I. MOYENNE d une SERIE de DONNEES STATISTIQUES Activité 1 : moyenne d une série de notes

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1 Séquence 9 : statistiques, classe de 3 ème (Février 2015) I. MOYENNE d une SERIE de DONNEES STATISTIQUES Activité 1 : moyenne d une série de notes Anne, Hugo et Marc veulent savoir qui a obtenu les meilleurs résultats en mathématiques au premier trimestre de l année scolaire Les notes d Anne sont : 12; 10; 18; 15; 17; 13 Les notes de Hugo sont : 16; 13; 8; 7; 20; 14,5. Les notes de Marc sont 7; 9; 14; 10,5; 12; 9,5. 1) Hugo dit à ses deux camarades que c est forcément lui car il a eu un 20. Anne et Marc ne sont pas d accord avec lui et lui disent que c est Anne. Qui a raison? Justifier 2) Marc est certain d avoir une moyenne comprise entre 7 et 14. Pourquoi? Nous retiendrons que : La moyenne d une série de données statistiques est le... de la somme de toutes les données de cette série par son... Remarque : la moyenne d une série de données statistiques est toujours comprise entre ses deux valeurs extrêmes. Activité 2 : moyenne pondérée La moyenne pondérée est une moyenne dans laquelle chaque donnée possède un coefficient Un élève de la classe a eu les notes suivantes en mathématiques : 12 sur 20 lors d un devoir de 55 minutes en classe, un 16 sur 20 lors d une interrogation de 20 minutes en classe et un 18 sur 20 pour un devoir maison. Sachant que le coefficient d un DM est 0,5, le coefficient d une petite interrogation en classe est de 1 et que le coefficient d un contrôle de 55 minutes fait en classe est de 2, calculer la moyenne provisoire de cet élève de la classe. (expliquer le détail des calculs) Nous retiendrons : Pour calculer la moyenne pondérée d une série de données statistiques : 1) on calcule l effectif... 3) on... 2) on multiplie chaque... par son... 4) on... Exercice 1 : Durant le mois de janvier 2015, un commerçant a vendu 380 recharges téléphoniques, à différents montants : Montant (en euros) Effectif ) Calculer le nombre de recharges à 50 euros vendues par ce commerçant. 2) Calcule le montant moyen d une recharge pour une personne chez ce commerçant au mois d octobre. Vous noterez M m ce montant moyen. Collège Juliette DODU 1 sur 10

2 II. ETENDUE, MEDIANE et quartiles d une SERIE de DONNEES STA- TISTIQUES Activité 3 : étendue d une série statistique Définition : L étendue d une série statistique est la différence entre la plus grande valeur de la série statistique et la plus petite valeur de cette série. Exemple : Considérons une série statistique : une série de notes à un contrôle de mathématiques d un groupe d élèves de 3 ème Quelle est l étendue de cette série de notes? Justifier. Activité 4 : médiane d une série statistique Définition : La médiane (notée souvent Me) d une série statistique est la valeur du caractère qui sépare la population en deux groupes de même effectif : le groupe des valeurs inférieures ou égales à la valeur médiane le groupe des valeurs supérieures ou égales à la valeur médiane ATTENTION : Les données de la série statistiques sont à ranger dans l ordre croissant EXEMPLE 1 : Considérons la série statistique suivante : une série de pointures de chaussures : Pour déterminer la médiane de cette série statistique, vous devez a) ranger ces nombres dans l ordre croissant b) trouver la valeur qui partage cette série de nombres en deux groupes de même effectif. Déterminer la médiane de cette série statistique en suivant la démarche donnée ci-dessus. Remarque : on remarque que si la série statistique comporte un nombre... de valeurs, il est facile de trouver la valeur médiane de cette série de nombres. Mais qu en -est-il lorsque la série statistique comporte un nombre pair de valeurs? EXEMPLE 2 : Considérons cette nouvelle série statistique (une série de pointures de chaussures) : Déterminer la médiane de cette nouvelle série de nombres. (cette série statistique compte un nombre... de valeurs) Collège Juliette DODU 2 sur 10

3 Activité 5 : médiane d une série statistique ayant de nombreuses données Objectif de cette activité : déterminer la médiane d une série de nombres (série statistique) lorsque cette série comporte de nombreuses valeurs Considérons une série statistique comportant 40 données (des notes d élèves à un devoir commun de mathématiques). Voici ces 40 notes (les notes de 40 élèves) Pour déterminer la médiane de cette série statistique, les données doivent être rangées dans l ordre croissant. Or, dans ce cas, il y a 40 valeurs et ranger 40 valeurs dans l ordre croissant peut être long! Dans le cas où la série statistique comporte un grand nombre de valeurs, il peut être utile de dresser un tableau où figureront les effectifs et les effectifs cumulés croissants. 1) Compléter le tableau suivant : Notes Effectif Effectifs cumulés croissants 2) En s aidant du tableau ci-dessus, répondre aux questions suivantes : a) Quelle est la 8 ème valeur de la série dans l ordre croissant?... b) Quelle est la 13 ème valeur de la série dans l ordre croissant?... c) Quelle est la 25 ème valeur de la série dans l ordre croissant?... 3) Nous recherchons maintenant la médiane de la série statistique ci-dessus. Compléter : } {{ } } {{ } un groupe de... valeurs un groupe de... valeurs Compléter : La 20 ème valeur de la série dans l ordre croissant est... et la 21 ème valeur de la série dans l ordre croissant est... Nous pouvons écrire (compléter) : Tout nombre compris entre... et... peut être considéré comme médiane de cette série statistique. Généralement, nous choisissons pour la médiane la... de... et... Notons M e la médiane de la série statistique Nous pouvons écrire : M e = = En conclusion, nous pouvons dire que la médiane de cette série statistique est... Activité 6 : quartile d une série statistique : activité 4 page 189 du livre Collège Juliette DODU 3 sur 10

4 Ó Ù Ö ê Ø Ø Ø Õ Ù ê Ð ãñ µ ãú Ö Ö 2015 I. Vocabulaire des statistiques Suite aux manifestations pour la vie chère sur l île de la Réunion en 2012, le prix de soixante articles ont subi une baisse. Pour cela, les prix ont été étudiés. Des personnes sont allées dans des supermarchés (grandes surfaces) pour noter les prix du litre d huile. Les résultats sont les suivants : 1, 96 2, 02 2, 65 1, 79 2, 02 La population étudiée est : les bouteilles d un litre d huile d une même marque Le caractère étudié est : le prix (en euros) d un litre d huile (d une même marque) On a relevé 5 données donc l effectif total est 5. Les valeurs du caractère sont : 1, 79 1, 96 2, 02 2, 65 II. Médiane et étendue d une série statistique 1)Médiane d une série statistique Définition : La médiane (notée souvent Me) d une série statistique est la valeur du caractère qui sépare la population en deux groupes de même effectif : le groupe des valeurs inférieures ou égales à la valeur médiane le groupe des valeurs supérieures ou égales à la valeur médiane ATTENTION : Les données de la série statistiques sont rangées dans l ordre croissant Remarque : il faut distinguer deux cas : premier cas : le nombre de données est impair deuxième cas : le nombre de données est pair Exemple 1 : le nombre de données est impair Voici les notes obtenues (sur 20 points) pour un groupe de neuf élèves lors d une évaluation de mathématiques : Déterminons la médiane de cette série de notes. Pour cela, rangeons ces neuf valeurs dans l ordre croissant : }{{} groupe des quatre premières valeurs rangées dans l ordre croissant }{{} groupe des quatre dernières valeurs rangées dans l ordre croissant Collège Juliette DODU 4 sur 10

5 En conclusion, la médiane de cette série de notes est 10 (sur 20) Exemple 2 : le nombre de données est pair On a relevé la taille (en cm) de six personnes Les résultats (en cm) sont les suivants : Déterminons t m la taille médiane de ce groupe de six personnes On range ces six valeurs dans l ordre croissant. Ce qui donne : }{{} groupe des trois premières valeurs rangées dans l ordre croissant }{{} groupe des trois dernières valeurs rangées dans l ordre croissant Toute valeur comprise entre 174 et 175 (cm) peut-être prise pour la médiane de cette série statistique. Généralement, on prend la demi-somme de ces deux valeurs, c est-à-dire 174, 5 cm (( ) 2) En conclusion, la taille médiane de cette série est 174, 5 (cm). Remarque importante : Lorsque la série statistique comporte de nombreuses données, il peut Ítre intéressant de dresser la tableau des effectifs cumulés croissants car ranger de nombreux nombres dans l ordre croissant peut s avérer long! (voir exercices) 2) Etendue d une série statistique Définition : L étendue d une série statistique est la différence entre la plus grande valeur de la série statistique et la plus petite valeur de cette série. Exemple : Considérons la série de nombres suivant : L étendue de cette série statistique est égale à 100 (101 1) III. Quartiles d une série statistique Définition : Le premier quartile d une série statistique est la plus petite valeur Q 1 de la série telle qu au moins un quart des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Q 1. Le troisième quartile d une série statistique est la plus petite valeur Q 3 de la série telle qu au moins les trois quarts des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Q 3. Collège Juliette DODU 5 sur 10

6 ATTENTION : Ranger les données dans l ordre croissant. Remarque : Le deuxième quartile Q 2 est la médiane de la série. Exemple 1 : Considérons la série de données suivante : Calculons le premier quartile (Q 1 ) et le troisième quartile (Q 3 ) de cette série statistique. Rangeons ces données dans l ordre croissant : Cette série comporte 8 valeurs. Calcul du premier quartile Q 1 : = 8 4 = 2 Q 1 est la 2 ème valeur de cette série (rangée dans l ordre croissant) Q 1 = 5 (deux valeurs lui sont inférieures ou égales et six lui sont supérieures) Calcul du premier quartile Q 3 : = 24 4 = 6 Q 3 est la 6 ème valeur de cette série (rangée dans l ordre croissant) Q 3 = 12 (six valeurs lui sont inférieures ou égales et deux lui sont supérieures) Exemple 2 : Considérons la série de données suivante : Calculons le premier quartile (Q 1 ) et le troisième quartile (Q 3 ) de cette série statistique. Rangeons ces données dans l ordre croissant : Cette série comporte 7 valeurs. Calcul du premier quartile Q 1 : = 7 4 = 1, 75 Le plus petit entier supérieur à 1, 75 est 2. Q 1 est la 2 ème valeur de cette série (rangée dans l ordre croissant) Q 1 = 5 (deux valeurs lui sont inférieures ou égales et cinq lui sont supérieures) Collège Juliette DODU 6 sur 10

7 Calcul du premier quartile Q 3 : = 21 = 5, 25 4 Le plus petit entier supérieur à 5, 25 est 6. Q 3 est la 6 ème valeur de cette série (rangée dans l ordre croissant) Q 3 = 12 (six valeurs lui sont inférieures ou égales et une lui est supérieure) Collège Juliette DODU 7 sur 10

8 åü Ö ê Ù Ö Ð Õ Ù ãò Ø Ø Ø Õ Ù ê Ð ãñ µ ãú Ö Ö 2015 EXERCICE 1 : On a relevé la taille de 50 individus (en centimètres). Voici les résultats. Taille Effectif ) Calculer la taille moyenne de ce groupe de personnes. On notera t m cette taille moyenne (détailler les calculs) 2) a) Compléter le tableau suivant : Taille Effectif Effectif cumulé croissant b) En déduire la médiane de cette série statistique.(expliquer) 3) Calculer l étendue de cette série statistique. 4) Calculer le pourcentage des personnes qui mesurent au moins 1, 65 m (ces personnes peuvent mesurer 1, 65 m). EXERCICE 2 : Extrait du DNB 2006 Asie L histogramme ci-dessous illustre une enquête faire sur l âge des 30 adhérents d un club de badminton mais le rectangle correspondant aux adhérents de 16 ans a été effacé. Effectif Calculer le nombre d adhérents ayant 16 ans âge 2. Quel est le pourcentage du nombre d adhérents ayant 15 ans? 3. Quel est l âge moyen des adhérents du club? Donner la valeur arrondie au dixième. 4. Compléter le tableau ci-dessous pour réaliser un diagramme semi-circulaire représentant la répartition des adhérents selon leur âge (on prendra un rayon de 4 cm). âge 14 ans 15 ans 16 ans 17 ans Total Nombre d adhérents Mesure de l angle (en degrés) 180 Collège Juliette DODU 8 sur 10

9 EXERCICE 3 : exercice 28 page 195 EXERCICE 4 : On a relevéle poids, en kilogrammes, des élèves d un collège à leur rentrée en sixième. Le tableau ci-dessous donne la répartition par classes de la série obtenue : 1) Compléter le tableau suivant : Poids(kg) ]20; 26] ]26; 32] ]32; 38] ]38; 44] Effectif Centre de la classe Effectif cumulé croissant 2) Calculer le poids moyen, que l on notera p m. (Donner la valeur arrondie au dixième)[ détailler les calculs] 3) A quelle classe appartient la médiane de cette série? Justifier. [On ne demande pas la valeur de la médiane!] EXERCICE 5 : Extrait du DNB septembre 2013 Polynésie Le diagramme en bâtons ci-dessous nous renseigne sur le nombre de buts marqués lors de la seconde édition de la coupe de l Outre-Mer de football en Nombre de buts marqués par ligue 16 Nombre de buts marqués par ligue Nombre de buts marqués Guadeloupe Guyane Martinique Mayotte Nouvelle-Calédonie Réunion Ligues de l Outre-Mer Tahiti St-Pierre et Miquelon 1. Combien de buts a marqué l équipe de Mayotte? 2. Quelle est l équipe qui a marqué le plus de buts? 3. Quelle(s) équipe(s) ont marqué strictement moins de 8 buts? 4. Quelle(s) équipe(s) ont marqué au moins 10 buts? 5. Quel est le nombre total de buts marqués lors de cette coupe de l Outre-Mer 2010? Collège Juliette DODU 9 sur 10

10 6. Calculer la moyenne de buts marqués lors de cette coupe de l Outre-Mer Compléter les cellules B2 à B10 dans le tableau ci-dessous. A B 1 Ligues de l Outre Mer Nombre de buts marqués 2 Guadeloupe 3 Guyane 4 Martinique 5 Mayotte 6 Nouvelle-Calédonie 7 Réunion 8 Saint Pierre et Miquelon 9 Tahiti 10 TOTAL 11 Moyenne 8. Parmi les propositions suivantes, entourer la formule que l on doit écrire dans la cellule B10 du tableau pour retrouver le résultat du nombre total de buts marqués = TOTAL(B2 :B9) =SOMME(B2 :B9) 9. Ecrire dans la cellule B11 du tableau précédent une formule donnant la moyenne des buts marqués. EXERCICE 6 : exercice 16 page 193 EXERCICE 7 : exercice 18 page 193 EXERCICE 8 : exercice 32 page 195 Collège Juliette DODU 10 sur 10