Un schéma de type Volumes-Finis-Roe (VFRoe) pour les équations de Saint-Venant 1D :
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1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE arxiv:cs/ v1 [cs.na] 0 Sep 006 Un schéma de type Volumes-Finis-Roe (VFRoe) pour les équations de Saint-Venant 1D : Simulation numérique des bancs-couvrants-découvrants Abdou W. BELLO Aurélien GOUDJO Côme GOUDJO Hervé GUILLARD Jean-Antoine DESIDERI N???? Septembre 006 Thème NUM apport de recherche ISSN ISRN INRIA/RR--????--FR+ENG
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3 ÍÒ Ñ ØÝÔ ÎÓÐÙÑ ¹ Ò ¹ÊÓ Î ÊÓ µ ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ½ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ Ó٠Ϻ ÄÄÇ ÙÖ Ð Ò ÇÍ ÂÇ Ñ ÇÍ ÂÇ À ÖÚ ÍÁÄÄ Ê Â Ò¹ ÒØÓ Ò ËÁ ÊÁ Ì Ñ ÆÍÅ ËÝ Ø Ñ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÈÖÓ Ø ÇÔ Ð Ê ÔÔÓÖØ Ö Ö Ò Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ¾ Ô Ê ÙÑ ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ Ò Ö ÔÔÓÖØ Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö ÙÒ Ñ Ø Ó ÚÓÐÙÑ Ò Ù Ý Ø Ñ ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ Ú Ø ÖÑ ÓÙÖ ØÓÔÓ Ö Ô ÕÙ ÙÖ ÓÑ Ò ½ º Ú ÙÒ ÓÖ Ò Ð Ä ÖÓÙÜ ½ Ð Ý Ø Ñ ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÓÑÔÐ Ø Ô Ö ÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ ØÖ Ú Ð ÙÖ Ð Ø ÝÑ ØÖ º È Ö ÙÒ Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð ÓÒ Ð ÓÖ ÙÒ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ð Ö Ø ¹Ú Ø ÕÙ Ø ÓÒ Õ٠гÓÒ Ð Ò Ö º ÆÓÙ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ù Ø ÙÒ ÓÐÚ ÙÖ Ê Ñ ÒÒ ÔÔÖÓ ÕÙ ÔÖ ÖÚ Ð ÔÓ Ø Ú Ø Ð Ð Ö Ø Ø ÕÙ ÙÖ Ð ÔÖ Ò ÓÑÔØ Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ º Ò Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÙÖ Ø Ø ÓÒØ ÔÖ ÒØ º ÅÓØ ¹Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ÚÓÐÙÑ Ò ÓÐÚ ÙÖ Ê Ñ ÒÒ Ñ ÔÓ Ø Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ÍÒ Ú Ö Ø ³ ÓÑ Ý¹ Ð Ú ¼½ È ¾ ÓØÓÒÓÙ Ò Ò ÁÆÊÁ ¾¼¼ ÊÓÙØ ÄÙ ÓÐ È ¹¼ ¼¾ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ Ü Ö Ò Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis 004, route des Lucioles, BP 93, 0690 Sophia Antipolis Cedex (France) Téléphone : Télécopie :
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6 ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ä Ú ÐÐ ÓØÓÒÓÙ Ø Ò ÙÒ ÙÚ ØØ ÒØÙÖ ÔÐ Ò ³ Ù Ø ØÖ Ú Ö Ù ÒÓÖ Ù Ù Ô Ö ÙÒ Ò Ð Ð Ä ÙÒ ÓØÓÒÓÙµ ¼¼¼ Ñ ÐÓÒ ÙÖ ¼ Ñ Ð Ö Ö Ð ÒØ Ð Ð ÆÓ ÓÙ Ð³Ó Ò ØÐ ÒØ ÕÙ º½µº Ä ÕÙ ÐÕÙ ÓÙÚÖ ³ Ò Ñ ÒØ ÓÒØ ÔÓ Ð Ú ÐÐ ÓÒØ Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ò ÓÖ ÙÖ ÖÓÙØ Ø ÔÓÙÖ Ð ÔÐÙÔ ÖØ ÓÒÒ Ø Ù Ò Ðº Å Ð ÙÖ Ù Ñ ÒØ Ý Ø Ñ Ö Ò Ù Ð Ù ³ Ö Ð³ Ú Ù Ø ÓÒ ÙÜ ÔÐÙÚ Ð ÖØ ÔÐÙØØ Ú Ø ÙÖ Ð³ ÒÚ ÓÒ Ð Ú ÐÐ Ô Ö Ð ÙÜ ÖÙ Ù Ò Ðº º ½ Ò Ð ÓØÓÒÓÙ Ä ÓÙÐ Ñ ÒØ ³ÙÒ Ø Ð Ö Ù ³ ÙØ ÓÒ ³ Ù ÓÒØ ÓÙÐ Ñ ÒØ ÙÖ Ð Ö Ò ÙÜ Ô Ù ÔÖÓ ÓÒ ÐÐÓÛ Û Ø Öµ Ø ÓÒØ ÐÓÖ Ö Ô Ö ÙÒ Ý Ø Ñ Ñ Ò ÓÒÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò Òغ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ Ó Ø ÒÙ Ô ÖØ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Æ Ú Ö¹ ËØÓ ÔÓÙÖ ÙÒ Ù ÒÓÑÔÖ Ð Ò ÒØ Ð³ ÝÔÓØ ÔÖ ÓÒ Ý ÖÓ Ø Ø ÕÙ Ú Ø ÙÒ ÓÖÑ Ù Ú ÒØ Ð Ú ÖØ Ð ³ÙÒ ÓÒ Ø ³ÙÒ ÙÖ Ð Ö ÑÔ ÖÑ Ð º ÇÒ Ð ÑÔÐÓ Ò ÓÑ Ò Ù Ú Ö ÕÙ Ð ÔÖÓØ Ø ÓÒ Ð³ ÒÚ ÖÓÒÒ Ñ ÒØ Ð ÐÙÐ Ñ Ö Ø ÓÒ Ø ÑÔ Ø Ð Ñ ÒØÓÐÓ Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ù Ñ Ö ÓÒ Ð³ ØÙ Ö٠غ Ò Ö ÔÔÓÖØ ÓÑÑ ÔÖ Ñ Ö Ø Ô Ò Ð Ö Ð Ø ÓÒ ³ÙÒ ÑÙÐ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ö Ð Ø ÒÓÙ ÔÖÓÔÓ ÓÒ ÙÒ ØÙ Ù Ý Ø Ñ ÙÒ Ñ Ò ÓÒÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ë Òع Î Ò ÒØ Ú ØÓÔÓ Ö Ô º ËÙ Ú ÒØ Ð³ Ú ÐÓÔÔ Ò ¾ ÒÓÙ ÙØ Ð ÓÒ ÙÒ Ñ Ø ¹ Ó ØÝÔ ÎÓÐÙÑ ¹ Ò ¹ÊÓ Î ÊÓ µ ÒØ ÙÖ ÙÒ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ð Ö Ø ¹Ú Ø ÁÆÊÁ
7 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ º ÍÒ Ø ÐÐ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ô ÙØ ÓÒ Ù Ö ÙÒ Ð Ö Ø Ò Ø Ú Ð³ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒ Ý ÓÙÐ Òغ ÆÓØÖ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ³ÙÒ ÓÐÚ ÙÖ Ê Ñ ÒÒ ÔÔÖÓ Ú ÙÒ Ó Ü Ú Ø ³ÓÒ Ö ÒØ ÒØ Ð ÔÖ ÖÚ Ø ÓÒ Ð ÔÓ Ø Ú Ø Ð Ð Ö Ø Ð³ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö º Ò Ù Ø Ö ÙÜ Ö ÙÐØ Ø ÒÓÙ ÓÔØÓÒ Ð ÓÐÚ ÙÖ Ê Ñ ÒÒ ÔÔÖÓ Ò ÔÖ Ò Ö Ò ÓÑÔØ Ð Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ÞÓÒ ÒÓÝ»ÒÓÒ¹ÒÓÝ µº Ä ØÖ Ø Ñ ÒØ ØÝÔ Ø ÒØ Ð Ò ÚÙ Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÔÖÓ Ð Ñ ³ ÒØÖÙ ÓÒ ³ Ù Ò Ð Ú ÐÐ ÓØÓÒÓÙº Ò Ò ÔÓÙÖ Ø Ø Ö Ð ÖÓ Ù Ø ÒÓØÖ Ñ Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÑÔ ÒÓÙ Ö ÔÖ ÒÓÒ ¹Ø Ø ØÙ Ò ½ ÔÙ Ò ÙÒ ÓÒ Ø ÑÔ ÙÜ ÖÒ Ö ¹Ø Ø ÓÒØ ÔÖ Ò¹ Ø ÔÓÙÖ Ø Ø Ö Ð ÓÖ Ñ ÒØ Ð³ Ù ³ÙÒ Ò Ð Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ µº ¾ Ä ÑÓ Ð Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ò Ò ÓÖ ÖÓØØ Ñ ÒØ Ð Ý Ø Ñ ½ ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ Ø ÓÒÒ Ô Ö h t + (hu) = 0 x (hu) t + x (hu + 1 gh ) = gh a x, (x, t) R R + ½µ u(x, t) Ø Ð Ú Ø Ð³ Ù h(x, t) Ð ÙØ ÙÖ ³ Ù a(x) Ð ÙØ ÙÖ Ð ØÓÔÓ Ö Ô Ù ÓÐ h + a г Ð Ú Ø ÓÒ Ð ÙÖ Ð Ö Ð³ Ù a Ø h + a ÓÒØ ÔÖ Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ ÙÒ ÔÐ Ò Ö Ö Ò µ g г Ð Ö Ø ÓÒ Ö Ú Ø Ø ÓÒÒ ÐÐ º Ä Ø ÝÑ ØÖ a Ø ÒØ Ò Ô Ò ÒØ Ù Ø ÑÔ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ð Ý Ø Ñ ½µ Ô Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ a = 0 ½ Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ t h t + q x q t + x ( q h + 1 gh ) = 0 + gh a x = 0, (x, t) R R +, ¾µ a t Ó q = hu Ö ÔÖ ÒØ Ð Ø ³ Ùº = 0 ÊÊ Ò ¼½¾
8 ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ Ò ØØ Ø ÓÒ Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ô Ö ÙØ Ð Ø ÓÒ Ø ¹ Ò ÕÙ ÚÓÐÙÑ Ò Ø ÓÐÚ ÙÖ Ê Ñ ÒÒº º½ Ä Ñ ÐÐ ÇÒ ÓÒ Ö ÙÒ ÓÙÐ Ñ ÒØ ÙÒ Ñ Ò ÓÒÒ Ð ÙÖ ÙÒ ÐÓÒ Ù ÙÖ Lº ij ÒØ ÖÚ Ð [0, L] Ø Ù Ú Ò N Ñ ÒØ Ñ Ñ ÑÔÐ ØÙ x = L º ÇÒ Ó Ø ÒØ N ÐÓÖ ÙÒ Ù Ø ÔÓ ÒØ (x j ) j J={0,...,N} Ò Ô Ö x j = j xº ÇÒ ÔÓ x j+ 1 C j = C 0 = C N = = 1 (x j + x j+1 ), j {0, 1,..., N 1} ] [ x j 1 ; x j+ 1, j {1,...,N 1} ] [ x 0 ; x1 ] [ x N 1 ; x N µ C j x j x j 3 x j 1 x j+ 1 x j+ 3 x j 1 x j+1 x º ¾ Ö Ø Ø ÓÒ Ô Ø Ð ÈÓÙÖ Ð Ö Ø Ø ÓÒ Ø ÑÔÓÖ ÐÐ ÓÒ ÓÒÒ ÙÒ Ô Ø ÑÔ t Ø ÙÒ Ù Ø ³ Ò Ø ÒØ t n = n t, n 0º º¾ ÍÒ Ñ ØÝÔ Ó ÙÒÓÚ Ä ØÓÔÓ Ö Ô a Ù ÔÖÓ Ð Ñ ¾µ Ø ÔÔÖÓ Ô Ö Ú Ð ÙÖ Ö Ø a j, j J a j 1 a(x)dx. x C j µ Ò ÔÓ ÒØ ÁÆÊÁ
9 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ a (x) = a j χ j (x), µ Ú χ j (x) = 1 x C j Ø χ j (x) = 0 ÒÓÒ Ð Ý Ø Ñ ¾µ Ø ÔÔÖÓ Ô Ö h t + q x q t + x ( q h + 1 gh ) + gh a x = 0 = 0, (x, t) R R + µ a t = 0 ÈÓ ÓÒ w = h q º Ä ÓÐÙØ ÓÒ w Ù ÔÖÓ Ð Ñ µ Ø ÔÔÖÓ Ô Ö Ú Ð ÙÖ a Ö Ø w n j, j J, n N wj n 1 w(x, t n )dx. x C j µ ÈÙ ÕÙ ÙÖ ÕÙ ÐÐÙÐ C j a x = 0 г ÒØ Ö Ø ÓÒ µ ÙÖ C j [t n, t n+1 ] ÒÓÙ ÓÒÒ C j { w(x, t n+1 ) w(x,t n ) } dx + Ó F(w) = ÖÓ Ø xº q q h + 1 gh 0 t n+1 t n t n+1 t n C j { w t + F(w) } dxdt = 0 x { } F(w(x, t)) F(w(x +, t)) dt = 0 j+ 1 j 1 x Ø x + Ò ÒØ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð Ð Ñ Ø Ù Ø Ä ÔÖ Ñ Ö ÒØ Ö Ð ØØ ÖÒ Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ø ÔÔÖÓ Ò ÙØ Ð ÒØ µº ÁÐ Ö Ø Ö ÐÓÖ Ð³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ð ÙÜ Ñ ÒØ Ö Ð º Ä Ñ Ø Ó ÚÓÐÙÑ Ò Ö ÔÓ ÙÖ Ð Ø ÕÙ³ ØÓÙØ Ò Ø ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ w Ø ÓÒ¹ Ø ÒØ Ô Ö ÐÐÙÐ º Ò Ô ÖØ ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ w(x, t n ) г Ò Ø ÒØ t n Ð ÐÙÐ w(x, t) j+ 1, ÊÊ Ò ¼½¾
10 ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ Ø w(x +, t) ÔÓÙÖ t [ t n, t n+1] Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒ Ù Ú¹ j 1 ÒØ h t + q x q t + x a t ( q h + 1 gh ) + gh a x = 0 = 0 = 0, µ w(x, t n ) = { wl, x < x j+ 1 w R, x > x j+ 1 Ó w L = w n j Ø w R = w n j+1º ÒÓÒ Ô Ö w n j+1/ (x/t; w L, w R ) Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÙØÓ Ñ Ð Ö µº ÇÒ Ò Ø ÙÜ ÙÜ F n, j+ 1 = F(w n j+1/ (0 ; w L, w R )) Ø F n,+ j+ 1 = F(w n j+1/ (0+ ; w L, w R )) ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÕÙ Ø Ð³ ÒØ Ö x j+ 1 º ÇÒ Ó Ø ÒØ ÐÓÖ Ð Ñ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ù Ú ÒØ w n+1 j = wj n t ( F n, x j+ 1 ) F n,+ j+ 1 µ Ê ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒ ÁÐ Ú ÒØ ÕÙ ÔÖ Õ٠г ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ Î Ò ÒØ Ö Ò Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ ÒØ Ö Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒ µ ÔÙ ÕÙ ³ Ø ØØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ ÓÙÖÒ Ö Ð ÙÜ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÙØ Ð Öº Ò ÔÓ ÒØ c = gh ÕÙ ÒØ Ö x = 0 Ø Ò ÓÖ ÞÓÒ µ Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÁÆÊÁ
11 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ (c) t + u (c) x + c u x = 0 u t + c (c) x + u u x + g a x a t = 0 = 0 ½¼µ w(x, 0) = { wl, x < 0 w R, x > 0 Ò ÔÓ ÒØ Y (w) = c u a Ú A(Y ) = u c 0 c u g º ÓÒ Ó Ø ÒØ Ò Ð Ñ ÒØ Y t + A(Y ) Y x = 0 Y (x, 0) = { YL, x < 0 Y R, x > 0 ½½µ º½ Ä Ò Ö Ø ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒ ÕÙ ÒØ Ö ÓÒ Ö ÓÙØ Ð Ý Ø Ñ Ð Ò Ö Ù Ú ÒØ Y t + A(Ŷ ) Y x = 0 Y (x, 0) = Y 0 (x) = Y L, x < 0 Y R, x > 0 ½¾µ Ó Ŷ = Ŷ (Y L, Y R ) Ø ÙÒ Ø Ø ÑÓÝ Ò Ô Ò ÒØ ÙÒ ÕÙ Ñ ÒØ Ø Ø Y L Ø Y R Ŷ Ó Ø Ò ÔÐÙ Ú Ö Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ŷ (Y, Y ) = Y º ÍÒ Ó Ü ÔÓ Ð Ø ÓÒ Ŷ = Y R + Y L ½ µ ÊÊ Ò ¼½¾
12 ½¼ ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ º¾ ËÓÐÚ ÙÖ Ê Ñ ÒÒ A(Ŷ ) Ñ Ø ØÖÓ Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ ÕÙ ÓÒØ ˆλ 0 = 0, ˆλ 1 = û ĉ, ˆλ = û + ĉ, ½ µ ËÓ٠г ÝÔÓØ ÕÙ û ĉ Ø Ò ÓÖ ÞÓÒ Ð ØÖÓ Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ ÓÒØ ÙÜ ÙÜ Ø ÒØ Ø A(Ŷ ) Ø ÓÒ Ð º ÕÙ Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ ˆλ k ÒÓÙ Ó ÓÒ ÙÒ Ú Ø ÙÖ ÔÖÓÔÖ ÖÓ Ø r k R 3 A(Ŷ )r k = ˆλ k r k ½ µ Ø ÙÒ Ú Ø ÙÖ ÔÖÓÔÖ Ù t l k t l k A(Ŷ ) = ˆλ k t l k ½ µ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½ t l j r k = 0, j k. ÈÖ ÙÚ t l j A = ˆλ j t l j = ( t l j A) r k = (ˆλj t l j ) r k = t l j (Ar k ) = ˆλ j t l j r k = t l j (ˆλ k r k ) = ˆλ j t l j r k = (ˆλk ˆλ j ) t l j r k = 0 = t l j r k = 0, j k. Ê Ñ ÖÕÙ º½ t l j r k = l j r k. Ë r Ø ÙÒ Ú Ø ÙÖ ÔÖÓÔÖ Ð Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ ˆλ ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ α 0 αr Ø Ð Ñ ÒØ ÙÒ Ú Ø ÙÖ ÔÖÓÔÖ ˆλº ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ Ó Ö Ð r 0, r 1, r µ Ø l 0, l 1, l µ Ø ÐÐ ÕÙ l j r j = 1 j = 0, 1,. ÇÒ Ô ÙØ ÔÖ Ò Ö ÁÆÊÁ
13 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ½½ r 0 = Ø l 0 = g(ˆλ ˆλ 1) g(ˆλ +ˆλ 1) ˆλ ˆλ1 ˆλ ˆλ1 r 1 = l 1 = 1 1 g ˆλ 1 r = l = 1 1 g ˆλ ½¾µ Ø ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ ÐÓÖ (r 0, r 1, r ) Ø ÙÒ R 3 º Ò Ò ÒØ Ô Ö Y Ð ÓÐÙØ ÓÒ ½¾µ ÓÒ Ô ÙØ ÐÓÖ Ö Ö Y (x, t) = α 0 (x, t)r 0 + α 1 (x, t)r 1 + α (x, t)r Ø Y 0 (x) = α0 0 (x)r 0 + α 0 1 (x)r 1 + α 0 (x)r Y t º { + A(Ŷ ) Y x = 0 αi ( ) } t r i + A(Ŷ )r αi i = 0 x i=0 i=0 i=0 { αi t r i + º ) } αi (ˆλi r i = 0 x { } αi t + ˆλ α i i r i = 0 x α i t + ˆλ α i i = 0, i = 0, 1, x ³ ÔÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½ ÓÒ α 0 i (x) = 1 α L Y0 r i l (x) l i = Y0 (x) l i = Y L l i, x < 0 i = i α R i = Y R l i, x > 0 Å ÔÓÙÖ ÕÙ i г ÕÙ Ø ÓÒ ³ Ú Ø ÓÒ α i t + ˆλ α i i x = 0 α 0 i (x) = { α L i, x < 0 α R i, x > 0 ½ µ ÊÊ Ò ¼½¾
14 ½¾ ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ α L i, x t < ˆλ i Ñ Ø ÔÓÙÖ ÙÒ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ α i (x, t) = α R i, x t > ˆλ i Ò Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒ ½¾µ Ø Y (x, t) = Y L + º = Y R ËÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒ x/t>ˆλ k (α R k α L k )r k x/t<ˆλ k (α R k α L k )r k ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ Ò Ô Ö Ö Ô Ð ØÖÓ ÔÓ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒ ½¾µ Ò Ð ÔÐ Ò (x, t)º ÇÒ Ò Y (0, t) Ø Y (O +, t) Ô Ö Yl Ø Yr Ö Ô ¹ Ø Ú Ñ Òغ û + ĉ t t û ĉ û ĉ Y l Y r Y l Y r û + ĉ Y L Y R Y L Y R µ : Y l µ x º ÓÙÐ Ñ ÒØ ØÓÖÖ ÒØ Ð Yl = Y L = Y r (α R 0 α L 0 )r 0 Y r = Y R ; µ : µ Y r = Y l + (α R 0 α L 0 )r 0 x û ĉ t Y l Y r û + ĉ Y l = Y L + (α R 1 αl 1 )r 1 Y r = Y R (α R α L )r Y L Y R x º ÓÙÐ Ñ ÒØ ÙÚ Ð ÁÆÊÁ
15 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ½ º ÓÖÖ Ø ÓÒ ÒØÖÓÔ ÕÙ Ä ÓÐÚ ÙÖ ÊÓ Ô ÙØ ÓÒ Ù Ö ÙÒ Ð Ö Ø Ò Ø Ú ÒØ Ò ÜÔÐÓ Ö Ð³ ÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ º º º½ È Ö Ü ÑÔÐ ÔÖ ÒÓÒ ÙÒ ÓÙÐ Ñ ÒØ ÙÖ ÓÒ ÔÐ Ø a(x) 0µ Ú u L = 3 ĉ u R = 5 ĉº ÇÒ ÐÓÖ ½ µ Ø ½ µµ ˆλ 1 = 1 ĉ < 0 ˆλ = 3 ĉ > 0º ij ÓÙÐ Ñ ÒØ ÐÓ Ð Ø ÓÒ ÙÚ Ðº Ø ÖÑ ÒÓÒ Ð ÓÑÔÓ ÒØ c l Y l c l = c L + (α R 1 α L 1 )r 1 1 Ú r 1 1 ÔÖ Ñ Ö ÓÑÔÓ ÒØ r 1 µ ( = c L 1 (c R c L ) + 1 ) (u R u L ) ( = c L 1 (c R c L ) c ) R + c L = (c R + c L ) < 0 Ð Ö Ø Ð³ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Ò Ö ÔÖ Ò ÒØ Ð ØÖÓ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ð Ø ÓÒ¹ º ÓÒ Ó Ø ÒØ µ ÚÓ Ö Á º µ µ c l = c R g(a R a L )(ˆλ ˆλ 1 ) ˆλ ˆλ1 c r = c R ½ µ µ c l = 1 c r = 1 c l = c L c r = c L + g(a R a L )(ˆλ ˆλ 1 ) ˆλ ˆλ1 ( (c R + c L ) (u R u L ) g(a ) R a L ) ˆλ 1 ½ µ ( (c R + c L ) (u R u L ) g(a R a L ) ˆλ ) ¾¼µ ÊÊ Ò ¼½¾
16 ½ ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ º º¾ ÓÙÐ Ñ ÒØ ÙÖ ÓÒ ÔÐ Ø ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾ Ë u R u L < (c R + c L ) ¾½µ ÐÓÖ Ð³ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Y Ñ Ø ÙÒ Ð Ö Ø ÔÓ Ø Ú º ÈÖ ÙÚ Ä ÔÖ ÙÚ Ø ÑÑ Ø Ò Ø a R a L = 0º È Ö Ù Ø Ð Ð Ö Ø Ð³ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Y Ø ÔÓ Ø Ú ³ ÔÖ ½ ½ Ø ¾¼º Ë Ð ÓÒ Ø ÓÒ ¾½µ Ø Ú ÓÐ ÓÒ ÔÓ c r = c l = 0º º º ÓÙÐ Ñ ÒØ Ú ØÓÔÓ Ö Ô ÇÒ Ó Ø ÐÓÖ ³ Ö ÙÖ Ð Ú Ø ³ÓÒ ˆλ г Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Y ÓÒ ÒÓØ Ö λ Ð ÒÓÙÚ ÐÐ Ú Ø Y ÕÙ ÖÓÒØ ÙØ Ð Ò Ð³ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º ÇÒ ÙÔÔÓ u R u L < (c R + c L ) ˆλ 1 < 0 < ˆλ Ð Ó Ü λ 1 = ˆλ 1 ( ) g(a R a L ), ar > a L λ = max ˆλ, (c R + c L ) (u R u L ) Ø ( ) g(a R a L ) λ 1 = min ˆλ 1, (c R + c L ) (u R u L ) λ = ˆλ Ô ÖÑ Ø Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ ³ÙÒ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Y Ð Ö Ø ÔÓ Ø Ú º ÈÖ ÙÚ Ä ÔÖ ÙÚ Ø ÑÑ Ø ³ ÔÖ ¾¼º, a R < a L Ë Ð ÓÒ Ø ÓÒ ¾½µ Ø Ú ÓÐ ÓÒ ÔÓ c l = g(a R a L ) 4ˆλ 1 a R > a L Ø c r = 0 c l = 0 c r = g(a R a L ) 4ˆλ a R < a L ÁÆÊÁ
17 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ½ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ë ˆλ < 0 Ð Ó Ü λ 1 = ˆλ 1 ( ) λ = min ˆλ, g(a R a L )ˆλ 1 4c Rˆλ1 g(a R a L ), a R > a L Ø { λ1 = ˆλ 1 λ = ˆλ, a R < a L Ô ÖÑ Ø Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ ³ÙÒ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Y Ð Ö Ø ÔÓ Ø Ú º ÈÖ ÙÚ Ä ÔÖ ÙÚ Ø ÑÑ Ø ³ ÔÖ ½ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ë ˆλ 1 > 0 Ð Ó Ü ( ) { λ1 = ˆλ 1 λ 1 = max ˆλ 1, g(a R a L )ˆλ λ = ˆλ, a R > a L Ø 4c Lˆλ g(a R a L ) λ = ˆλ, a R < a L Ô ÖÑ Ø Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ ³ÙÒ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Y Ð Ö Ø ÔÓ Ø Ú º ÈÖ ÙÚ Ä ÔÖ ÙÚ Ø ÑÑ Ø ³ ÔÖ ½ º º ÌÖ Ø Ñ ÒØ Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ÇÒ ØÙ Ò Ð Ó Ð ÙØ ÙÖ Ð³ Ø Ø w R ÓÙ ÐÐ w L Ø ÒÙÐÐ º ÈÓÙÖ Ð Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ð³ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Y ÒÓÙ ÙØ Ð ÓÒ Ð Ö ÙÐØ Ø ÙÖ ÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ Ø Ñ Ø ÓÒ Ú Ø ³ÓÒ λ 1 Ø λ ÍÒ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ò Ö Ù Ø Ó Ð ÙØ ÙÖ ³ Ù Ø ÒÙÐÐ º ÊÊ Ò ¼½¾
18 ½ ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ h L > 0 h R > 0 h R = 0 h L = 0 { λ1 = u L c L { λ1 = u L c L λ = u L + c L λ = u L + c L º Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ Ê ÙÐØ Ø ÒÙÑ Ö ÕÙ º½ ÓÙÐ Ñ ÒØ ÒÓÝ Ä ÐÓÒ Ù ÙÖ Ù ÓÑ Ò ÐÙÐ Ø L = 5m Ð ÒÓÑ Ö ÔÓ ÒØ Ù Ñ ÐÐ N = 1000 Ð ÙÖ ØÓØ Ð ³Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø T = 1.s Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ð ÓÒØ 0 x x 5 h(x, t = 0) 3 4 u(x, t = 0) 0 0 ÁÆÊÁ
19 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ½ º½º½ Ì Ø½ ÓÙÐ Ñ ÒØ ÙÖ ÓÒ ÔÐ Ø a(x) = 0, x [0; 5] CFL = 0.8º º Ì Ø½ Ø ¼ µ º Ì Ø½ Ø ½º¾ µ ÊÊ Ò ¼½¾
20 ½ ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ º½º¾ Ì Ø¾ ÓÙÐ Ñ ÒØ Ú ØÓÔÓ Ö Ô a(x) = ÙÖ [0; 1.5] Ø a(x) = 0 ÙÖ [1.5; 5] CFL = 0.8º º Ì Ø¾ Ø ¼ µ º Ì Ø¾ Ø ½º¾ µ ÁÆÊÁ
21 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ½ º½º Ì Ø ÓÙÐ Ñ ÒØ Ú ØÓÔÓ Ö Ô a(x) = 4 ÙÖ [0; 1.5] Ø a(x) = 0 ÙÖ [1.5; 5] CFL = 0.6º º ½¼ Ì Ø Ø ¼ µ º ½½ Ì Ø Ø ½º¾ µ ÊÊ Ò ¼½¾
22 ¾¼ ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ º¾ Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ Ä ÐÓÒ Ù ÙÖ Ù ÓÑ Ò ÐÙÐ Ø L = 5m Ð ÒÓÑ Ö ÔÓ ÒØ Ñ ÐÐ N = 500 Ð ÙÖ ØÓØ Ð ³Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø T Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ð ÓÒØ Ì Ø 0 x x 5 h(x, t = 0) u(x, t = 0) 0 0 Ì Ø 0 x x x x 5 h(x, t = 0) a(x) a(x) u(x, t = 0) ÁÆÊÁ
23 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ¾½ º¾º½ Ì Ø Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ a(x) = 0 ÙÖ [0; 1.5] Ø a(x) = 1 ÙÖ [1.5; 5] T = s CFL = 0.4º º ½¾ Ì Ø Ø ¼ µ º ½ Ì Ø Ø ¾ µ ÊÊ Ò ¼½¾
24 ¾¾ ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ º¾º¾ Ì Ø Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ a(x) ÚÓ Ö ÙÖ µ T = 3s CFL = 0.4º º ½ Ì Ø Ø ¼ µ º ½ Ì Ø Ø µ ÁÆÊÁ
25 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ¾ ÓÒÐÙ ÓÒ ÜÔÐÓ Ø ÒØ Ð Ö ÙÐØ Ø ¾ ÒÓÙ ÚÓÒ ÔÖ ÒØ ÙÒ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ð Ö Ø ¹Ú Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò Òغ Ä Ñ Ø Ó Î ÊÓ ÓÒ Ù Ø Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö ÒØ Ö Ù Ñ ÐÐ Ô Ø Ð ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒº ÆÓØÖ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ò ÒØ ÙÖ Ð Ú Ø ³ÓÒ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ³ÙÒ ÓÐÚ ÙÖ Ê Ñ ÒÒ ÔÔÖÓ Ö ÒØ ÒØ Ð ÔÖ Ö¹ Ú Ø ÓÒ Ð ÔÓ Ø Ú Ø Ð Ð Ö Ø Ð³ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Ò Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒº ij ÜÔÐÓ Ø Ø ÓÒ Ö ÙÐØ Ø ÒÓÙ Ò Ù Ø Ô ÖÑ ³ ÔØ Ö Ð ÓÐÚ ÙÖ Ò ÔÖ Ò Ö Ò ÓÑÔØ Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ º Ä ÓÐÚ ÙÖ Ê Ñ ÒÒ ÔÔÖÓ ÔÖ ÒØ Ò Ö ÔÔÓÖØ Ô ÖÑ Ø ³ ØÙ Ö ÑÙÐ ¹ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ Ñ Ñ Ò ÔÖ Ò ÙØ ÙÖ ³ Ù ÒÙÐÐ Ö ÓÙÚÖ Ñ ÒØ ÓÙÚÖ Ñ Òصº Ä ÔÖÓ Ò Ø Ô ÒÓØÖ ØÖ Ú Ð ÓÒ Ø Ö Ð³ ÜØ Ò ÓÒ Ø Ø Ñ Ò ÓÒÒ Ð º ÊÊ Ò ¼½¾
26 ¾ ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ Ê Ö Ò ½ Û Ò ÀÁÆÆ Ð Ò¹ Ú Ä ÊÇÍ Ò Æ ÓÐ Ë ÍÁƺ Û Ðй Ð Ò ÒÙÑ Ö Ð Ñ ÓÖ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó ÐÐÓÛ¹Û Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø ØÓÔÓ Ö Ô Ý Ø Ö ÓÒÒ Ò Ô ÒÓÑ ÒÓÒº ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÂÓÙÖÒ Ð ÓÒ Ò Ø ÎÓÐÙÑ ½¹½ ½ ¾¼¼ º ¾ Ì ÖÖÝ ÄÄÇÍ Ì Â Ò¹Å Ö À Ê Ê Ò Æ ÓÐ Ë ÍÁƺ ËÓÑ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ó ÙÒÓÚ Ñ ØÓ ÓÑÔÙØ ÐÐÓÛ¹Û Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø ØÓÔÓ Ö Ô Ýº ÓÑÔÙØ Ö Ò ÐÙ ¾¼¼½º Ì ÖÖÝ ÄÄÇÍ Ì Â Ò¹Å Ö À Ê Ê Ò Æ ÓÐ Ë ÍÁƺ ËÓÑ Ö ÒØ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ñ ØÓ ÓÑÔÙØ ÙÐ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ò Ö Ð Ó º ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÂÓÙÖÒ Ð ÓÖ ÆÙÑ Ö Ð Å Ø Ó ÁÒ ÐÙ ½¼ ½½ ¾¼¼¾º Ì ÖÖÝ Í Ê Ì ÖÖÝ ÄÄÇÍ Ì Ò Â Ò¹Å Ö À Ê Ê º ÍÒ Ñ Ñ¹ ÔÐ ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÒØ¹Ú Ò Òغ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ ºÙÒ Ú¹ÑÖ º Ö» ÐÐÓÙ Ø»ÈÙ Ð»Ø ¹ ÖØ ½¹ ÚØºÔ º Ú Äº ÇÊ º ÆÙÑ Ö Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÆÓÒÐ Ò Ö Ë ÐÐÓÛ Ï Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø ÌÓÔÓ Ö Ô Ý Ò ÖÝ Ó ÙÒÓÚ¹ÌÝÔ Ë Ñ º È Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ï Ò ØÓÒ ¾¼¼ º Ê Ò ÐРº Ä Î ÉÍ º Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ñ Ø Ó ÓÖ ÝÔ Ö ÓÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ô ¾¼ ¾ ¾º Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ¾¼¼¾º Û Ç Ä ÏËÃÁ Ò È ÖÖ ¹ ÖÒ Ù Ê ÎÁ Ê º ÆÙÑ Ö Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó ÀÝÔ Ö ÓÐ ËÝ Ø Ñ Ó ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ä Û Ô ½ º ËÔÖ Ò Ö Æ Û¹ ÓÖ ½ º À ÖÚ ÍÁÄÄ Ê Ò Ê Ñ Ê Äĺ ÓÑÔÖ Ð º ÙØ Ö ¹Ú ÐÐ Ö ¾¼¼½º ÅÓ Ð Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ù º ÊÅÍ º ÊÎÁ Í Âº¹ º ËÁ ÊÁ Ò Åº º Î ÉÍ Æ Çƺ ÍÔÛ Ò Ñ ÓÖ Ø ØÛÓ¹ Ñ ÒØ ÓÒ Ð ÐÐÓÛ Û Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ú Ö Ð ÔØ Ù Ò ÙÒ ØÖÙØÙÖ Ñ º ÓÑÔÙغ Å Ø Ó ÔÔÐ º Å º Ò º ½ º ½¼ Ê Ò ÐРº Ä Î ÉÍ Ò Ú Äº ÇÊ º À Ø¹Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø ÚÓй ÙÑ Ñ Ø Ó ÓÖ Ø ÐÐÓÛ Û Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ø ÝÑ ØÖÝ Ò ÖÝ Ø Ø º ØØÔ»»ÛÛÛº Ñ Ø ºÛ Ò ØÓÒº Ù» Ö Ð»ÔÙ» Ø Ð Ò ¼» Ø Ð Ò ºÔ ÖÙ ÖÝ ¾¼¼ º ½½ ÇÐ Ú Ö ÌÀÍ Äº ÈÖÓÔ Ø ÓÒ ÓÒ ÙÖ º ÖØ Ð Ô Ó ÕÙ ¾¼¼ º ½¾ È Ð ÔÔ À ÄÄÍ º ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÐÓ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ º ØØÔ»» ÐÐÙݺÙÒ Ú¹ØÐÒº Ö»ÈÀ È»Ô ÝÔºÔ º ÁÆÊÁ
27 Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis 004, route des Lucioles - BP Sophia Antipolis Cedex (France) Unité de recherche INRIA Futurs : Parc Club Orsay Université - ZAC des Vignes 4, rue Jacques Monod ORSAY Cedex (France) Unité de recherche INRIA Lorraine : LORIA, Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique 615, rue du Jardin Botanique - BP Villers-lès-Nancy Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu Rennes Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l Europe Montbonnot Saint-Ismier (France) Unité de recherche INRIA Rocquencourt : Domaine de Voluceau - Rocquencourt - BP Le Chesnay Cedex (France) Éditeur INRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, BP Le Chesnay Cedex (France) ØØÔ»»ÛÛÛº ÒÖ º Ö ISSN
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35 apport technique
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Vérification d invariants de systèmes paramétrés par superposition
Université defranche-comté École doctorale Sciences Pour l Ingénieur et Microtechniques U.F.R. des Sciences et Techniques Vérification d invariants de systèmes paramétrés par superposition THÈSE présentée
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P etit pat hw o rk de ombinatoire énumérative Mireille Bousquet-Mélou, CNRS, LaBRI, Bo rdeaux http://www.lab ri.fr/ b ousquet
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Commande Prédictive. J. P. Corriou. LSGC-ENSIC-CNRS, Nancy. e-mail : corriou@ensic.inpl-nancy.fr
Commande Prédictive J P Corriou LSGC-ENSIC-CNRS, Nancy e-mail : corriou@ensicinpl-nancyfr Ý Consigne Trajectoire de référence Ý Ö Réponse Ý Horizon de prédiction À Ô ¹ Ù ¹ Temps Entrée Ù Horizon de commande
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