MECANIQUE DES FLUIDES

Transcription

1 Chapite MECNIQUE DE FLUIDE INTRODUCTION: La matièe est constituée d atomes, de molécules ou des ions Ces paticules sont liées ente elles pa des foces de liaison (liaisons covalentes, ioniques, métalliques, de Van de Waals ou d hydogène) elon la gandeu de la foce liant ces constituants ente eux, on distingue tois états de matièe : l état solide (liaisons tès fotes), l état liquide ( foces de liaison moyennes) et l état gazeux( foces tès faibles) Les tansfomations de phase ou changements d états sont : () - Fusion : C est la tansfomation de la matièe de l état solide à l état liquide () - Liquéfaction (condensation) : C est la tansfomation de l état gazeux à l état liquide (3) - olidification (condensation ou déposition): C est le passage de l état gazeux à l état solide (4) - Gazéification (vapoisation) : C est la tansfomation d un liquide en vapeu (5) - olidification : C est l invese de la fusion On l appelle aussi congélation losque la tansfomation se éalise à basses tempéatues) (6) - ublimation : C est le passage de l état solide à l état gazeux Les tansfomations, 4 et 6 se font avec absoption d énegie pa conte, les tansfomations,5 et 3 s accompagnent d un dégagement de chaleu L eau, pa exemple, à T 73 K et atmosphèe ( atm), se touve sous 3 états (les 3 phases solide, liquide et gazeuse sont pésentes)c est le point tiple de l eau dans le diagamme (, T) T est le point tiple de l eau : T 73K, atm D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie -

2 Les fluides sont des cops (liquides et gaz) qui, n ayant pas de fome pope, sont facilement défomables sous l action de tès faibles containtes (foces) extéieues La mécanique des fluides se compose de l étude des fluides au epos (hydostatique) et des fluides en mouvement (hydodynamique) Les applications de la mécanique des fluides sont tès impotantes notamment dans la maine, l océanogaphie, la météoologie, la médecine, etc Une masse donnée d un fluide ne gade pas une fome bien déteminée (comme dans le cas des solides) mais vaie avec la fome du vase dans lequel elle se touve ou cela, les notions de masse et de foce utilisées en mécanique newtonienne seont substituées espectivement aux notions de masse volumique et de pession HYDROTTIQUE Définition : Les fluides ne sont pas igides et ne peuvent pas este longtemps au epos sous l action de foces extéieues Un fluide est au epos seulement losqu il n existe pas de foces paallèles appliquées su lui Toute foce execée su ou pa un fluide doit ête pependiculaie à la suface su laquelle il agia oit () une suface plane d un fluide On exece su elle une foce quelconque F Cette foce peut ête décomposée en une somme vectoielle : une foce pependiculaie F à la suface () et une foce paallèle à cette suface F II telles que F F + F II Losque F II, l écoulement du fluide aua bien lieu Losque F II (F F ), la foce F est pependiculaie à la suface () et le fluide se touve alos au epos Donc, le déplacement d un fluide est conditionné pa l existence d une foce paallèle appliquée su sa suface ession La pession est la foce qui s exece pa unité de suface : F où F est la foce s exeçant pependiculaiement à la suface et est l aie su laquelle la foce F est appliquée [] ML - T - ascal a kg/ms N/m ession atmosphéique : La pession atmosphéique est le poids de l ai execé su m de la suface de la Tee lus on s éloigne de la suface de la Tee, plus il y a moins de molécules d ai Donc la pession diminue avec l altitude h D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie -

3 T C et au niveau de la me ( h m) on a atmosphèe atm 3 5 N/m 3 5 a 3 ba 76 mmhg 76 Tos Losqu on emplit un tube avec du mecue, ensuite on le plonge) dans un vase empli du mecue, ce denie descend jusqu à la hauteu H 76 m 76 mm, et dans la patie supéieue de ce tube la pession est nulle ( il n y a pas d ai) En épétant la même expéience avec un vase plein d eau, la hauteu d ascension sea de m lus la densité du liquide utilisé est petite, plus la hauteu de la colonne est impotante C est pou cela que, de point de vue patique, dans la plupat des appaeils de mesue de la pession on utilise le mecue (de densité tès gande (36)) Voi baomète à mecue (page 6) Exemple : Evalue la masse de l atmosphèe algéienne losque 38 6 km et g m/s F mg m x kg g oussée d chimède : Losque un cops solide est plongé dans un fluide, il eçoit une poussée (foce) veticale, diigée ves le haut et égale au poids du fluide déplacé On a : Le poids du cops est : ρ Vg ρ( V i + Ve ) La poussée d chimède estπ V i gρ Où ρ est la masse volumique du cops et ρ celle du fluide, V i est le volume immegé, V e est le volume émegé l équilibe on a : i π ρv ρ Vi ρ Vi + Ve elon les valeus de ρ et ρ on distingue les phénomènes suivants: ρ V D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 3

4 - Losque ρ ρ on a une immesion : le cops solide se touve complètement immegé dans le fluide - Losque ρ ρ on a une flottaison : le cops solide flotte à la suface du liquide (une patie se touve dans le fluide et l aute dans l ai) - Losque ρ ρ on a une suspension (cas de cetains médicaments : siops) Exemple : Les masses volumiques de la glace, de l eau de me et de l ai sont espectivement 9 kg/m 3, 5 kg/m 3 et -3 kg/m 3 Calcule la faction V e ( volume émegé /volume immegé) d un icebeg Vi On a : le poids de l icebeg est ρ g gv ρ g ( Vi + Ve ) g La poussée d chimède dans l eau de me est : π m ρ m gvi La poussée d chimède dans l ai est : π a ρ a gve l équilibe : π a + π m ρ g gv ρ a gve + ρ m gvi ρ g ( Vi + Ve ) g ρ a gve + ρ m gvi ρ g ( V i + Ve ) ρ ave + ρ mvi V ρ ρ ) V ( ρ ρ ) e ( g a i m g V ρ m ρ e g 5 9 Vi ρ g ρ a 9 V 9 Comme ρ i a ρ g 9 9% V 5 Donc 9% du volume de la glace se touvent dans l eau 3 Loi de ascal En absence de gavité la pession dans un fluide au epos est la même en tout point u epos la somme vectoielle de toutes les foces pependiculaies à la suface latéale du cylinde est nulle : F cylinde De même, la ésultante des foces paallèles à l axe du cylinde est égale à F ( axe) ca, en aison de symétie, pou chaque foce appliquée pependiculaiement à l axe, il existe une foce qui lui est égale en module, mais du sens opposé, de sote que la somme vectoielle est égale à FM FN FII ( axe) FM + FN F M FN M N est la section doite du cylinde D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 4

5 3 ession hydostatique oit un cylinde contenant un fluide oit F une foce pependiculaie au piston de section et de masse négligeable La pession sous le piston est : o F où est la section du piston L équilibe du fluide se taduit pa : FN + + F FN ( + F) La foce totale execée pa le fluide su le fond du cylinde est : R N - F R N ( + N F ρgv F) H + + gh H ρ + H ρ gh + Donc la pession dans un fluide augmente avec la pofondeu Loi : La pession dans un fluide au epos est la même en tout point situé su une même hoizontale La pession à la pofondeu H est donnée pa : H ρ gh + Losque H est constant, la pession à cette pofondeu est constante 6 ppaeils de mesue de la pession a aomète : Le baomète est un appaeil de mesue de la pession atmosphéique Ex aomète à mecue : La pession à la suface du mecue est égale à la pession atmosphéique Comme le fluide est au epos, la pession aux points situés su la même hoizontale que cette suface est égale aussi à ( même pou les points situés à l intéieu du tube) La pession dans la patie supéieue du tube est nulle Donc, en appliquant la loi de la pession hydostatique on touve : 5 + ρ gh 36x98x76 3 a D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 5

6 3 vec : ρ 36kg / m est la masse volumique du mecue g 98m / s est l accéléation de la pesanteu H 76m est la colonne du mecue dans le tube b Manomète : Il mesue la difféence ente la pession absolue dans le fluide et la pession atmosphéique Il est constitué d un tube en U dans lequel se touve une cetaine quantité du mecue Une banche de ce tube est intoduite dans un ésevoi contenant un fluide ( gaz ou liquide) pou lequel on veut mesue la pession L aute banche est à la pession atmosphéique Le manomète nous donne diectement la difféence de ces deux pessions : - Cette difféence de pessions est souvent appelée pession de jauge Les points à l intéieu du tube, se touvant su la même hoizontale que le point, sont à la même pession On a : + ρ gh + ρgh + ρ g h ) ( h + ρgh ρgh cphygmomanomète (Tensiomète) Il est constitué d un manomète et d un stéthoscope Il set à mesue la tension (pession) atéielle endant le cycle cadiaque la pession dans le cœu passe pa un maximum (pompage) et un minimum (elaxation c est à die que le cœu est plein du sang) La pession maximale est la pession systolique tandis que la pession minimale est dite pession diastolique Généalement on mesue la tension atéielle au niveau du bas ca il contient un seul os (huméus), ce qui n empêche pas de compime à volonté l atèe huméale L aute aison de ce choix est le fait que le bas et le cœu se touvent su la même hoizontale En compimant le bas, la pession dans l atèe huméale (située au niveau du bas) augmente D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 6

7 jusqu à une cetaine valeu qui déclenche sa femetue Ensuite, on fait diminue lentement la pession et losque sa valeu sea légèement inféieue à celle du cœu( pession systolique) l atèe s ouve bièvement et on entend un écoulement tubulent du sang ou un adulte au epos et en bonne santé : max 6 ka min pati du 9 ka, on dit que le sujet est hypetonique( hypetension) Les pessions mesuées aux niveaux du ceveau, du cœu et des pieds d un sujet en position doite sont espectivement 93 ; 33 et 68 ka Losque le sujet est en position allongée les pessions mesuées sont 3 ka (ceveau), 33 ka (cœu) et 3 (pieds) 7Equation fondamentale de des fluides la statique oient et ρ la pession et la masse volumique en un point M ( x, y, z) du fluide et F x, F y et F z, les composantes de la foce de volume ( foce pa unité de masse) de ce fluide L équation fondamentale de la statique des fluides s écit comme suit: ρ F gad ρf ou bien : ρf ρf x y Z x y z Démonstation : oit un petit cylinde d axe paallèle à (Oz), de section d et de masse dm Le petit cylinde est en équilibe losque la somme vectoielle de toutes les foces qui s execent su ses sufaces est égale à ( F ) a exemple suivant l axe (Oz), on a : d ( + d) d + Fz dm D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 7

8 d ( + dz) d + Fz dm z d d dzd + Fz dm z dzd + Fz ρ ddz z ( + ρ Fz ) dzd z Comme dz d, on a ρ F z z d et ( + d) d sont les foces de pession execées su la base supéieue et la base inféieue espectivement F z dm est la foce de volume ou bien la foce gavitationnelle execée dans la diection (Oz) Les expessions ρ F x et ρ F y x y s obtiennent de la même façon en changeant uniquement l oientation du petit cylinde ( selon (Ox) et (Oy)) Losque F déive d un potentiel U ( pa exemple le cas où F epésente le poids du fluide dans le petit cylinde), on peut écie : U U U F gadu i + j + k ( Fxi + Fy j + Fzk ) x y z U U F x ρ + x x x U U F y ρ + y y y U U F z ρ + z z z 8Fluide incompessible (ρ constante) dans un champ gavitationnel : oit un fluide qui se touve dans les conditions suivantes : - Masse volumique constante ( ρconstante) - Tempéatue constante - Foce pa unité de masse constante ( g constante) D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 8

9 On a : f mg est la foce totale de volume (poids du fluide) La foce pa unité de masse f est donc: F g Comme l énegie potentielle est E mgh, l énegie potentielle pa m E unité de masse sea alos : U gh m Donc, en emplaçant U pa gh dans les expessions de l équation fondamentale de la statique des fluides on obtient (suivant l axe (Ox) : ( gh) ρ + x x Comme ρ est constante, on peut écie : ( ρgh) + x x Ce qui donne : ( gh + ) x ρ Finalement : ρ gh + Cons tan te 9pplications a Vases communicants La suface libe d un fluide est hoizontale quelles que soient la section et la fome géométique du vase qui le contient Tous les points de la suface libe sont à la même pession, et ceux se touvant su la même hoizontale (pa exemple su( XX )), le sont aussi C est à die C D Dans le cas où le vase contient plusieus liquides non miscibles, de difféentes masses volumiques, les points se touvant su une même hoizontale ne peuvent pas ête à la même pession s ils n appatiennent pas à un même liquide oit, pa exemple un tube en U dans lequel se touvent 3 liquides de masses volumiques ρ,ρ et ρ 3 Les hauteus des colonnes de ces fluides dans le tube sont espectivement h, h et h 3 Les points H et F sont dans le même liquide et su une même hoizontale, donc les pessions en ces points sont égales ( F H ) Les points E et G sont su une même hoizontale mais pas dans le même liquide et les pessions en ces points sont difféentes ( G E ) Comme F + ρ 3 g h 3 et H + ρ g h +ρ g h, D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 9

10 on obtient : ρ 3 h 3 ρ h +ρ h b esse hydaulique : Elle est constituée de cylindes communicants de sections et s l équilibe, les pessions sous les pistons sont égales ca les points et sont situés su une même hoizontale Losqu on exece une petite foce su le piston de section s, le piston de section s élève Donc, la pesse hydaulique est utilisée pou souleve des chages loudes On a à l équilibe : F f s F f s Tension supeficielle : Les phénomènes natuels comme l ascension de la sève jusqu aux sommets des abes, la fome coubée de la suface libe d un liquide dans un tube, etc ne peuvent pas s"explique sans l existence de foce execées pa les molécules de la couche supeficielle su des sufaces solides Dans un liquide chaque molécule est soumise à des actions des molécules voisines de sote que leu ésultante soit nulle Fi ) Cependant, su la suface d un liquide, les ( i molécules subissent, pa suite des foces de Van de Waals, des actions dissymétiques dont le ésultante est diigée ves l intéieu du liquide (ves le bas) Cet effet de suface ou de tension supeficielle est donc une manifestation macoscopique des foces de cohésion intemoléculaies On a : Dans le liquide : F i i la suface du liquide : Fi R i i i est la suface de la couche, on définit la pession supeficielle pa : Ri i D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie -

11 Où R i est la ésultante des foces execées su les molécules de suface, est la i pession avec laquelle la couche supeficielle agit su le este du liquide oit d un élément ciculaie imaginé de la couche supeficielle Les foces F i agissant su les molécules situées su le contou ne sont pas équilibées et elles sont pependiculaies à la fontièe dans le plan tangent à la suface du liquide Ces foces font tende la pellicule (film ou couche) et sont appelées foces de tension supeficielle oit F i Fi la ésultante des foces agissant su le contou de longueu L On définit le coefficient de tension supeficielle pa : σ [ σ ] MT - N/m kg/s F L Quelques valeus de σ à T C ubstances Tension supeficielle σ en N/m Eau 75-3 Mecue 5-3 Huile 33-3 lcool -3 Remaque : La tension supeficielle diminue avec l augmentation de la tempéatue ou l eau σ est nulle au point tiple Mouillabilité : Les solides peuvent ête mouillés pa cetains liquides oient tois milieux (liquide, solide et gazeux) et les foces execées pa les molécules à la fontièe de sépaation de ces 3 milieux Les foces F g, F et F l peuvent ête décomposées en : - F v est tangente à la suface de la goutte - F est potée pa la suface de sépaation gaz- solide - F est potée pa la suface de sépaation solide- liquide - F 3 est pependiculaie à la suface du solide D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie -

12 l équilibe on a : Fi F + F + F + F3 i F + F + F cosθ F 3 F sinθ 3 + F sinθ F F cosθ + F F Où θ epésente l angle de accodement (l angle ente la foce F et la suface du solide) -Losque le solide est mouillé pa le liquide (ce liquide est dit mouillant), l angle de accodement est inféieu à π / ( θ < π / ) Exemple : l eau mouille le vee - Losque le liquide ne mouille pas le solide ( le liquide est dit non mouillant ), l angle de π accodement est supéieu à π / ( θ ) Exemple : le mecue ne mouille pas le vee hénomènes capillaies : Les foces de tension supeficielle ( foce de pession complémentaie) execées su un liquide tendent à modifie sa suface ( la suface du liquide n est pas plane mais coubée) oit un liquide contenu dans un tube (capillaie) de section oient R et les ayons du capillaie et de coubue de la suface espectivement En aison de symétie, la ésultante des foces F le long du contou (pependiculaies à la paoi du tube) est nulle Les foces F II, diigées paallèlement à la paoi, ont une ésultante non nulle F pependiculaie à Donc : F et FII F Dans le cas considéé contou contou la foce F est diigée ves le bas On a : F FII σ cos( θ )(πr) πrσ cosθ où πr est le contou (péimète) du capillaie de ayon R Comme les ayons du tube et de coubue sont eliés pa la elation R cosθ, on obtient : F πσ cos θ La pession complémentaie execée pa les foces de tension supeficielle qui povoquent la coubue de la suface est : D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie -

13 F πσ cos θ πσ cos θ σ πr π cos θ σ Généalement la suface n est pas sphéique mais ellipsoïdale Dans ce cas : σ + et sont les ayons de coubue pincipaux de l ellipsoïdale (minimum et maximum) - ou un liquide non mouillant (suface convexe) + - ou un liquide mouillant (suface concave) : En généal, ± ± σ + où est la R R pession capillaie ou pession de Laplace Les pocessus d ascension (liquide mouillant) et de descente (liquide non mouillant) sont appelés «phénomènes capillaies» Liquide mouillant (ascension) ρ g h pession hydostatique σ pession capillaie σ σ cosθ Donc ρgh R Où R est le ayon du capillaie Iciθ π / h Liquide non mouillant (abaissement) ρ g h pession hydostatique σ pession capillaie D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 3

14 σ σ cosθ Donc ρgh R Où R est le ayon du capillaie Iciθ π / h Quand le ayon du capillaie diminue la hauteu h augmente et losque R cm, h Cas d une sphèe ( θ ) : liquide pafaitement mouillant σ σ cosθ σ ρgh (Rayon de coubue ayon du tube) R R 3 LICTION : ession à l intéieu d une goutte d eau i e : ession à l intéieu est supéieue à la pession extéieue l équilibe i e + i i e σ R σ R ulle de savon : σ e e σ i i i e σ ( ) + 4σ i i e Embolie capillaie : σ R σ R 4σ R D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 4

15 Exemple : Embolie gazeuse σ i σ i σ ( ) + σ ( ) Losque, le sang ne coule pas embolie gazeuse 4 Mesue de la tension supeficielle Méthode statique ou un liquide pafaitement mouillant ρ g h pession hydostatique σ pession capillaie R σ Donc ρgh R σ h C est la loi de Juin ρgr talagmométie D C D σ σ O C ρ g( h + ) ρ g( h + ) σ ( ) + D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 5

16 Loi de Tate Elle donne la elation ente le poids d une goutte d un liquide de masse volumique et les foces de tension supeficielle au moment de son détachement d un compte-goutte u moment du détachement de la goutte, son poids m g est égal à la ésultante des foces de tension supeficielle execées su l étanglement de ayon tel que où est le ayon extéieu du tube Cette foce est : F πσ (diigée ves le haut ) Comme il est pesque impossible de mesue le ayon de l étanglement au moment du détachement, Tate a emplacé π pa K où K est la constante de Tate (si on ne change pas du stalagmomète K 3,6) K Donc m σ (loi de TTE) g Le stalagmomète : C est un tube a ayons ( extene et intene ) muni d un ésevoi de volume V On emplit le ésevoi pa un liquide de masse volumique et de tension supeficielle connues On compte le nombe de gouttes contenues dans le volume V Ensuite, on pend un aute liquide (de masse volumique connue) et pou lequel on veut détemine la tension supeficielle, et on compte le nombe de gouttes de ce liquide contenues dans le même volume V - Liquide connu ( ρ, σ et n ) ρv K La masse d une goutte est m σ n g - Liquide inconnu ( ρ,σ et n ) ρv K σ La masse d une goutte est m n g σ nρ En compaant ces elations on touve : σ n ρ D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 6

17 * Méthode d aachement : oit un anneau dont le poids dans l ai est : ( Kx ) u la suface d un fluide (avec les foces de tension supeficielle) son poids est : ( k x ) on a : - Fk (x-x ) l anneau (π R) σ où R est le ayon de Dans l'ai u la suface d un liquide C HYDRODYNMIQUE L hydodynamique est l étude des fluides en mouvement elon la pésence ou l absence de foces de fottements au sein d un fluide on distingue : - Les fluides pafaits : se sont les fluides dans lesquels la viscosité (foces de fottement dans les fluides) est nulle - Les fluides éels : sont ceux pou lesquels la viscosité est difféente de zéo En éalité tous les fluides sont éels ca, dans la natue, les fluides à viscosité nulle n existent pas I FLUIDE RFIT : Equation de mouvement d un fluide pafait : oit un fluide pafait qui coule hoizontalement dans un tuyau cylindique de section vaiable Le fluide est supposé homogène de sote que la vitesse V est paallèle à l axe (x x) oit un élément de volume de section et d épaisseu dx L épaisseu dx est tès petit de sote que les sufaces des deux faces de cet élément soient égales D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 7

18 La masse de cet élément de volume est dm ρ dv ρdx Les foces execées su l élément de volume sont de deux types : celles dues à la pession et les autes foces extéieues (de gavitation, dues aux champs magnétiques et électiques, etc) Les foces de pession sont execées de pat et d aute de cet élément Leu ésultante est suivant l axe (x x) : d d df ' ( ' ) d dx volume dx dx oit F la foce de pession execée pa unité de volume : df d F volume dx On constate que la pession epésente une énegie potentielle pa unité de volume, puisque N N m joule 3 3 m m m oit F E la ésultante pa unité de volume de toutes les autes foces extéieues La foce totale execée su cet élément est : F ( FE + F ) volume ( FE + F ) dx L équation du mouvement de cet élément de volume s écit alos : dv ( FE + F ) dx dmγ ρdx dt d dv FE ρ dx dt de i la foce FE déive d un potentiel E de sote que FE, on obtient : dx de d dv ( ) ρ dx dx dt dv d ρ ( E + ) dt dx Dans cette équation E epésente l énegie potentielle pa unité de volume - Ecoulement en égime de ERNOULLI (écoulement stationnaie) On distingue les mouvements suivants : - Losque l aspect du mouvement d un fluide ne vaie pas avec le temps, le mouvement est dit stable - Losque le fluide coule de façon égulièe et la vitesse en chacun des points est constante, le mouvement est dit stationnaie ou de ERNOULLI - Losque le fluide se déplace de façon iégulièe et complexe (la pession et la vitesse en chaque point changent de façon impévisible), le mouvement est dit tubulent Dans l étude de ces mouvements on va considée la vitesse comme fonction de la position x au lieu du temps t, puisque la vitesse vaie avec la position D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 8

19 dv dt dv dx dx dt dv v dx d( v ) dx d dx v ( ) En emplaçant dv d v pa ( ) dans l équation du mouvement et dans le cas d un fluide dt dx incompessible ( ρ cste) on obtient : d v d ( ρ ) ( + E ) dx dx d ( ρv + + E ) dx ρv + + E constante C' est l' équation de consevation de l' énegie dans l' élément de volume :théoème de ERNOULLI Où : ρ v est l énegie cinétique pa unité de volume est l énegie potentielle pa unité de volume associée à la pession, E est l énegie potentielle pa unité de volume due à toutes les autes foces extéieues Dans un champ gavitationnel où, pa exemple, l énegie potentielle pa unité de volume est ρgh, on a : E ρ v + + ρgh Cons tan te Losque le fluide se déplace hoizontalement ( h cons tan te), on obtient : ρ v + Cons tan te Dans ce denie cas, on constate que losque la vitesse augmente, la pession diminue et invesement Exemple : En soufflant hoizontalement ente feuilles paallèles et veticales, elles s attient ouquoi? D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 9

20 oient et deux points situés su une même hoizontale se touve ente les feuilles et à l extéieu u point la vitesse du fluide (ai) est V, et la pession est u point la vitesse et la pession sont espectivement V et En appliquant le théoème de enoulli ente les points et on obtient : ρ V ( ) + + E ρv + + E ( ) Comme H H, les énegies potentielles E () et E () sont égales Donc, on aua : ρv + ρv + ρ ( V V ) Comme ente les feuilles la vitesse de l ai a augmenté suite au soufflement, la pession au point est inféieue à la pession au point V V ( V V ) Donc la pession à l extéieu des feuilles est supéieue à la pession ente ces deux feuilles, la foce de pession execée de l extéieu ves l intéieu est supéieue à la foce de pession execée de l intéieu ves l extéieu, et les feuilles s attient Exemple : La vitesse du sang dans le cops humain est supposée constante La pession au niveau du cœu est C 33 k a Calcule la pession au niveau du ceveau losque la difféence des hauteus ente le ceveau et le cœu est h 4 3 cm, g m / s et la masse volumique du sang est ρ 6kg / m On applique le théoème de enoulli ente le cœu et le ceveau : ρ VC + C + ρ ghc ρ VV + V + ρ ghv Comme V V, on obtient : V C V C ρ g( h h ) ρ gh V C C a 3 Equation de continuité ( équation de consevation de masse) : oit un fluide pafait qui coule hoizontalement dans un tuyau cylindique de section vaiable L écoulement est supposé stationnaie (égime de enoulli) de sote qu il n y est en aucun point ni pete et ni gain de masse D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie -

21 oit M ρ x, la masse de l élément de volume de section et d épaisseu x Cette masse du fluide tavese la section pendant le temps t Donc la masse du fluide qui tavese pa unité de temps est : M ρ x m ρv t t De même, pendant le temps t la masse du fluide qui tavese la section est : ρ x m ρ V t Losque la masse est consevée ( la masse du fluide qui ente est égale à la masse du fluide qui sot ), on aua : m m ρ V ρ V ou un fluide incompessible ( ρ ρ cons tan te ), on obtient : V V L équation de continuité s écit alos : V Cons tan te On emaque que la vitesse du fluide est invesement popotionnelle à la section du tuyau 4 Théoème de TORRECELLI : En utilisant le théoème de enoulli on peut calcule le débit (volume pa unité de temps) d un fluide à taves l oifice d un ésevoi oient et s les sections du ésevoi et de l oifice espectivement La section est tès gande devant celle de l oifice La vitesse d abaissement du niveau de la suface libe est négligeable devant celle de l écoulement au niveau de l oifice On suppose aussi que le diamète de l oifice est tès petit de sote qu on ait h h h où et sont points situés espectivement su la suface libe et au niveau de l oifice Les pessions aux points et sont égales à la pession atmosphéique En appliquant le théoème de enoulli ente les points et, on obtient : ρ V + + ρgh ρv + + ρgh Comme, on obtient : ρ ( V V ) ρg( h h ) ρgh En tenant compte de fait que V V, on obtient finalement : V gh L expession de V est la même que celle d une masse qui tombe sans vitesse initiale d une hauteu h D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie -

22 Le débit est le volume du liquide qui tavese une section pa unité de temps volume dx Q ( débit) V temps dt Donc : Q sv s gh L unité de Q est : m 3 /s Losque la masse volumique est constante, on a : Q sv V Cons tan te 5 Le débitmète de Ventui : C est un tube hoizontal étanglé en son milieu et muni de deux capillaies veticaux aux niveau x des points et La section du gand tuyau est et celle de l étanglement est Les points et se touvent su une même hoizontale ( h h ) Les vitesses en ces points sont V (au point ) et V ( au point ) Le théoème de enoulli appliqué ente les points et nous donne : ρ V ( ) + + E ρv + + E ( ) ρ V + + ρgh ρv + + ρgh Comme h h, on obtient : ρ V + ρv + D aute pat on a : + ρ g Z Z ) + ρg( Z Z ) C D ( C C ( Z D Z ) + g( Z D Z + ρ g ρ Z C Z D H Donc ρ g( Z Z ) ρgh C D La difféence de pessions est mesuée avec un manomète Le débit du fluide est constant : Q V V V V Donc, losque l'écoulement ρv + ρv ρv + ( + ) ρ( V est hoizontal on a : )( ) ) D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie -

23 V V et V V gh gh Quelques unités : gh atm 3 5 a ba 5 a kgf/m 98 a dyne/cm baye a 6 Effets de l accéléation su la ciculation sanguine : ou étudie l influence de l accéléation su la ciculation du sang dans le cops humain, on va considée un ascenseu (avion ou une fusée) qui monte veticalement avec une accéléation γ et dans lequel se touve un homme ayant pou poids mg L équation de mouvement s écit : foces mγ mg + R mγ mg R mγ R m( g + γ ) Donc R m( g + γ ) mg' R epésente le poids appaent de l homme losqu il se touve en mouvement accéléé Dans l équation de enoulli on doit emplace l accéléation de la pesanteu dans l expession de l énegie potentielle g pa g ' En appliquant le théoème de enoulli ente le cœu C et le ceveau V, tout en supposant que la vitesse du sang est constante, on obtient : V C + C + ρg' H C ρv V ρ + V + ρg' H Comme V V VC et g' g + γ, la pession au niveau du ceveau V : V C ρ g' ( HV H C ) C ρ( g + γ ) H Donc, losque l accéléation γ augmente la pession au niveau du ceveau diminue Et pou γ 3g, il se poduit un écasement des atèes au niveau du ceveau et un évanouissement est possible de se poduie V D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 3

24 II FLUIDE REEL Intoduction : Dans l équation de enoulli (qui est valable pou les fluides pafaits) on a négligé les foces de fottement qui agissent su un fluide en mouvement En éalité, losqu un fluide coule le long d une suface, il exece su elle une foce paallèle dans la diection du mouvement son tou, cette suface exece (éagit) su le fluide une foce égale et opposée à la foce paallèle Cette éaction s appelle «foce visqueuse» ou foce de fottement qui s oppose toujous au mouvement du fluide Expeience : ou la mise ne évidence de la foce de fottement (foce de viscosité) on considèe lames planes et paallèles L et L, sépaées pa une distance d et ente lesquelles coule un fluide La lame L fixe pa conte L se déplace avec une vitesse constante V ou que le mouvement de la lame L soit unifome ( V Cte ) on applique su L une foce égale et opposée à F Cette foce est la même que celle execée pa le fluide su la lame L son tou, la lame L exece su le fluide une foce F V de sote que : F V ( F) F F oit la suface de ces lames L expéience monte que le appot est, en même temps, popotionnel à V et invesement popotionnel à d, c'est-à-die : F V V η F η d d Où η est le coefficient de popotionnalité ( appelé aussi coefficient de oiseuille ou de viscosité) η ML T L unité de la viscosité est le Ns/m as ( ascal - seconde) Unités secondaies : as poiseuille l oise l L équation aux dimensions de η s écit : [ ] Vaiation de la viscosité des fluides avec la tempéatue : Cas des liquides : ou les liquides la viscosité augmente avec la diminution de la tempéatue selon la loi : E kt η ( T ) η e où : - E est l énegie de tansition des molécules d un état d équilibe à un aute 3 k est la constante de oltzmann ( 38 j / K ) - k D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 4

25 - T est la tempéatue themodynamique ( en K) η est la viscosité pou E j - On distingue deux types de liquides : les liquides nomaux ( η 5 à η ) et les liquides visqueux ( η à 5) Cas des gaz : ou les gaz la viscosité est popotionnelle à la acine caé de la tempéatue ( η T ) Donc, losque la tempéatue augmente la viscosité d un gaz augmente aussi ou les gaz la viscosité vaie de à 3-4 Quelques valeus de la viscosité de quelques fluides pou des difféentes tempéatues : fluide η (ml) T( C) fluide η (ml) T( C) eau 79 huile méthane 9 3 ai 7 mecue 55 Remaque : Losqu un fluide coule ente deux plaques, les lignes de couant sont paallèles à la suface et ente elles Le fluide est donc composé de lames paallèles ente elles et à la plaque fixe et qui se déplacent (les lames) avec des vitesses difféentes Ce type d écoulement est dit «laminaie» Le fluide en contact avec l'une ou l'aute des plaques s'attache à leu suface à cause des foces adhésives Donc la couche dufluide en contact avec la lame supéieue (mobile) se déplace avec la même vitesse que celle de la lame, pa conte, l'aute couche, en contact avec la lame fixe, este immobile Cette couche alentit le mouvement de la couche juste en dessus à cause de la foce visqueuse qui, à son tou, alentit aussi le mouvement de la couche suivante et ainsi de suite Les foces visqueuses sont donc des foces de fottement ente les couches d'un même fluide losu'elles se déplacent les unes su les autesla viscosité est une popiété intinsèque du fluide On définit la viscosité cinématique comme le appot ente la viscosité dynamique (η) et la masse volumique ρ : η c η/ρ On définit aussi la fluidité d'un fluide comme l'invese de la viscosité dynamique 3 Les diffeents types d'écoulement D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 5

26 On distingue: Ecoulement de enoulli: Le fluide est pafait et les vitesses sont égales et paallèles en tout point situé su une même section de la conduite Eoulement laminaie (de oiseuille): le fluide est visqueux et les vitesses des couches sont paallèles mais difféentes en gandeus La vitesse est nulle à la paoi et elle est maximale en son cente Ecoulement tubulent (de Ventui): les vitesses sont aléatoies en diection et en gandeus et la pession change de façon impévisible Les lignes de couant sont alos ondulatoies et tès complèxes 4 etes de chage: Losqu'on est en pésence de fottements, le théoème de enoulli ne s'applique plus et la pession n'est plus constante le long d'une conduite hoizontale Losque le fluide est pafait, le théoème de enoulli appliqué ente les points et nous donne: + ρgh + ρ v + ρ gh + ρ v Comme v v (même section) et h h (conduite hoizontale), ceci nous donne une difféence de pession ente les points et nulle Donc Losque le fluide est éel, on peut applique le théoème de enoulli généalisé dans lequel on doit teni compte de la chute de pession ente les points et + ρgh + ρ v + ρ gh + ρ v + Où est la pete de chage ente les points et Donc, La pession dans un fluide éel en écoulement diminue tout le long de la conduite 5 Ecoulement d'un fluide visqueux et incompéssible le long d'un econduite hoizontale: théoème de oiseuille oit un fluide incompessible et visqueux (de viscosité η ) qui coule hoizontalement dans un econduite cylindique de ayon R; Le fluide est composé de couches cylindiques coaxiales ( même axe) La couche accolée à la paoi de la conduite a une vitesse nulle et celle au cente, elle est dotée d'une vitesse maximale V Cette vitesse décoit max D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 6

27 unifomément de jusqu'à La vitesse moyenne du fluide le long de cette conduite V max est Déteminons d'abod la viteese d'écoulement d'une couche fluide quelconque, pa exemple la couche de ayon, de longueu l (ente et ) et d'épaisseu d Les foces execées su cette couche sont dues à la pession et aux foces de fottement La foce due à la pession est diigée de ves ca la pession en est supéieue à la pession en (pete de chage) F ( ) ' ( ) π Ici ' est la section du cylinde Le mouvement de ce cylinde de fluide est alenti pa la foce de viscosité que la couche entouant sa suface extene appliquée su lui: F v η dv d Le signe "-" signifie que la vitesse de la couche augmente avec la diminution de son ayonla suface epesente la suface latéale du cylinde (la suface en contact avec les couches voisines du fluide) πl Donc: F v η( πl) dv d Comme le fluide s'écoule de façon égulièe (unifome), la ésultante des foces est nulle Les foces de pession et de viscosité sont donc égales en gandeu: dv F F v η( πl) ( ) π d dv ( ) d ηl v ( ) dv d ηl R Ca pou R, v m/s Finalement, la vitesse vaie en fonction du ayon selon la fomule: ( ) v( ) ( R ) 4ηl Donc la coube de la fonction v () est une paabole D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 7

28 Le débit du fluide est défini comme étant le volume qui tavese la section du cylinde pa unité de temps: dv dq d' ' v (loi de continuité) dt Ici d' ' πd est la section de la couche ( ) Donc: dq v( )(πd) ( R )(πd) 4ηl Le débit total est : R 4 ( ) π ( ) R R Q ( R )(πd) 4ηl [( )] 4ηl ( ) πr πr Finalement: Q 8η l 8η l Cette équation est valable uniquement losque l'écoulement se fait avec des vitesses faibles de sote que le égime est de type de oiseuille (laminaie) 6 Mouvement d'un fluide dans un fluide visqueux : loi de tockes oit un cops solide da masse volumique ρ et de volume V Il est lâché sans vitesse initiale dans un fluide visqueux de masse volumique ρ et de viscositéη Il est soumis à 3 foces : son poids ( ρ gv ), la poussée d'chimède ( Π ρgv ) et la foce de fottement ( F kηv ) L'équation du mouvement du solide s'écit: + Π + F ρ dv m dt gv ρgv kηv dv m dt dv dt ( ρ ρ ) gv kηv m dt ln[( ρ ρ) gv kηv ] + Cte kη m Comme à t, v, la constante est : Cte ln[( ρ ρ) gv ] kη Donc la vitesse en fonction de temps est donnée pa : kη ( ρ ρ) gv m v( t) ( e ) kη D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 8

29 Losque t tend ves l'infini, la vitesse tend ves une valeu fixe qu'on appelle la vitesse limite v L : ( ρ ρ)gv v ( ) vl kη Duant les pemièes secondes le mouvement est accéléé et apès il devient unifome Exemple patique: le paachutiste La loi de tockes donne la foce visqueuse pou uncops solide et sphéique, de masse volumique quelconque et de ayon animé d'une vitesse dans un fluide visqueux de viscositéη ou un cops sphéique de ayon la constante de popotionnalité k est 3 égale à 6 π Comme le volume est 4 V π, la vitesse est : π ( ρ ρ) g kη t ( ) 3 ( ρ m ρ) g τ v t ( e ) ( e ) 6πη 9η Où τ est une constante de temps i le mouvement est unifome : v ( t) vl la viscosité peut ete déteminée pa la elation suivante qui est appelée "loi de tockes": η g ( ρ 9v L ρ) 7 Ecoulement tubulent et le nombe de Reynolds ou savoi si un écoulement est laminaie ou tubulent, on applique la égle empiique de Reynolds oit un fluide de masse volumique ρ et de viscosité η Il coule dans une conduite de ayon avec une vitesse moyenne v Le nombe de Reynolds (nombe pace que il est sans dimensions) est donné: v ρ N R η Il a monté que : i N R >, l'écoulement est tubulent ( stable) i N R <? L'écoulement est laminaie (stable) i < N R <, l'écoulement est instable D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 9

30 8 Résistance vasculaie (ésistance à l'écoulement) Elle est définie comme le appot eente la pete de chage et le débit du fluide Q R V Q ou un écoulement laminaie on a : 8η l R V où R est le ayon du tuyau et l sa 4 Q π R longueu a analogie à la loi d'ohm (électicité), on a : En électicité: U RI En mécanique des fluides: R V Q 9 Mesue de la viscosité (viscosimète d'ostwald) C'est une méthode de mesue elative Elle consiste à compae le débit d'un fluide de viscosité inconnue à celui d'un fluide de viscosité connue Un volume du fluide connu s'écoule ente les epèes H et H, et à chaque fois on mesue le temps d'écoulement ente les epèes Liquide de viscosité inconnue: V πr 4 Q en seconde, t 8η l 4 V πr Liquide de viscosité connue: Q en seconde t 8η l Comme ρ g h ( h est la même dans les expéiences) ρ Donc : ρ V t η Le appot des volumes est : V t η En mesuant le temps mis pa le liquide pou s'écoule ente les epèes, on obtient : ρηt η ρ t D DJOUDI ème nnée Médecine nnée univesitaie - 3