Introduction au filtrage de Kalman

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1 Introduction au filtrage de Kalman Théorie du filtre de Kalman discret & applications Florent Lafarge 2009

2 Plan Filtrage optimal : position du problème Définition générale Définition mathématique Exemples

3 Plan Filtrage optimal : position du problème Définition générale Définition mathématique Exemples Filtre de Kalman discret Formulation du filtre de Kalman discret Théorème de Kalman-Bucy

4 Plan Filtrage optimal : position du problème Définition générale Définition mathématique Exemples Filtre de Kalman discret Formulation du filtre de Kalman discret Théorème de Kalman-Bucy Extensions du filtre de Kalman Filtre de Kalman linéarisé Filtre de Kalman étendu

5 Définition générale du filtrage Filtrage Opération qui consiste à estimer l état d un système dynamique à partir d observations partielles et bruitées.

6 Systèmes dynamiques

7 Systèmes dynamiques Modèles mathématiques d évolution utilisés dans de nombreux domaines des sciences et techniques : physique, biologie, écologie, météorologie, économie, ingénierie...

8 Systèmes dynamiques Modèles mathématiques d évolution utilisés dans de nombreux domaines des sciences et techniques : physique, biologie, écologie, météorologie, économie, ingénierie... Systèmes qui évoluent dans le temps de facon à la fois :

9 Systèmes dynamiques Modèles mathématiques d évolution utilisés dans de nombreux domaines des sciences et techniques : physique, biologie, écologie, météorologie, économie, ingénierie... Systèmes qui évoluent dans le temps de facon à la fois : causale leur avenir ne dépend que de phénomènes passés ou présents

10 Systèmes dynamiques Modèles mathématiques d évolution utilisés dans de nombreux domaines des sciences et techniques : physique, biologie, écologie, météorologie, économie, ingénierie... Systèmes qui évoluent dans le temps de facon à la fois : causale leur avenir ne dépend que de phénomènes passés ou présents déterministe à une condition initiale donnée à l instant présent correspond, à chaque instant ultérieur, un et un seul état futur

11 Systèmes dynamiques : évolution dans le temps

12 Systèmes dynamiques : évolution dans le temps Evolution continue dans le temps équations différentielles ordinaires

13 Systèmes dynamiques : évolution dans le temps Evolution continue dans le temps équations différentielles ordinaires Evolution discontinue dans le temps équations récurrentes

14 Systèmes dynamiques stochastiques

15 Systèmes dynamiques stochastiques Prise en compte de perturbations aléatoires dans les équations du système

16 Systèmes dynamiques stochastiques Prise en compte de perturbations aléatoires dans les équations du système Evolution de phénomènes aléatoires décrits par des processus aléatoires continus et/ou discrets

17 Définition mathématique : cas continu Notations Temps : t R Vecteur d état : X(t) R p Vecteur des mesures : Z(t) R m

18 Définition mathématique : cas continu Notations Temps : t R Vecteur d état : X(t) R p Vecteur des mesures : Z(t) R m o {X(t)}, {Z(t)} processus aléatoires continus.

19 Définition mathématique : cas continu Notations Temps : t R Vecteur d état : X(t) R p Vecteur des mesures : Z(t) R m o {X(t)}, {Z(t)} processus aléatoires continus. Remarque L état X(t) du système dynamique n est pas observé.

20 Définition mathématique : cas continu Mesures bruitées disponibles à l instant t : {Z(τ), τ [0, t]}

21 Définition mathématique : cas continu Mesures bruitées disponibles à l instant t : {Z(τ), τ [0, t]} Lien signal/mesures à l instant t : Z(t) = h(x(t)) + V (t)

22 Définition mathématique : cas continu Mesures bruitées disponibles à l instant t : {Z(τ), τ [0, t]} Lien signal/mesures à l instant t : Z(t) = h(x(t)) + V (t) o

23 Définition mathématique : cas continu Mesures bruitées disponibles à l instant t : {Z(τ), τ [0, t]} Lien signal/mesures à l instant t : Z(t) = h(x(t)) + V (t) o Z(t) observations

24 Définition mathématique : cas continu Mesures bruitées disponibles à l instant t : {Z(τ), τ [0, t]} Lien signal/mesures à l instant t : Z(t) = h(x(t)) + V (t) o Z(t) observations h(x(t)) signal fonction de l état

25 Définition mathématique : cas continu Mesures bruitées disponibles à l instant t : {Z(τ), τ [0, t]} Lien signal/mesures à l instant t : Z(t) = h(x(t)) + V (t) o Z(t) observations h(x(t)) signal fonction de l état V (t) bruit additif supposé connu

26 Définition mathématique : cas continu Filtrage Détermination d un estimateur optimal ˆX(t) du vecteur d état X(t) à partir de toutes les mesures disponibles {Z(τ), τ [0, t]}

27 Formulation mathématique : cas discret Processus aléatoires discrets Temps : k Z Vecteur d état : X k R p Vecteur des mesures : Z k R m

28 Formulation mathématique : cas discret Processus aléatoires discrets Temps : k Z Vecteur d état : X k R p Vecteur des mesures : Z k R m o {X k }, {Z k } processus aléatoires discrets.

29 Formulation mathématique : cas discret Processus aléatoires discrets Temps : k Z Vecteur d état : X k R p Vecteur des mesures : Z k R m o {X k }, {Z k } processus aléatoires discrets. Remarque L état X k du système dynamique n est pas observé.

30 Définition mathématique : cas discret Mesures bruitées disponibles à l instant k : Z 0:k = {Z l, l = 0, 1, 2,...,k}

31 Définition mathématique : cas discret Mesures bruitées disponibles à l instant k : Z 0:k = {Z l, l = 0, 1, 2,...,k} Lien signal/mesures à l instant k : Z k = h(x k ) + V k

32 Définition mathématique : cas discret Mesures bruitées disponibles à l instant k : Z 0:k = {Z l, l = 0, 1, 2,...,k} Lien signal/mesures à l instant k : Z k = h(x k ) + V k o

33 Définition mathématique : cas discret Mesures bruitées disponibles à l instant k : Z 0:k = {Z l, l = 0, 1, 2,...,k} Lien signal/mesures à l instant k : Z k = h(x k ) + V k o Z k observations

34 Définition mathématique : cas discret Mesures bruitées disponibles à l instant k : Z 0:k = {Z l, l = 0, 1, 2,...,k} Lien signal/mesures à l instant k : Z k = h(x k ) + V k o Z k observations h(x k ) signal fonction de l état

35 Définition mathématique : cas discret Mesures bruitées disponibles à l instant k : Z 0:k = {Z l, l = 0, 1, 2,...,k} Lien signal/mesures à l instant k : Z k = h(x k ) + V k o Z k observations h(x k ) signal fonction de l état V k bruit additif supposé connu

36 Définition mathématique : cas discret Filtrage Détermination d un estimateur optimal ˆXk du vecteur d état X k à partir de toutes les mesures disponibles Z 0:k = {Z l, l = 0, 1, 2,...,k}

37 Exemple en temps continu : mouvement 1D

38 Exemple en temps continu : mouvement 1D Mobile en mouvement le long d un axe (0x) avec une accélération constante γ

39 Exemple en temps continu : mouvement 1D Mobile en mouvement le long d un axe (0x) avec une accélération constante γ Filtrage : estimer la vitesse v(t) et la position x(t) du mobile à l instant t à partir de mesures de position

40 Exemple en temps continu : mouvement 1D Conditions initiales Vitesse : v(t 0 ) = v 0 Position : x(t 0 ) = x 0

41 Exemple en temps continu : mouvement 1D Modélisation physique Vitesse : v(t) = v 0 + γ (t t 0 ) Position : x(t) = x 0 + v 0 (t t 0 ) γ (t t 0) 2

42 Exemple en temps continu : mouvement 1D Vecteur d état X(t) = [ v(t) x(t) ]

43 Exemple en temps continu : mouvement 1D Equation dynamique d évolution de l état dx dt = dv dt dx dt = [ γ v(t) ] = [ ] [ v x ] + [ γ 0 ]

44 Exemple en temps continu : mouvement 1D Equation dynamique d évolution de l état dx dt = dv dt dx dt = [ γ v(t) ] = [ ] [ v x ] + [ γ 0 ] système d équations différentielles.

45 Exemple en temps continu : mouvement 1D Système dynamique continu dx dt = F(t)X(t) + f(t) o X(t) R 2, F(t) R 2 2 et f(t) R 2.

46 Exemple en temps continu : mouvement 1D Système dynamique continu dx dt = F(t)X(t) + f(t) o X(t) R 2, F(t) R 2 2 et f(t) R 2. équation d évolution de l état ou équation d état

47 Exemple en temps continu : mouvement 1D Mesure Z(t) = x(t) + V (t) = [ 0 1 ] [ v x o V (t) représente le bruit de mesure ] + V (t)

48 Exemple en temps continu : mouvement 1D Equation d observation Z(t) = H(t)X(t) + V (t) o Z(t) R, X(t) R 2, H(t) R 1 2 et V (t) R.

49 Exemple en temps discret : mouvement 1D Discrétisation t [t k, t k+1 ], γ(t) = cste = γ k, k N

50 Exemple en temps discret : mouvement 1D Conditions initiales Vitesse : v(t k ) = v k, k N Position : x(t k ) = x k

51 Exemple en temps discret : mouvement 1D Modélisation physique Vitesse : v(t) = v k + γ (t t k ) Position : x(t) = x k + v k (t t k ) γ (t t k) 2, t [t k, t k+1 ], k N

52 Exemple en temps discret : mouvement 1D Vecteur d état X k = X(t k ) = [ v(tk ) x(t k ) ] = [ vk x k ]

53 Exemple en temps discret : mouvement 1D Equation dynamique d évolution de l état X k+1 = [ v(tk+1 ) x(t k+1 ) ] = [ 1 0 t 1 ] [ vk x k ] + t ( t) 2 2 γ k o t = t k+1 t k

54 Exemple en temps discret : mouvement 1D Equation dynamique d évolution de l état X k+1 = [ v(tk+1 ) x(t k+1 ) ] = [ 1 0 t 1 ] [ vk x k ] + t ( t) 2 2 γ k o t = t k+1 t k système d équations récurrentes.

55 Exemple en temps discret : mouvement 1D Système dynamique discret X k+1 = F k X k + f k o X k R 2, F k R 2 2 et f k R 2.

56 Exemple en temps discret : mouvement 1D Système dynamique discret X k+1 = F k X k + f k o X k R 2, F k R 2 2 et f k R 2. équation d évolution de l état ou équation d état

57 Exemple en temps discret : mouvement 1D Supposons que l accélération γ k subisse des perturbations aléatoires ; alors l équation d évolution de l état X k peut être complétée par Système dynamique discret X k+1 = F k X k + f k + W k o W k R 2 représente un bruit qui affecte le modèle accélération constante

58 Exemple en temps discret : mouvement 1D Supposons que l accélération γ k subisse des perturbations aléatoires ; alors l équation d évolution de l état X k peut être complétée par Système dynamique discret X k+1 = F k X k + f k + W k o W k R 2 représente un bruit qui affecte le modèle accélération constante bruit de modèle

59 Exemple en temps discret : mouvement 1D Mesure Z k = x k + V k = [ 0 1 ] [ v k x k o V k représente le bruit de mesure ] + V k

60 Exemple en temps discret : mouvement 1D Equation d observation Z k = H k X k + V k o Z k R, X k R 2, H k R 1 2 et V k R

61 Exemple en temps discret : mouvement 1D Le problème du filtrage se ramène à la résolution d un système linéaire stochastique récursif de la forme { Xk+1 = F k X k + f k + W k Z k = H k X k + V k o Z k R, X k R 2, F k R 2 2 H k R 1 2, W k R 2 et V k R Pour le résoudre, il faut préciser la nature des bruits de modèle {W k } et de mesure {V k }

62 Formulation du filtre de Kalman discret Soit le système linéaire gaussien suivant { Xk+1 = F k X k + f k + W k Z k = H k X k + h k + V k o, pour tout k N, X k, f k, W k R p, Z k, h k, V k R m, F k R p p, H k R m p, et,

63 Formulation du filtre de Kalman discret Soit le système linéaire gaussien suivant { Xk+1 = F k X k + f k + W k Z k = H k X k + h k + V k o, pour tout k N, X k, f k, W k R p, Z k, h k, V k R m, F k R p p, H k R m p, et, le bruit {W k } est un bruit blanc gaussien de matrice de covariance Q W k

64 Formulation du filtre de Kalman discret Soit le système linéaire gaussien suivant { Xk+1 = F k X k + f k + W k Z k = H k X k + h k + V k o, pour tout k N, X k, f k, W k R p, Z k, h k, V k R m, F k R p p, H k R m p, et, le bruit {W k } est un bruit blanc gaussien de matrice de covariance Q W k La condition initiale X 0 est gaussienne, de moyenne X 0, de matrice de covariance Q X 0

65 Formulation du filtre de Kalman discret Soit le système linéaire gaussien suivant { Xk+1 = F k X k + f k + W k Z k = H k X k + h k + V k o, pour tout k N, X k, f k, W k R p, Z k, h k, V k R m, F k R p p, H k R m p, et, le bruit {W k } est un bruit blanc gaussien de matrice de covariance Q W k La condition initiale X 0 est gaussienne, de moyenne X 0, de matrice de covariance Q X 0 le bruit {V k } est un bruit blanc gaussien de matrice de covariance Q V k

66 Formulation du filtre de Kalman discret Soit le système linéaire gaussien suivant { Xk+1 = F k X k + f k + W k Z k = H k X k + h k + V k o, pour tout k N, X k, f k, W k R p, Z k, h k, V k R m, F k R p p, H k R m p, et, le bruit {W k } est un bruit blanc gaussien de matrice de covariance Q W k La condition initiale X 0 est gaussienne, de moyenne X 0, de matrice de covariance Q X 0 le bruit {V k } est un bruit blanc gaussien de matrice de covariance Q V k Les bruits {W k }, {V k } et la condition initiale X 0 sont mutuellement indépendants

67 Formulation du filtre de Kalman discret A l instant k, les observations suivantes sont disponibles Z 0:k = (Z0, Z 1,...,Z k )

68 Formulation du filtre de Kalman discret A l instant k, les observations suivantes sont disponibles Z 0:k = (Z0, Z 1,...,Z k ) Filtrage Estimation du vecteur aléatoire X k à partir des observations Z 0:k de facon optimale, récursive

69 Formulation du filtre de Kalman discret

70 Formulation du filtre de Kalman discret Critère d optimalité : minimum de variance loi conditionnelle de X k sachant Z 0:k (prop. P3)

71 Formulation du filtre de Kalman discret d o Critère d optimalité : minimum de variance loi conditionnelle de X k sachant Z 0:k (prop. P3) Cas gaussien Seules la moyenne b X k et la matrice de covariance P k sont nécessaires à la définition de cette loi (prop. P7)

72 Formulation du filtre de Kalman discret d o Critère d optimalité : minimum de variance loi conditionnelle de X k sachant Z 0:k (prop. P3) Cas gaussien Seules la moyenne b X k et la matrice de covariance P k sont nécessaires à la définition de cette loi (prop. P7) Espérance et matrice de covariance conditionnelles X k = E[Xk Z 0:k ] P k = E [ ( X k X k ) ( X k X k ) T Z0:k ]

73 Formulation du filtre de Kalman discret Espérance et matrice de covariance conditionnelles antérieures X k P k = E[X k Z 0:k 1 ] [ ( = E X k X ) ( k X k X ) ] T k Z0:k 1

74 Formulation du filtre de Kalman discret Les matrices de covariances conditionnelles P k et P k ne dépendent pas des observations (prop. P11) Conséquence P k = E [ ( X k X ) ( k X k X ) ] T k [ ( P k = E X k X k )(X k X ) ] T k

75 Processus d innovation Supposons connue la loi conditionnelle du vecteur aléatoire X k 1 sachant Z 0:k 1.

76 Processus d innovation Supposons connue la loi conditionnelle du vecteur aléatoire X k 1 sachant Z 0:k 1. Comment déterminer la loi conditionnelle de X k sachant Z 0:k?

77 Processus d innovation Supposons connue la loi conditionnelle du vecteur aléatoire X k 1 sachant Z 0:k 1. Comment déterminer la loi conditionnelle de X k sachant Z 0:k? Deux étapes sont nécessaires :

78 Processus d innovation Supposons connue la loi conditionnelle du vecteur aléatoire X k 1 sachant Z 0:k 1. Comment déterminer la loi conditionnelle de X k sachant Z 0:k? Deux étapes sont nécessaires : 1. La prédiction

79 Processus d innovation Supposons connue la loi conditionnelle du vecteur aléatoire X k 1 sachant Z 0:k 1. Comment déterminer la loi conditionnelle de X k sachant Z 0:k? Deux étapes sont nécessaires : 1. La prédiction la loi conditionnelle de X k est calculée sachant les observations passées Z 0:k 1

80 Processus d innovation Supposons connue la loi conditionnelle du vecteur aléatoire X k 1 sachant Z 0:k 1. Comment déterminer la loi conditionnelle de X k sachant Z 0:k? Deux étapes sont nécessaires : 1. La prédiction la loi conditionnelle de X k est calculée sachant les observations passées Z 0:k 1 2. La correction

81 Processus d innovation Supposons connue la loi conditionnelle du vecteur aléatoire X k 1 sachant Z 0:k 1. Comment déterminer la loi conditionnelle de X k sachant Z 0:k? Deux étapes sont nécessaires : 1. La prédiction la loi conditionnelle de X k est calculée sachant les observations passées Z 0:k 1 2. La correction l observation Z k est utilisée pour apporter une information nouvelle par rapport aux observations passées Z 0:k 1

82 Processus d innovation La quantité I k = Z k E[Z k Z 0:k 1 ] = Z k ( ) H k X k + h k est appelée innovation Lemme Le processus {I k } est un processus gaussien à valeurs dans R m ; en particulier I k est un vecteur aléatoire gaussien indépendant de Z 0:k 1

83 Processus d innovation La quantité I k = Z k E[Z k Z 0:k 1 ] = Z k ( ) H k X k + h k est appelée innovation Lemme Le processus {I k } est un processus gaussien à valeurs dans R m ; en particulier I k est un vecteur aléatoire gaussien de moyenne nulle indépendant de Z 0:k 1

84 Processus d innovation La quantité I k = Z k E[Z k Z 0:k 1 ] = Z k ( ) H k X k + h k est appelée innovation Lemme Le processus {I k } est un processus gaussien à valeurs dans R m ; en particulier I k est un vecteur aléatoire gaussien de moyenne nulle de matrice de covariance Q I k = H k P k HT k + QV k indépendant de Z 0:k 1

85 Filtre de Kalman-Bucy Théorème Si la matrice de covariance Q V k est inversible pour tout k N alors les processus { b X} et {P k } sont définis par les équations suivantes

86 Filtre de Kalman-Bucy Théorème Si la matrice de covariance Q V k est inversible pour tout k N alors les processus { b X} et {P k } sont définis par les équations suivantes Prédiction bx k = F k b Xk 1 + f k P k = F k P k 1 F T k + Q W k

87 Filtre de Kalman-Bucy Théorème Si la matrice de covariance Q V k est inversible pour tout k N alors les processus { b X} et {P k } sont définis par les équations suivantes Prédiction bx k = F k b Xk 1 + f k Correction P k = F k P k 1 F T k + Q W k bx k = X b k + K k [Z k (H k X b k P k = [I K k H k ] P k + h k)] o la matrice K k = P k HT k [H k P k HT k + Q V k ] 1 est le gain de Kalman,

88 Filtre de Kalman-Bucy Théorème Si la matrice de covariance Q V k est inversible pour tout k N alors les processus { b X} et {P k } sont définis par les équations suivantes Prédiction bx k = F k b Xk 1 + f k Correction P k = F k P k 1 F T k + Q W k bx k = X b k + K k [Z k (H k X b k P k = [I K k H k ] P k + h k)] o la matrice K k = P k HT k [H k P k HT k + Q V k ] 1 est le gain de Kalman, et avec les initialisations bx 0 = X 0 = E [X 0], P 0 = Q X 0

89 Filtre de Kalman-Bucy : remarques

90 Filtre de Kalman-Bucy : remarques La suite {P k } ne dépend pas ni des observations {Z k }, ni des coefficients {f k } et {h k }

91 Filtre de Kalman-Bucy : remarques La suite {P k } ne dépend pas ni des observations {Z k }, ni des coefficients {f k } et {h k } Si pour tout k N, F k = F, G k = G, H k = H, Q W k = QW, et Q V k = QV alors la suite {P k } peut être pré-calculée

92 Filtre de Kalman linéarisé Soit le système non linéaire suivant { Xk = f k (X k 1 ) + g k (X k 1 )W k Z k = h k (X k ) + V k o, pour tout k N, X k R p, W k R d, Z k, V k R m, et o les fonctions f k, g k, h k définies sur R p sont à valeurs dans R p, R p d, R m respectivement ; de plus

93 Filtre de Kalman linéarisé Soit le système non linéaire suivant { Xk = f k (X k 1 ) + g k (X k 1 )W k Z k = h k (X k ) + V k o, pour tout k N, X k R p, W k R d, Z k, V k R m, et o les fonctions f k, g k, h k définies sur R p sont à valeurs dans R p, R p d, R m respectivement ; de plus les fonctions f k et g k sont supposées dérivables

94 Filtre de Kalman linéarisé Soit le système non linéaire suivant { Xk = f k (X k 1 ) + g k (X k 1 )W k Z k = h k (X k ) + V k o, pour tout k N, X k R p, W k R d, Z k, V k R m, et o les fonctions f k, g k, h k définies sur R p sont à valeurs dans R p, R p d, R m respectivement ; de plus les fonctions f k et g k sont supposées dérivables le bruit {W k } est un bruit blanc gaussien de matrice de covariance Q W k

95 Filtre de Kalman linéarisé Soit le système non linéaire suivant { Xk = f k (X k 1 ) + g k (X k 1 )W k Z k = h k (X k ) + V k o, pour tout k N, X k R p, W k R d, Z k, V k R m, et o les fonctions f k, g k, h k définies sur R p sont à valeurs dans R p, R p d, R m respectivement ; de plus les fonctions f k et g k sont supposées dérivables le bruit {W k } est un bruit blanc gaussien de matrice de covariance Q W k le bruit {V k } est un bruit blanc gaussien de matrice de covariance Q V k

96 Filtre de Kalman linéarisé Soit le système non linéaire suivant { Xk = f k (X k 1 ) + g k (X k 1 )W k Z k = h k (X k ) + V k o, pour tout k N, X k R p, W k R d, Z k, V k R m, et o les fonctions f k, g k, h k définies sur R p sont à valeurs dans R p, R p d, R m respectivement ; de plus les fonctions f k et g k sont supposées dérivables le bruit {W k } est un bruit blanc gaussien de matrice de covariance Q W k le bruit {V k } est un bruit blanc gaussien de matrice de covariance Q V k Les bruits {W k }, {V k } et la condition initiale X 0 sont mutuellement indépendants

97 Filtre de Kalman linéarisé Soit une suite déterministe { x k } dans R p, solution approchée du système, appelée trajectoire nominale. La linéarisation consiste à linéariser f k et g k autour de x k 1 i.e f k (x) f k ( x k 1 ) + f k ( x k 1)(x x k 1 ) et g k (x) g k ( x k 1 ) linéariser h k autour de x k i.e h k (x) h k ( x k 1 ) + h k ( x k 1)(x x k 1 )

98 Filtre de Kalman linéarisé Le système linéarisé obtenu est de la forme { Xk = F k (X k 1 x k 1 ) + f k + G k W k Z k = H k (X k x k ) + h k + V k o F k = f k ( x k 1 ), f k = fk ( x k 1 ), G k = gk ( x k 1 ), H k = h k ( x k ) et h k = hk ( x k )

99 Filtre de Kalman linéarisé Théorème Prédiction Correction bx k = f k ( b X k 1 ) P k = F k P k 1 F T k + G k Q W k G T k bx k = b X k + K k [Z k h k ( b X k )] P k = [I K k H k ] P k o la matrice K k = P k HT k [H k P k HT k + Q V k ] 1 est le gain de Kalman,

100 Filtre de Kalman linéarisé Théorème Prédiction Correction bx k = f k ( b X k 1 ) P k = F k P k 1 F T k + G k Q W k G T k bx k = b X k + K k [Z k h k ( b X k )] P k = [I K k H k ] P k o la matrice K k = P k HT k [H k P k HT k + Q V k ] 1 est le gain de Kalman, et avec les initialisations telle que la loi gaussienne de moyenne X b 0 et de matrice de covariance P 0 soit une bonne approximation de celle de X0

101 Filtre de Kalman étendu ( Extended Kalman filter ) La trajectoire nominale est ici remplacée par l estimateur courant de X k compte-tenu des observations disponibles à l instant k 1. La linéarisation consiste à linéariser f k et g k autour de X k 1 i.e f k (x) f k ( X k 1 ) + f k ( X k 1 )(x X k 1 ) et g k (x) g k ( X k 1 ) linéariser h k autour de X k i.e h k (x) h k ( X k ) + h k ( X k )(x X k )

102 Filtre de Kalman étendu Le système linéarisé obtenu est de la forme { X k = F k (X k 1 X k 1 ) + f k + G k W k Z k = H k (X k X k 1 ) + h k + V k o F k = f k ( X k 1 ), f k = fk ( X k 1 ), G k = gk ( X k 1 ), H k = h k ( X k ) et h k = hk ( X k )

103 Filtre de Kalman étendu Théorème Prédiction Correction bx k = f k ( b X k 1 ) P k = F k P k 1 F T k + G k Q W k G T k bx k = b X k + K k [Z k h k ( b X k )] P k = [I K k H k ] P k o la matrice K k = P k HT k [H k P k HT k + Q V k ] 1 et avec F k = f k ( b X k 1 ), G k = gk ( b X k 1 ), et H k = h k ( b X k )

104 Présentation Cette présentation a été réalisée à l aide de la classe beamer complétée par le laboratoire de mathématiques appliqués de l université de technologie de Compiègne

105 Bibliographie J.-Y. Ouvrard Probabilités. (2 tomes) Cassini, 2004

106 Bibliographie J.-Y. Ouvrard Probabilités. (2 tomes) Cassini, 2004 G. Blanchet and M. Charbit Signaux et images sous MatLab. 2nd édition, Hermès, 2001

107 Bibliographie J.-Y. Ouvrard Probabilités. (2 tomes) Cassini, 2004 G. Blanchet and M. Charbit Signaux et images sous MatLab. 2nd édition, Hermès, 2001 M. Labarrère and J.-P. Krief and B. Gimonet Le filtrage et ses applications. 3e édition, Cépaduès éditions, 1995

108 Bibliographie J.-Y. Ouvrard Probabilités. (2 tomes) Cassini, 2004 G. Blanchet and M. Charbit Signaux et images sous MatLab. 2nd édition, Hermès, 2001 M. Labarrère and J.-P. Krief and B. Gimonet Le filtrage et ses applications. 3e édition, Cépaduès éditions, 1995

109 Bibliographie (suite) A. Papoulis and S. Unnikrishna Pillai Probability, Random Variables and Stochastic Processes. 4th edition, Mac Graw Hill, 2002

110 Bibliographie (suite) A. Papoulis and S. Unnikrishna Pillai Probability, Random Variables and Stochastic Processes. 4th edition, Mac Graw Hill, 2002 P. S. Maybeck Stochastic Models, Estimation and Control. Volume 141-1, Mathematics in Science and Engineering, reprint

111 Bibliographie (suite) A. Papoulis and S. Unnikrishna Pillai Probability, Random Variables and Stochastic Processes. 4th edition, Mac Graw Hill, 2002 P. S. Maybeck Stochastic Models, Estimation and Control. Volume 141-1, Mathematics in Science and Engineering, reprint

112 Articles et sites sur le filtre de Kalman F. LeGland Introduction au Filtrage en Temps Discret. Polycopié de cours ; Master recherche Signal, Télecommunication, Images Université de Rennes I ;

113 Articles et sites sur le filtre de Kalman F. LeGland Introduction au Filtrage en Temps Discret. Polycopié de cours ; Master recherche Signal, Télecommunication, Images Université de Rennes I ;

114 Articles et sites sur le filtre de Kalman D. Alazard Introduction au Filtrage de Kalman. Polycopié de cours ; Ecole Nationale Supérieure de l Aéronautique et de l Espace ;

115 Articles et sites sur le filtre de Kalman D. Alazard Introduction au Filtrage de Kalman. Polycopié de cours ; Ecole Nationale Supérieure de l Aéronautique et de l Espace ;

116 Articles et sites sur le filtre de Kalman G Welch and G. Bishop The Kalman Filter. welch/kalman

117 Articles et sites sur le filtre de Kalman G Welch and G. Bishop The Kalman Filter. welch/kalman