programme, otre térêt se portera prcpalemet sur cette mesure statstque (ou le paramètre équvalet au veau de la populato) as que la varace. Les autres mesures ous serot doc mos utles mas l est bo de les coaître et de savor quad l est souhatable de les utlser. Cotraremet à la moyee arthmétque qu est cosdérée comme ue moyee de gradeur, la médae est plutôt cosdérée comme ue moyee de posto. Prcpe des mélages et caractérstques - ISGP-05 Page 74

4 La médae La médae, otée Me, est la valeur (observée ou possble) de la varable statstque, das la sére d'observatos ordoée e ordre crossat ou décrossat, qu partage cette sére e deux partes, chacue compreat le même ombre d'observatos de part et d'autre de Me. Lorsque les observatos e sot pas groupées par classes, pour calculer la médae, l faut d'abord rager les observatos par ordre de gradeur crossat (ou décrossat). La médae est le ombre qu se stue au pot mleu. S les observatos d'ue varable sot ordoées par valeur, la valeur médae correspod à l'observato qu se trouve au pot mleu de cette lste ordoée. Elle correspod plus précsémet à u pourcetage cumulé de 50 % (c'est-à-dre que 50 % des valeurs sot supéreures à la médae et 50 % lu sot féreures). La posto de la médae correspod à : ème observato das la sére ordoée. Exemple : S le ombre d dvdus est mpar Sot u échatllo de 9 persoes dot le pods e kg est : 45; 68; 89; 74; 6; 56; 49; 5; 63 Classés par ordre crossat : 45; 49; 5; 56; 6; 63; 68; 74; 89 La valeur de la médae est égale à 6 kg, elle correspod à la (9+)/=5 ème valeur de la sére, sot la valeur 6 : S le ombre d dvdus est par, o pred la moyee etre les deux valeurs cetrales : D ue faço géérale, pour calculer la médae des doées o groupées e classes, o peut utlser l expresso suvate : X. (IV-0) ; Das ce cas, la posto de la valeur médae est X 5.5, sot (56+6)/=59 Remarques : ) La médae, cotraremet à la moyee arthmétque, 'est pas fluecée par les valeurs extrêmes évetuellemet très grades ou très pettes. Elle est toutefos fluecée par le ombre d'observatos; elle e déped pas de la valeur des observatos, ce qu la red utlsable subséquemmet lorsque ous trateros d'estmato et de tests statstques. Prcpe des mélages et caractérstques - ISGP-05 Page 75

5 ) S la varable statstque est dscotue, l se peut qu'l 'y at pas de valeur médae. La médae dot correspodre à ue valeur possble de la varable statstque. 3) Les observatos sot groupées par classes : das le cas d'ue varable statstque cotue groupée e classes, o peut obter la médae, a). E effectuat ue terpolato léare à l'téreur de la classe médae af de trouver la valeur de l'observato cetrale; b). E utlsat la courbe des fréqueces relatves cumulées crossates (ou décrossates). Il s'agt de localser l'tersecto de la courbe avec la drote horzotale d'ordoée égale à 0,50 (ou 50%), le pot d'abscsse correspodat est Me. Nous avos déjà metoé e remarque que l'abscsse du pot d'tersecto des courbes cumulatves crossate et décrossate doe la médae. Das le cas de l'terpolato léare à l'téreur de la classe médae, ue démostrato est doée pour détermer la médae Me (vor fg.ii.09). v. Les quartles Tout comme la médae, les quartles représetet des postos de valeurs d ue observato. Das l exemple précédet les pods ordoés des 9 persoes (45; 49; 5; 56; 6; 63; 68; 74; 89) ot doé la médae Me=6. Le premer quartle Q (5% des valeurs) est égal das ce cas à : Le premer quartle Q (5% des valeurs) est doé par la relato X suvate : 4 Das ce cas, la posto de Q est égale à X 3, sot Q =5: X X Le trosème quartle Q 3 (75% des valeurs) est égal das ce cas à : Le 3 ème quartle Q 3 (75% des valeurs) est doé par : et la posto de Q 3 est égale à X 7, sot Q 3=68: X 3 x 4 X X La médae et les quartles sot des paramètres qu permettet de motrer s ue dstrbuto possède des valeurs aormales (aberrates) ou o. Pour ce fare, l y a leu de tracer le BoxPlot (ou dagramme e bote ou à moustaches). Les tracés e rectagle et moustaches sot déals pour comparer des dstrbutos, parce qu'ls fot apparaître mmédatemet le cetre, la dsperso et l'étedue globale. Ce dagramme se présete sous la forme suvate : Prcpe des mélages et caractérstques - ISGP-05 Page 76

6 Fg.IV.04 : Dagramme BoxPlot Valeur adjacete supéreure Q.5 * Q (IV-03a) ; 3 3 Q Valeur adjacete féreure Q.5 * Q Das u tracé de BoxPLot: (IV-03b) ; 3 Q les extrémtés du rectagle sot les quartles supéreur Q 3 et féreur Q ; le rectagle couvre doc l'écart terquartle; la médae est dquée par ue lge vertcale stuée à l'téreur du rectagle; les moustaches sot les deux lges stuées à l'extéreur du rectagle qu s'étedet de la valeur adjacete supéreure à la valeur adjacete féreure ; les valeurs de la sére qu se stueraet e dehors des deux moustaches féreure et supéreure serot cosdérées, das ce cas aberrates. v. Postos relatves des tros mesures du cetre d'ue dstrbuto ) Dstrbuto umodale et symétrque Das ue dstrbuto umodale et symétrque, le mode, la médae et la moyee sot cofodus. ) Dstrbuto asymétrque Fg.IV.05 : Dstrbuto umodale et symétrque S la dstrbuto est étalée à drote, o a gééralemet : moyee > médae > mode Fg.IV.06a : Dstrbuto asymétrque étalée à drote Prcpe des mélages et caractérstques - ISGP-05 Page 77

7 S la dstrbuto est étalée à gauche, o a gééralemet: moyee < médae < mode Fg.IV.06b : Dstrbuto asymétrque étalée à gauche Caractérstques de dsperso Les caractérstques de posto sot suffsates pour caractérser ue sére. Par exemple, deux séres peuvet avor la même moyee, mas la maère dot les valeurs sot répartes autour de cette moyee (dsperso grade) peut être dfférete. O otera qu'u paramètre de posto est ue valeur de la varable, tads qu'u paramètre de dsperso est la dfférece etre deux valeurs. Supposez que l o désre comparer les reveus des ouvrers d ue use à ceux de l esemble de la populato de leur régo. Les résultats sot résumés sur l hstogramme c-après : Fg.IV.07 : Dsperso des résultats Das ce cas, les deux dstrbutos ot le même cetre mas elles sot mafestemet dfféretes : elles dffèret par leur dsperso. Etedue La dfférece etre les deux valeurs extrêmes (la plus grade valeur et la plus pette valeur) s'appelle "étedue des doées". S parm les valeurs de torso d u fl de chae de Nm=60 (vor étude de cas), la plus grade valeur est 096 t/m et la plus pette valeur est 06 t/m, alors l'étedue est = 70 (t/m).. Varace La varace d'ue sére de valeurs est la moyee arthmétque des carrés des écarts de ces valeurs par rapport à leur moyee arthmétque. Par défto, o a: Pour 30 : Prcpe des mélages et caractérstques - ISGP-05 Page 78

8 S (x x) (IV-04a) ; Pour 30 (x x) (IV -04b); E utlsat la formule de Kœg, o peut écrre : Pour 30 : S (x) x (IV -05a); Pour 30 : (x) x Pour les doées groupées, ous avos : x x x f x x x (IV -05b). Prcpe des mélages et caractérstques - ISGP-05 Page 79 f x x Où: - fréqueces absolues des x et f fréqueces relatves. (IV -06a); (IV -06b);. Ecart-type L'écart-type d'ue populato ou d'u échatllo est la race carrée postve de la varace correspodate: Pour 30 : Pour 30 : S S (IV -07a) (IV -07b). v. Irrégularté léare Elle est obteue à partr de la relato de Sommers-Dobtche suvate : U X X X 00 Où : - ombre total d essas ; X - la valeur moyee des essas ; (%) (IV -08); - ombre d essas dot la valeur du caractère est féreure à X ; X- la valeur moyee des essas. v. Coeffcet de varato La valeur S ou caractérse la dsperso d'ue sére, mas pour comparer la dsperso, o utlse la quatté appelée dsperso relatve : (IV -09). Cv x00% x Appelée auss coeffcet de varato, dépedat des utés de mesure de x. o peut égalemet calculer le Cv par la relato suvate : Cv =.5 U (IV 0);

9 Estmato des caractérstques d'ue dstrbuto cotue Toutes les méthodes de recherche se baset sur la statstque; scece qu a pour objet de recuellr u esemble de doées umérques, relatves à tel ou tel phéomèe aléatore de causalté, et e fare l'aalyse et l'terprétato. Cette scece utlse des cocepts appelés esembles statstques.. Esembles statstques, sous-esembles, utés U esemble ou référetel statstque, composé d'élémets ou d'utés statstques, est appelé "populato" ou "uvers". U sous-esemble de l'esemble est u "échatllo". Ue uté statstque dot être défe sas ambguïté. Exemple: Esemble ou populato: les 300 ouvrers de l'use X. Echatllo: 0 ouvrers choss au hasard. Uté: 0 ouvrer de l'use X. Pour dstguer les caractérstques de la populato de celle de l'échatllo, o utlse les symboles suvats: Tableau: Symboles caractérstques de la populato et de l échatllo. Caractérstques Populato Echatllo Moyee arthmétque x Varace S Ecart-type S Coeffcet de varato Cv As, o peut formuler l'objet de l'estmato des caractérstques de la maère suvate: Il s'agt de détermer, à l'ade de l'formato foure par les échatllos, et avec le maxmum de précso, les caractérstques et les valeurs types de la populato. Pour estmer la talle des échatllos ; l exste deux cas de fgure : - Echatllo de pette talle, s 30; - Echatllo de grade talle, s 30. Cette estmato reste, be sûr, covetoelle.. Estmato de la moyee arthmétque. Echatllos de pette talle (30) L'erreur absolue de la moyee arthmétque est détermée par la relato suvate: S t t (IV -); L'tervalle de coface de la moyee arthmétque est: x x (IV -). Où : t t- valeur tabulée du crtère de Studet (l faut oter que t t est c focto du ombre de degrés de lberté et de la probablté de coface P), c'est à dre : t t = f( ; P)= t t[ = -P ; = -] Où : - ombre de degrés de lberté: = ( - ) ; P- probablté de coface: P = - ; - seul de coface : = -P. Les valeurs tabulées du crtère de Studet sot doées das les tables de probablté (cf. table t). Exemples: a/ P = 0.95 et = : Crtère blatéral: Prcpe des mélages et caractérstques - ISGP-05 Page 80

10 t t[/=(-p)/= (- 0.95)/= 0.05/= 0.05; = -=-= 0]=.086 ; Crtère ulatéral: t t[= -P= -0.95= 0.05; = -= -= 0]=.75. b/ P = 0.99 et = : Crtère blatéral: t t[/=(-p)/= (- 0.99)/= 0.0/= ; = -= -= 0]= 3.69 ; Crtère ulatéral: t t[= -P= -0.99= 0.0; = -= -= 0]=.764. Applcato: La mesure de la vsblté apparete (e km) e focto de l humdté a doé les résultats suvats : 0,5 9,8 7, 7,8 0,4 9,7 5,6 8,4, 7, 6, 5,4 7,3 5,9 6,4 5, 7,7 4,8 5,,5 Détermer l tervalle de coface de la moyee de mesure de la vsblté, au seul de coface de 95%? Das ce cas : x ; S 5. 3 ; C v 49,7%. t t / 0.05 / 0.05; ( ) ; Estmato des caractérstques. Echatllos de grade talle (30) ) Doées brutes O appelle doées brutes, des doées que l'o a rassemblées sas se soucer de la oto d'ordre. Par exemple: la sute des 80 valeurs de torso, d u fl de chae de uméro métrque Nm = 60, obteues sur u torsomètre. a. Sutes ordoées Ue sute ordoée est l'arragemet des doées umérques par valeurs crossates ou décrossates. b. Dstrbuto des effectfs Lorsqu'o veut résumer ue grade quatté de doées brutes, l est commode de les dstrbuer e classes ou e catégores et de détermer le ombre d'dvdus apparteat à chaque classe, que l'o appelle fréquece ou effectf de la classe. Quad o représete des doées par ue telle dstrbuto, o dt que ces doées sot des doées groupées. Be que le processus de regroupemet détruse ue grade parte de l'formato tale, l e résulte éamos ue grade clarté par le tableau d'esemble et la sgfcato essetelle des doées qu e résultet. Le regroupemet e classes Le regroupemet cosste à remplacer toutes les valeurs du caractère, stuées das u tervalle doé, par ue valeur uque dte "cetre de classe", à laquelle o attrbue ue fréquece égale à la somme des fréqueces des valeurs du caractère apparteat à cet tervalle. Pour regrouper les doées, o procède de la maère suvate: a/ o rage les valeurs brutes de la sére par ordre crossat ou décrossat; b/ o recherche les valeurs maxmale et mmale de la sére: x max et x m ; c/ o déterme l étedue des valeurs : E x - x ; max m Prcpe des mélages et caractérstques - ISGP-05 Page 8

11 d/ o chost le ombre de classes k de regroupemet e utlsat les recommadatos portées das le tableau, ou l ue des formules proposées. Tableau : Nombre de classes e focto du ombre d essas. Nombre d essas ombre de classes k Ou les formules suvates: / / k/ k 3.33 log ou k pour (IV -3) 5 k ( - ) Pour 00 ; e/ o déterme la valeur de l'tervalle etre les classes: E xmax xm x (IV -3) ; k k f/ o déterme les lmtes de chaque classe: m (xm x) x m x) (xm x) x x ; (IV -4) ; ( x ;... ;... ; k ( xmax x) xmax x ; g/ o calcule le cetre de chaque classe: xm (xm x) x ; (IV -5) ; (xm x) (xm x) x ;... ;... ; xmax (xmax x) xk ; h/ o répartt toutes les doées expérmetales par classe et o déterme les fréqueces absolues de chaque classe ; à oter que : ; / o procède au chagemet d'orge et d échelle, e détermat la dévato u : x x0 u ; (IV -6) : x x 0 - "pseudo-moyee», "moyee provsore" ou moyee fctve. D'habtude, cette valeur est prse égale à la valeur du cetre de la classe ayat la plus grade fréquece. Après tous ces calculs, o déterme les caractérstques statstques de l'échatllo: ) Les caractérstques de posto. Moyee arthmétque Le calcul de la moyee arthmétque des doées groupées e classes est doé par la relato suvate: k x x 0 x u ; (IV -7) ; O peut égalemet calculer la moyee e utlsat la relato suvate : Prcpe des mélages et caractérstques - ISGP-05 Page 8

12 Fréqueces IV- E L E M E N T S D E S T A T I S T I Q U E S A P P L I Q U E S E N F I L A T U R E k X = f X = (IV 8);. La valeur modale ou mode O appelle valeur modale, la valeur du caractère qu correspod à la plus grade fréquece. Das le cas d'u caractère dscret, sa détermato est mmédate. E revache, lorsque les doées sot groupées e classes, le mode s'applque à la classe ayat la plus grade fréquece (classe modale ou domate). Das ce cas, le mode est détermé de la maère suvate: L'approxmato parabolque ou méthode de Pearso: 5 0 C B d O d 4 5 A D 0 5 Fg. IV.08 : détermato de la valeur modale géométrquemet Géométrquemet o peut poser (vor étude de cas) : d Mo X (Tragles semblables) ; d X M 0 d d X (X Xd X D autre part : X d (X X (d o - M - d M o d ) d o d M (M M o (d o o X X - X - d d X ); ); x (vor fg.7.6); x) d M (d d ); d ) x d M o o (d ; d d Mo X x ; (IV -9) ; d d ,75 043,5 05, ,75 078,5 087,5 096 Lmtes des classes Où : X- bore féreure de la classe modale ; x - tervalle (ampltude) etre les classes ; d - excédet d'effectfs de la classe modale sur la classe précédete ; d - excédet d'effectfs de la classe modale sur la classe suvate.. La médae pour ue sére groupée e classes Prcpe des mélages et caractérstques - ISGP-05 Page 83 C'est la valeur possble de la varable x tel que l'effectf des valeurs qu lu sot supéreures, égale celu des valeurs qu lu sot féreures. La détermato de la médae peut être fate selo le type de sére (vor paragraphe paramètres de posto). X ); M o X

13 Fréqueces cumulées % IV- E L E M E N T S D E S T A T I S T I Q U E S A P P L I Q U E S E N F I L A T U R E Lorsque les doées sot groupées e classes, le calcul de la médae est obteu sot graphquemet, e utlsat le dagramme cumulatf, sot par terpolato léare. 00% Dagramme cumulatf F F 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% B C A C A ,75 043,5 05, ,75 078,5 087,5 096 X X Bores supéreures des classes M e Cosdéros les tragles semblables: fg. IV.09: détermato graphque de la médae ABC E vertu de cela, o peut égalemet écrre: et A' BC' F F X F 50 X, sot: - X - M F 50 F 50 X - Me F F F F X - X x ; e ; AB AC ; A'B A'C' F 50 Me X - x ; F F (IV.0); Où: M e- médae; X - la bore féreure de la classe médae (ou bore supéreure de la classe mmédatemet féreure à la classe médae); X - la bore supéreure de la classe médae (ou bore féreure de la classe mmédatemet supéreure à la classe médae); F - fréquece cumulée (e %) de la classe mmédatemet féreure à 50% des valeurs; F - fréquece cumulée (e %) de la classe mmédatemet supéreure à 50% des valeurs; x - ampltude ou tervalle etre les classes. v. Les quatles Les quatles (ou percetles) sot des caractérstques de posto pusqu'ls correspodet à des valeurs de la varable statstque qu partaget la sére statstque ordoée (ordre crossat) e "l" partes égales. O trouve les quartles, les décles et les cetles. S l= 4, les quatles sot appelés quartles. Il y a doc tros quartles, que l'o désge par Q, Q et Q 3. Fg. IV.0 : Les quartles Prcpe des mélages et caractérstques - ISGP-05 Page 84

14 Ce schéma dque que chaque parte cotet 5% de l'esemble des observatos de la sére ordoée. O dra, par exemple, que 5% des valeurs, prses par la varable statstque, sot féreures à Q ou ecore les 5% des dvdus les "plus fables" sot das le premer quartle. Les 5% les "plus forts" sot supéreurs au 3ème quartle. Pusque Q partage la sére e deux partes égales, par coséquet Q =Me. Notos égalemet que Q 3 Q est appelé l'tervalle terquartle et comporte 50% des observatos. Les quartles peuvet s'obter drectemet de la courbe cumulatve crossate des fréqueces relatves (vor étude de cas). Les quartles sot égalemet utles das le calcul de certaes caractérstques de forme comme les coeffcets d'asymétre et d'aplatssemet. La logque utlsée pour la détermato de la médae se traspose sas dffculté à la détermato des quatles. E effet: F 5 Q X x ; (IV -) ; F F X - bore supéreure de la classe mmédatemet supéreure à la classe coteat le quatle (pour le quartle Q, c'est la classe coteat 5% des valeurs); F - fréquece cumulée (e %) de la classe mmédatemet féreure à 5% des valeurs; F - fréquece cumulée (e %) de la classe mmédatemet supéreure à 5% des valeurs; x - ampltude ou tervalle etre les classes. 3) Estmato de la moyee arthmétque Pour les séres de grades talles 30, l'erreur absolue de coface est doée par la relato suvate: Z t ; (IV -) ; Où : Z t - quatle de la focto de Laplace (de la lo ormale); déped de la probablté de coface P (cf. tables lo ormale) mas e déped pas du ombre de degrés de lberté, comme das le cas du crtère de Studet. De maère aalogue aux échatllos de pettes talles, l'tervalle de coface de la moyee arthmétque, das le cas d échatllos de grade talle, est: x x. (IV -3) ; 4) Les caractérstques de dsperso. L'écart-type: k k u x u ; (IV -3a) ; k Ou be f ( X * ) X (IV -3b) ;. Le coeffcet de varato: Cv x00%. (IV -4) ; x Prcpe des mélages et caractérstques - ISGP-05 Page 85

15 Référeces bblographques. P. Souvay : La statstque, outl de la qualté. Edto AFNOR (5ème trage corrgé), Pars Boteux B. : Gude du techce qualté : Outls pour la qualté e producto ; Edto Delagrave, Pars Berrah A. : Cours et exercces de statstque applquée. Sed Alger Domck S. : Ecoométre et statstques applquées ; cours et problèmes. Sére schaum. 5. Duckworth W.E. : Méthodes statstques de la recherche techologque. Duod Pars Bruxelles Motréal, Lavoe R. : Statstque applquée ; auto appretssage par objectfs ; e édto ; presse de l uversté du Québec, Metha G. : Les tests statstques au servce des affares. Edtos hommes et techques ; Neully-sur-See, 3e trmestre Moreau M. et Matheu A. : Statstque applquée à l expérmetato. Edtos Eroylles, Pars Vger M. G. : applcatos pratques de la statstque modere. Edtos Eyrolles, Pars Lyoet P. : la mateace, mathématques et méthodes. Trosème édto. Techque et documetato Lavoser, pars 99.. Lamoulle J. L., murry B., Poté C. : la maîtrse statstque des procédés. Démarche et outls. pars, Afor Ballargeo G.: techques statstques. Les édtos smg, tros-rvères, québec, Lgero J., delage A., eff M. : la fablté e explotato, orgasato et tratemet des doées. Techque et documetato lavoser, pars Léoard J. kazmer, ph.d. Arzoa state uversty: statstques de la gesto. Théore et problèmes. Sére schaum. McGraw-Hll édteurs, Bblothèque atoal Québec Azoulay E., Cohe D. : Statstques cours et exercces résolues. ème édto. Edscece teratoale Pars 993. Duod Pars 00 pour le ouveau trage. Prcpe des mélages et caractérstques - ISGP-05 Page 87

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