Partie I - Préliminaires

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Partie I - Préliminaires"

Transcription

1 SESSION 25 Cocours commu Cetrale MATHÉMATIQUES. FILIERE PC Partie I - Prélimiaires I.A - I.A. Soit N. Pour N, Puisque la série de terme gééral coverge, il e est de même de la série de terme gééral u,. 2 N, la série de terme gééral u,, N, est covergete. I.A.2 σ + lim N + N lim. + N + N + σ. I.A.3 Soit 2. Pour N, u, u +, u, I.A.4 E sommat ces égalités, o obtiet σ σ u, σ et doc σ u,!. N, σ!. I.B - Soit q 2. Pour N N, II.A - RN, q N+ q + N+ + t q dt N, q N 2, RN, q t q dt q q. q N q. Partie II - U eemle d accélératio de la covergece II.A. Motros ar récurrece que 2, il eiste des etiers aturels a 2,..., a, b 2,..., b, c 2,..., c, tels que Pour 2 et > >, 3 k2 a k k + b + c htt ://www.maths-frace.fr c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.

2 et o eut redre a 2, b 2 3 et c 2 2. Soit 2. Suosos qu il eiste des etiers aturels a 2,..., a, b 2,..., b, c 2,..., c, tels que Alors, our >, >, 3 k2 a k k + b + c b + c b + c b b + c + + c b b + c + + c et o eut redre a + b, b + + b + c et c + + c ar hyothèse de récurrece, a +, b + et c + sot effectivemet des etiers. Le résultat est démotré ar récurrece. II.A.2 a 2, b 2 3 et c 2 2 et 2, a + b, b + + b + c et c + + c. II.A.3 Motros ar récurrece que 2, b c. Puisque b 2 3 et c 2 2, c est vrai our 2. Soit 2. Suosos que b c. Alors, c + +c uis b + +b +c +c + c +. O a motré ar récurrece que 2, b c. II.A.4 c 2 2, c 3 3c 2 6 et c 4 4c b 2 3, b 3 3b 2 + c 2, b 4 4b 3 + c 3 5. a 2, a 3 b 2 3 et a 4 b 3. a 2, a 3 3, a 4, b 2 3, b 3, b 4 5, c 2 2, c 3 6 et c II.B - II.B. Soit N N. D arès la questio I.B, N+ 3 2N 2 2N2 ζ N. 5 5 II.B.2 Soit N N. Toujours d arès la questio I.B, N+ b 4 + c uis, d arès les questios II.A. et II.A.4 ζ3 k2 + N+ 4 + a k k σ2 + 3σ3 + σ b 4 + c , N+ b 4 + c b 4 + c N 5, b 4 + c 4 3 d arès la questio I.A htt ://www.maths-frace.fr 2 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.

3 uis, our N N, Or ζ3 7 N N N5. et doc 5N N 5 ζ N5 4 5 N 4, II.B , Doc et o e déduit que ζ3, III.A - III.A. Soit >. w u l l w u, ζ3, , ζ3, 225 à 5 5 rès. Partie III - Séries factorielles l O + v l v + + l 2 + l O l 2 + O e déduit que w >, la série umérique de terme gééral l coverge. w III.A.2 Soit >. La série de terme gééral lw lw coverge. O sait qu il e est de même de la suite de terme gééral lw, N, séries télescoiques. Si o ote a la limite de cette suite, alors w e lw ted vers l e a > quad ted vers +. >, l ], + [/ u lim + v l. III.B - Soit >. D arès ce qui récède et uisque l, u tel que, l 2 a v l a u 2l a v. + lv. Par suite, il eiste u rag Puisque l, ceci motre que la série umérique de terme a u coverge si et seulemet si la série umérique de terme gééral a v coverge. >, a N C N, a u est AC si et seulemet si a u est AC. III.C - III.C. Soit >. Pour tout etier aturel et tout [, + [, htt ://www.maths-frace.fr 3 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.

4 et doc N, su a u [,+ [ a! a u a! , a! a! Par hyothèse, la série umérique de terme gééral coverge et o e déduit que la série de foctios de terme gééral a u, N, coverge ormalemet et doc uiformémet sur [, + [. Comme d autre art, chacue de ces foctios est cotiue sur [, + [ e tat que quotiet de foctios cotiues sur [, + [ dot le déomiateur e s aule as sur [, + [, la somme f a est cotiue sur [, + [ e tat que limite uiforme sur [, + [ d ue suite de foctios cotiues sur [, + [. Ceci état vrai our tout >, o a motré que a A, la foctio f a est cotiue sur ], + [. III.C.2 La série de foctios de terme gééral a u, N, coverge uiformémet vers la foctio f a sur [, + [. De lus, chaque foctio a u, N, a ue limite réelle l quad ted vers + à savoir l lim a a! u lim D arès le théorème d iterversio des limites, la foctio f a a ue limite réelle quad ted vers +, la série umérique de terme gééral l, N, coverge, lim + f a l. a A, lim + f a. III.D - III.D. Pour N, osos a. Soit >. + D arès la questio III.B -, la série umérique de terme gééral a u est de même ature que la série umérique de terme gééral a v + +. Puisque + >, est le terme gééral d ue série de Riema + + covergete. O e déduit que la série umérique de terme gééral a u coverge absolumet. A. + N III.D.2 Pour N, osos a. La série de terme gééral a v N / A. diverge quad et doc + III.E - III.E. Soit N. La foctio u est de classe C sur ], + [ e tat que quotiet de foctios de classe C sur ], + [ dot le déomiateur e s aule as sur ], + [. De lus, la foctio u est strictemet ositive sur ], + [ et our > lu l! l + k. E dérivat cette derière égalité dérivée logarithmique, o obtiet our > u u. Par suite, + k u u + u + k k u + k + t dt k + k k u + l + k + t dt. htt ://www.maths-frace.fr 4 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.

5 N, u C ], + [, R et N, >, u u + l +. III.E.2 Soit >. Pour N et [, + [, u u + l + u + l +, et doc su a u a u [,+ [ + l +. + l + est de même ature que la D arès la questio III.B -, la série umérique de terme gééral a u série umérique de terme gééral a + l + +. Mais d arès u théorème de croissaces comarées, + /2 + l l + et doc + /2 + a + l + + o a. + /2 a Toujours d arès III.B-, la série de terme gééral est de même ature que la série de terme gééral a u /2 2 et est doc covergete ar défiitio d u élémet de A. O e déduit que la série umérique de terme gééral a u + l + uis que la série de foctios de terme gééral a u coverge ormalemet et doc uiformémet sur [, + [. E résumé, la série de foctios de terme gééral a u coverge simlemet vers la foctio f a sur [, + [, chaque foctio a u est de classe C sur sur [, + [, la série de foctios de terme gééral a u coverge uiformémet sur [, + [. D arès u corollaire du théorème de dérivatio terme à terme, la foctio f a est de classe C sur [, + [ et sa dérivée s obtiet ar dérivatio terme à terme. Ceci état vrai our tout >, o a motré que IV.A - a A, la foctio f a est de classe C sur ], + [. Partie IV - Rerésetatio itégrale IV.A. Chaque P k, k,, est de degré et doc das R [X]. De lus, cardp k k + dim R [X] < + et our motrer que la famille P k k est ue base de R [X], il suffit de vérifier que cette famille est libre. Soit λ i i R +. λ i P i k,, λ i P i k k,, λ k P k k i i k,, λ k car k,, P k k. La famille P k k est ue base de R [X]. IV.A.2 Le olyôme P! est de degré et doc est das R [X]. Par suite, il eiste α k k R + tel que! α k P k. O divise les deu membres de cette égalité ar XX +...X + et o obtiet k Soit k,. O sait que! XX +...X + α k X + k. k htt ://www.maths-frace.fr 5 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.

6 α k lim + k! k ! k k +... k + k k + k +... k + k! k! k! k Q. k >,! k k k X + k. IV.B - Soiet > et k N. Puisque + k >, l itégrale ] y +k y+k dy [ + k + k. ], + [, k N, y +k eiste itégrale de référece. De lus, y +k dy + k. IV.C - Soiet > et N y. Soit A ], [.Les deu foctios segmet [, A]. O eut doc effectuer ue itégratio ar arties et o obtiet A ] A y y y dy [ y Quad A ted vers, o obtiet >, N, + A y y dy y y dy et y y sot de classe C sur le A A + y y dy. E aliquat lusieurs fois la formule récédete, o obtiet our > et N y y dy cette derière eressio restat valable quad. >, N, Par suite, our a A et >, f a IV.D - y y dy a! y + y dy! a A y y dy.! , y y dy. IV.D. Soit a A. Par défiitio de A et d arès III.B-, our tout >, la série de terme gééral a a + coverge. E articulier, la suite + ted vers quad ted vers + ou ecore a o. Puisque le rayo de la série + etière associée à la suite N est, le rayo de la série etière associée à la suite a N est suérieur ou égal à. IV.D.2 Soit >. Pour y [, [, o a y φ a y a y y. Pour y [, [, o ose Φy y φ a y et our N et y [, [, o ose ϕ y a y y. O sait que la somme d ue série etière est cotiue sur so itervalle ouvert de covergece. Doc la foctio φ a est cotiue sur [, [ et il e est de même de la foctio Φ. D autre art, chaque foctio ϕ est cotiue ar morceau sur [, [ et la série de foctios de terme gééral ϕ coverge simlemet vers la foctio Φ sur [, [. Efi, ar défiitio de A, ϕ y dy a y y dy htt ://www.maths-frace.fr 6 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés. a u < +.

7 E résumé, chaque foctio ϕ est cotiue ar morceau sur [, [ et la série de foctios de terme gééral ϕ coverge simlemet vers la foctio Φ sur [, [. la foctio Φ est cotiue ar morceau sur [, [, ϕ y dy < +. D arès u théorème d itégratio terme à terme, - chaque foctio ϕ est itégrable sur [, [ et la foctio Φ est itégrable sur [, [, - la série umérique de terme gééral E articulier, la foctio V.A - y φ a d a A, >, f a f y dy coverge et Φ d ϕ d a! y φ a y dy est DSFA. a u f a. y φ a y dy. Partie V - Dérivabilité d ue série factorielle V.A. D arès la questio III.E.2, la foctio f a est de classe C sur ], + [ et d arès la questio IV.D.2, >, f a y φ a y dy. Soit >. Soit F : [, + [ [, [ R., y y φ a y Pour chaque de [, + [, la foctio y F, y est cotiue ar morceau et itégrable sur [, [ d arès IV.D.2. La foctio F admet sur [, + [ admet sur [, + [ [, [ ue dérivée artielle ar raort à sa remière variable défiie ar De lus,, t [, + [ [, [, F, y l y y φ a y. - our chaque [, + [, la foctio y F, y est cotiue ar morceau sur [, [, - our chaque y [, [ la foctio F, y est cotiue sur [, + [, - our chaque, y [, + [ [, [, F, y l y y φ a y ϕ y. Vérifios alors que la foctio ϕ qui est cotiue ar morceau et ositive sur [, [ est itégrable sur [, [. Quad y ted vers, y 2 l y y y /2 l y y et doc l y y φ a y o y + 2 φ a y. Puisque 2 >, la foctio y y + 2 φ a y est itégrable sur [, [ d arès IV.D.2 et il e est de même de la foctio ϕ. D arès u corollaire du théorème de dérivatio des itégrales à aramètres théorème de Leibiz, la foctio f a est de classe C sur [, + [ et sa dérivée s obtiet ar dérivatio sous le sige somme. Ceci état vrai our tout >, o a motré que f a est de classe C sur ], + [ et >, f a y φ a y dy. V.A.2 La foctio ψ a est déveloable e série etière sur ], [ e tat que roduit de foctios déveloables e série etière sur ], [. V.A.3 Pour tout y ], [ + + b y φ a y φ a yl y a y y a y roduit de Cauchy de deu séries etières. htt ://www.maths-frace.fr 7 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.

8 Par uicité des coefficiets d u déveloemet e série etière, o e déduit que b et N a, b. V.B - Soiet > et N N. N b N + N a N k N + kk + + >, N N, N N + e osat k. N b + N k N + kk V.C - Soiet >, N N et, N. La foctio t est cotiue et ositive sur [, + [, itégrable tt + + sur [, + [ car équivalete e + à t + avec + >. De lus la foctio t est décroissate sur tt + + [, + [ et o e déduit que N k N kk k2 k N V.D - Soiet >, N N et, N. kk + + k2 k tt + + dt N + + tt + + dt. tt + + dt + dt tt tt + dt dt + t [ l t + tt + + dt tt + + dt + + tt + t + dt tt + dt t dt t + + ] + l + + t + + et doc N k kk l + l V.E - Soit > et N N. D arès les questios V.B- et V.D-, N N b + N k l Par défiitio d u élémet de A, o a déjà N kk l < +. D autre art, a + l + + o + + /2 htt ://www.maths-frace.fr 8 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.

9 et doc l + < +. Fialemet + N N, N b + + La suite des sommes artielles de la série de terme gééral l >, la série umérique de terme gééral + < +. b est majorée et doc + b +, N, coverge. V.F - D arès les questios V.E- et III.B-, our tout >, la série de terme gééral b u, N, coverge absolumet ou ecore b A. O eut doc aliquer à la suite b le travail de la questio IV.D- et o obtiet our > e remlaçat a ar b et φ a ar ψ a Ceci motre que f a est DFSA sur ], + [ et f a y ψ a y dy + >, f a b u. b u. V.G - Pour tout > u + u + u a u avec N, a δ, { si si. Aisi, la foctio f : : est DFSA et f f a où a δ, N. La questio récédete motre que les foctios f : 2 uis e réitérat f : 2 3 sot DFSA. O ote a et a les suites associées. D arès la questio V.A.3, a uis N, a a δ,. E articulier, a, a, a 2 2, a 3 3 et a 4 4. Esuite, a uis N, a a. Doc a uis our 2, a a a, a 2, a 3 et a E articulier, Doc, >, 3 2! ! ! et o retrouve les résultats de la artie II htt ://www.maths-frace.fr 9 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.

CENTRALE PC 2009 Math 1

CENTRALE PC 2009 Math 1 CETRALE PC 29 Math Partie I : rélimiaires I.A.) Pour tous 2 et 2, u(; ) est dé i et ositif. De lus u(; ) >+. et comme + > + La série X u(; ) coverge I.A.2) O sait déjà que la série coverge. De lus la suite

Plus en détail

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP MATHEMATIQUES 1

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 SESSION 22 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE ENSI FILIERE MP MATHEMATIQUES EXERCICE : ormes équivaletes. Soit f E. f est de classe C sur [,]. Doc la foctio f est cotiue sur le segmet [,] et par suite la foctio

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. k n) X k (1 X) n k.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. k n) X k (1 X) n k. Exo7 Suites et séries de foctios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

Partie I - Suites et intégrales

Partie I - Suites et intégrales SESSION 16 Cocours commu Cetrale MATHÉMATIQUES. FILIERE MP I.A - Étude d ue itégrale à paramètres Partie I - Suites et itégrales I.A - 1 Soit φ : [, + [ ], + [ R de sorte que pour tout réel x, fx = Φx,t.

Plus en détail

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 SESSION 2005 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES PREMIER EXERCICE a. T (x + y dxdy = = ( y= (x + y dy y= x dx = ((x + 2 ( x2 + x2 2 dx = T (x + y dxdy = 4 3. [xy +

Plus en détail

MATHÉMATIQUES I. degré inférieur ou égal à q et IC q, p [ X ] celui constitué des éléments de IC q [ X ] divisibles par X p.

MATHÉMATIQUES I. degré inférieur ou égal à q et IC q, p [ X ] celui constitué des éléments de IC q [ X ] divisibles par X p. MATHÉMATIQUES I Objectifs O se roose, das ce qui suit, de détermier l esemble des solutios d ue équatio différetielle liéaire à coefficiets costats lorsqu elle est homogèe, uis lorsque celle-ci admet u

Plus en détail

CCP Math 2 PC

CCP Math 2 PC CCP 23 - Math 2 PC Titre : Produits iiis et octio Gamma PARTIE I Pour tout ombre réel u ], [, o déiit la octio ϕ u de la variable réelle t ar : -Pour tout t [, [, ϕ u t) = cos ut, -La octio ϕ u est ériodique

Plus en détail

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I SESSION 9 Cocours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE E3A Epreuve de Mathématiques B PSI Exercice I ) rga) 3 < 4 et doc A / GL 4 R) Par suite, est valeur propre de A ) Soit U Puisque la somme des coefficiets

Plus en détail

SAINT-CYR. MATHEMATIQUES 1 - Epreuve commune Options M, P, T, TA PREMIERE PARTIE

SAINT-CYR. MATHEMATIQUES 1 - Epreuve commune Options M, P, T, TA PREMIERE PARTIE SESSION 99 SAINT-CYR MATHEMATIQUES - Epreuve commue Optios M, P, T, TA PREMIERE PARTIE a Pour x R et N, u x Doc, N, u Comme la série de terme gééral coverge, la série de foctios de terme gééral u coverge

Plus en détail

E.P.I.T.A Corrigé de l'épreuve optionnelle de mathématiques (2h) p t

E.P.I.T.A Corrigé de l'épreuve optionnelle de mathématiques (2h) p t 3 E.P.I.T.A. 205 Corrigé de l'éreuve otioelle de mathématiques (2h) PARTIE I : rélimiaires sur les séries de Riema ) Etude de la série de Riema our = a) La foctio t ö est décroissate sur @, + D, ce qui

Plus en détail

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann Corrigé du problème: autour de la foctio zeta alterée de Riema I Gééralités Pour x >, la suite décroît vers, doc la série coverge par le critère spécial des séries alterées Pour x, e ted pas vers, ce qui

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. 2) (**) n + 2 n. 1 pn

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. 2) (**) n + 2 n. 1 pn Exo7 Séries Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice Nature

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

Polynômes de Bernstein

Polynômes de Bernstein Polyômes de Berstei Sergei Nataovic Berstei est é e 1880 et est mort e 1968. 1) Défiitio. Soit f ue foctio défiie et cotiue sur [0, 1] à valeurs das. Pour etier aturel o ul doé, le -ième polyôme de Berstei

Plus en détail

Planche n o 6. Séries numériques. Corrigé

Planche n o 6. Séries numériques. Corrigé Plache o 6 Séries umériques Corrigé Exercice o Pour, o pose u l ère solutio u l ++, u existe + + + l + +O +O O Comme la série de terme gééral,, coverge série de Riema d exposat α >, la série de terme gééral

Plus en détail

Concours Commun des Mines 1. MATHÉMATIQUES Première épreuve. Options M et P. ( 1) k ζ(k)x k k

Concours Commun des Mines 1. MATHÉMATIQUES Première épreuve. Options M et P. ( 1) k ζ(k)x k k Cocours Commu des Mies MATHÉMATIQUES Première épreuve. Optios M et P Objet du problème : Etude de la foctio F défiie par : Coaissaces requises : Séries umériques. Itégrales gééralisées. Séries de foctios,

Plus en détail

CONCOURS COMMUN 2010

CONCOURS COMMUN 2010 CONCOURS COMMUN DES ECOLES DES MINES D ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathématiques (toutes filières PREMIER PROBLEME Partie I Soit R D et + > D ], [ ], + [ l( + + 3 3 + o(3 et doc f( + 3 3 + o(3

Plus en détail

France métropolitaine Enseignement spécifique

France métropolitaine Enseignement spécifique Frace métropolitaie 202 Eseigemet spécifique EXERCICE 3 (6 poits (commu à tous les cadidats Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie

Plus en détail

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse UNIVERSITÉ MOHAMMED V - AGDAL Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques Filière Scieces de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Aalyse (S4) Cours d Aalyse Séries umériques Suites et Série

Plus en détail

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004 3 octobre 2004 Exemple 2. O se doe a I et q C(I, K). L équatio différetielle liéaire : y (x) q(x) y(x) = 0 avec les coditios y(a) = α, y (a) = β SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS PC*2 3 octobre 2004 Admet

Plus en détail

MATHÉMATIQUES I. Les calculatrices sont autorisées. Le problème porte sur l étude des séries factorielles, séries de fonctions de la forme

MATHÉMATIQUES I. Les calculatrices sont autorisées. Le problème porte sur l étude des séries factorielles, séries de fonctions de la forme MATHÉMATIQUES I Les calculatrices sont autorisées Le problème porte sur l étude des séries factorielles, séries de fonctions de la forme a n --------------------------------------------------------------

Plus en détail

Exercices corrigés sur les séries de fonctions

Exercices corrigés sur les séries de fonctions Eercices corrigés sur les séries de foctios Eocés Eercice Motrer que la série ( ) est uiformémet covergete mais o ormalemet covergete sur [, ] Eercice 2 Étudier la covergece sur R + de la série de foctios

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Comparaiso des suites Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même.

Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même. CCP 8. Filière MP. Mathématiques. Corrigé pour serveur UPS par JL. Lamard (jea-louis.lamard@prepas.org I. Gééralités. Pour > la série défiissat F coverge absolumet, pour < elle coverge par le critère spécial

Plus en détail

Feuille d exercices 11

Feuille d exercices 11 Mathématiques Aalyse I M. Samy Modeliar Feuille d eercices Itégratio Correctio Eercice Détermier, si elle eiste, la ite e + de la suite de terme gééral si ( π + ) d + Correctio. Pour tout etier, la foctio

Plus en détail

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008 Sup Galilée - Maths pour l Igéieur Corrigé du Partiel du 9 Novembre 008 Étude d ue suite récurrete Soit u 0 ]0, [ O cosidère la suite (u ) défiie par u + u 3 u ) Justifier que la suite u est borée O motre

Plus en détail

I - Caractérisation des matrices symétriques définies positives

I - Caractérisation des matrices symétriques définies positives SESSION Cocours commu Cetrale MATHÉMATIQUES FILIERE MP IA - I - Caractérisatio des matrices symétriques défiies positives IA Soiet N et A S (R O sait que toutes les valeurs propres de A sot réelles Supposos

Plus en détail

Chapitre Rappels sur les suites

Chapitre Rappels sur les suites Chapitre Séries umériques. Rappels sur les suites Défiitio.. (i) Ue suite (a ) N de réels (ou de complexes) est covergete vers ue limite a si pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que pour tout 0, o a a a

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. * * *

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. * * * SESSION 25 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES Durée : 4 heures Les calculatrices sot iterdites * * * NB : Le cadidat attachera la lus grade imortace à la clarté, à la récisio et à la cocisio de

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k SÉRIES NUMÉRIQUES K désige le corps R ou C. Gééralités. Défiitios Défiitio. Série Soit (u ) 0 ue suite umérique (i.e. à valeurs das K). O appelle série de terme gééral u la suite (S ) 0 où 0, S = u k Cette

Plus en détail

CONCOURS COMMUN 2001

CONCOURS COMMUN 2001 CONCOURS COMMUN 2 DES ECOLES DES MINES D ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathématiques toutes filières PARTIE A PROBLEME A Soit a R + Pour t >, g a t e a l t Quad t ted vers par valeurs supérieures

Plus en détail

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques Uiversité Deis Diderot (Paris VII) 006-007 MP 3 Quelques exercices corrigés Suites et séries umériques Das les pages qui suivet ous proposos la correctios de quelques exercices de la feuille sur les suites

Plus en détail

Université Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de printemps Partie CCP - Devoir numéro 3

Université Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de printemps Partie CCP - Devoir numéro 3 Uiversité Claude Berard - Lyo Semestre de pritemps 24-25 Math IV - Cursus préparatoire 2A Durée : heure et 3 miutes Partie CCP - Devoir uméro 3 Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté,

Plus en détail

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTE DE LIGNE. Partie I

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTE DE LIGNE. Partie I CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTE DE LIGNE ANNEE 14 EPREUVE DE MATHEMATIQUES Partie I Questio 1 : Explicatio 1 : I GL R et I GL R mais I I = / GL R. Doc GL R est pas u sous-espace vectoriel de M,

Plus en détail

Révisions d analyse (corrigé des indispensables).

Révisions d analyse (corrigé des indispensables). Révisios d aalyse (corrigé des idispesables). Limites des foctios de variable réelle à valeurs das ou.. a. La foctio f est le produit d e foctio borée sur ( a si ) et d e foctio qui ted vers 0 e 0 ( a

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Valeurs absolues. Partie etière. Iégalités Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très

Plus en détail

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013 Master Métiers de l Eseigemet, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 202/203 ANALYSE 2 Fiche de Mathématiques 4 - Séries umériques Soit E u espace vectoriel sur le corps K = R ou C Pour toute famille fiie

Plus en détail

Suites numériques 1 / 12 A Chevalley

Suites numériques 1 / 12 A Chevalley MT8 A 03 Suites umériques Aleth Chevalley. Rappels.. Défiitio O appelle suite umérique réelle, toute applicatio f : ϒ qui à tout etier aturel, fait correspodre le ombre réel f() et o désige la suite par

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 SESSION 26 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES EXERCICE a. Pour N, Puis, pour N, k= k(k + )(k + 2) = 2 ( + )( + 2) = + 2 2 ( + )( + 2) = ( 2 ( k(k + ) (k + )(k + 2)

Plus en détail

C.C.P TSI Mathématiques 1

C.C.P TSI Mathématiques 1 CCP TSI Mathématiques Eercice -) L'éocé e dit pas que f est défiie sur IR O pourrait doc cosidérer que f est défiie sur IR πz et, das ce cas, f() et f(π) 'eisteraiet pas Si f est défiie sur IR, par imparité

Plus en détail

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur Exo7 Les ratioels, les réels Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

S n = u u n. S = u k. k=0

S n = u u n. S = u k. k=0 Chapitre 3 Séries umériques 3. Défiitios et exemples 3.. Défiitios Défiitio 3.. Soit (u ) ue suite réelle. O lui associe (S ) ue ouvelle suite défiie par S = u 0 + + u. O appelle série de terme gééral

Plus en détail

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne.

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne. 1 Séries umériques Das toute cette sectio, si cela est pas précisé, E désigera l espace R m, m 1, et la orme euclidiee. 1.1 Gééralités Défiitio 1.1. Soit (x ) N ue suite de E et pour chaque N, o défiit

Plus en détail

Devoir de Mathématiques numéro 1

Devoir de Mathématiques numéro 1 Lycée La Prat's Classe de PT Pour le Vedredi setembre Devoir de Mathématiques uméro Correctio Eercice CAPES itere 7) Partie Majoratios, mioratios, ecadremets) ) ch ) + et sh ) ) Pour ces deu foctios, le

Plus en détail

Correction du TD 3 : Séries numériques

Correction du TD 3 : Séries numériques Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques Correctio du TD : Séries umériques Exercice A chaque fois, puisqu'o demade la covergece et la valeur, o reviet à la somme partielle : esuite, soit o recoaît

Plus en détail

Etude asymptotique de suites de solutions d une équation

Etude asymptotique de suites de solutions d une équation [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 206 Eocés Etude asymptotique de suites de solutios d ue équatio Exercice [ 02289 ] [Correctio] Soit u etier aturel et E l équatio x + l x = d icoue x R +.

Plus en détail

1 Séries trigonométriques

1 Séries trigonométriques Master Métiers de l Eseigemet, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, / ANALYSE Fiche de Mathématiques 9 - Séries de Fourier Séries trigoométriques Défiitio O appelle série trigoométrique toute série dot le

Plus en détail

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )]

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )] PC - DS N 6 - U corrigé Questios de cours QC..a L assertio a. est fausse. Par exemple, la suite + ted vers 0, alors que la série harmoique + est divergete. QC..b L assertio b. est vraie. Supposos que la

Plus en détail

Polynômes de Tchebychev

Polynômes de Tchebychev Polyômes de Tchebychev Pafoutïi Lvovitch Tchebychev, mathématicie russe, est é à Borovsk e 8 et mort à Sait-Pétersbourg e 894. ) Défiitio et existece a) Polyômes de Tchebychev de ère espèce : T. Soit u

Plus en détail

v 0 = 0 = 3v n 2 pour tout n N

v 0 = 0 = 3v n 2 pour tout n N Termiale S Aée scolaire 07-08 Chapitre Suites umériques Bejami Gausso fermathsfr Rappels et gééralités sur les suites O rappelle que N désige l esemble des etiers aturels : N = {0; ; ; 6} Défiitio Ue suite

Plus en détail

Calculs de limites, développements limités, développements asymptotiques

Calculs de limites, développements limités, développements asymptotiques Eo7 Calculs de limites, développemets limités, développemets asymptotiques Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee ****

Plus en détail

Concours Commun Polytechnique. Epreuve de Mathématiques 1 option MP

Concours Commun Polytechnique. Epreuve de Mathématiques 1 option MP Cocours Commu Polytechique Epreuve de Mathématiques optio MP A propos de l hypothèse de classe C par morceau du théorème de covergece ormale d ue série de Fourier... Partie I. Résultats prélimiaires I..a

Plus en détail

Centres étrangers Enseignement spécifique. Corrigé

Centres étrangers Enseignement spécifique. Corrigé EXERCICE 1 Partie A Cetres étragers 13. Eseigemet spécifique. Corrigé 1) La durée de vie moyee d ue vae est l espérace de la variable aléatoire T. O sait que l espérace de la loi expoetielle de paramètre

Plus en détail

Corrigé feuille d exercices 4

Corrigé feuille d exercices 4 UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Aée 008/009 MIME LM5-Suites et Itégrales Groupes Corrigé feuille d exercices Suites Covergece de suites Exercice Ue suite u N est pas croissate, si o N, u + u est vérifiée

Plus en détail

Analyse 5 SUITES REELLES

Analyse 5 SUITES REELLES Aalyse chap 5 /6. GENERALITES SR LES SITES. Défiitios Défiitio : e suite est ue foctio, défiie sur ue partie D de. O ote () =, o lit «idice». O dit que est le terme gééral de la suite, ou terme de rag.

Plus en détail

FONCTIONS DE CLASSE C 1

FONCTIONS DE CLASSE C 1 FONCTIONS DE CLASSE C FONCTIONS DE CLASSE C La otio de classe C pour ue foctio est présete e aalyse (étude de foctios umériques à ue variable réelle, itégratios par parties) et e probabilités (foctio de

Plus en détail

TD n o 1 : suites numériques

TD n o 1 : suites numériques MAT232 : séries et itégrales gééralisées Uiversité Joseph Fourier 23-24 Greoble TD o : suites umériques Rappel importat : il existe u cours de L e lige, ititulé M@ths e Lge, à l adresse : http://ljk.imag.fr/membres/berard.ycart/mel/

Plus en détail

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A AVRIL CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie A CORRIGE DE LA ère COMPOSITION DE MATHEMATIQUES Eercice. Calculer, e, la dérivée de : Arc ta( ) Soit f ( ) Arc ta( ), alors f ( ) Arc ta( )

Plus en détail

C.B. Analyse : solutions

C.B. Analyse : solutions l( ) ) La foctio f C.B. Aalyse : solutios Partie I : Etude de la foctio L a) Par théorème géérau, f est de classe C sur ], [ {}. E, o motre simultaémet les deu propriétés e obteat u D.L. de f e. O sait

Plus en détail

Développement en série de Fourier

Développement en série de Fourier [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Eocés Développemet e série de Fourier Exercice [ 95 ] [Correctio] Soit f ue foctio cotiue périodique. O suppose que la série de Fourier de f coverge

Plus en détail

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN Das ce qui suit, o utilisera des argumets élémetaires et o e suppose aucue coaissace des foctios exp et l Ce qui suit sert à les défiir comme

Plus en détail

Exercices sur les suites de fonctions

Exercices sur les suites de fonctions ercices sur les suites de foctios océs ercice Étudier la covergece simple et uiforme des suites de foctios de R das R suivates : f ) = ), g ) = si, ϕ ) = e si, ψ ) = e cos. ercice 2 Étudier la covergece

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs UFR SFA, Licece 2 e aée, MATH326 Séries à termes positifs Das ce chapitre, u Ø 0, pour tout, et o étudie q u. O a S S = u Ø 0 : (S ) est croissate!. Gééralités. Propositio. Soit (u ) Ø0 ue suite de réels

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] (a) Étudier u n où u n = 1 (b) Étudier v n où v n = 1

Exercice 6 [ ] [Correction] (a) Étudier u n où u n = 1 (b) Étudier v n où v n = 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés Séries umériques Nature de séries umériques Exercice [ ] [Correctio] Détermier la ature des séries dot les termes gééraux sot les suivats : a

Plus en détail

TD10. Loi des grands nombres, théorème central limite.

TD10. Loi des grands nombres, théorème central limite. Uiversité Pierre & Marie Curie Licece de Mathématiques L3 UE LM345 Probabilités élémetaires Aée 2014 15 TD10. Loi des grads ombres, théorème cetral limite. 1. Soit (U ) 1 ue suite de variables aléatoires

Plus en détail

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes UE7 - MA5 : Aalyse SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes I. Gééralités Défiitio Etat doée ue suite (u ) de ombres réels ou complexes, o appelle série de terme gééral u la suite (S ) défiie par : () S

Plus en détail

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES 1 Etudier la mootoie des suites a ) 0 défiies par : a) a = b) a = + 1) + ) + ) c) a =! d) a = α + 1) α réel positif) Soit a, la suite de terme gééral a = 3 + 1 3 + Trouver

Plus en détail

Limites de suites et de fonctions

Limites de suites et de fonctions TermS Limites de suites et de foctios I ] Suites ) Défiitio : Ue suite réelle est ue foctio de! das!, défiie à partir d'u certai rag 0. Notatio : u = lire "u idice " = terme d'idice, ou de rag = terme

Plus en détail

Partie I : Résultats généraux sur les matrices stochastiques - Illustrations

Partie I : Résultats généraux sur les matrices stochastiques - Illustrations 8-8- JFC p EM LYON S JF COSSUTTA Lycée Marceli BERTHELOT SAINT-MAUR jea-fracoiscossutta@waadoofr PROBLÈME Partie I : Résultats gééraux sur les matrices stochastiques - Illustratios Remarque Das la suite

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs Séries à termes positifs Das toute la suite N désigera les etiers aturels positifs 0,,,..., Z tous les etiers aturels...,,, 0,,, 3,... et Q les ombres ratioels. Efi R désigera les réels, et C les complexes.

Plus en détail

TD 2 : Suites numériques réelles

TD 2 : Suites numériques réelles Uiversité Paris-Est Mare-la-Vallée Licece L Maths/Ifo d semestre 0/0 Aalyse TD : Suites umériques réelles Exercice Cours) Motrer que si ue suite réelle u ) N coverge, alors toute sous-suite de u ) coverge

Plus en détail

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM Chapitre 2 Séries etières Cotets. Gééralités sur les séries etières 2.. Défiitio

Plus en détail

Concours commun Mines-Ponts 2000 Corrigé de la seconde épreuve de mathématiques

Concours commun Mines-Ponts 2000 Corrigé de la seconde épreuve de mathématiques Cocours commu Mies-Pots Corrigé de la secode épreuve de mathématiques a Nous pouvos appliquer le critère de d Alembert : doc le rayo R est égal à /4 C+ + + + C = + 4, + b O sait que h est de classe C avec

Plus en détail

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k.

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k. PHEC Correctio feuille d exercices 00-006 correctio de l exercice t. 8t R + ; + t 6 l( + t) 6 t : Pour cela, o itroduit les foctios f : t 7 l( + t) t et g : t 7 t l( + t) + t dé ies sur [0; +[ et o étudie

Plus en détail

Fonctions réelles d une variable réelle dérivables (exclu études de fonctions)

Fonctions réelles d une variable réelle dérivables (exclu études de fonctions) Eo7 Foctios réelles d ue variable réelle dérivables (eclu études de foctios) Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fice sur wwwmats-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee ****

Plus en détail

CORRIGÉ : MATH 1 ; MP ; Mines-ponts_2015

CORRIGÉ : MATH 1 ; MP ; Mines-ponts_2015 CORRIÉ : MATH 1 ; MP ; Mies-pots_15 A. Opérateur de Volterra 1) Soiet f, g E, c est clair que Vf et V f sot deux primitives de f. Vf, g / Vf xgx / Vf xv g x Vf xv gx / et Vf, g / fxv gx f, V g. Vf xv gx

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. * * *

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. * * * SESSION 006 EPREUVE SPECIIQUE ILIERE MP MATHEMATIQUES Durée : 4 heures Les calculatrices sot autorisées * * * NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio

Plus en détail

Suites numériques. I/ Définition, propriétés globales Résumé du cours de MPSI

Suites numériques. I/ Définition, propriétés globales Résumé du cours de MPSI Ξ 2 Suites umériques 2016-2017 Résumé du cours de MPSI I/ Défiitio, propriétés globales 1/ Défiitio Ue suite de complexes u est ue applicatio de N das C Notatios : L'image d'u etier par u se ote u( ou

Plus en détail

Suites numériques. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés

Suites numériques. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Suites umériques. 1. Mode de géératio des suites... p2 4. Le raisoemet par récurrece... p4 2. Relatio de récurrece... p3 5. Ses de variatio des suites... p6 3. Suites arithmétiques, suites géométriques...

Plus en détail

1 Propriétés - Suites monotones

1 Propriétés - Suites monotones Uiversité d Aix-Marseille Licece de Mathématiques Semestre 06-07 Aalyse Plache - Suites umériques Propriétés - Suites mootoes Exercice Soiet les suites défiies, pour tout, par u = et v = Vérifier qu elles

Plus en détail

Suites et séries réelles

Suites et séries réelles Suites et séries réelles Ue suite umérique est ue famille de ombres réels ou complexes idicées par les etiers aturels. O ote ue suite u idifféremmet (u ) N, ou (u ) 0, ou simplemet (u ). L esemble des

Plus en détail

Devoir à rendre le 4 janvier 2017

Devoir à rendre le 4 janvier 2017 Uiversité Paris-Dauphie, L MIDO, groupe Aalyse (206-207) Devoir à redre le javier 207 Eercice Soit D u domaie o vide de R et f : D!R.. O souhaite démotrer la caractérisatio séquetielle de l uiforme cotiuité

Plus en détail

Suites et séries de fonctions. Bachir Bekka, Cours L3 Rennes 2015/2016

Suites et séries de fonctions. Bachir Bekka, Cours L3 Rennes 2015/2016 Suites et séries de foctios Bachir Bekka, Cours L3 Rees 215/216 13 décembre 215 ii Notes Cours SSF-215/216-B.Bekka Table des matières 1 Itroductio 1 2 Suites et séries de foctios 3 2.1 Covergece simple........................

Plus en détail

Mardi 10 janvier h-13h

Mardi 10 janvier h-13h Mardi javier 27 8h-3h Il sera teu compte de faco importate de la qualité de la rédactio et de l argumetatio. E particulier, répodre juste à ue questio est valorisé, répodre faux est péalisé et e pas répodre

Plus en détail

Cours de Mathématiques Séries numériques ou vectorielles Sommaire

Cours de Mathématiques Séries numériques ou vectorielles Sommaire Sommaire Sommaire I Gééralités sur les séries......................... 2 I. Espace vectoriel des séries, Sous-espace des Séries covergetes.... 2 I.2 Critère de Cauchy. Espace des séries ormalemet covergetes....

Plus en détail

Exercices sur les limites de suites 1.

Exercices sur les limites de suites 1. Exercices sur les ites de suites. Détermier les ites des suites ci-dessous lorsque ted vers +. Exercice.. u cos. v. w si + 900 Exercice 5. 0, 7. u 0, + 0, 4. v 70 + 000. w 44 4 + 5 Exercice.. u +. v. w

Plus en détail

II Exemples 2 II.A Série géométrique... 2 II.B Série exponentielle... 3 II.C Série harmonique... 4 II.D Série harmonique alternée...

II Exemples 2 II.A Série géométrique... 2 II.B Série exponentielle... 3 II.C Série harmonique... 4 II.D Série harmonique alternée... Séries umériques I Défiitios et otatios II Exemples 2 II.A Série géométrique....................................... 2 II.B Série expoetielle...................................... 3 II.C Série harmoique.......................................

Plus en détail

Bac blanc TS Non spécialité maths L usage de la calculatrice est autorisé

Bac blanc TS Non spécialité maths L usage de la calculatrice est autorisé Bac blac TS No spécialité maths L usage de la calculatrice est autorisé EXERCICE : (5 poits) Le pla complee est rapporté au repère orthoormal direct (O ; u, v ) O cosidère le poit I d affie i et le poit

Plus en détail

Corrigé : EM Lyon 2005

Corrigé : EM Lyon 2005 Corrigé : EM Lyo 5 Optio écoomique Eercice :. Par défiitio de E, la famille (I,J,K) est ue famille géératrice de E. Cette famille est-elle libre? O cherche tous les réels a, b et c tels que : ai +bj +ck

Plus en détail

Feuille 2 : Séries numériques.

Feuille 2 : Séries numériques. Feuille 2 : Séries umériques. Master Eseigemet Spécialité Maths Coseils O accordera ue importace toute particulière aux démostratios des théorèmes du cours. Certais exercices de cette feuille sot ispirés

Plus en détail

Suites de réels. Contents. 1 Retenez au moins ça 3

Suites de réels. Contents. 1 Retenez au moins ça 3 Suites de réels Cotets 1 Reteez au mois ça 3 Bore supérieure 3.1 Déitios.......................................... 3.1.1 Relatio d'ordre sur u esemble E....................... 3.1. Ordre total.....................................

Plus en détail

Séries de Fourier. III 1 - Séries trigonométriques a. Premier exercice d approche. b. Deuxième exercice d approche c. Convergences.

Séries de Fourier. III 1 - Séries trigonométriques a. Premier exercice d approche. b. Deuxième exercice d approche c. Convergences. Séries de Fourier III - Séries trigoométriques a. Premier exercice d approche. b. Deuxième exercice d approche c. Covergeces. III - Séries de Fourier a. Défiitio. b. Exemples. c. Covergece das d. Covergece

Plus en détail

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I Gééralité sur les suites: - Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit la propriété P() dépedat de l idice Si les propositios ()

Plus en détail

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin MVA101 - Aalyse et calcul matriciel 2012 2013 T. Horsi (thierry.horsi@cam.fr) Attetio: Ce documet est ue base de travail qui peut coteir des coquilles. Les zoes e bleus sot, de loi, hors programme, et

Plus en détail

Exercice 1 (10 points)

Exercice 1 (10 points) Devoir surveillé 2 L usage de la calculatrice est autorisé La qualité de la présetatio et de la rédactio de la copie sera prise e compte das so évaluatio Sauf metio du cotraire, toute répose doit être

Plus en détail

SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1

SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE. Exercice. Ue suite de réels positifs qui coverge vers 0 est décroissate à partir d u certai rag. C est faux. Pour costruire u cotre-exemple, o pourrait cosidérer

Plus en détail

Séries entières. Préparation au Capes de Mathématiques

Séries entières. Préparation au Capes de Mathématiques Séries etières Préparatio au Capes de Mathématiques I - Covergece des séries etières Notatios Pour tout élémet r de R +, o ote D r = fz 2 C / jzj < rg et D r = fz 2 C / jzj rg Déitio 1 O appelle série

Plus en détail