1NOMBRES POSITIFS LES DÉCIMAUX POSITIFS 1. LES NOMBRES DÉCIMAUX

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1 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS NOMBRES LES DÉCIMAUX POSITIFS

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3 THÉORIE. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS THÉORIE. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS Dans ce chapitre, nous utiliserons des nombres décimaux positifs. Rappelons de quoi il s agit. Une fraction représente un nombre. On obtient l écriture décimale (c est-à-dire, en base 0) de ce nombre en divisant le numérateur de la fraction par son dénominateur. Selon la fraction, la division finit par s arrêter, ou bien ne s arrête jamais. Comparons par exemple ce qui se passe quand on écrit en base 0 le nombre représenté par la fraction, et celui représenté par la fraction. On trouve 0 et 0 = 0,0 = 0, Dans le cas de la division ne s arrête jamais. On dit: représente un nombre dont l écriture en base 0 est illimitée (on doit l écrire avec une infinité de chiffres après la virgule). Et on dit: représente un nombre qui a une écriture finie en base 0 (on peut l écrire 0 sans utiliser une infinité de chiffres après la virgule). Le nombre représenté par est un nombre décimal; celui que représente n est 0 pas un nombre décimal. Un nombre décimal est un nombre qui a une écriture finie en base 0. Exemples Voici quatre nombres décimaux: 0 = 0, 0 = =, = 0,68 Mais les quatre nombres suivants ne sont pas des nombres décimaux: 08 = 0, 99 =, = 0,00 = 0,666 Remarque Les entier positifs, et 0, sont des nombres décimaux. MATHÉMATIQUES 8E

4 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS THÉORIE Comme dans le manuel de e, nous utiliserons les notations: IN = { 0 ; ; ; ; ; ; } (IN est appelé l ensemble des entiers naturels, ou encore l ensemble des nombres naturels.) IN * = { ; ; ; ; ; 6 ; } (IN * est appelé l ensemble des entiers positifs, ou encore l ensemble des nombres naturels positifs.). OPÉRATIONS AVEC LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS. RAPPEL DE e: LES QUATRE OPÉRATIONS Ces opérations se nomment l addition, la soustraction, la multiplication et la division. Voici un rappel de vocabulaire, et de quelques propriétés de ces opérations. Dans ce qui suit, les lettres a, b, c désignent des nombres décimaux positifs. L addition L addition est: commutative : a + b = b + a associative : (a + b) + c = a + (b + c) La multiplication La multiplication est: commutative : a b = b a associative : (a b) c = a (b c) La soustraction La soustraction n est ni commutative, ni associative. La division La division n est ni commutative, ni associative. MATHÉMATIQUES 8E

5 THÉORIE. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS. LA DISTRIBUTIVITÉ La distributivité est une propriété qui lie l addition et la multiplication. Voici un exemple. On a =. Faisons ce calcul autrement: on peut aussi écrire = ( + 0) = ( + 0) + ( + 0) + ( + 0) + ( + 0) = ( ) + ( ) = + 0 = + 0 = On a donc : ( + 0) = + 0 On peut donner une illustration géométrique de cet exemple, en calculant de deux manières l aire de ce rectangle: 0 0 D une part, un calcul direct montre que cette aire est égale à = unités d aire. D autre part, en faisant la somme des aires des deux petits rectangles, on trouve + 0. La propriété de distributivité est exprimée par la règle suivante: a (b + c) = a b + a c a (b c) = a b a c Là aussi, on peut donner une illustration géométrique, si a > 0, b > 0 et c > 0 : b c a a b a c b + c MATHÉMATIQUES 8E

6 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS THÉORIE. L EXPONENTIATION Il arrive souvent qu on multiplie un entier plusieurs fois par lui-même. Par exemple, est le produit de 6 facteurs égaux à. La notation "puissance" permet d écrire plus brièvement ce produit: on note qui se lit: ou, plus simplement, = 6 " à la puissance 6 " " puissance 6 ". D une manière générale, pour a > 0 et n entier, n > 0, on note: a a a K a KKKKKK K = an n facteurs On appelle a n la " puissance n-ème de a ". Ce symbole se lit: " a puissance n ". Dans le symbole a n, l entier n s appelle l exposant. Remarques ) Par définition, on écrit: a 0 = si a > 0. ) a = a : on n écrit pas l exposant. ) La puissance ème d un nombre s appelle le carré de ce nombre. Par exemple, = 9 se lit: ou bien " au carré est égal à 9 ", " à la puissance est égal à 9 ". ) La puissance ème d un nombre s appelle le cube de ce nombre. Par exemple, = 8 se lit: ou bien " au cube est égal à 8 ", " à la puissance est égal à 8 ". ) Le carré a d un nombre a > 0 peut être interprété géométriquement comme l aire d un carré dont le côté est de longueur a. 6) Le cube a d un nombre a > 0 peut être interprété géométriquement comme le volume d un cube dont l arête est de longueur a. MATHÉMATIQUES 8E

7 THÉORIE. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS. UNE PROPRIÉTE DE L EXPONENTIATION À partir d un exemple, nous allons découvrir une propriété importante de l exponentiation. Calculons le produit. On a: et on voit que = ( ) ( ) = Cet exemple illustre la règle suivante: si a > 0 et si m et n sont des entiers positifs, alors a m a n = a m + n Puissances de dix Les puissances de dix sont très utilisées en sciences (mathématiques, physique, chimie, biologie). Elles servent à exprimer de très grands nombres. L exposant peut être un entier positif, ou 0. Exposant n Écriture avec la notation "puissance" 0 n Écriture en base MATHÉMATIQUES 8E

8 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS THÉORIE. RACINES CARRÉES ET RACINES CUBIQUES Racines carrées Il existe un nombre positif dont le carré est égal à 6. Ce nombre est. On peut écrire: si x > 0 et x = 6, alors x = On dit que est la racine carrée de 6, et on écrit: 6 = Plus généralement, la racine carrée d un nombre positif a est le nombre positif x, tel que x = a. Un nombre négatif n a pas de racine carrée. La racine carrée de 0 est 0. Remarque En général, la racine carrée d un nombre positif n est pas un entier. On peut obtenir la racine carrée d un nombre positif à l aide d une calculatrice ou d une table numérique. Il s agit alors généralement d une valeur approximative. Exemple < < =,6 Racines cubiques Il existe un nombre dont le cube est égal à. Ce nombre est. On dit que est la racine cubique de, et on écrit: =. Plus généralement, la racine cubique d un nombre positif b est le nombre x tel que x = b. 6 MATHÉMATIQUES 8E

9 THÉORIE. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS.6 L ORDRE DES OPÉRATIONS Règles de calcul ) Dans une suite d opérations sans parenthèses ni crochets, on effectue d abord les calculs de puissances et de racines, ensuite les multiplications et les divisions, enfin, de gauche à droite, les additions et les soustractions. K + 6 K := + 6 := K + 6: K = 8 + = KKK 8 + = + = 0 ) Lorsqu une suite d opérations comporte des parenthèses (ou des crochets), on commence par effectuer les opérations entre parenthèses (ou crochets), en observant les règles (). + ( + K ) 6 = + ( + KKK K ) 6 = + 6 = KK K KK + 6 = ) Lorsqu une division est indiquée par une barre de fraction, on calcule séparément ce qui est au-dessus de la barre (le numérateur) et ce qui est au-dessous (le dénominateur), en observant les règles () et (). Ensuite, on effectue la division. En résumé: = = = =, On commence par calculer le contenu des parenthèses, le numérateur et le dénominateur des fractions. Dans les parenthèses, ou en l absence de parenthèses, on calcule d abord les puissances et les racines; ensuite les multiplications et les divisions; enfin, de gauche à droite, les additions et les soustractions. MATHÉMATIQUES 8E

10 EXERCICES ORAUX. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ORAUX Calculer : ) ) ) ) + + ) ) Calculer : ) ) 9 + ) ) + 8 ) + 6) + 8 Calculer : ) ) ) 9 0 ) 6 ) 6 0 6) 8 9 Calculer : ) 0, ) 600 0, 0, ) 0 0 ) 0, 0 0 ) 0,0 0, 00 6) 0 0, 0 0 Calculer : ) 8 + ) 8 0 : + ) 6 ) : ) ) Calculer : ), + ) 0 0, 0 ) + 00 : ) 0, + ) ) 600 : Calculer : ) 0, 6 0 ) 0 0, +, : 0, ) 0, 0, + 0, 0, ) 00 0,0 + 0 : ) 8 + : : 6) 0, 0, + 0, 0, 8 Calculer la valeur de a ( a) si ) a = 0 ) a = ) a = ) a = 6 ) a = 9 MATHÉMATIQUES 8E 9

11 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ORAUX 9 Calculer la valeur de ab (a b) si ) a = b = 9 ) a = b = ) a = b = 0 ) a = b = 8 ) a = b = 6) a = 0 b = 0 Calculer la valeur de a + a si ) a = ) a = 90 ) a = ) a = ) a = 8 ) a = 6) a = 8) a = Calculer la valeur de a + b a si ) a = b = ) a = b = 0 ) a = 8 b = ) a = b = ) a = 6 b = 6) a = 0 b = Calculer la valeur de a + b + a + b si ) a = b = ) a = 8 b = ) a = 6 b = 9 ) a = 0 b = ) a = b = 6) a = b = Calculer la valeur de a + b si ) a = b = ) a = b = 0 ) a = 8 b = ) a = b = ) a = 6 b = 6) a = b = 0 Calculer la valeur de (a + b) si ) a = b = ) a = b = 0 ) a = 8 b = ) a = b = ) a = 6 b = 6) a = b = 0 Calculer la valeur de ab si ) a = b = 6 ) a = 6 b = 0 ) a = 8 b = ) a = b = 0 ) a = b = 6) a = b = 6 Calculer la valeur de ab + ab si ) a = b = ) a = 8 b = ) a = 6 b = ) a = b = ) a = b = 0 6) a = b = 0 0 MATHÉMATIQUES 8E

12 EXERCICES ORAUX. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS À l'aide du croquis ci-dessous, calculer oralement le produit. 0 En s'aidant, si nécessaire, de croquis du même type, calculer : ) 6 6 ) ) 8 ) 9) 6 6 ) 9 ) 9 6 6) 9 8) 8 0) 8 8 Calculer oralement les produits : ) ) 6 ) 6 0) 8 ) 6 ) ) 6 ) 6 ) 8 6) 98 9) 6 ) 8 9 Calculer oralement les produits : ) 6 ) 68 ) 69 0) 6 9 ) 6 ) ) ) 9 ) 6) 8 9) 9 6 ) 0 Calculer oralement les produits : ) 9 ) 6 9 ) 6 0) 9 ) 8 ) 8 8) 9 ) ) 8 6) 6 9) 6 ) 8 Calculer : ) ) ) ) 9) ) 8 ) 6 ) 6) 8) 0) ) Calculer : ) 0 ) ) 0 ) 9) ) 6 ) 0 ) 0 6) 00 8) 0) 0 ) 6 MATHÉMATIQUES 8E

13 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ORAUX Calculer : ) 600 ) 0 ) 0 ) 0 9) 80 ) 0 ) 0 6) 90 8) 00 0) 0 Calculer : ) 8 ) 0,8 ) 6 ) 0,06 ) 80 ) 800 6) 600 8) 0,6 Calculer : ) 0, ) 0, ) 0,0 ) 0,0 ) 0,0 ) 0,0 6) 0,00 8) 0,00 6 Calculer : ) 0, ) 0,8 ) 900 ) 0 ) ) 0 6) 0,0 8) 0,00 Calculer la valeur de a si ) a = 0 ) a = ) a = ) a = ) a = 8 Calculer la valeur de a si ) a = ) a = ) a = 0 ) a = ) a = 6) a = 6 9 Calculer la valeur de a + si ) a = ) a = 0 ) a = ) a = ) a = 8 6) a = 0 0 Calculer la valeur de (a + ) si ) a = ) a = 0 ) a = ) a = ) a = 8 6) a = 0 Calculer la valeur de a + si ) a = ) a = ) a = ) a = 0 ) a = 6) a = 6 MATHÉMATIQUES 8E

14 EXERCICES ORAUX. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS Calculer la valeur de (a + ) si ) a = ) a = ) a = ) a = 0 ) a = 6) a = 6 Calculer : ) 0 ) 0 0 ) 0 6 ) 0 ) 0 6) 0 Calculer : ), 0 ) 6,8 0 ) 9,0 0 ), 0 ), 0 ), 0 6), 0 8),9 0 Calculer : ), 0 ) 0, 0 6 ), 0 ) 0,6 0 6 Calculer : ) 0 ), 0 ) 0,0 0 ),0 0 ) 0, 0 Compléter par l'exposant manquant : ) 00 = 0... ) 6 = ) 800 = ) 000 = 0... ) = ) 0 = Compléter par l'exposant manquant : ) 00 =, 0... ) 6, = 6, 0... ) = 6, 0... ) 0 =, 0... ) 8, =, ), =, Calculer : ) 0 et 0 ) 0, et 0, ) 0,8 et 8 0, ) 600 et 6 00 ) 0 et 0 6) 0 et 0 MATHÉMATIQUES 8E

15 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ORAUX 0 Calculer : ) 0 00 ) 0 0 ) 0 0 ) ) ) 0 0 Compléter par l'exposant manquant : ) 0 0 = 0... ) = 0... ) = 0 ) 0 0 = 0... ) = 0 6) = 0 Compléter par l'exposant manquant : ) =... ) 8 =... ) 0 =... ) =... ) = 6 8) 9 9 = 9... ) =... 6)... = 8 9)... = 8 Compléter par l'exposant manquant : ) 6... = 8 ) = 8 ) = 6 6 ) 6 =... ) = 6 8) =... )... = 6) =... 9)... = Compléter : ) =... ) = ) = ) = ) = ) = 6 9 ) = 6 9 8) = Compléter par l'exposant manquant : ) a a = a... ) x x 0 = x... ) a a... = a ) x x = x... ) b b = b... 8) x x... = x ) a a = a... 6) x x = x... 9) b b = b... MATHÉMATIQUES 8E

16 EXERCICES ORAUX. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 6 Compléter : ) x x x = x... ) y y y y 0 = y... ) y y... = y 6) a b a a = a... b... ) x x... = x 9 ) a b... a... b = a 8 b ) a a... a = a 9 8) x y... y x... = x 6 y Compléter : ) a a = a... ) x y x... = x y... ) x y x y = x... y... ) y x x... y = x 9 y... ) x x... = x 6) x... x 6 = x 6 8 Calculer : ) 6 ) ) 00 ) 6 9) 9 ) 9 ) 6) 8 8) 6 0) 9 Calculer : ) 00 ) 6 ) 00 ) 6 ) ) 600 6) ) Calculer : ) 0,0 ) 0,09 ) 0,6 ) 0,6 ) 0,0 ) 0,000 6) 0, 8) 0,8 Calculer : ) 0,6 ) ) 0,00 ) ) ) ) 00 8) 0,0009 MATHÉMATIQUES 8E

17 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ORAUX Calculer : ) ) 0,8 ), ) ) 8 6) 00 Calculer : ) ) 000 ) 0,00 ) 0,008 ) 8 ) 6) 000 8) Calculer : ) ) ) 000 ) ) ) 6 0,06 6) 0,000 8) 0, Calculer : ) ) 8 ) 600 ) ) ) ) 0,0 8) Calculer : ) ) ) 900 ) 0,000 ) 0,0 ) 0,0009 6) 0,008 8) 0, MATHÉMATIQUES 8E

18 EXERCICES ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ÉCRITS Calculer la valeur de ab si ) a = 000 et b = 0,0 ) a =, et b = 0 ) a = 00 et b = 00 ) a = 0, et b = 0, ) a = 0,0 et b = 0, 8 Calculer la valeur de a si ) a = 0,0 ) a =, ) a =, ) a =, ) a = 0,09 ) a = 0, 6) a = 8) a = 0 9 Substituer a = et b = dans les expressions suivantes, puis calculer : ) a + b + a ) a + a + b + b ) a + b a ) a + b a ) a + b a 8) a + b + a b ) a + b + a b 6) a b + a 9) a + b a + b 60 Substituer a = et b = dans les expressions suivantes, puis calculer : ) a + a ) a + b a ) a + b a + b a ) a + a + b ) a + b + a + b 8) 6a b + b ) 9a + b + a 6) a + b + b + a 9) a b + a b 6 Substituer a = 0 et b = dans les expressions suivantes, puis calculer : ) a + 9a + b + b ) a + 6b + a + b ) a + a + b + b ) a + b + a + b ) a + a + b + 6b 6) 9a + a + 88b + b 6 Substituer x = et y = dans les expressions suivantes, puis calculer : ) x + 6x + y y ) x + y x + y ) y y + x + x ) x + 9y x + y ) x + y + 6y + 8x 6 Substituer a = 8 et b = dans les expressions suivantes, puis calculer : ) a b ) ab ) ab(a ) ) a + b ) a(a b) 8) 6b(a + ) ) (a b) 6) a(ab 9) 9) ab(a b) MATHÉMATIQUES 8E

19 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ÉCRITS 6 Substituer a = 0, et b = 0, dans les expressions suivantes, puis calculer : ) a + b ) b(b a) ) a + b a ) a b ) ab(b a) 8) 0a + b ) a(a + b) 6) 0a + 0b 9) a + b a 6 Substituer a =, b = et c = dans les expressions suivantes, et calculer : ) a + c (a + b) a + c (a + b) ) a b c + 9 ab c + 9 ) b ( c b) b (c b) ) ( c a) ( b + ) (c a) (b + ) 66 Substituer a = 0,, b = 0 et c = dans les expressions suivantes, et calculer : ) ab ) (a + 0c) b ) 0b + (c : b + 0,09) b ) ) b a : c 8) b + b : c c + ab b ) b : c + a 6) 9) (a + b) : c c a c 6 Substituer a =,, b = 0, et c = dans les expressions suivantes, et calculer : ) (a + b) 0c ), (a + b) c ) (, + b) (ac b) ) (a + b) c ) c (a b) 6) (ab,),8 + c 68 Calculer : ) ) 0 ) 0, ) 6 9) ) ) 0, 6) 0, 8) 6 0) 69 Ecrire par ordre décroissant : ) ; ; ; ; 6 ; ; ) ; ; ; 0 ; ) 6 ; ; ; ; ; ) 6 ; ; 8 ; ; ; ; 0 0 Calculer : ) et ) et ) 8 et 96 ) 8 9 et ) 9 et 6 6) 8 et 8 MATHÉMATIQUES 8E

20 EXERCICES ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS Calculer : ) ) ( ) + ) ( + ) ) + ) ( + ) 6) ( ) Énumérer tous les nombres entiers dont le carré est compris entre 00 et 00. Énumérer tous les nombres entiers dont le carré est compris entre 600 et 00. Examiner le chiffre des unités des nombres ci-dessous. En déduire lesquels ne sont certainement pas le carré d'un nombre entier. ) 6 ) ) ) 9) ) 68 ) 9 6) 680 8) 66 0) Substituer a = et b = dans les expressions suivantes, puis calculer : ) a + ) a b ) a + b ) a b ) a ) b 0 6) a + b 8) a b 6 Calculer la valeur de a (a + b) si ) a = et b = ) a = et b = ) a = et b = Calculer la valeur de x y + y si ) x = 0, et y = 0 ) x = et y =, ) x = et y = 0, 8 Calculer la valeur de a (a + b ) si ) a = et b = ) a = 0, et b = ) a = 0, et b = 0,6 9 Copier et compléter : quels sont les exposants qui manquent? ) a 6 b a b c a = a... b... c... ) a b c c b a = a... b... c... ) x y z x y z = x... y... z... ) x y z x y z = x... y... z... ) a b c b c a b = a... b... c... MATHÉMATIQUES 8E 9

21 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ÉCRITS 80 Copier et compléter : quels sont les exposants qui manquent? ) x x x y x y = x... y... ) a b c a c b = a... b... c... ) x y z 0 x x y = x... y... z... ) a b b... a = a... b 6 ) x y z x... y z 0 = x 6 y... z... 8 Copier et compléter : quels sont les exposants qui manquent? ) x y x y y = x... y... ) a b c a 0 b a c = a... b... c... ) a b a... b b... a = a b 6 ) a b a... b b a = a 0 b... ) y y x x... y... x y = x y 0 8 Calculer : ) ( ) + ( + ) ) ( + ) + (6 ) ) ( ) : + ( + ) ) ( + ) + ( + ) ) + (8 ) ( ) 6) Calculer : ) (8 ) + 6) + ) 6 : ( ) + (9 ) ) ( ) + (8 ) ) ( + ) ) 6 : (6 ) + ( ) ) + ( + 6) + 9) (6 ) + ) 6 (6 ) + (0 ) 0) + (6 + ) + 0 MATHÉMATIQUES 8E

22 EXERCICES ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 8 G H signifie que l'on élève le nombre de Gauche à une puissance égale au nombre du Haut. Copier et compléter ces tableaux : G H H G H G H G G + H signifie que l'on calcule le carré du nombre de Gauche, le carré du nombre du Haut, puis que l'on additionne ces deux carrés. Copier et compléter ces tableaux : H G +H 6 8 G +H G +H 6 G G H signifie que l'on multiplie le carré du nombre de Gauche par le nombre du Haut. Copier et compléter ces tableaux : G H H G H G H 0 G G + H signifie que l'on additionne le nombre de Gauche et le carré du nombre du Haut. Copier et compléter ces tableaux : H G + H G + H 0 G + H 8 G MATHÉMATIQUES 8E

23 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ÉCRITS 88 Dans chaque ligne, trouver le nombre dont on est parti : ) x 0 au carré 00 ) au carré 600 ) : 0 au carré 00 ) au carré au carré 8 ) x au carré ) au carré : Dans chaque ligne, trouver le nombre dont on est parti : ) au carré 8 ) + au carré 8 ) au carré : 8 ) 8 au carré ) au carré + 8 6) : au cube MATHÉMATIQUES 8E

24 EXERCICES ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 90 Dans chaque ligne, trouver le nombre dont on est parti : ) x au carré 600 ) + au carré 00 ) au carré ) au carré 0,0 ) au carré x 0, 6) x 0 au carré 0, 9 Calculer : ) 6 ) 600 ) ) 0,0 ) 0,6 ) 0,006 6) ) 0,000 9 Reproduire cette droite graduée dans le cahier. Placer ensuite les nombres suivants sur la droite : 0,0 ; 0,0 ; (0,) ; 0,0 ; (,) ; 0, ; ;. 0 0, 0, 0, 0, 0, 0,6 0, 0,8 0,9,,,,,,6,,8,9 MATHÉMATIQUES 8E

25 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ÉCRITS 9 Recopier dans le cahier, puis compléter par un des symboles < ou > : ) 0,... (0,) ) 0, , ),... (,) 6) 0,6... (0,6) ) (,)... (,) ) (0,0)... 0,0 ) (0,6)... (0,6) 8) (0,0)... 0, Classer par ordre croissant : ) 0,09 ;, ; 0,6 ; ;, 69 ) 0,6 ; (0,) ;, ; (,) ; 0,09 ; (0,09) ) 0, ; ; 0,6 ;,9 ;, ;, ; 0,0 9 Encadrer chacun des nombres suivants par deux entiers successifs : ) ) 0 ) ) 9 ) 0 ) 68 6) 8) Encadrer chacun des nombres suivants au dixième près : ) 0,6 ) 0, ) 0,9 ) 0,0 ) 0,08 ) 0,00 6) 0, 8) 0,8 9 Encadrer chacun des nombres suivants à la dizaine près : ) 00 ) 8000 ) ) 000 ) 0 ) 800 6) 8) MATHÉMATIQUES 8E

26 EXERCICES ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 98 Encadrer chacun des nombres suivants par deux entiers successifs : ) 8 ) ) 8 ) ) ) 9 6) 0 8) 99 Encadrer chacun des nombres suivants au dixième près : ) 0, ) 0,0 ) 0, ) 0,0 ) 0,8 ) 0, 6) 0, 8) 0, 00 Encadrer chacun des nombres suivants à la dizaine près : ) ) 68 ) ) ) ) 6 6) 8) 0 Calculer la valeur de a si ) a = ) a = 0, ) a = ) a = ) a = ) a = 00 6) a = 0,0 8) a = 0, 0 Calculer la valeur de a si ) a = 0, ) a = 0 ) a =, ) a = 0 ) a = ) a =, 6) a = 0,0 8) a = 00 0 Substituer a = dans les expressions suivantes, puis calculer : ) a ) a ) (a) ) a a ) a ) a 6) a 8) a(a) MATHÉMATIQUES 8E

27 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ÉCRITS 0 Substituer a = 0, dans les expressions suivantes, puis calculer : ) 9a ) a a ) 9a ) a a ) a a 6) 9a a 0 Substituer a = et b = dans les expressions suivantes et calculer : ( ) a b ) a b ) a b ) ( ) a b ) a b ) a b 6) 06 Calculer la valeur de l expression 9a + a si ) a = ) a = ) a = 9 0 Calculer la valeur de l expression x x si ) x = ) x = 0, ) x = 0, ( ) 08 Calculer la valeur de l expression a + a si ) a = ) a = 0,09 ) a =, ) a = 9 ) a = 09 Calculer : ) ) ) ) ) ( 6 ) 9 + ( 6 )+ ( 9 ) ( 0,) : ( 0,) 8 + ( 6 00) 6 MATHÉMATIQUES 8E

28 EXERCICES ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 0 Calculer : ) ) ) ) ) 00 + ( 6 9) ( 9 + 6) ( 6 ) = Calculer : ) ( 6) ( 6 + ) ) 6 + ( ) : 0 ) = + ) 9 ( 6 ) + ( 6 6) : ) ( + ) : ( + ) Calculer : ) ) ) + ( ) = ( + ) 0 = + ) ( 6 ) 9 + = ) ( ) : 6) ( + ) : 8 ) ( 6) ( 6 + ) = MATHÉMATIQUES 8E

29 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT Pour lire le message caché dans ce tableau, il faut : Effectuer le calcul indiqué dans la case "DÉBUT". Chercher la case dont le premier nombre est égal au résultat trouvé. Inscrire la lettre qui s'y trouve sous le tableau, puis effectuer le calcul. Chercher la case dont le premier nombre est égal au résultat trouvé. Et ainsi de suite. DÉBUT 80 X 0,0 = 000 X 0, = 800 X 0,0 = 0 X 00 = 00 X 0,0 = 0, X 00 = L P B L 0, X 0, = 000 X = 0, X 000 = R A S N X 0, = 0,0 X = 0,0 X 000 = V T E U 0,0 X 00 = 0,8 X 000 = X 0, = D S I M 000 X 0,0 = 0,0 X 000 = 0 X 0 = E A E D 8 X 0,00 = X 0,0 = 0 X 0, = T S I FIN E 0 X 0,00 = 00 X = 000 X 0,00 = L E Combien y a-t-il de points en tout sur les 8 pièces d'un jeu de dominos? Un calendrier est formé de deux cubes, qui permettent de composer tous les nombres 0, 0, 0,... jusqu'à. Quels sont les chiffres inscrits sur les faces cachées des cubes? MAI 6 MATHÉMATIQUES 8E 9

30 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 6 Comment peut-on placer des signes "+" entre les chiffres 689 pour que la somme obtenue soit 99? Quelle valeur faut-il donner à b dans l égalité a b =, si? ) a = 9 ) a = ) a = ) a = 8 ) a =, 6) a = 8, 8 Quelle valeur faut-il donner à b dans l égalité (a + b) = 0, si? ) a = ) a = ) a = 0 ) a = 9 Dans l égalité (a + b) = 00, quelle valeur doit avoir a, si? ) b = 8 ) b = ) b = 8 ) b = 6 Quelle valeur doit avoir b, si? ) a = 0 ) a = ) a = 8 ) a = 0 0 Quelle valeur doit avoir x dans l égalité (x + y) = 8, si? ) y = ) y = ) y = ) y = Dans l égalité (r + p) = 60, quelle doit être la valeur de p, si? ) r = 9 ) r = ) r = 6 Quelle doit être la valeur de r, si? ) p = ) p = 8 ) p = 0 À l'aide du croquis ci-contre, calculer oralement 0 0 À l'aide de croquis du même type, calculer oralement : ) 6 ) ) 6 ) ) ) 6) 8) 0 MATHÉMATIQUES 8E

31 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS a) Remplacer chaque lettre par un nombre, de telle sorte que les égalités suivantes soient vraies : ) + ( + R) 6 = ) ( : S + ) : = 6 ) [ + ( + A) + ] = ) (V ) = ) [ (I 6) + ] = 0 6) (0 N + ) + 0 = 0 ) ( L ) + = 8) ( E) + 8 = 9) ( + T) (6 ) + = 9 0) (C + ) 6 = 8 b) Remplacer chaque chiffre par la lettre qui lui correspond pour déchiffrer le message : 8090, Comment placer une et une seule fois chacun des chiffres de 0 jusqu'à 9 dans les disques, de telle sorte que les quatre nombres qu on peut lire horizontalement soient des carrés parfaits? Note: Il y a plusieurs solutions! Retrouver le nombre manquant : ) = 6 ) + = 8 ) = ) = ) + = 6 Retrouver la puissance manquante : ) = ) = 09 ) + = Retrouver le nombre qui manque : ) = 6 ) = ) 9 : + = ) = 6 ) + 0 = MATHÉMATIQUES 8E

32 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 8 Chaque case blanche doit contenir un chiffre : Horizontalement : Verticalement : a) Cube e) Cube b) Nombre premier f) ( 0 + 0) : + c) La somme de ses g) Nombre pair * chiffres vaut ( ) d) Carré * h) Nombre impair * Multiple de Carré a b c d e f g h 9 Chaque case blanche doit contenir un chiffre : Horizontalement : Verticalement : a) Cube de (f) d) Tiers de (e) b) Multiple de e) Carré de (a) c) La somme de ses f) Nombre premier chiffres vaut a b c d e f 0 Chaque case blanche doit contenir un chiffre : Horizontalement : Verticalement : d e f a) Pas de définition d) Sept fois (e) b) Carré diminué de e) Cube de (a) c) Le produit des deux f) Moitié de (a) derniers chiffres donne le premier chiffre a b c Chaque case blanche doit contenir un chiffre : Horizontalement : Verticalement : a) Multiple de d) La somme de ses chiffres est b) Un de plus que (a) e) Est formé de trois chiffres consécutifs c) Le carré du carré de f) Multiple de ce nombre est égal à la somme des carrés de (a) et de (b) a b c d e f MATHÉMATIQUES 8E

33 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS Chaque case blanche doit contenir un chiffre : Horizontalement : Verticalement : a) Carré impair d) Moitié du cube de (f) b) Cube diminué de 88 e) Carré de (f) c) Carré augmenté de f) Trouvez-moi! a b c d e f Puissances de dix Les puissances de dix sont très utilisées par les scientifiques (mathématiciens, physiciens, chimistes, biologistes ). Sur certaines machines à calculer, elles servent aussi à exprimer les très grands nombres et les très petits nombres. L exposant est un nombre entier positif ou négatif ou zéro. Exposant Écriture avec la notation Écriture en base 0 n "puissance" 0 n , 0 0,0 0 0,00 0 0, , , Calculer : ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 0 ) 0 6) 0 6 MATHÉMATIQUES 8E

34 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT Compléter par l'exposant manquant : ) 0, = 0... ) 0,00 = 0... ) 0, =, 0... ) 0,0008 = Calculer : ) 0 ) 0 0 ) 0, 0 ) 0 8 ) 0 ) 0 0 6) ), 0 MATHÉMATIQUES 8E

35 LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS

36

37 THÉORIE. LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS THÉORIE. LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS Dans ce chapitre nous utiliserons des nombres décimaux relatifs. Un nombre décimal relatif est un nombre décimal positif (ou 0), précédé d un signe ( + ou ). Voici quelques exemples de nombres relatifs:, ; + ; +0,00 ; 9 ; 0 ; 0, (Le 0 s écrit sans signe. On omet souvent d écrire le signe + devant un nombre positif.). RAPPELS DE e a) La droite numérique Avec les nombres relatifs, on peut graduer une droite de part et d autre de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (+) (+) (+) (+) (+)... Par convention, on dira que le plus petit de deux nombres relatifs est celui qui est placé le plus à gauche sur la droite numérique horizontale. On utilisera les symboles < et > comme pour les nombres décimaux positifs. Exemples < ; < 0 ; < ;, < ; 0 <, > ; 0 > ; > ; >, ; > 0. MATHÉMATIQUES 8E

38 . LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS THÉORIE b) Nombres opposés 0 ( 6) ( ) (,) (+,) (+) (+6) Deux nombres situés sur la droite numérique, de part et d autre de 0 et à la même distance de 0, sont dits nombres opposés. L opposé du nombre n se note: n Exemples L opposé de 0 est 0. L'opposé de 6 est +6. On écrit: ( 6) = +6. L'opposé de + est. On écrit: (+) =. L opposé de +, est,. On écrit: (+,) =,. c) La valeur absolue d un nombre relatif La valeur absolue d un nombre relatif est sa distance au zéro sur la droite numérique. Notation: la valeur absolue du nombre a s écrit Exemples a et se lit "valeur absolue de a". 6 = 6 ; 0, = 0, ; 0 = 0 ; +0,00 = 0,00 8 MATHÉMATIQUES 8E

39 THÉORIE. LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS. OPÉRATIONS AVEC LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS. RAPPEL DE e: ADDITION ET SOUSTRACTION DE NOMBRES RELATIFS On a appris en e comment additionner deux nombres relatifs, et comment soustraire un nombre relatif d un autre. Rappelons brièvement comment on procède, et les propriétés principales de ces deux opérations. L addition ) Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leurs valeurs absolues, puis on prend le même signe que celui des deux nombres. Par exemple, (+,) + (+,) = +, ; (,) + (,) =, ) Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande, puis on prend le signe de celui des deux nombres qui a la plus grande valeur absolue. Par exemple, Propriétés (+) + ( 8) = ; (+,) + (,) = +, La somme d un nombre relatif et de son opposé est égale à 0. Par exemple, (+) + ( ) = 0 ; (,) + (+,) = 0 L addition de nombres relatifs est: commutative: a + b = b + a associative: a + (b + c) = (a + b) + c La soustraction Soustraire un nombre relatif, c est additionner son opposé. Par exemple, (+) (+) = (+) + ( ) = ; (,) (,) = (,) + (+,) = +0, MATHÉMATIQUES 8E 9

40 . LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS THÉORIE Remarques (simplifications d écriture) ) On peut simplifier l écriture d une somme en supprimant les parenthèses, et les signes + qui les séparent. Par exemple, ( ) + (+) + ( 6) = + 6 = ) Dans une suite d additions et de soustractions, on transforme d abord chaque soustraction en addition de l opposé, puis on passe à l écriture simplifiée comme en (). Par exemple, (+) (+) ( ) + ( 8) = (+) + ( ) + (+) + ( 8) = =. MULTIPLICATION ET DIVISION DE NOMBRES RELATIFS On sait comment multiplier deux nombres positifs, et comment diviser un nombre positif par un autre. Voyons maintenant comment on fait lorsqu il s agit de nombres relatifs. La multiplication Règles de calcul Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif; c est le produit de leurs valeurs absolues. Par exemple, (+) (+) = + ; ( ) ( ) = +8 Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif; c est l opposé du produit de leurs valeurs absolues. Par exemple, (+8,6) ( ) =,8 ; (,) (+) = 0 La règle des signes de la multiplication est parfois énoncée de la manière suivante: + fois + donne + fois donne + + fois donne fois + donne 0 MATHÉMATIQUES 8E

41 THÉORIE. LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS Propriétés La multiplication de nombres relatifs est: commutative: a b = b a associative: (a b) c = a (b c) La distributivité lie la multiplication et l addition: a (b + c) = a b + a c La division Pour diviser un nombre relatif par un autre, on divise les valeurs absolues puis on applique une règle des signes semblable à celle de la multiplication: + divisé par + donne + (+) : (+) = + divisé par donne + (,8) : ( ) = + 8,6 divisé par + donne ( 0) : (+) =, + divisé par donne (+8) : ( ) =. L EXPONENTIATION DE NOMBRES RELATIFS L exponentiation de nombres relatifs se définit comme pour les nombres positifs: pour n entier, n > 0, on note a a a K a KKKKKK K = an n facteurs Le calcul se fait en appliquant la règle des signes de la multiplication. Par exemple, Propriété (+) = (+) (+) (+) = +8 ; ( ) = ( ) ( ) ( ) = 8 Comme pour les nombres positifs, si a est un nombre relatif et si m et n sont des entiers positifs, alors a m a n = a m + n MATHÉMATIQUES 8E

42 . LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS THÉORIE Règle pratique une puissance d un nombre positif est positive une puissance d un nombre négatif est positive, si l' exposant est pair négative, si l' exposant est impair En résumé, cette règle s écrit: si a > 0, alors a n > 0 si a < 0, alors a n > 0 si n est pair a n < 0 si n est impair Exemples (+) = + et (+) = + ( ) = + et ( ) = MATHÉMATIQUES 8E

43 EXERCICES ORAUX. LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS EXERCICES ORAUX 6 Calculer l'opposé de chacun de ces nombres : ) ) 6 ) +, ), 9), ), ) +9 ) 6) 0 8) +, 0) +, ) 6,8 Donner la valeur absolue de chacun de ces nombres : ) ) 6 ) +, ), 9), ), ) +9 ) 6) 0 8) +, 0) +, ) 6,8 8 Calculer : ) (+) + ( ) ) ( ) + ( 8) ) ( ) + (+6) ) ( ) (+) ) ( ) + ( ) 8) ( ) ( ) ) (+6) + (+) 6) (+) ( ) 9) ( 6) (+) 9 Calculer : ) ( 6) (+) ) (+) (+) ) (+) ( 6) ) (+) + ( 8) ) (+8) + ( 8) 8) ( 8) (+6) ) ( ) ( 6) 6) ( ) (+) 9) (+) + ( 8) 0 Calculer : ) (+) + ( ) ) ( 6) + ( ) ) ( ) ( 6) ) ( ) ( ) ) ( ) (+) 8) ( 6) (+) ) (+8) + ( 6) 6) (+8) ( ) 9) (+) + ( ) Calculer a + b si ) a = et b = + ) a = et b = 8 ) a = 6 et b = 0 ) a = et b = 6 ) a = +6 et b = 6) a = + et b = Calculer a b si ) a = 6 et b = + ) a = et b = +8 ) a = + et b = ) a = + et b = ) a = et b = 6) a = 8 et b = 0 MATHÉMATIQUES 8E

44 . LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS EXERCICES ORAUX Calculer : ) + 6 ) ) ) ) ) + ) 8 + 8) + 6 Calculer : ) ) ) +6 6) + ) + 6 ) ) + + 8) Calculer : ) ) ) ) ) ) ) ) Calculer : ) ( ) (+) ) ( 6) (+0) ) (+) ( ) 0) (+) (+) ) (+) ( ) ) (+6) (+) 8) ( ) (+) ) (+) ( 9) ) ( ) ( ) 6) ( ) ( ) 9) (+) (+) ) ( ) ( ) Calculer : ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) (+) 0) ( 8) (+) ) (+) ( ) ) ( 0) ( ) 8) ( ) (+) ) ( ) (+) ) (+) (+8) 6) (+) (+8) 9) (+) ( ) ) (+) ( ) 8 Calculer : ) (+) ( 6) ) (+) ( 9) ) ( ) 0 0) (+) (+) ) ( ) (+) ) ( 6) (+6) 8) ( ) (+) ) ( ) ( ) ) ( ) (+8) 6) (+6) ( ) 9) ( ) ( ) ) (+) ( ) 9 Calculer : ) (+8) : ( 6) ) ( ) : ( ) ) ( ) : ( ) ) ( 6) : ( 9) ) ( 0,) : ( 0) 8) (+) : ( 9) ) (+00) : ( 0,) 6) (+8) : ( ) 9) ( ) : (+) MATHÉMATIQUES 8E

45 EXERCICES ORAUX. LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS 0 Calculer : ) ( ) : (+0,) ) ( 8) : (+) ) ( 0,) : (+0) ) (+00) : ( 0) ) (+6) : (+) 8) ( ) : ( ) ) (+) : ( ) 6) ( ) : (+) 9) (+000) : ( 00) Calculer : ) ( 0) : ( 8) ) (+60) : ( 8) ) ( 00) : (+60) ) (+6) : (+8) ) ( 8,) : ( 9) 8) (,) : ( 0,9) ) ( 9) : (+) 6) ( 6) : ( 60) 9) (+9) : ( 9) Calculer : ) ( ) ) (+9) ) ( ) ) ( ) ) (+) ) ( ) 6) (+) 8) ( ) Calculer : ) (+) ) (+) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) 6) (+) 8) ( ) Calculer : ) ( ) ) 0 ) ( ) ) ( ) ) (+) ) ( ) 6) (+) 8) (+) MATHÉMATIQUES 8E

46 . LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS EXERCICES ORAUX 6 MATHÉMATIQUES 8E

47 EXERCICES ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS EXERCICES ÉCRITS Calculer : ) (,) + (,) + (,) + ( 6,) ) (+,) + (,8) + ( ) + (,) ) (+) + ( 6) + ( ) + (+6) ) (+) + ( 6) + (+) + ( ) ) (,) + (+8) + ( 6,9) + (+,) 6) (+,) + ( 6,) + (,6) + (,) 6 Calculer : ) (+,) + (,) + (,6) + ( 6,) ) (,) + (+,8) + (,8) + (,) ) (+8) + (+) + ( 9) + (+) ) (+) + ( 6) + ( ) + ( ) ) ( ) + (+6) + (,) + (,) 6) (+8) + (,) + (+,) + (+,) Calculer : ) (,) (+,) + (,) + (+,) (,) ) ( ) + (+) + ( ) + (+) (+9) ) (+) (+) + ( ) (+6) ( ) ) ( ) + ( ) (+) + ( ) ) ( ) (+) + ( ) ( ) 6) (+0,) + ( 0,) + (+0,) (,) (+0,) 8 Calculer : ) (,) + (+,) + (,8) (+,) + (+,) ) ( ) (+) + ( ) ( ) + (+) ) (+0,) (+,) (,) + ( 0,6) (+,) ) ( 6,) (+6) + (,8) ( ) + ( ) ) ( 0,) (+0,) + (+,) ( 0,) (,) 6) (,) (+,) + ( 6,) ( ) + ( ) MATHÉMATIQUES 8E

48 . LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS EXERCICES ÉCRITS 9 Simplifier l'écriture, puis calculer : ) (+) + ( 6) (+) + ( ) ( 6) + ( ) ) (+) + ( ) ( ) + ( ) (+6) + ( ) ) ( ) + (+) + ( ) ( ) + (+) ( ) ) ( 6) + ( ) (+) + ( ) ( ) (+) ) (+) + ( ) (+) + ( 6) ( ) + (+) 6) (+) + ( ) (+) + ( 6) ( ) (+) 60 Simplifier l'écriture, puis calculer : ) ( 0,) + (+,) (+,) + (,) (+,) ) (+6,) (,) + (,) (+,) + (,) ) (+) ( 6) + ( ) ( ) (+6) + ( ) ) (+) ( ) + ( 0) (+) + ( ) (+0) ) ( ) (+) + ( ) ( ) + (+) ( ) 6) ( 0,) + (,6) + (+,) + (+,6) 6 Simplifier l'écriture, puis calculer : ) (,) + (,6) (,) (+8,) ) (+8) + ( ) (+) + (+) ( 8) ) ( 0,) + ( 0,) (+0,) ( 0,6) (,) ) (+6,) + (,) (+6,) (+,8) + (+,) ) ( 8) + (+) + ( ) (+) + ( 8) (+6) 6) (+) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) 6 Calculer a b + c si ) a = b = + c = ) a = +, b =, c = +,8 ) a = 6, b = +, c =, ) a = b = + c = ) a = b = 8 c = 6) a = +8 b = c = 6 Calculer a (b + c) si ) a = b = + c = ) a = +6, b = +, c =, ) a = 6 b = c = + ) a = +8, b = 6,9 c = +,9 ) a = + b = c = 6) a = +, b =, c = +, 6 Calculer a (b ) si ) a = +8 et b = ) a =,6 et b = + ) a = 6 et b = + ) a = +8 et b = 8 ) a = +, et b =, 6) a = 0, et b = +0, 8 MATHÉMATIQUES 8E

49 EXERCICES ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS 6 Calculer : ) (+,) ( ) (+0) ) ( ) (+) ( ) ( 6) ) ( 0,) (+0,8) ( 00) ) (+0) ( ) (+0,) ) (+,) ( 0,0) ( 00) 6) ( 0,) (+0,) ( 00) 66 Calculer : ) (+0,) ( 0) (+00) ( 0,) ) ( 60) ( 0,) ( 0,) (,) ) (+,) ( 0,) ( 00) (+0,) ) ( 0,6) ( 0,) ( 0,) ( ) ) ( 0) (+0,) (+0) ( 0,) 6) (+00) ( ) ( 0,) (,) 6 Calculer : ) ( 0,) (+0) ( 0) 0 ( ) ) (+0,) ( 0,) ( 0,) (+00) (+0,) ) (+0,) ( 0,0) (+00) (+0) ) ( 0) ( 0) (+0,6) ( ) ) ( 8) (+0,) ( 00) (+0,) ( ) 6) (+) ( ) (,) ( ) 68 Calculer a b c si ) a = b = c = ) a = + b = 0 c = +9 ) a = b = + c = + ) a = + b = c = ) a = b = + c = 6) a = + b = + c = + 69 Calculer x y z si ) x = + y = + z = ) x = y = z = + ) x = y = z = ) x = + y = z = +6 ) x = + y = +6 z = +0 6) x = + y = + z = 6 0 Calculer abc si ) a = 0, b = +0 c = 0, ) a = 0, b = 0,6 c = + ) a = +0 b = +0 c = ) a = +0 b = c = +0 ) a =, b = 0 c = +0 6) a = b = +0 c = 0,0 Calculer : ) (+) ( + 6) ) (+6 + ) ( ) ) ( ) ( + ) ) (+6 + 0) (+ + ) ) ( ) (+ ) 6) (+ ) (+6 ) MATHÉMATIQUES 8E 9

50 . LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS EXERCICES ÉCRITS Calculer : ) ( + ) (+) ) (+ ) ( ) ( + 9) (+0) ) ( 9) ( ) ) (+) + ( ) (+ ) ) ( + ) ( + ) 6) (+ ) (+) Calculer : ) + + ( ) (+) ) (+ ) ) (+ ) (+ ) 6) (+ ) ( ) + ( ) (+6 ) ) (+ ) + (+ ) ( ) ) (+ ) ( ) + ( ) ( 9 ) ) (+ ) (+ ) 8) (+) ( ) (+) ( ) (+) Calculer a (b + c) si ) a = + b = c = ) a = +6 b = 0 c = ) a = b = c = +9 ) a = 0 b = c = ) a = b = c = + 6) a = +8 b = +6 c = + Calculer a b si ) a = + b = ) a = +6 b = ) a = 0 b = ) a = b = + ) a = 9 b = + 6) a = b = + 6 Calculer a bc si ) a = b = + c = ) a = 0 b = + c = ) a = b = + c = + ) a = b = + c = + ) a = b = + c = 6) a = +9 b = 0 c = Calculer x+y z si ) x = y = +6 z = ) x = y = z = ) x = +6 y = z = + ) x = + y = z = + 8 Calculer : ) ( ) (+) ( ) ) ( ) 0 (+) ) ( ) (+) (+) 6 ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) (+) (+) 6) (+) 6 (+6) 60 MATHÉMATIQUES 8E

51 EXERCICES ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS 9 Calculer : ) ( ) + ( ) + (+) ) ( ) (+) + ( ) ) ( ) + (+) ( 6) ) ( ) 6 ( ) 8 ) (+) ( ) ( ) 80 Calculer : ) ( ) (+) (+) ) ( ) ( ) ( ) (+) ) 0 6 (+) + ( ) ) ( ) (+) (+) ( ) + ( ) ) ( ) (+) ( ) 6) ( ) ( ) (+) + ( ) 8 Calculer : ) (+) (+) ( ) ) ( ) (+) ) ( ) (+) ( ) ) ( ) ( ) (+) ) ( ) (+) + ( ) ( ) 6) (+) + ( ) (+) 8 Calculer : ) ( ) ( ) + ( ) + (+) ( ) ) ( ) + ( ) [( ) + (+)] ( ) ( ) ) (+) ( ) + ( ) (+) ) (+) [( ) + ( ) ] (+) ) ( ) (+) + (+) (+) 6) ( ) (+) ( ) ( ) + ( ) (+) ) ( ) (+) ( 6) ( ) (+) + ( ) 8 Calculer : ) ( ) (+,) ( 6,) : ( 0) ) (+,) ( 0,) + ( 0,) (+000) ) (,) (+) + (,) ( 0) ) (+0,) ( 0,) ( 0,9) : (+0,) MATHÉMATIQUES 8E 6

52 . LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS EXERCICES ÉCRITS 8 Calculer : ) ( + ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ) ( ) + (+) [( ) + ( ) ] ( ) [( ) + ( )] ( ) ) (+) 6 [( ) ( )] + ( ) ( ) ) [( ) (+ ) ] : ( ) + ( ) ( ) 8 Calculer : ) (+) : ( ) ( + ) ( ) ) [(+) + ( )] ) [(+) + ( ) ] ) [( ) + (+) + (+) ( 0) ] : ( ) 86 Calculer la valeur de x x + si ) x = ) x = + ) x = + ) x = 8 Substituer x = dans les expressions suivantes, puis calculer : ) x x x x ) x x x + x x ) x + x x + x ) x + x x x 88 Calculer la valeur de x + x x + x x + si ) x = ) x = ) x = + ) x = 0 89 Calculer la valeur de x y + xy si ) x = 0 et y = + ) x = + et y = ) x = et y = ) x = et y = + 90 Substituer a = et b = dans les expressions suivantes, puis calculer : ) a ) a + b ) a b ) ab ) (a b ) a 6) a b 6 MATHÉMATIQUES 8E

53 EXERCICES ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS 9 Calculer la valeur de a b + ab + b c si ) a = + b = c = + ) a = b = c = ) a = 0 b = + c = 9 Substituer a =, b = + et c = dans les expressions suivantes, et calculer : ) a b + c ) a + ( b) c ) ab ac ) a b b + ac ) ac bc 6) a c ac (ac) 9 Substituer a = et b = + dans les expressions suivantes, et calculer : ) ( a) + b ) ( ab ) ) a b b ) a ab ) ( a) ( b) 6) (a + ) (b ) 9 Calculer la valeur de a b si ) a = et b = ) a = et b = 6 ) a = et b = 0 ) a = et b = ) a = 0 et b = 6) a = + et b = 9 Calculer la valeur de a b + a si ) a = et b = ) a = et b = ) a = + et b = ) a = et b = ) a = et b = 6) a = et b = 96 Calculer la valeur de a b + c d si ) a = + b = c = d = ) a = +6 b = 0 c = d = ) a = b = c = d = 9 Une mère a ans et son fils a ans. Quel sera l'âge de la mère lorsque le fils aura ans? Quel sera l'âge du fils lorsque la mère fêtera ses 80 ans? 98 On a partagé une certaine somme entre deux personnes. La première a reçu 8 fr., soit 9 fr. de moins que la seconde. Quelle somme a-t-on partagée? 99 Si j'avais 000 fr. de plus, je pourrais m'acheter une voiture qui coûte 90 fr., et il me resterait 60 fr. Combien d argent ai-je? MATHÉMATIQUES 8E 6

54 . LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS EXERCICES ÉCRITS 00 Anne a ans. En quelle année aura-t-elle ans? Quel sera son âge en l'an 0? 0 Pierre a emprunté 60 fr. Il rembourse 0 fr., puis 8 fr., et enfin 0 fr. Combien doit-il encore rembourser? 0 La somme de deux nombres est 6. L'un d'eux est 8. De combien le plus grand surpasse-t-il le plus petit? 0 Si l'on ajoute les fr. d Albert à l argent de Bernadette, on trouve 6 fr. Combien possède Bernadette? 0 Platon naquit à Athènes en avant Jésus-Christ. Il avait 8 ans lorsque son maître Socrate mourut. En av. J.-C., Platon fonda une école de philosophie, l'académie, dans laquelle il enseigna jusqu'à sa mort, survenue en 8 av. J.-C. ) En quelle année est mort Socrate? ) Quel âge avait Platon lorsqu'il fonda l'académie? ) Durant combien d'années y enseigna-t-il? ) À quel âge mourut-il? 0 L'historien grec Hérodote (8 à 0 av. J.-C.) rapporte que Thalès de Milet (6 à 8 av. J.-C.) avait prévu une éclipse de soleil survenue en 8 av. J.-C. ) Quel âge avait Thalès de Milet lors de l'éclipse de soleil? ) À quel âge est mort Thalès de Milet? ) Depuis combien d'années était mort Thalès de Milet à la naissance d Hérodote? ) À quel âge est mort Hérodote? 06 Alexandre le Grand (6 à av. J.-C.) succéda à son père Philippe de Macédoine (8 à 6 av. J.-C.) à l'âge de vingt ans. Auparavant, il fut l'élève du philosophe grec Aristote (8 à av. J.-C.). ) Quel âge avait Aristote à la naissance d'alexandre? ) Quel âge avait Philippe de Macédoine à la naissance de son fils Alexandre? ) À quel âge Aristote est-il mort? ) À quel âge Philippe de Macédoine est-il mort? ) À quel âge Alexandre le Grand est-il mort? 6 MATHÉMATIQUES 8E

55 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT. LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 0 Pour lire le message caché dans ce tableau, il faut : Effectuer le calcul situé dans la case "DÉBUT" et inscrire la lettre qui s'y trouve. Chercher la case dont le premier nombre est égal au résultat trouvé. Inscrire la lettre qui s'y trouve et effectuer le calcul. Chercher la case dont le premier nombre est égal au résultat trouvé. Et ainsi de suite. DÉBUT B F B E R R (-)+(-)= (-)+(+0)= (+9)+(-)= (-0)+(+)= (+6)-(+)= (-)-(+)= I FIN E A S L (-)-(-)= (+9)+(-)= (+)-(-)= (+)-(+6)= (-)-(+)= E A I R S (-8)-(-6)= (-6)+(-)= (-0)+(-0)= (+)-(-)= (-)-(+)= R T E E I (+)-(-)= 0 - (+)= (-)+(+)= (-)-(-)= (+0)-(+)= A (-)+(+)= N (+)-(+)= I (+0)-(-)= 08 Découvrir le message caché dans le tableau suivant, en utilisant la règle décrite à l'exercice 0. DÉBUT B S L A E (-)+(+)= (-)-(+)= (+)-(-)= (-)+(+)= (-)-(+)= E A T E V (+0)+(+8)= (+8)-(+)= (+9)+(-)= (+)+(-)= (+)-(+)= I R I P L 0 - (-)= (+)-(-)= (-)-(-6)= (-9)+(-)= (-)+(+9)= U N U O B (-8)-(+6)= (-6)-(-)= (-0)-(-)= (-)-(-)= (+)-(+8)= C A S C FIN R (+6)-(+6)= (+)+(-)= (-)+(+)= (-)+(+)= (-8)+(-0)= MATHÉMATIQUES 8E 6

56 . LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 09 Découvrir le message caché dans le tableau suivant, en utilisant la règle décrite à l'exercice 0. DÉBUT S F E I (-6) (-)= (-)+(+)= 0 - (-)= (+) (+)= I Q O A (+) (+9)= (+8) (-)= (-8)+(+)= (-) (-)= E U E FIN S (-6) (+)= (-)+(-6)= (-) (-)= (+8)-(-)= A A U T (+0)+(-8)= (-)-(-)= (-8) 0= (+)-(+0)= I S T N (+) (-)= (+) (-)= (+) (-)= (-)+(-)= T T F C (+) (+8)= (-6) (-)= (-0) (-)= (+)-(+)= 0 Découvrir le message caché dans le tableau suivant, en utilisant la règle décrite à l'exercice 0. DÉBUT L I L N 0 (-8) (+6)= (+0) (-)= (+) (-)= (-0) (-)= (+60)+(-60)= E E C U E (+)-(+)= (-)-(-00)= (-) (+)= (+0) (-)= (-60)-(+6)= R R U A T (-96)+(+)= (-0)+(+0)= (+8) (-)= (-8) (-)= (-8) (-)= L C E F S 0 - (-0)= (+96)-(-)= (+0)-(+)= (-0) (-)= (+6) (+)= T O E 0 FIN E (+)+(-0)= (-66)-(-06)= (+8) (-)= (+08)-(+0)= (-00)-(-)= 66 MATHÉMATIQUES 8E

57 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT. LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS Auguste vécut de 6 av. J.-C. à ap. J.-C. Il fut le premier empereur romain, nommé en avant Jésus-Christ. Il protégea les arts, et fut l ami des poètes Horace (6 à 8 av. J.-C.), Virgile (0 à 9 av. J.-C.), Tite-Live (9 av. J.-C. à ap. J.-C.) et Ovide ( av. J.-C. à ap. J.-C.). Auguste adopta Tibère ( av. J.-C. à ap. J.-C.), qui lui succéda. Attention: "l'an zéro" n'existe pas! ) Quel âge Auguste avait-il lorsqu'il devint empereur? ) Quel âge Auguste avait-il à la mort d Horace? ) Quel âge Auguste avait-il à la mort de Virgile? ) Quel âge Auguste avait-il à la naissance de Tite-Live? ) Quel âge Auguste avait-il à la naissance de Tibère? 6) Quel âge Auguste avait-il à la naissance d Ovide? ) Quel âge Tibère avait-il à la mort d'auguste? 8) Quel âge Tibère avait-il à la mort de Virgile? 9) À quel âge Auguste est-il mort? 0) À quel âge Virgile est-il mort? ) À quel âge Ovide est-il mort? ) Durant combien d'années Tibère fut-il empereur? ) À quel âge Tibère est-il mort? Trouver la valeur que doit avoir x, si ) ( ) x = 8 ) x (+8) = +0 ) ( ) x = +0 ) ( ) ( ) x = ) x (+) = 6) ( 8) (+) x = +80 Trouver la valeur que doit avoir x, si ) ( ) x + = ) x ( 8) + 6 = 6 ) (+9) x ( ) = ) x (+8) ( ) = Trouver la valeur que doit avoir x, si ) ( ) (+) x = ) (+) (+) x = 6 ) x ( ) (+) = ) x + ( 6) (+) = 8 Trouver la valeur que doit avoir x, si ) (+) x = 0 ) (+) + ( ) x = ) (+) x = ) ( 9) + ( ) x = 0 MATHÉMATIQUES 8E 6

58 . LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 6 Trouver la valeur que doit avoir x, si ) ( ) ( ) = x ) ( ) x ( ) = 8 ) ( ) x = 8 6) ( ) x ( ) = ) ( ) x = ) ( ) x (+) = 8 ) ( ) x (+) = 0 8) ( ) x ( ) = Trouver la valeur que doit avoir x, si ) x (+) = ) ( ) ( ) x = 96 ) ( ) x = 6 ) ( ) ( ) x = 6 ) ( ) x = 08 6) ( ) x ( ) = 08 8 Calculer, lorsque cela est possible : ) ) 9 + ) 9 0) 6 ) ) 8) ) ) 6) 6 9) 8 ) 9 9 Trouver, lorsque cela est possible, le ou les nombres x qui vérifient : ) x = +9 ) x = 6 ) x + = 0 ) x = +8 ) x = 0 8) x + = 0 ) x = 6) x 6 = 0 9) x + 6 = 0 0 Trouver, lorsque cela est possible, le ou les nombres x qui vérifient : ) ( ) x + ( ) = 9 ) [( ) + (+8)] x = 8 ) (+) x (+) = +9 6) [(+9) (+)] x = ) ( ) ( ) x = 98 ) [( ) (+)] x = 9 ) (+) ( ) x = 8) [(+) ( )] x = MATHÉMATIQUES 8E

59 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT. LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS Trouver, lorsque cela est possible, le ou les nombres x qui vérifient : ) x (+) = ) ( ) + x = 8 ) x (+) = 6) [( ) + x] = 6 ) ( ) x = ) [(+) x] = 8 ) (+8) x = 69 8) [( 8) x] = Trouver, lorsque cela est possible, le ou les nombres x qui vérifient : ) ( ) x (+) = 6 ) ( ) x ( 0) = ) ( ) x + = 6) x (+) + ( ) = 0 ) x ( ) ( ) = 8 ) ( ) x ( ) + ( ) = ) x ( ) = 0 8) x (+) ( ) = Trouver, lorsque cela est possible, le ou les nombres x qui vérifient : ) x = ) x ( +)+ ( ) ) x 8 =+ 6) ( ) x = ) x = ) ( +) x = ) x ( )+ ( +) 8) ( + ) x = 6 MATHÉMATIQUES 8E 69

60 LES FRACTIONS LES NOMBRES RATIONNELS

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62 THÉORIE. LES FRACTIONS. LES NOMBRES RATIONNELS THÉORIE. LES FRACTIONS. LES NOMBRES RATIONNELS. RAPPELS DE e: DIVISEURS ET NOMBRES PREMIERS a) Vocabulaire Si d et n sont des entiers positifs, et si d est un diviseur de n, on peut dire aussi: ou ou encore d divise n, n est divisible par d, n est un multiple de d. b) Nombres premiers Tout entier positif est divisible par, et par lui-même. On dit: qu un entier positif est un nombre premier, s il a exactement deux diviseurs; qu un entier positif est composé, s il a plus que deux diviseurs. L entier n est ni premier, ni composé. Tout entier positif plus grand que est soit premier, soit composé. Les deux diviseurs d un nombre premier sont cet entier lui- même, et l entier. Voici l ensemble des nombres premiers inférieurs à 60: { ; ; ; ; ; ; ; 9 ; ; 9 ; ; ; ; ; ; ; 9 } L ensemble de tous les nombres premiers a une infinité d éléments; on ne peut donc pas les énumérer tous. MATHÉMATIQUES 8E

63 . LES FRACTIONS. LES NOMBRES RATIONNELS THÉORIE. LA DÉCOMPOSITION EN PRODUIT DE FACTEURS PREMIERS Tout entier composé peut s écrire sous la forme d un produit de nombres premiers. Lorsqu on écrit l entier sous cette forme, on dit qu on le décompose en produit de facteurs premiers. Par exemple, I entier 0 se décompose de la manière suivante: 0 = Voici deux exemples pour montrer comment on peut chercher une telle décomposition. ) Pour décomposer 96 on peut écrire d abord 96 = 8 L entier 8 n est pas premier: on a 8 = 6 8 donc 96 = 8 = 6 8 Ni 6 ni 8 ne sont premiers: on a 6 = et 8 = donc 96 = 6 8 = ( ) ( ) et la décomposition de 96 en produit de facteurs premiers est 96 =. ) On peut aussi procéder systématiquement, en essayant de diviser l entier à décomposer par chacun des nombres premiers inférieurs à cet entier. Décomposons de cette manière: : = 6 6 : = : = 6 : = : = La première ligne ci-dessus indique que le nombre premier divise. Le quotient est 6, on l écrit sous. La deuxième ligne indique que divise 6. On continue jusqu à ce que le quotient soit. Il est pratique de disposer les calculs comme ci-dessus. L entier est inscrit dans la colonne de gauche; son diviseur premier est inscrit dans celle de droite. Le quotient 6 est inscrit sous. Et ainsi de suite. La décomposition de en produit de facteurs premiers est =. Propriété fondamentale. Quelle que soit la méthode qu on utilise pour décomposer un entier positif en produit de facteurs premiers, le résultat sera toujours le même; seul l ordre des facteurs peut être différent. Par exemple, on peut écrire 8 = et 8 = L ordre des facteurs est différent, mais on doit utiliser dans les deux cas quatre fois le nombre premier, et une fois le nombre premier. MATHÉMATIQUES 8E

64 THÉORIE. LES FRACTIONS. LES NOMBRES RATIONNELS Nous allons maintenant voir que la décomposition en produit de facteurs premiers peut être utilisée lorsqu on doit calculer un pgcd ou un ppcm.. CALCUL DU PGCD Le plus grand diviseur commun (pgcd) de deux entiers est le plus grand entier positif qui les divise l un et l autre. Par exemple, le pgcd de et 8 est 6. Voici deux méthodes pour calculer un pgcd. a) Si les entiers sont petits, on peut utiliser les ensembles de diviseurs, comme on l a fait en e. b) On peut aussi utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers. Par exemple, cherchons le pgcd de 0 et 60. Leurs décompositions en produit de facteurs premiers sont 0 = = et 60 = =. Dans le pgcd de 0 et 60 on doit retrouver les facteurs premiers, et, mais pas. le facteur doit apparaître une fois, car il n y a qu un facteur dans la décomposition de 60, et trois facteurs dans celle de 0, le facteur doit apparaître une fois, car il n y a qu un facteur dans la décomposition de 0, et deux facteurs dans celle de 60, le facteur doit apparaître une fois, car il apparaît une fois dans la décomposition de 0 et une fois dans celle de 60, le facteur ne doit pas apparaître, car il n apparaît pas dans la décomposition de 0. Donc, le pgcd de 0 et 60 est On vérifie que = 0. 0 = 0 et 60 = 0. MATHÉMATIQUES 8E

65 . LES FRACTIONS. LES NOMBRES RATIONNELS THÉORIE. CALCUL DU PPCM Le plus petit commun multiple (ppcm) de deux entiers positifs est le plus petit entier positif qui est divisible par l un et par l autre. Par exemple, est le ppcm de et 6. Plus généralement, le ppcm de plusieurs entiers positifs est le plus petit entier positif qu ils divisent tous. Par exemple, 8 est le ppcm de, et 9. Voici deux méthodes pour calculer un ppcm. a) On peut utiliser les ensembles de multiples, comme on l a fait en e. b) On peut aussi utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers. Par exemple, cherchons le ppcm de 0 et 60. Leurs décompositions en produit de facteurs premiers sont (on l a vu pour calculer leur pgcd): 0 = = et 60 = =. Dans le ppcm de 0 et 60, on doit retrouver les facteurs premiers,, et. le facteur doit apparaître trois fois, car il y a trois facteurs dans la décomposition de 0, et un seul dans celle de 60, le facteur doit apparaître deux fois, car il y a deux facteurs dans la décomposition de 60, et un seul dans celle de 0, le facteur doit apparaître une fois, car il y a un facteur dans la décomposition de 60, et un dans celle de 0, le facteur doit apparaître une fois, car il y a un facteur dans la décomposition de 60, et aucun dans celle de 0. Donc le ppcm de 0 et 60 est On vérifie que = 0. 0 = 0 et 0 = MATHÉMATIQUES 8E