Amélioration du comportement vibratoire d une machine électrique en optimisant la pression magnétique sur un modèle numérique

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1 Amélioration du comportement vibratoire d une machine électrique en optimisant la pression magnétique sur un modèle numérique Jaafar HALLAL Université de technologie de Compiègne, Laboratoire d électromécanique de Compiègne (EA 16) Rue Roger Couttolenc, CS 6319, 623 Compiègne jaafar.hallal@utc.fr RESUME De nos jours, dans la conception des machines électriques, le bruit audible est devenu un critère important. Cet article présente un modèle multi-physique (électromagnétique-mécanique) afin de prévoir les vibrations mécaniques provoquées par la pression magnétique dans une machine synchrone à rotor bobiné. L objectif de la méthode étant d améliorer le comportement vibratoire des machines. L originalité de ce travail est l optimisation sur des critères inhabituels (les harmoniques de la courbe de pression magnétique). Pour ce faire, nous utilisons un modèle électromagnétique numérique qui nous permettra également en adjoignant un modèle mécanique d observer les modifications de comportement vibratoire. ABSTRACT audible noise has become an important criterion in electric machines design. This paper presents a multiphysics model (electromagnetic-mechanic) in order to predict mechanical vibration caused by magnetic pressure in a synchronous machine. The objective of this method is to improve vibration behavior of electrics machines. The novelty of this work was to optimize the numerical electromagnetic model on unusual criterion (magnetic pressure harmonics), then observe the modification of vibration behavior. Mots-clés machines électriques, réponse fréquentielle, pression magnétique, modèle numérique, optimisation, vibration. 1. Introduction La majorité des travaux d optimisation de machines portent sur des critères classiques [1]-[2] (couple moyen, qualité du couple, pertes, ) et beaucoup utilisent des modèles analytiques pour des raisons de coût. Plusieurs modèles analytiques ont été développés pour calculer la pression magnétique et les comportements vibratoires [3]. Dans ce contexte, les critères d optimisations sont discrets (nombre des encoches) [4]. La particularité de notre étude est d optimiser le moteur sur des critères harmoniques de pressions magnétiques avec un modèle numérique. Ensuite, ces pressions sont utilisées comme données d entrée d un modèle mécanique afin d observer le comportement vibratoire. Un outil informatique implémenté dans Matlab (Fig. 1) intègre les pressions magnétiques calculées par solveur électromagnétique éléments finis (Flux 2D) [5] sur le modèle mécanique, ensuite, la réponse en fréquence est calculée en utilisant solveur mécanique éléments finis (MSC.Nastran). Avec un temps de calcul acceptable et une bonne précision, ce couplage est une méthode intéressante pour calculer les vibrations magnétiques [6]-[7]. Modèle électromagnétique (Flux2d) Outil de couplage (Matlab) Calcul vibratoire (Nastran) Algorithme d optimisation Figure 1: Organigramme de l outil de conception optimale multi-physique

2 2. Modélisation 2.1 Présentation de la machine Pour l étude de faisabilité, nous avons appliqué cette méthode sur une machine synchrone à rotor bobiné (Fig. 2), avec 48 dents statorique et 2 paires de pôles. Le modèle 2D électromagnétique représente ¼ de la machine avec 762 élément triangle à 3 nœuds, et le modèle 3D mécanique qui représente le stator en 3D avec 264 éléments hexaèdre à 8 nœuds. 2.2 Pression magnétique Figure 2: Modèles électromagnétique et mécanique de la machine La force de Maxwell prend son siège à l interface de deux matériaux ferromagnétiques. Dans les machines électriques, cette pression est cruciale sur l interface entre l entrefer et le rayon d alésage du stator. La pression magnétique peut être exprimée [8] : {[ ( )] [ ( )] } (1) Où et représentent respectivement la position angulaire et le temps., et représentent la perméabilité de l air, l induction radiale et tangentielle dans l entrefer. Dans une première approche, on néglige la composante tangentielle de l induction magnétique car à l interface des matériaux on ne considère que la conservation de la composante normale de l induction. On peut alors écrire la pression sous la forme : {[ ( )] } (2) La Fig.3 représente la pression magnétique en fonction de la position angulaire ( [ ; 9 ]) et le temps (sur une période électrique), calculé à partir de Flux2D. 2.3 Réponse en fréquence Figure 3: pression magnétique La pression magnétique appliquée varie en fonction du temps (Fig. 3), ce qui conduit à faire vibrer le stator. Cette vibration peut provoquer plusieurs problèmes (fatigue, acoustique ), surtout si on prend en compte la résonance

3 mécanique. On projette cette pression magnétique sur le maillage mécanique du stator, en utilisant l outil de couplage implémenté dans Matlab, afin de calculer la réponse en fréquence (MSC. Nastran). ( ) ( ) ( ) ( ) (3) Cette équation décrit la vibration forcée, avec M, C et K qui représentent les matrices de la masse, l amortissement et la rigidité. f est le vecteur de chargement de force et u le vecteur de déplacement. Dans ce cas, on utilise le chargement harmonique où represente la pulsation : ( ) ( ) ( ) ( ) (5) En substituant (4) et (5) dans (3) on obtient : ( ) ( ) ( ) ( ) (6) Afin de reduire le taille du probleme et obtenir un système d équations découplées, on utilise la méthode de superposition modale. On considere une base tronqué qui ne couvre pas tous les modes dans la base. La dimension de cette base est choisie à 2 à 3 fois la plage de fréquence d intérét [9]. ( ) ( ) ( ) (7) 3. Méthode d optimisation 3.1 Généralités L optimisation consiste à déterminer le meilleur jeu de paramètres d un ensemble de paramètres de conception, selon des critères quantitatifs donnés. Il existe deux grandes familles d optimisation principales, les méthodes déterministes et les méthodes stochastiques. La première consiste à déterminer la direction et la tendance de la fonction d optimisation, elle est économique mais peut être piégée par un optimum local. La deuxième explore le domaine en se basant sur un grand nombre des essais aléatoires, elle est efficace pour trouver un optimum global, mais très couteuse en temps de calcul. 3.2 Plan d expériences numérique Afin de réduire le nombre de calcul numériques, il est possible de construire une surface de réponse. Cette fonction analytique (en bleu) est construite par l interpolation sur la fonction originale (en noir) en se basant sur quelques essais numériques bien choisis (Fig. 4). Comme exemple, l équation (8) est un modèle quadratique d une approximation avec interaction des paramètres de conceptions (x 1, x 2 ) [1]-[11]-[12]. ( ) (4) (8) 3.3 Algorithme d optimisation Figure 4: interpolation Got-it est un outil lié à Flux2d permettant d appliquer un algorithme d optimisation sur un modèle électromagnétique élément finis. Ce nouvel outil d optimisation est particulièrement pertinent dans notre cas. Comme on a un problème mono objectif, il est recommandé d appliquer l optimiseur de substitution séquentielle «sequentiel surrogate optimiser SSO». SSO construit une surface de réponse (Fig. 5), applique ensuite un algorithme génétique d optimisation sur cette surface ( représente les paramètres de conception), et enfin compare la valeur de substitution issu de la surface de réponse ( ( )) avec la valeur réelle. Si l écart est important, la méthode réitère le processus en raffinant la surface de réponse en réduisant le domaine de la recherche autour du point considéré [13].

4 Algorithme d optimisation Xopt Sf(x) Surface de réponse Xopt f(x) Fonction objectif 4. Calcul 4.1 Paramètres de conception Figure 5: Algorithme d'optimisation Une étude de sensibilité a montré que la distance modifiant la courbure de l arc polaire du rotor (AP), l ouverture des encoches (OE) et le rayon du bec d encoche (RB) (Fig. 6) sont les paramètres les plus influents sur les critères d optimisation. En respectant les contraintes de conceptions et de fabrications, les marges de variation choisis sont pour AP, pour OE et pour RB. Tableau 1 montre les coefficients d influences pour chaque paramètre sur quelques critères, chaque ligne lue indépendamment les unes des autres. Figure 6: paramètres de conception Tableau 1: coefficients d'influences AP OE RB Couple moyen Crête à crête 1.18 Harmonique 4 (4 Hz) Harmonique 12 (12 Hz) Harmonique 48 (48 Hz) Valeurs initiales La figure 7 représente le spectre de la courbe de pression magnétique calculé sur un point situé sur le rayon d alésage du stator. Le modèle mécanique est chargé par les forces magnétiques en utilisant l outil de couplage, ensuite la réponse

5 Couple normalisé Acceleration [db] Pression [Pa] en fréquence sera calculée (Fig. 8). On peut localiser deux pics important à 6 et 7.2 khz, et d autres autours 2.4, 4.8, 8 et 9 khz. 2.5 x Fréquence [Hz] Figure 7: harmoniques de la courbe de pression magnétique 2 15 initial Optimisation du couple Fréquence [khz] Figure 8: comportement vibratoire La (Fig. 9) montre l allure de résultats d optimisation sur des critères classiques (évolutions temporelles du couple) : du couple initial (noir) en fonction du temps, le couple optimisé sur le critère de niveau (bleu) de couple et sur le critère de qualité de couple (amplitude crête à crête, rouge). Les résultats montrent que le couple moyen peut augmenter d environ 3.5% pour ce critère d optimisation. Pour le critère pulsation du couple, l amplitude crête à crête peut diminuer d environ 16.8% (on affiche des couples normalisés) couple initial Couple optimisé selon le niveau couple optimisé selon la qualité Temps [sec] x 1-3 Figure 9: couples optimisés

6 Acceleration [db] 4.4 Optimisation des harmoniques Optimisation des harmoniques sans perte en couple Dans cette partie, une optimisation innovante est faite à partir du spectre de pression magnétique (Fig. 7). Selon les résultats vibratoires, on a choisi d optimiser les harmoniques 4, 12 et 48 (4, 12 et 48 Hz respectivement) du spectre de la courbe de pression magnétique. Le Tableau 2 présente l harmonique optimisé, les valeurs finales (optimisées) des paramètres influents et le gain crête à crête de trois prototypes virtuels: Design D1, D2, D3. Tableau 2: optimisation sans perte en couple Design Principal harmonique optimisé Paramètres influents Crête à crête D1 D2 D3 H 4 (4 Hz) H 12 (12 Hz) H 48 (48 Hz) AP (-15%) AP (-17%) RB (+5%) AP (-18%) -16.8% -17.1% Au niveau vibratoire (Fig. 1), les pics à 6 et 9 khz sont largement réduit de plus de 1 db, il y a également des résultats significatifs sur le pic à 2.4 khz avec le design D3 et D1. -2% Initial D1 D2 D Figure 1: Résultats vibratoires sans perte en couple Optimisation des harmoniques avec 2% perte en couple Si on permet 2% de perte maximale en couple, on peut améliorer la minimisation de l amplitude crête à crête de presque 28 % (Tableau 3). Tableau 3: optimisation avec 2% perte en couple Design Principal harmonique optimisé Paramètres influents couple Crête à crête D4 H 4 D5 H 12 D6 H Fréquence [khz] AP (-28%) AP (-29%) RB (+5%) AP (-29%) -1.8% -26% -1.7% -26.8% -1.8% -27.8%

7 Acceleration [db] Au niveau vibratoire (Fig. 11), on remarque que les pics sur 6 et 9 khz diminuent de 14 db pour D5 et D6. Le pic sur 2.4 khz diminue 9 db pour D4, et le pic à 7.2 khz diminue 6 db pour tous les designs initial D4 D5 D Conclusion Fréquence [khz] Figure 11: résultats vibratoires (avec 2% de perte en niveau de couple) Cette étude a démontré la faisabilité et les bons résultats de cette méthode d optimisation rapide sur des nouveaux critères (harmoniques de pression magnétique). Les vibrations mécaniques peuvent être fortement réduites par l optimisation des harmoniques de la pression magnétique. De plus, avec une diminution acceptable du couple (2%), on peut encore améliorer significativement le comportement vibratoire de la machine. La méthode d optimisation couplée à l outil de modélisation (électromagnétique-mécanique) peut être utilisée pour prévoir et optimiser les vibrations magnétiques de bien d autres types de machines, à condition que la géométrie soit représentable en 2D pour la modélisation électromagnétique. Dans les cas contraire une modélisation électromagnétique tridimensionnelle s impose. 6. Références [1] D. Wang, X. Wang, M.K. Kim and S.Y. Jung, integrated optimization of two design technique for cogging torque reduction combined with analytical method by a simple gradient descent method, IEEE Trans. Magn., vol. 48, no. 8, Aug. 212 [2] M. Ashabani and Y.A.R.I. Mohamed, multiobjective shape optimization of segmented pole permanent-magnet synchronous machines with improved torque characteristics IEEE trans. Magn., vol. 47, no. 4, Apr. 211 [3] J. Le Besnerais, V. Lanfranchi, M. Hecquet and P. Brochet, prediction of audible magnetic noise radiated by adjustable-speed drive induction machines, IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 46, no. 4, Jul./Aug. 21 [4] J. Le Besnerais, V. Lanfranchi, M. Hecquet and P. Brochet, optimal slot numbers for magnetic noise reduction in variable-speed induction motors, IEEE Trans. Magn., vol. 45, no. 8, Aug. 29 [5] Cedrat, Flux 2D/3D and GOT-It user manuals, [6] P. Pellerey, V. Lanfranchi, G. Friedrich, Coupled numerical simulation between electromagnetic and structural models, influence of the supply harmonics for synchronous machine vibrations IEEE trans. Magn., vol. 48, no. 2, Feb. 212 [7] M. van der Giet, C. Schlensok, B. Schmülling, and K. Hameyer, Comparison of 2-D and 3-D coupled electromagnetic and structure-dynamic simulation of electrical machines, IEEE trans. Magn., vol. 44, no. 6, Jun. 28 [8] W. finley, M. Hodowanec, and W. Holter, An analytical approach to solving motor vibration problems, in Proc. 46 th Annu. Petroleum Chem. Ind. Conf., 1999, pp [9] E. Arnoult, P. Lardeur and L. Martini, The modal stability procedure for dynamic and linear finite element analysis with variability, Finite elements in analysis and design 47 (211) 3-45

8 [1] BRANDISKY K., PAHNER U., BELMANS R., Optimal design of a segmental PM DC motor using statistical experiment design method in combination with numerical field analysis, ICEM 1994, Paris, France, vol. 3, pp , September 5-8, 1994 [11] SCHIMMERLING P., SISSON J.C., ZAÏDI A., Pratique des plans d éxpériences, Lavoisier, 1998 [12] GILLON F., BROCHET P., Optimization of a brushless permanent magnet motor with the experimental design methods, IEEE Trans. Magn., vol. 34, no 5, pp , 1998 [13] M.C. Costa, J.L. Coulomb, Y. Maréchal, and S. I. Nabeta, An adaptive Method Applied to the diffuse element approximation in optimization process IEEE Trans. Magn., vol. 37 no. 5, Sept. 21

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