SUITES NUMÉRIQUES. Définition 1 Une suite u est une fonction qui à des entiers naturels n associe des réels notés u (n) ou u n.

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1 SUITES NUMÉRIQUES I. GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES Définition 1 Une suite u est une fonction qui à des entiers naturels n associe des réels notés u (n) ou u n. Vocabulaire et notations 1 Une suite est souvent notée u, v, w ou encore (u n ), (v n ), (w n ). 2 u (n) est la notation fonctionnelle usuelle et u n (On lit «u indice n» ou «u-n» ) la notation indicielle. 3 On dit que u n est le terme d indice n, ou de rang n, de la suite u. 4 Si u est une suite définie sur, le terme initial est u (0) = u 0. u 0 se lit «u indice zéro» ou «u zéro». Si u est une suite définie sur *, le terme initial est u (1) = u 1. Notation du 1 er terme 2 e terme 3 e terme 50 e terme n-ième terme u est définie sur u est définie sur * Attention à ne pas confondre u n + 1 = u (n + 1) et u n + 1 = u (n) + 1. Si u n = 2 n + 3 alors u n + 1 = u (n) + 1 = et u n + 1 = u (n + 1) = Exercice 1 Soit u la suite définie (explicitement) par u n = 5 2 n 1 (n est ici sous-entendu). 1) Calculer les termes de rang 0 ; 1 ; 2 et 35. 2) Calculer le 10 e et le 47 e terme. 3) Le terme qui précède le terme u n se note et est égal à Le terme qui suit le terme u n se note et est égal à 4) Représenter graphiquement cette suite sur un axe puis dans un repère du plan. La représentation graphique de la suite u dans un repère du plan est constituée des points isolés M (n ; u n ) Définition 2 Une suite u est croissante lorsque, pour tout entier naturel n, u n u n + 1. Une suite u est décroissante lorsque, pour tout entier naturel n, u n u n + 1. Pour une suite croissante : u 0 u 1 u 2 u n 1 u n u n + 1 u n + 2 Les termes sont de plus en plus grands. Pour une suite décroissante : u 0 u 1 u 2 u n 1 u n u n + 1 u n + 2 Les termes sont de plus en plus petits. 1/5

2 II. SUITES ARITHMÉTIQUES Définition 3 Une suite est dite arithmétique si on peut passer d un terme de la suite au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé la raison de la suite et souvent noté r. On a u n + 1 = u n + r. + r u 0 u 1 + r u 2 + r u 3 + r u 4 u n + r u n + 1 Pour justifier qu une suite u est arithmétique on peut montrer que la différence entre deux termes consécutifs est constante : u n + 1 u n = r. La variation absolue de u n à u n + 1 est constante. Propriété 1 Une suite arithmétique de raison r est croissante lorsque et décroissante lorsque Exercice 2 Soit u la suite définie par u n = 1,5 n 2. 1) Calculer les 4 premiers termes. 2) Justifier que u est arithmétique. Préciser sa raison, son 1 er terme et ses variations. Exercice 3 Soit v la suite définie par v n = n 2 2. Calculer v 0, v 1 et v 2. En déduire que la suite v n est pas arithmétique. Propriété 2 Soit u une suite arithmétique de raison r. 1 Si le 1 er terme est noté u 0, alors u n = u 0 + n r. 2 Si le 1 er terme est noté u 1, alors u n = u 1 + ( n 1 ) r. 3 De manière générale : u n = u p + ( n p ) r. Exercice 4 Soit u une suite arithmétique de raison 8 et de premier terme u 0 = 5. Calculer u 12 et le 33 e terme. Exercice 5 Soit u une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u 1 = 5. Calculer u 10 et le 25 e terme. 2/5

3 Exercice 6 Soit u une suite arithmétique de raison 3,5 telle que u 39 = 27.Calculer u 79 et u 1. Exercice 7 Un tableur donne les premiers termes d une suite arithmétique (u n ). 4) Calculer u 100. Exercice 8 Un tableur donne les premiers termes d une suite arithmétique (u n ). 4) Calculer u 100. Propriété 3 Une suite u est une suite arithmétique de raison r si, et seulement si, les points M (n ; u n ) de sa représentation graphique sont alignés sur une droite d. La raison est le coefficient directeur de la droite d. IV. SUITES GÉOMÉTRIQUES Définition 4 Une suite est dite géométrique si on peut passer d un terme au suivant en multipliant toujours le même nombre non nul, appelé la raison de la suite et souvent noté q. On a u n + 1 = q u n. q u 0 u 1 q u 2 q u 3 q u 4 u n q u n + 1 En 1 re STG on se limite à des suites géométriques strictement positives. (Le premier terme et la raison sont strictement positifs). Pour justifier qu une suite u est géométrique on peut montrer que le quotient de deux termes consécutifs est constant ( u n + 1 u n = q ). Lorsque q 1, tous les M (n ; u n ) sont situés sur une courbe dite exponentielle. Lorsque q = 1, 3/5

4 Exercice 9 Soit u la suite définie par u n = 2 3 n. 1) Calculer les 4 premiers termes. 2) On admet que la suite u est géométrique. Déterminer sa raison. Exercice 10 Soit w la suite définie par w n = n. Calculer w 0, w 1 et w 2. En déduire que la suite v n est ni arithmétique, ni géométrique. On a : u n + 1 u n = q u n u n = u n (q 1). On peut alors écrire : = q 1. La variation absolue de u n à u n + 1 n est pas constante mais la variation relative de u n à u n + 1 est constante. Propriété 4 Soit u une suite géométrique strictement positive de raison q (q > 0). u est strictement décroissante lorsque 0 < q < 1, u est strictement croissante lorsque q > 1. Propriété 5 Soit u une suite géométrique de raison q. 1 Si le 1 er terme est noté u 0, alors u n = u 0 q n. 2 Si le 1 er terme est noté u 1, alors u n = u 1 q n 1. 3 De manière générale : u n = u p q n p. Exercice 11 Soit u une suite géométrique de raison 2 et de 1 er terme u 0 = 0,1. Calculer u 10 et le 15 e terme. Exercice 12 Soit u une suite géométrique de raison 0,8 et de 1 er terme u 1 = 500. Calculer u 6 et le 15 e terme. Exercice 13 Soit u une suite géométrique de raison 3 telle que u 5 = 486. Calculer u 12, u 32 et u 0. Exercice 14 On prend une feuille de papier ordinaire d épaisseur 0,2 millimètres. On la plie en deux, puis en deux, ainsi de suite On suppose que c est indéfiniment réalisable. On note e n l épaisseur (en millimètres) de la feuille après n pliages. 1) Calculer e 1, e 2, e 3 et e 4. 2) Exprimer e n + 1 en fonction de e n. En déduire la nature de la suite et l expression de e n en fonction de n. 3) Calculer l épaisseur de la feuille au bout de 15 pliages. 4) Déterminer au bout de combien de pliages cette épaisseur dépassera la hauteur de la tour Eiffel (330 m). 4/5

5 Exercice 15 Un tableur donne les premiers termes d une suite géométrique (u n ). 4) Calculer u 10 et le 30 e terme. Exercice 16 Un tableur donne les premiers termes d une suite géométrique (u n ). 4) Calculer u 10 et le 30 e terme. 5/5