UN I V E R S I T É. Vincennes-Saint-Denis. Mathématiques, Informatique, Technologies, Sciences de l Information et de la Communication

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1 PARIS8 UN I V E R S I T É Vincennes-Saint-Denis UFR 6 MITSIC Mathématiques, Informatique, Technologies, Sciences de l Information et de la Communication Introduction à la logique Philippe Guillot 23 septembre 2016 Licence de Mathématiques

2 Sommaire 3 Sommaire Introduction Chapitre I. Le calcul des propositions Propositions Propositions simples, propositions composées Connecteurs logiques Chapitre II. Le langage des formules propositionnelles Formule bien construite L arbre syntaxique d une formule Interprétation et évaluation d une formule Notation polonaise préfixe Chapitre III. Tautologies et contradictions Définitions Définition des principaux connecteurs Méthode sémantique Méthode syntaxique Quelques tautologies usuelles Chapitre IV. Raisonnements et inférences Ensemble consistant de formules Inférences et déductions Règles d inférence Chapitre V. Formes normales Fonction booléenne Forme normale disjonctive Méthode des arbres Applications de la méthode des arbres Chapitre VI. Déduction naturelle Introduction Trois règles de base Traitement des connecteurs Exemples

3 4 Sommaire Chapitre VII. Prédicats Les limites du calcul des propositions Prédicat Les prédicats unaires Chapitre VIII. Le langage des prédicats La grammaire du langage Portée, variable libre, variable muette Chapitre IX. Interprétation, validité Interprétation Vérité d une formule Formules valides Équivalences classiques en calcul des prédicats Chapitre X. Méthode des arbres en calcul des prédicats Règles de développement Exemples Tester la validité d une formule Vérifier la validité d un raisonnement Complément : une formule qui n admet aucun modèle fini Chapitre XI. Déduction naturelle en langage des prédicats Règle sur Règle sur Exemples Index alphabétique Bibliographie Annexe Annexe

4 Introduction 5 Introduction La logique est l étude des procédés qui conduisent de façon irréfutable à des énoncés vrais. Elle a pour objet la recherche de la vérité au moyen de raisonnements et de déductions. On souhaite éliminer l intuition, le jugement, l appréciation, la confusion, l ambiguïté, de telle sorte que la conclusion s impose à tous et que personne ne puisse la réfuter. Elle est l un des éléments de l argumentation. Les autres éléments sont la persuasion qui fait appel aux sentiments et la conviction qui invoque la raison, mais sans utiliser la logique («Il faut arrêter de fumer, car cela nuit à la santé»). La logique est née dans la Grèce antique. Son principal auteur est Aristote ( 384, 322), disciple de Platon, qui en a élaboré les fondements dans les livres III et IV de son ouvrage L Oragon, dans le cadre de l analyse du langage et en opposition à la rhétorique, pour dénoncer les sophismes, ces raisonnements fallacieux exprimés en termes convaincants. La logique a besoin de développer son propre langage. La langue naturelle est trop riche. Elle permet d exprimer des appréciations et des sentiments. Il a fallu restreindre la langue naturelle et la rendre formelle, en particulier pour lever les ambiguïtés. La langue formelle permet d exprimer clairement la validité d une déduction de manière irréfutable. En contre-partie elle est appauvrie. Elle ne permet pas d exprimer toutes les subtilités de la langue naturelle. La psychologie est éliminée. De plus, la langue formelle n est pas réflexive, elle n est pas assez riche pour traiter d elle-même. Les paradoxes sont souvent dus à l auto référence, c est-à-dire un énoncé qui a lui même pour objet. La phrase «Je suis fausse» est-elle vraie? est-elle fausse? La langue naturelle, elle, est réflexive. La linguistique par exemple, est un discours sur la langue naturelle exprimé dans la langue naturelle. Mais la langue formelle est lourde et impraticable. On utilise en pratique la langue naturelle dans son acceptation logique qui permet de concilier élégance et rigueur. Terminons cette courte introduction en parcourant quelques domaines qui utilisent la logique. En mathématiques, la logique s inscrit dans les fondements et décrit la façon de mener des déductions rigoureuses. En informatique, le calcul binaire manipule les symboles 0 et 1. Il est issu du calcul des propositions qui manipule également deux valeurs «vrai» et «faux». Les bases de données utilisent des énoncés logiques comme clé d accès. La logique a été présentée comme l étude des «lois de la pensée» (Georges Boole, ) et est particulièrement présente en intelligence artificielle. Un langage de programmation, le Prolog (Programmation logique) est spécialement dédié à la manipulation d énoncés logiques. En linguistique, la logique est utilisée pour extraire le sens du discours et étudier son lien avec la façon dont les phrases sont construites. La logique est une composante à part entière de la philosophie dont un des objets est construction du vrai. Dans le domaine du droit, un jugement est une décision de ce qui est considéré comme une vérité juridique. La construction de cette vérité s appuie sur une construction logique. Dans un jugement comme dans un théorème mathématique, la conclusion doit s imposer à tous. La logique est finalement une arme quotidienne du citoyen qui lui permet de défendre son point de vue avec rigueur et de démasquer les sophismes que nous assènent les discours démagogiques et publicitaires.

5 6 Le calcul des propositions I LE CALCUL DES PROPOSITIONS I.1 Propositions La notion de proposition est une notion primitive, qui n est pas définie de façon formelle. Définition I.1 [Proposition] Une proposition est une phrase dont on peut dire sans ambiguïté qu elle est soit vraie soit fausse. La qualité d être «vraie» ou «fausse» s appelle la valeur de vérité de la proposition. Exemples : Les énonces suivants sont des propositions. «Il pleut.» «1 + 1 = 3.» «Pierre est un imbécile.» On ne s intéresse pas à la véritable valeur, qui d ailleurs est parfois impossible à déterminer. Savoir si Pierre est ou non un imbécile est une question d appréciation et de jugement. On s intéresse seulement au fait qu on peut attribuer l une ou l autre valeur, même si on ne sait pas exactement laquelle des deux valeurs attribuer. Par contre, les phrases suivantes ne sont pas des propositions, car il est impossible de dire si elles sont vraies ou fausses. Elles sont éliminées du discours de la logique : «Va-t en!» et en général toutes les injonctions impératives. «Aimez-vous Brahms?» et en général toutes les questions. «Je suis une phrase fausse». Cette phrase auto-référente porte en elle sa propre contradiction. I.2 Propositions simples, propositions composées Une proposition est dite simple, si on ne peut pas la décomposer, c est-à-dire si on ne peut pas trouver une partie stricte qui soit vraie ou fausse. Par exemple, la proposition «Pierre et Marie s aiment» comprend deux sous-énoncés : «Pierre aime Marie» et «Marie aime Pierre» Ces deux sous-énoncés ne sont plus décomposables en sous-énoncés. Ce sont des propositions simples. La valeur de vérité d une proposition complexe obéit au principe suivant : Proposition I.2 [Principe de composition] La valeur de vérité d une proposition composée ne dépend que des valeurs de vérité des propositions simples qui la composent. La proposition «Pierre et Marie s aiment» est vraie si à la fois Pierre aime effectivement Marie, et Marie aime effectivement Pierre. Elle est fausse dans tous les autres cas. Les principes suivant de la logique ont été introduits par Aristote ( avant J.C.) et seront admis dans cette introduction. Principe du tiers exclus : une proposition est soit vraie, soit fausse. Il n y a pas de troisième choix possible. Principe de non-contradiction : une proposition ne peut pas être vraie et fausse à la fois. Si elle est vraie, alors elle n est pas fausse et si elle est fausse, alors elle n est pas vraie.

6 I.3 Connecteurs logiques 7 I.3 Connecteurs logiques Les connecteurs logiques sont les opérations qui permettent de construire de nouvelles propositions composées à partir de propositions simples. Les connecteurs sont définis par une table qui donne la valeur de la proposition composée selon les valeurs possibles des propositions simples qui la composent. La table qui définit les valeurs d un connecteur s appelle une table de vérité. I.3.1. Négation Ce connecteur unaire échange la valeur de vérité. La négation d une proposition vraie est fausse, la négation d une proposition fausse est vraie. Ce connecteur se note. p p p v f v f v f Le symbole p désigne n importe quelle proposition simple ou composée. Remarquer que p est une proposition composée qui a la même valeur que la proposition p. La négation de «il pleut» est «il ne pleut pas». Dans la langue naturelle, la négation s exprime par la forme négative ne... pas, ou bien en préfixant l énoncé par «il est faux que...» I.3.2. Conjonction La conjonction est le connecteur «et» et se note. La proposition p q est vraie lorsque p et q sont toutes les deux vraies, et fausse dans le cas contraire. La conjonction s exprime aussi en langue naturelle par «mais», «bien que». «Il est parti malgré le froid mais il a oublié ses gants.» p q p q v v v v f f f v f f f f Commutativité : La proposition p q a la même valeur que la proposition q p. I.3.3. Disjonction La disjonction est le connecteur «ou» et se note. La proposition p q est vraie si l une ou l autre des propositions p ou q est vraie, et est fausse si les deux propositions p et q sont fausses. p q p q v v v v f v f v v f f f Exemple. Vous rencontrez quelqu un à une soirée et vous savez qu il déteste marcher sous la pluie. Le «ou» de la phrase suivante correspond à une disjonction : «Il ne pleut pas ou il a pris son parapluie.»

7 8 Le calcul des propositions Parfois la disjonction s exprime par un «et» dans la langue naturelle : «Réduction aux étudiants et aux chômeurs. La réduction s applique si l on est un étudiant ou si l on est un chômeur. Commutativité : La proposition p q a la même valeur que la proposition q p. La disjonction est rare en langue naturelle. Une personne vient d apprendre que le femme de son ami logicien vient d accoucher. «- alors, c est un garçon ou une fille?» demande-t-il. «- oui.» répond son ami logicien. I.3.4. Ou exclusif Le «ou» de la langue naturelle correspond le plus souvent au ou exclusif de la logique. Ce dernier se note. La proposition p q est vraie si l une des deux propositions p ou q est vraie, mais pas les deux : «fromage ou dessert». p q p q v v f v f v f v v f f f Dans la langue naturelle, le ou exclusif s exprime parfois par la locution «soit... soit...» ou encore par «... sauf si...» : soit fromage, soit dessert, fromage sauf si dessert. Le phrase «Je prendrai mon parapluie, sauf s il y a du soleil.» est vraie s il je prend mon parapluie et qu il n y a pas de soleil, ou encore si je ne prends pas mon parapluie et qu il y a du soleil. Elle est fausse dans les autres cas. Commutativité : La proposition p q a la même valeur que la proposition q p. I.3.5. Implication logique L implication logique est un connecteur logique, noté défini par : Définition I.3 [implication logique] la formule p q a la même valeur que la formule p q. p q p p q v v f v f f f v v f f v L implication logique p q s exprime dans la langue mathématique par : «p implique q» «Être divisible par 6 implique être pair» «si p alors q» «Si un nombre est divisible par 6, alors il est pair» «p seulement si q» «Un nombre est divisible par 6 seulement s il est pair» «p est suffisant pour q» «Être divisible par 6 est suffisant être pair» «q est nécessaire pour p» «Être pair est nécessaire pour être divisible par 6» La proposition «S il pleut, alors Jean reste à la maison»

8 I.3 Connecteurs logiques 9 est fausse si Jean sort sous la pluie, et est vraie dans les autres cas, c est-à-dire s il ne pleut pas s il pleut et si Jean reste à la maison. L implication logique est un connecteur entre deux propositions. Il ne signifie pas forcément un lien de causalité entre les propositions qu il connecte. La causalité peut exister : «S il pleut alors le sol est mouillé» La causalité peut s exprimer par d autre locutions que si... alors.... «Jean boit toujours du vin avec son fromage» Mais elle peut aussi être inversée : «Si Thomas a gagné à la loterie, alors c est qu il a joué.» Les deux assertions peuvent avoir une cause commune et sans lien de causalité entre elles : «Si les feuilles des arbres commencent à tomber, alors je branche mon chauffage» Parfois, il peut n y avoir aucun lien de causalité : «Si = 5 alors Paris est la capitale de l Italie.» L implication peut être utilisée pour appuyer un avis : «Si Michel chante bien, alors je veux être pendu!» Une phrase qui commence par la conjonction si... peut ne pas correspondre à une implication. À quel connecteur correspond-elle dans les énoncés suivants? «Si les mathématiques sont une science, elles ne sont ni un art, ni un jeu» «Si tu as soif, il y a une bière dans le frigo» I.3.6. Contraposée et réciproque Définition I.4 [contraposée] La contraposée de l implication p q est l implication q p. Considérons l implication suivante : «Si Pierre vient à la soirée, alors il ne restera pas de vin» (*) Sa contraposée est : «S il reste du vin, alors Pierre n est pas venu à la soirée»

9 10 Le calcul des propositions Définition I.5 [réciproque] La réciproque de l implication p q est l implication q p. La réciproque de l implication (*) ci-dessus est : «S il ne reste pas de vin, alors Pierre est venu à la soirée» p q p q p q q p q p v v v f f v f f L examen de la table ci-dessus permet d énoncer : Proposition I.6 [propriété de la contraposée] Une implication a toujours la même valeur que sa contraposée. L examen de la table montre aussi qu une implication n a pas toujours la même valeur que sa réciproque. L opérateur n est pas commutatif. I.3.7. Équivalence logique L équivalence logique se note. ] Définition I.7 [Équivalence logique La proposition p q a la même valeur que la conjonction : (p q) (q p). En langue naturelle, l équivalence p q correspond à «p équivaut à q». En langage mathématique, cela se dit souvent «p si et seulement si q». p q p q q p p q p q p q (p q) (p q) v v v v v v f f v f f v v f f f f v v v L équivalence p q est vraie lorsque p et q ont la même valeur de vérité, et est fausse dans le cas contraire. Finalement, l équivalence p q a la même valeur que (p q). Commutativité : La proposition p q a la même valeur que la proposition q p.

10 I.3 Connecteurs logiques 11 I.3.8. Barre de Sheffer La barre de Sheffer (Henry Maurice Sheffer, ) se note. Il correspond au connecteur «non... et...», que les électroniciens nomment porte nand. Par définition, p q a la même valeur que (p q). p q p q p q v v v f v f f v f v f v f f f v La proposition p q est vraie lorsque p et q ne sont pas simultanément vraies, et faux dans le cas contraire. Ce connecteur exprime que les propositions qu il connecte sont incompatibles. Pour cette raison, ce connecteur s appelle aussi connecteur d incompatibilité. Tous les autres connecteurs binaires peuvent s exprimer à l aide de la barre de Sheffer, par exemple : p a la même valeur que p p. p q a la même valeur que (p q) (p q).

11 12 Le langage des formules propositionnelles II LE LANGAGE DES FORMULES PROPOSITIONNELLES Dans cette section, on décrit le langage formel du calcul des propositions. Ce formalisme permet un traitement automatique et élimine toute ambiguïté. Comme tout langage, celui des formules propositionnelles comprend deux aspects : L aspect syntaxique correspond à la façon de bien construire les formules de ce langage, et de reconnaître les formules bien construites. L aspect sémantique décrit sa signification. La signification d une formule renvoie à une interprétation qui permet d établir si elle est vraie ou fausse. II.1 Formule bien construite Le langage des propositions dispose de symboles qui constituent son alphabet. Celui-ci comprend : des symboles p, q, r, s, etc. qui représentent des propositions simples. des symboles v (ou ) et f (ou ) qui représentent les constantes «vrai» et «faux». les symboles des connecteurs logiques,,,,,,. les parenthèses ouvrante «(» et fermante «)». Cet alphabet constitue l ensemble des symboles terminaux du langage des propositions. Une formule du langage des propositions est un mot construit à l aide de cet alphabet. Mais toutes les combinaisons ne sont pas permises. Pour décrire ce qu est une formule bien construite, on utilise une grammaire qui décrit les règles de construction de formules correctes. Pour décrire la grammaire, on utilise un symbole non terminal F qui représente une formule en cours de construction. Les règles de construction d une formule décrivent comment la construire. Pour le traitement automatique, les règles se transcrivent facilement en programme de traitement. Règle 1. Une formule peut être une variable de proposition simple ou une constante v ou f. Cette règle se note F p q r s v f. Cela signifie que la formule en cours de construction 1 F peut être une proposition simple représenté par un symbole p, q, r ou s, ou bien encore une constante «vrai» ou «faux». Règle 2. Une formule peut être la négation d une formule. Cette règle se note F F. Elle signifie qu une formule peut être obtenue à partir d une autre 2 formule en ajoutant le symbole pour signifier la négation de la formule F. La formule p s obtient en appliquant successivement ces deux règles par la dérivation : F 2 F 1 p La première flèche est une dérivation qui utilise la règle 2, et la deuxième flèche est une dérivation qui utilise la règle 1. Voici un autre exemple de dérivation pour la construction de la formule p. F 2 F 2 F 1 p Règle 3. Une formule peut être la connexion de deux formules. Cette règle se note F 3,,,, ou. ( F op F ), où op représente n importe quel connecteur logique binaire, Ce langage s appelle un langage infixe car on note le connecteur entre les deux formules qu il connecte. Ces deux formules sont les opérandes du connecteur. La formule (p q) s obtient par la dérivation suivante : F 3 (F F) 1 (p F) 1 (p q)

12 II.2 L arbre syntaxique d une formule 13 Une formule est bien construite si elle peut s obtenir à partir du symbole F par une succession d applications de ces trois règles de ré-écriture. La formule ( (p q) r) est bien construite. Par contre, la formule p q r n est pas bien construite. D ailleurs elle est ambiguê. Elle pourrait signifier (p q) r ou p (q r) selon qu on décide d appliquer l une ou l autre des implications en priorité. Les parenthèses sont nécessaires autour d un connecteur binaire pour lever toute ambiguïté concernant l ordre d application des connecteurs. II.2 L arbre syntaxique d une formule L application de chacune des règles de construction d une formule peut se représenter par un arbre, appelé arbre syntaxique de la formule. Le point de départ de la construction de l arbre est l unique symbole non terminal F. Règle 1. La réécriture F p se représente en remplaçant le symbole F, présent dans un arbre 1 en cours de construction, par la feuille p. Règle 2. La réécriture F F se représente en remplaçant le symbole F, présent dans un arbre 2 en cours de construction, par la branche Règle 3. La réécriture F F F, par exemple, se représente en remplaçant le symbole F, 3 présent dans un arbre en cours de construction, par le sous-arbre Une formule bien construite peut ainsi toujours se représenter par un arbre, en remplaçant successivement le symbole non terminal F par le sous-arbre qui correspond à la règle de dérivation qui a conduit à cette formule. La formule : (1) est construite par la dérivation suivante : ( r (p q) ) F 3 (F F) 3 (F (F F)) 2 ( F (F F)) 1 ( r (F F)) 1 ( r (p F)) 1 ( r (p q)) En appliquant la réécriture par des arbres, en partant de l unique symbole F, et jusqu à n obtenir que des symboles terminaux, on obtient finalement l arbre suivant pour cette formule : r p q Cette représentation montre bien que cette formule est une conjonction, dont les deux termes sont r et p q. II.3 Interprétation et évaluation d une formule Donner un sens à une formule, c est donner une signification aux variables qui la composent, et la signification conduit à leur attribuer une valeur de vérité.

13 14 Le langage des formules propositionnelles II.3.1. Interprétation Une interprétation d un ensemble de variables est une valeur attribuée à chacune d elles. Une variable a deux interprétations possibles, «vrai» et «faux». Deux variables ont quatre interprétations possibles, trois variables ont huit interprétations possibles, etc. II.3.2. Évalutation Évaluer une formule signifie lui attribuer une valeur «vrai» ou «faux», selon l interprétation des variables qui la composent. Les règles d évaluation suivent les règles de construction de la formule. Règle 1. La valeur d une formule réduite à une proposition simple est celle de la proposition qui la constitue. La valeur d une constante est elle-même. Règle 2. Pour une formule F, la valeur de F est «vrai» si F a pour valeur «faux», et a pour valeur «faux» si F a pour valeur «vrai». Règle 3. La valeur de la formule F 1 op F 2 est obtenue en appliquant le connecteur op aux valeurs des formules F 1 et F 2. Exemple. Dans la formule (1), si r a pour valeur v, p a pour valeur v et q a pour valeur f, on peut attribuer les valeurs suivantes dans son arbre : (f) (f) (f) r (v) p (v) q (f) Avec ces valeurs pour r, p et q, la valeur de la formule (1) est «faux». Exercice. Faire une représentation arborescente de la formule : ( ( p ( r (p q) )) r ) puis l évaluer avec p = f, q = v et r = f. II.4 Notation polonaise préfixe La notation polonaise préfixe a été mise au point en 1920 par le philosophe et mathématicien polonais Jan Lukasiewiecz ( ). Elle présente l avantage de ne pas nécessiter de parenthèse pour établir une écriture non ambiguê. Elle est facilement utilisable pour un traitement automatique sur ordinateur. Elle est également intuitive pour un utilisateur humain légèrement entraîné et est encore utilisée sur certaines calculatrices H.P. Les règles de dérivation sont les suivantes : Règle 1. Une formule peut être une variable ou une constante : F 1 p q r v f Règle 2. Une formule peut être une négation : F F. 2 Règle 3. Une formule peut être une formule composée par un connecteur op : F op F F 3 Les deux première règles sont identique à celles l écriture infixe usuelle, mais pour écrire une formule composée en notation polonaise préfixe, on note d abord le connecteur, suivi des deux opérandes du connecteur. Cette façon de faire permet de se passer des parenthèses. Considérons la formule en notation polonaise préfixe :

14 II.4 Notation polonaise préfixe 15 p q p q Elle a été obtenue par la succession de règle suivante : F 3 F F 2 F F 3 F F F 3 F F F F 2 F F F F 2 F F F F 1 p q p q La dernière flèche est une abréviation qui regroupe en fait quatre dérivations de la règle 1 de réécriture d une formule en une variable. En appliquant les règle similaires de la notation usuelle infixe, cette formule se traduit en : L arbre de cette formule est : ( (p q) ( p q)) p q p q L arbre d une formule représente la suite des règles qui sont appliquées pour la produire. Il porte en lui la signification de la formule, indépendamment de la notation utilisée, quelle soit préfixe ou infixe.

15 16 Tautologies et contradictions III TAUTOLOGIES ET CONTRADICTIONS III.1 Définitions Définition III.1 [Tautologies et contradictions] Une tautologie est une formule propositionnelle dont la valeur est toujours «vrai», quelles que soient les valeurs des variables qui la composent. Une formule dont la valeur est toujours «faux» s appelle une contradiction. Exemples. Compléter la table de vérité suivante : p q p q q (p q) ( ) p (p q) (p q) v v v f f f v f Si q est vrai, alors tout implique q Les formules q (p q) et ( ) p (p q) (p q) apparaissent vraies pour toutes les interprétations des variables qui les composent. Ce sont des tautologies. Premières tautologies Principes d identité : p p et p p Principe du tiers exclus : p p Principe de non-contradiction : (p p) Principe de la double négation : p p Idempotence du «et» : p (p p) Idempotence du «ou» : p (p p) v est neutre pour «et» : (p v) p f est neutre pour «ou» : (p f) p v est absorbant pour «ou» : p v f est absorbant pour «et» : (f p) Commutativité du «et» : (p q) (q p) Commutativité du «ou» : (p q) (q p) Commutativité de l équivalence : (p q) (q p) Commutativité du «ou exclusif» : (p q) (q p) L implication n est pas commutative. La constante v est une tautologie. La constante f est une contradiction. La formule p p est une tautologie. La formule p p est une contradiction. Une tautologie est une formule qui est vraie indépendamment des interprétations des variables qui la composent. Ce sont en quelque sorte des vérités universelles. Si une formule est toujours vrai alors sa négation est toujours fausse, et réciproquement, ce qui permet d énoncer :

16 III.2 Définition des principaux connecteurs 17 Proposition III.2 Les deux énoncés suivants sont équivalents : «p est une tautologie» et «p est une contradiction» Par conséquent, toute tautologie permet d énoncer une contradiction, simplement en la niant. On ne s intéressera donc qu aux tautologies. La proposition III.2 n est pas un énoncé du langage des proposition, mais un énoncé en langue naturelle qui traite de propriétés du langage des propositions. III.2 Définition des principaux connecteurs La définition d un nouveau connecteur énonce une tautologie par équivalence avec une formule qui ne comprend que des connecteurs définis auparavant. Les propositions ci-après sont donc des tautologies par définition : Définition de l implication : (p q) ( p q) Définition de l équivalence (p q) ( (p q) (q p) ) Définition du «ou exclusif». (p q) (p q) Définition de la barre de Sheffer. (p q) (p q) III.3 Méthode sémantique Une première méthode pour montrer qu une formule est une tautologie est de calculer sa table de vérité et de vérifier que la valeur est toujours «vrai». Cette méthode montre qu une formule est une tautologie en calculant toutes les valeurs possibles. Il s agit d une méthode sémantique, car elle établit la vérité d une formule pour toutes les interprétations possibles des variables. Par exemple, montrons la première loi de De Morgan qui énonce que (2) (p q) ( p q) est une tautologie Pour cela, complétons la table de vérité suivante : p q p q (p q) p q p q v v f f v f v f De même, montrons l associativité de la loi. Pour cela, compléter la table de vérité suivante : p q r (p q) (p q) r (q r) p (q r) v v v v v f v f v v f f f v v f v f f f v f f f

17 18 Tautologies et contradictions Cette méthode peut devenir rapidement impraticable si le nombre de variables devient trop grand. Ajouter une seule variable multiplie par deux le travail pour effectuer une vérification complète. Une formule avec n variables de propositions comporte 2 n interprétations possibles. 30 variables conduisent à plus d un milliard d interprétations. (1 milliard de secondes font environ 31 ans et 8 mois). Exercices. Montrer, par une méthode sémantique, ( que les formules ) ( suivantes ) sont des tautologies a) associativité de ( (p q) r ) ( p (q r) ) b) distributivité de sur : ( (p q) r ) ( (p r) (q r) ) c) distributivité de sur : (p q) r (p r) (q r) d) deuxième loi de De Morgan : (p q) ( p q) III.4 Méthode syntaxique La vérité d une tautologie ne dépend pas du contexte ni de l interprétation des variables qui la compose. Elle doit apparaître dans la formule elle-même et non pas dans les valeurs particulières de ses variables. Par exemple, une formule comme (p p) est une tautologie du fait même de la définition du connecteur. Elle est vraie en raison de son écriture même, sans avoir à préjuger d une signification pour la variable p. Les méthodes syntaxiques s appuient sur l écriture de la formule pour établir son caractère tautologique ou contradictoire. Elles reposent sur le principe de substitution, qui est une règle de ré-écriture. Proposition III.3 [principe de substitution] Soient A, B et C trois formules propositionnelles. Si A B est une tautologie et si A apparaît comme une sous-formule de C, alors la formule obtenue en remplaçant des occurrences de A par B dans la formule C est une formule qui a la même valeur que C. Exemple. La définition du connecteur stipule que la formule suivante est une tautologie : (p q) }{{} A ( p q) }{{} B La formule (p q), est de la forme A. Elle a donc la même valeur que B qui est ( p q). Pour montrer qu une formule est une tautologie par une méthode syntaxique, on applique le principe de substitution à cette formule pour en déduire une formule équivalente à «vrai». Exemples. 1. Montrons que la formule C, égale à ( (p q) ( p q) ) est une tautologie. Remplacer p par p dans la loi de De Morgan (2) montre que la formule suivante est une tautologie : ( p q) ( p q) Le principe de double négation p p permet de remplacer p par p dans cette formule et d établir que la formule suivante est une tautologie : ( p q) (p q) Utilisons maintenant la loi de De Morgan pour remplacer ( p q) par (p q) dans la formule C. Cela montre que C a la même valeur que ( (p q) (p q) )

18 III.5 Quelques tautologies usuelles 19 Cette formule est de la forme A A. Le principe de non contradiction permet de conclure qu elle est une tautologie. 2. Montrons que la formule ( p (q p) ) est une tautologie. Pour cela, écrivons des formules équivalentes par substitution et montons que cette formule vaut v : ( ) définition de la première implication p (q p) ( ) définition de la deuxième implication p ( q p) ( ) commutativité de p (p q) ( ) associativité de ( p p) q principe de non contradiction (v q) v est absorbant pour v 3. Montrons le principe de contraposition qui énonce que les formules (p q) et ( q p) sont équivalentes. On procède par substitution à partir de la formule p q : définition de l implication ( p q) commutativité du (q p) double négation ( q p) définition de l implication ( q p) III.5 Quelques tautologies usuelles Ce paragraphe énonce quelques tautologies classiques. Certaines correspondent aux définitions des connecteurs et n ont pas à être démontrées. D autres peuvent se déduire de tautologies précédemment établies par une démonstration syntaxique utilisant le principe de substitution. Un des problèmes de la logique est de définir un ensemble minimal de tautologies admises qui permet de déduire toutes les autres. III.5.1. Lois classiques Double négation p p Principes d identité (p p) (p p) Principe du tiers exclus (p p) Principe de non-contradiction (p p) III.5.2. Tautologies concernant et Idempotence p (p p) p (p p) Commutativité (p ( q) (q ) p) ( ) (p q) (q p) Associativité (p q) r p (q r) ( ) ( ) (p q) r p (q r) ( ) ( ) Distributivité p (q r) (p q) (p r) ( ) ( ) p (q r) (p q) (p r) Lois de De Morgan (p q) ( p q) (p q) ( p q) (p q) ( p q) (p q) ( p q) Élément absorbant (p v) v (p f) f Élement neutre (p v) p (p f) p III.5.3. Définition des principaux connecteurs Implication (p q) ( p q) Équivalence (p q) ( (p q) (q p) ) Barre de Sheffer (p q) (p q)

19 20 Tautologies et contradictions III.5.4. Tautologies concernant l implication Contraposition (p ( q) ( q ) p) Modus ponens ( p (p q) ) q Modus tollens q (p q) p Réfutation par l absurde ((p p) p ) (p q) (p q) p Transitivité ( (p q) (q r) ) (p r) III.5.5. Tautologies concernant le ou exclusif Exclusivité (p p) Commutativité (p ( q) (q) p) ( ) Associativité ( (p q) r ) ( p (q r) ) Distributivité de sur p (q r) (p q) (p r)

20 IV.1 Ensemble consistant de formules 21 IV RAISONNEMENTS ET INFÉRENCES Ce paragraphe présente les façons de construire de nouvelles propositions à partir de propositions qui sont admises. Parmi les objets de la logique, on trouve vérifier que les raisonnements sont corrects, sont valides, non fallacieux ; proposer un moyen de déduire de nouveaux énoncés vrais à partir d hypothèses qu on suppose vérifiées. IV.1 Ensemble consistant de formules Considérons les trois témoignages suivants concernant un fait divers au cours duquel un des protagoniste est coupable d on ne sait quel méfait : Philippe : «Quentin est coupable, Roger n a rien à voir là dedans.» Quentin : «Si Philippe a fait le coup, alors Roger est innocent.» Roger : «Je suis innocent, mais l un des deux autres est coupable.» Traduisons tout d abord les trois propositions énoncées dans ces témoignages. p : «Philippe est coupable» q : «Quentin est coupable» r : «Roger est coupable» Les trois témoignages peuvent s exprimer à l aide de formules propositionnelles. Notons P le témoignage de Philippe, Q celui de Quentin et R celui de Roger. Les informations récoltées s expriment par les formules : P : q r Q : p r R : r (p q) Le problème de l enquêteur est de trouver un ou plusieurs coupables qui soient compatibles avec ces trois témoignages. En d autres termes, peut-il attribuer une valeur aux trois propositions simples p, q et r de telle sorte que les trois formules P, Q et R soient vraies? Définition IV.1 [Interprétation] Pour une liste de variables (p 1,... p n ) de propositions, une interprétation de ces variables est une attribution d une valeur «vrai» ou «faux» à chacune d elles. La notion d interprétation permet de reformuler les définitions de tautologie, de contradiction et de formules équivalentes. Une tautologie est une formule qui prend la valeur «vrai» pour toute interprétation des variables qui la composent. Une contradiction est une formule qui prend la valeur «faux» pour toute interprétation des variables qui la composent. Deux formules sont équivalentes si elles prennent la même valeur pour toute interprétation des variables qui la composent. Ce que cherche l enquêteur est finalement une interprétation à ses trois propositions simples qui désignent un coupable. Dressons la table de vérité de ces variables :

21 22 Raisonnements et inférences P Q R p q r q r p r r (p q) v v v v v f v f v v f f f v v f v f f f v f f f On observe que deux des lignes de cette table rendent vrais tous les témoignages. L inspecteur, s il fait confiance aux trois témoignages, ne peut retenir que deux hypothèses : Philippe et Quentin sont coupables et Roger est innocent, ou Quentin est coupable, Philippe, Roger sont innocents Cet exemple illustre la définition suivante : Définition IV.2 [Ensemble consistant de formules] On dit qu un ensemble de formules est consistant s il existe au moins une interprétation qui donne la valeur «vrai» à toutes les formules ; Cette définition peut se formuler différemment. Proposition IV.3 [Propriété caractéristique d un ensemble consistant de formules] Dire qu un ensemble de formule est consistant revient à dire, de manière équivalente, que leur conjonction n est pas une contradiction. Preuve. Dire que leur conjonction n est pas une contradiction signifie qu il existe une interprétation qui ne donne pas la valeur «faux» à cette conjonction, et donc que toutes les formules sont vraies pour cette interprétation. Exemple. Considérons les formules ( p q) et (p q). Compléter la table suivante. p q ( p q) (p q) (p q) ( p q) v v f f v f v f L ensemble de ces formules est-il consistant? IV.2 Inférences et déductions Une inférence est une opération qui consister à tirer une conclusion à partir d un ensemble de propositions tenues pour vraies qui sont appelées prémisses. Une inférence se note ainsi :

22 IV.2 Inférences et déductions 23 A 1,..., A n }{{} prémisses B }{{} conclusion On dit indifféremment : B est une conséquence de A 1,... et A n B se déduit de A 1,... et A n, B découle de A 1,... eta n. A 1,... et A n infèrent B La question est de savoir quand une telle déduction est valide, et quand elle ne l est pas. Définition IV.4 [Inférence valide] On dit que l inférence A 1,..., A n B est valide si pour toute interprétation qui rend vraies les prémisses A 1,..., A n, la formule B est vraie. On dit également que B est une conséquence valide de A 1,... et A n. Exemples. En reprenant l exemple de Philippe, Quentin et Roger, on peut affirmer que si les trois témoignages P, Q et R sont vrais alors Quentin est coupable et Roger est innocent. Les inférences suivantes sont donc valides : P, Q, R q P, Q, R r Par contre, l inférence P, Q, R p n est pas valide, car l interprétation p = faux, q = vrai et r = faux rend vrai les prémisses, mais fausse la conclusion. Lorsqu on note A 1,..., A n B, sans autre précision, on sous-entend toujours que l inférence est valide, et donc que la conclusion B est une conséquence valide des prémisses A 1,..., A n. On peut peut étendre la définition des inférences avec un ensemble vide de prémisses. Définition IV.5 [tautologie] Dire que l inférence sans prémisse : est valide signifie que la formule T est une tautologie. Le théorème qui suit donne une façon simple et générale de vérifier qu une inférence est valide. Il permet de vérifier la validité d un raisonnement à partir d un calcul sur une formule propositionnelle. Théorème IV.6 [caractérisation des inférences valides] Dire que l inférence A 1,..., A n est une tautologie. T B est valide signifie que l implication (A 1 A n ) B En d autres termes, dire qu une inférence est valide signifie que la conjonction des prémisses implique toujours la conclusion. Preuve. Supposons que l inférence A 1,..., A n B est valide et une interprétation quelconque. Si tous les A i sont vrais, alors, l inférence étant valide, B est vrai, et pour la même raison, si l un des A i est faux, alors B est faux. Dans les deux cas, l implication (A 1 A n ) B est vraie. Réciproquement, si l implication (A 1 A n ) B est une tautologie, alors il n existe aucune interprétation qui rend vraie la conjonction A 1 A n et faux B, ce qui signifie par définition que l inférence A 1,..., A n B est valide.

23 24 Raisonnements et inférences IV.3 Règles d inférence IV.3.1. Modus ponens Rappelons que la formule suivante est une tautologie : (3) ( (p (p q) ) q. On en déduit que l inférence suivante : est valide. p, (p q) q Cette inférence signifie que si on admet p, et que q découle de p, alors on doit admettre q. Ainsi la tautologie (3) conduit à une règle d inférence. Cette règle s appelle le modus ponens, expression latine qui signifie le mode qui affirme. IV.3.2. Modus tollens Le formule suivante est également une tautologie : ( q (p q) ) p Cette tautologie permet d établir que l inférence suivante est valide : q, (p q) p. Cela s interprète en énonçant que si on réfute q et si q est une conséquence de p, alors on doit réfuter p. Cela est également intuitif, car en effet, si p était avéré, alors, d après le modus ponens, la proposition q le serait aussi, ce qui contredit notre hypothèse. Cette règle d inférence s appelle le modus tollens, expression latine qui signifie le mode qui réfute. IV.3.3. Autres inférences Toute tautologie qui fait intervenir l implication conduit à une façon de construire une inférence valide. Chacune des formules suivante est une tautologie et conduit à une règle d inférence : tautologie inférence interprétation ( ) (p p) p (p p) p Si p entraîne sa propre négation, alors il doit être réfuté ( ) p (q p) p (q p) Si p est admis, il découle de tout ( ) p (p q) p (p q) Si p est réfuté, il entraîne tout ( ) ( p p) p p p p Si p découle de sa propre négation c est qu il est vrai. ( ) (p q) (p q) p (p q), (p q) p Si q et son contraire découlent de p, alors p doit être réfuté.

24 V.1 Fonction booléenne 25 V FORMES NORMALES V.1 Fonction booléenne Rappelons qu une variable propositionnelle est une variable qui peut prendre deux valeurs : «vrai» ou «faux». En logique, la valeur d une variable propositionnelle s appelle une interprétation. Un ensemble de n variables propositionnelles admet 2 n interprétations possibles. Définition V.1 [Fonction booléenne] Une fonction booléenne de n variables propositionnelles est un procédé, qui à chacune des 2 n interprétations possibles de ces n variables, associe une valeur «vrai» ou «faux». Se donner une fonction booléenne de n variables revient à se donner une table de vérité de 2 n valeurs. Exemple : p q r ϕ(p, q, r) v v v f v v f v v f v f v f f f f v v f f v f v f f v f f f f v V.2 Forme normale disjonctive Étant donnée une formule propositionnelle, on peut dresser sa table de vérité et ainsi définir une fonction booléenne qui lui correspond. Ce paragraphe répond à la question inverse : Existe-t-il une formule propositionnelle qui prend les mêmes valeur qu une fonction booléenne donnée? Peut-on réaliser une fonction booléenne avec les connecteurs, et? La suite du paragraphe répond par l affirmative à ces deux questions. Cela permet de conclure tous les calculs numériques peuvent se réaliser avec des fonctions booléennes, et que ces fonctions peuvent se réaliser à l aide de circuits logiques. Définition V.2 [conjonction de variables] Une conjonction de variables est une formule où n apparaissent que des variables ou leur négation, reliées par le connecteur. Par exemple p q r est une conjonction de variables. Noter que, comme le connecteur est associatif, on peut sans ambiguïté omettre les parenthèses. La formule p q r n est vraie que si p = v, q = v et r = f. Reprenons la fonction booléenne du paragraphe V.1. En considérant toutes les lignes où cette fonction prend la valeur «vrai», il est possible d exprimer la valeur de ϕ(p, q, r) comme un ou entre autant de conjonctions de variables :

25 26 Formes normales ϕ(p, q, r) = (p q r) ( p q r) ( p q r). Une telle écriture s appelle une forme normale disjonctive (FND) de la fonction booléenne ϕ. Notation simplifiée : Un usage est de simplifier les notations. L opérateur est omis, comme le signe est omis dans un produit, et la négation de p se note p. Ainsi, l écriture simplifiée de la forme normale disjonctive de la fonction ϕ est : ϕ(p, q, r) = p q r p q r p q r Définition V.3 [Forme normale disjonctive] Une forme normale disjonctive est une formule constituée d une disjonction de zéro, une ou plusieurs conjonctions de variables ou de leur négation. Exemples : Les constantes v et f ne comprennent aucune conjonction. Les formules p, pq et pqr n ont qu une conjonction. La formule p q pq est constituée de trois conjonctions. Une forme normale disjonctive peut n être formée que d une seule conjonction : pqr. De même, les conjonctions peuvent n être constituées que d une seule variable : p q r. La méthode exposée ci-dessus, qui consiste à écrire une formule comme une disjonction de conjonctions qui correspondent aux lignes de la table de vérité où la formule est vraie, est toujours applicable, ce qui permet d énoncer : Proposition V.4 Toute formule est équivalente à une forme normale disjonctive. La forme normale disjonctive n est pas unique. Par exemple, la forme normale disjonctive a b a b se simplifie par distributivité en a (b b) = a v = a, qui est aussi une forme normale disjonctive. De manière similaire, on peut vérifier que les deux formules p q p q p q et q p q sont deux formes normales disjonctives équivalentes. Les formes normales disjonctives les plus intéressantes du point de vue pratique sont les plus courtes, car elles permettent de réaliser des calculs de manière plus efficace. Le problème de trouver la forme la plus compacte est un problème difficile et est l objet de nombreuses recherches. V.3 Méthode des arbres La méthode des arbres est une méthode graphique pour trouver : une forme normale disjonctive d une formule, une interprétation qui rend vraie une formule. Cette méthode permet donc de décider si une formule donnée est ou non une contradiction. En appliquant la méthode à la négation d une formule, elle peut également décider si elle est ou non une tautologie. Enfin, elle permet de tester la validité d un raisonnement. Ne pas confondre avec l arbre syntaxique d une formule!

26 V.3 Méthode des arbres 27 V.3.1. Construction graphique d une forme normale disjonctive La disjonction A B de deux formules se représente par une ramification de deux branches ouvertes : A B La conjonction A B de deux formules se représente par une branche unique sur laquelle figurent les deux formules A et B. Exemple. La forme disjonctive F = p q p q se représente par l arbre : p q A B La valeur d une formule se lit sur l arbre en appliquant la règle suivante : «Pour qu une formule soit vraie, il suffit que toutes les variables d une branche soient vraies, en tenant compte d une éventuelle négation.» Réécriture des connecteurs. A B (A B) (A B) (A B) A B A B p q A B A B A B A B A A B B A A B B Exemples. 1. Développer l arbre de la formule ( p (q r) ). La méthode consiste à développer successivement toutes les formules conformément au tableau ci-dessus jusqu à n obtenir que des variables ou leur négation. p (p r) q r Les variables qui figurent sur une branche de l arbre depuis la racine jusqu à une feuille constituent les termes d une conjonction. La forme normale disjonctive correspond à la réunion des branches : p q p r. Les valeurs p vraie et q fausse forment une interprétation qui rend vraie cette formule, de même pour les valeurs p fausse et r vraie. 2. Développer l arbre de la formule p ( p q). p p q p q

27 28 Formes normales Une branche qui contient une variable et sa négation est appelé une branche fermée. Cela correspond à une contradiction p p. Elle peut être supprimée de la forme normale disjonctive. On obtient finalement : 3. Développer la formule ( p (q r) ) ( q (r p) ). p q p (q r) q (r p) p q r q q r r Cet arbre conduit à la forme normale disjonctive suivante : p q r p q r q r p q (r p) V.4 Applications de la méthode des arbres V.4.1. Montrer qu une formule est une contradiction Si toutes les branches de l arbre d une formule sont fermées, alors cette formule est une contradiction. Ainsi, pour vérifier qu une formule est une contradiction, il suffit de vérifier que son arbre ne comprend que des branches fermées. Si toutes les branches ne sont pas fermées, c est qu il existe une interprétation des variables qui rend vraie la formule. On dit dans ce cas que la formule est satisfiable. Exemple : Développer l arbre de la formule (p q) ( p q). (p q) p a p q p q (1) (2) r p Ici, développer (1) plutôt que (2), car cela n ouvre pas de branche Développement de (2) Conseil. Traiter en priorité les formules qui n ouvrent pas de branche. V.4.2. Montrer qu une formule est une tautologie Pour vérifier qu une formule est une tautologie, il suffit vérifier que sa négation est une contradiction. Par exemple, pour montrer que la formule ( p (p q) ) q est une tautologie (modus ponens), développer l arbre de sa négation (( p (p q) ) q ), puis observer que toutes les branches sont fermées. V.4.3. L arbre de réfutation La méthode des arbres peut s appliquer pour vérifier la validité d un raisonnement. Prenons par exemple le raisonnement suivant : «Quand un accident survient sur la course, les journalistes en parlent. Si il y a un accident sur la course et que les journalistes en parlent, alors les sponsors sont inquiets. Un accident survient.

28 V.4 Applications de la méthode des arbres 29 Donc les sponsors sont inquiets.» Ce raisonnement comprend trois prémisses et une conclusion. Notons les propositions simples de ce raisonnement : p : «Un accident survient.» q : «Les journalistes en parlent.» r : «les sponsors sont inquiets.» Les trois prémisses sont : A : p q B : (p q) r C : p La conclusion est : D : r. Le raisonnement s écrit : (4) A, B, C D. Pour vérifier sa validité, il faut montrer que la formule : (5) A B C D est une tautologie. Cela revient à montrer que la négation de cette formule est une contradiction. Or la négation de la formule (5) est : (6) A B C D Finalement, pour montrer qu un raisonnement est valide, il suffit de montrer que la conjonction des prémisses et de la négation de la conclusion est une contradiction. L arbre construit à partir de ces formules s appelle un arbre de réfutation. Montrer qu il s agit d une contradiction revient à montrer qu il n existe aucune interprétation qui rend les prémisses vraies et qui rend la conclusion fausse. On ne peut pas réfuter la conclusion. La conclusion s impose donc. Construisons cet arbre : Développement de (3) p q (p q) r p r p q (p q) r p q (1) (2) Développement de (1) Développement de (2) Dans cet arbre, toutes les branches sont fermées. La formule (6) est bien une contradiction. Le raisonnement (4) est valide. Exercice. Montrer la validité des raisonnements suivants par la méthode des arbres : 1. p s, q s, p q s 2. p (p q) p q 3. (p q) r, p (q r) p r (3)