Fiche n 2 sur la projection de vecteurs

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1 Fiche n sur la projection de vecteurs I. Eléments de cours à connaître I.1 Définition du produit scalaire I. Conséquences / propriétés I.3 pplication : formule d l Kashi I.4 Projection d un vecteur I.5 Epression analytique I.6 Une propriété utile pour les eercices II. Eercices d applications III. Corrections des eercices 1

2 I. Eléments de cours à connaître I.1 Définition du produit scalaire Le produit scalaire entre deu vecteurs Il est défini de la manière suivante :, B est un scalaire et est noté.b.. B. B.cos( ), avec (, B) angle formé par les deu vecteurs, B de normes respectives et B. I. Conséquences/propriétés. B B. Le produit scalaire de deu vecteurs perpendiculaires ou orthogonau est nul La norme des deu vecteurs étant fiée, le produit scalaire de deu vecteurs est etrémal lorsque les deu vecteurs sont colinéaires ( B). C. C B. C... La norme d un vecteur est la racine de son carré scalaire :.. I.3 pplication : formule d l-kashi Soient deu vecteurs et B : ( B).( B) B. B. B. B On en déduit le théorème d l Kashi : B B. B.cos(, B) Cette formule est très utile pour calculer certaines longueurs de segments mais il est inutile de la retenir par cœur, le plus simple étant de la retrouver, comme indiqué ci-dessus.

3 I.4 Projection d un vecteur. B. B.cos( ) d. B avec d la projection du vecteur sur B. pplication : trouver les composantes d un vecteur dans une base orthonormée ( u, u y ) u u y y avec u. cos( ) et u. sin( ) y y Voir aussi : Eercice d application Soient deu bases orthonormées ( u, u y ) et ( u r, u ) du plan, définies sur la figure ci-contre. Eprimer les vecteurs puis les vecteurs u et u r et u dans la base ( u, u y ) u y dans la base ( u r, ). u 3

4 I.5 Epression analytique Soit ( e, ey, ez ) une base orthonormée directe dans un espace vectoriel à trois dimensions., B sont deu vecteurs de coordonnées cartésiennes respectives ( y, z ) et ( y, z ) dans la base précédente., B, B B Il découle de la définition du produit scalaire :. B B y y B z z B La norme d un vecteur est alors donnée par : y z I.6 Propriété utile pour les eercices Soient (D1) et (D) deu droites sécantes. Soient deu autres droites (D 1) et (D ) telles que (D 1) est perpendiculaire à (D1) et (D ) est perpendiculaires à (D). Les angles formés par les droites (D 1) et (D ) sont égau à ceu formés par les droites (D1) et (D). 4

5 II. Eercices d application Dans tous les eercices, on prend comme sens positif des angles le sens trigonométrique. Eercice 1 : Projections et produit scalaire On considère une base orthonormée du plan ( u, u y vecteur u de norme u faisant un angle avec le vecteur ). Soient un u et un vecteur v de norme v et faisant un angle avec le vecteur. Donner les projections des deu vecteurs précédents dans la base ( ). Déterminer le produit scalaire u. v de deu manières différentes. u, u y Eercice n : Pendule pesant u y On considère un pendule pesant constitué d un fil tendu sans masse et d un point matériel M de masse m. L ae (Oy) est l ae vertical. Les forces s eerçant sur le point M sont le poids P de norme P et la tension T du fil de norme T. La position du point M est paramétrée par l angle (voir figure ci-contre). Déterminer les composantes de ces deu forces dans la base orthonormée ( u r, u ) définie sur le dessin. Eercice 3 : Palet sur un plan incliné On considère un palet sur un plan incliné d un angle par rapport à l horizontale. Ce palet subit trois forces : son poids caractérisé par le vecteur P de norme P et de la part du plan incliné la réaction normale N de norme N et la réaction tangentielle T de norme T (frottements solide). On considère par ailleurs deu bases orthonormées du plan : ( u, u y ) et ( u ', u y' ) (voir dessin) 1) Eprimer les trois forces considérées dans les deu bases différentes. ) Eprimer la résultante des forces P N T dans la base ( u ', u y' ). 3) Déterminer la norme du vecteur P T. 4) Soit un vecteur v de norme v et faisant un angle avec le vecteur ' fonction de P, v, et. u. Eprimer P. v en 5

6 Eercice 4 : Pendule pesant sur un plan incliné On considère le pendule pesant de l eercice sur un plan incliné (Oy) d un angle par rapport à l horizontale (X). La droite (O) est sur la ligne de plus grande pente et on donne O=L. Déterminer la projection Z M du M vecteur suivant l ae vertical (Z). Vérifier votre résultat en considérant des cas limites ( =0 ou /). Eercice 5 : Point matériel sur un cerceau On considère un anneau assimilé à un point matériel M de masse m se déplaçant sur un cerceau de rayon a de centre C. On repère la position du point M par l angle orienté et la base ( u r, u ) est orthonormée directe. Le point M est soumis en particulier à son poids caractérisé par le vecteur P de norme P. Le vecteur u y 1) Eprimer le poids est suivant la direction verticale. ) Eprimer le vecteur OM P dans la base ( u r, u ). dans la base orthonormée ( u r, u ) définie sur le schéma ci-contre (on pourra utiliser : OM OC CM ). 3) En déduire la longueur OM et commenter. Eercice 6 : Cerceau lesté sur un plan incliné On considère un cerceau circulaire de rayon R, de centre C se déplaçant sur un plan incliné d un angle par rapport à l horizontale. Ce cerceau est lesté par une masse supposée ponctuelle M de masse m. On repère la position de cette masse par l angle. On considère la base orthonormée ( u r, u ) comme définie sur le dessin, dépendant de la position de M. L ae (Oy) est vertical. Le point M est soumis en particulier à son poids caractérisé par le vecteur P de norme P. 6

7 1) Eprimer le poids P dans la base ( u r,u ). ) Déterminer la projection du vecteur OM sur l ae vertical (Oy) en fonction de, R et la distance OH. 3) On admet que la vitesse du point M dans le référentiel lié au plan incliné s eprime par la relation d suivante V ( M ) V u ' R u. Déterminer les composantes de cette vitesse dans la base C dt ( u u ', y' ). 7

8 III. Corrections des eercices 8

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