Statistique descriptive et inférentielle. L1 Sociologie Quantitative.

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1 Statistique descriptive et inférentielle AMIRI Aboubacar L1 Sociologie Quantitative. 10 avril Université Lille 3

2 Plan du cours 1 Introduction

3 Plan du cours 1 Introduction 2 Calcul des probabilités Mesure de probabilité Dénombrement Cas d un univers continu Caractérisation des probabilités dans un univers discret Probabilité conditionnelle Indépendance de deux événements

4 Plan du cours 1 Introduction 2 Calcul des probabilités Mesure de probabilité Dénombrement Cas d un univers continu Caractérisation des probabilités dans un univers discret Probabilité conditionnelle Indépendance de deux événements 3 Variables aléatoires Distribution d une variable aléatoire Fonction de répartition et moments Variables aléatoires continues Lois de probabilité usuelles Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon

5 Introduction Introduction Pour résoudre un problème statistique, il faut respecter certaines étapes. Considérons par exemple les problèmes décrits dans les deux exemples suivants : 1 On cherche à déterminer la proportion de gens qui respectent la limitation de vitesse.

6 Introduction Introduction Pour résoudre un problème statistique, il faut respecter certaines étapes. Considérons par exemple les problèmes décrits dans les deux exemples suivants : 1 On cherche à déterminer la proportion de gens qui respectent la limitation de vitesse. 2 Étude de la proportion de gens votant pour un tel.

7 Introduction Collecte des données On commence d abord par s informer et recueillir des données fiables qui seront exploitées par la suite afin d en tirer des enseignements.

8 Introduction Collecte des données On commence d abord par s informer et recueillir des données fiables qui seront exploitées par la suite afin d en tirer des enseignements. Dans le cas de l exemple 1, on va par exemple installer un radar ou placer un observateur (caché pour la fiabilité des données).

9 Introduction Collecte des données On commence d abord par s informer et recueillir des données fiables qui seront exploitées par la suite afin d en tirer des enseignements. Dans le cas de l exemple 1, on va par exemple installer un radar ou placer un observateur (caché pour la fiabilité des données). Pour ce qui est de l exemple 2, on peut procéder à un sondage.

10 Introduction Collecte des données On commence d abord par s informer et recueillir des données fiables qui seront exploitées par la suite afin d en tirer des enseignements. Dans le cas de l exemple 1, on va par exemple installer un radar ou placer un observateur (caché pour la fiabilité des données). Pour ce qui est de l exemple 2, on peut procéder à un sondage. Au départ le travail du statisticien se limitait à la collecte des données.

11 Introduction Collecte des données On commence d abord par s informer et recueillir des données fiables qui seront exploitées par la suite afin d en tirer des enseignements. Dans le cas de l exemple 1, on va par exemple installer un radar ou placer un observateur (caché pour la fiabilité des données). Pour ce qui est de l exemple 2, on peut procéder à un sondage. Au départ le travail du statisticien se limitait à la collecte des données. On supposera toujours que l on dispose de données fiables.

12 Introduction Modélisation Il s agit de formuler le problème en langage mathématique. C est le travail du probabiliste. Reprenons l exemple 1, on pose : Ω = { respecte, ne respecte pas }. Soit p la proportion de gens qui respectent la limitation de vitesse. Alors, un conducteur X respecte la limitation de vitesse avec une probabilité p et ne respecte pas la limitation de vitesse avec la probabilité 1 p. X suit une loi de probabilité de Bernoulli de paramètre p.

13 Introduction Le problème se modélise ainsi : X = 1 X respecte, X = 0 X ne respecte pas.

14 Introduction Le problème se modélise ainsi : X = 1 X respecte, X = 0 X ne respecte pas. En pratique le paramètre p n est pas connu on cherche alors à l estimer modèle paramétrique.

15 Introduction Le problème se modélise ainsi : X = 1 X respecte, X = 0 X ne respecte pas. En pratique le paramètre p n est pas connu on cherche alors à l estimer modèle paramétrique. On peut ignorer totalement la loi qui gouverne le processus générateur des données, il faut estimer cette loi (par exemple sa fonction de densité ) modèle non-paramétrique.

16 Introduction Le problème se modélise ainsi : X = 1 X respecte, X = 0 X ne respecte pas. En pratique le paramètre p n est pas connu on cherche alors à l estimer modèle paramétrique. On peut ignorer totalement la loi qui gouverne le processus générateur des données, il faut estimer cette loi (par exemple sa fonction de densité ) modèle non-paramétrique. Je ne traiterai pas le cas non-paramétrique.

17 Introduction Proposer une méthode d estimation Une fois la modélisation faite, la question est donc d approcher l objet à estimer. Il est souvent noté θ. On peut distinguer trois cas possibles :

18 Introduction Proposer une méthode d estimation Une fois la modélisation faite, la question est donc d approcher l objet à estimer. Il est souvent noté θ. On peut distinguer trois cas possibles : cas 1 : Fournir une valeur approximative de θ. On parle alors d estimation ponctuelle.

19 Introduction Proposer une méthode d estimation Une fois la modélisation faite, la question est donc d approcher l objet à estimer. Il est souvent noté θ. On peut distinguer trois cas possibles : cas 1 : Fournir une valeur approximative de θ. On parle alors d estimation ponctuelle. cas 2 : Donner un intervalle I(α), (0 < α < 1) contenant θ avec une probabilité α. Il s agit alors d une estimation par intervalle de confiance.

20 Introduction Proposer une méthode d estimation Une fois la modélisation faite, la question est donc d approcher l objet à estimer. Il est souvent noté θ. On peut distinguer trois cas possibles : cas 1 : Fournir une valeur approximative de θ. On parle alors d estimation ponctuelle. cas 2 : Donner un intervalle I(α), (0 < α < 1) contenant θ avec une probabilité α. Il s agit alors d une estimation par intervalle de confiance. cas 3 : Se fixer une borne θ 0, et tester par exemple l hypothèse selon laquelle θ > θ 0 avec une probabilité α [0, 1]. C est un problème de test d hypothèse.

21 Introduction Pour nos exemples, si l on dispose de n données (X 1,..., X n ) indépendantes (exemple interroger des gens qui ne sont pas de la même catégorie socioprofessionnelle), alors l estimateur naturel de θ est la moyenne empirique, car si n est assez grand on sait que c est un bon estimateur. En effet on verra que :

22 Introduction Pour nos exemples, si l on dispose de n données (X 1,..., X n ) indépendantes (exemple interroger des gens qui ne sont pas de la même catégorie socioprofessionnelle), alors l estimateur naturel de θ est la moyenne empirique, car si n est assez grand on sait que c est un bon estimateur. En effet on verra que : 1 La loi forte des grands nombres (LFGN) donne : X EX 1 = (EB(p)) = p presque sûrement, lorsque n. Donc si n est grand X p.

23 Introduction Pour nos exemples, si l on dispose de n données (X 1,..., X n ) indépendantes (exemple interroger des gens qui ne sont pas de la même catégorie socioprofessionnelle), alors l estimateur naturel de θ est la moyenne empirique, car si n est assez grand on sait que c est un bon estimateur. En effet on verra que : 1 La loi forte des grands nombres (LFGN) donne : X EX 1 = (EB(p)) = p presque sûrement, lorsque n. Donc si n est grand X p. 2 D après le théorème central limite (TCL) : n ( X p ) V arx 1 N (0, 1) en loi lorsque n. Ainsi en ayant une idée de la loi normale pour n grand, on peut construire des intervalles de confiance.

24 Introduction Si l on considère le problème posé à l exemple 2, on peut par exemple dire au candidat à l élection que son score est estimé à 48%, ou bien lui donner un intervalle de confiance : p [47%, 51%] à 95%.

25 Introduction Si l on considère le problème posé à l exemple 2, on peut par exemple dire au candidat à l élection que son score est estimé à 48%, ou bien lui donner un intervalle de confiance : p [47%, 51%] à 95%. On peut aussi faire un test : H 0 : p 50% contre H 1 : p < 50%.

26 Introduction Si l on considère le problème posé à l exemple 2, on peut par exemple dire au candidat à l élection que son score est estimé à 48%, ou bien lui donner un intervalle de confiance : p [47%, 51%] à 95%. On peut aussi faire un test : H 0 : p 50% contre H 1 : p < 50%. Le problème statistique est résolu.

27 Introduction Évaluer le coût Erreur commise En temps de calcul En espace de stockage Coût financier... Publier son travail, accepter les critiques et répondre calmement aux questions soulevées.

28 Calcul des probabilités Définitions et vocabulaire Expérience (aléatoire) : phénomène aléatoire étudié. Univers : ensemble des éventualités (résultats possibles de l expérience ou états de la nature). On le note Ω. Quoiqu il arrive à l issue de l expérience, le résultat de l expérience doit pouvoir être associé à une seule éventualité. Evénement : un ensemble d éventualités. Celui-ci peut être vide ou contenir une ou plusieurs éventualités.

29 Calcul des probabilités Quelques événements particuliers L événement impossible est noté. L événement certain correspond à Ω. On appelle évènement élémentaire, un événement contenant exactement une seule éventualité. On note {ω} ou ω lorsqu il n y a pas d ambiguité.

30 Calcul des probabilités Correspondance entre les événements et les ensembles. Soient A et B deux événements d un même univers Ω. A B est réalisé si A et B sont réalisés. A B est réalisé si A ou B est réalisé (ou les deux). Ā = Ω\A (le complémentaire de A) est l événement contraire de A. Si A B = alors A et B ne peuvent pas se réaliser simultanément, on dit qu ils sont deux événements incompatibles. Si la réalisation de l événement A implique celle de l événement B, on écrit A B. Dans ce cas ω A ω B.

31 Calcul des probabilités Exemple. Jet de 2 dés (un rouge et un bleu) à 6 faces : Ω = {(i, j) avec i, j = 1,..., 6} = {1,..., 6} 2. Soient les événements A= La somme des nombres affichés par les dés est 11, B= La somme des nombres affichés par les dés est divisible par 3 et C= La somme des nombres affichés par les dés est divisible par 4. On a A = {(5, 6), (6, 5)}, { } (1, 2), (2, 1), (1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), B = (3, 3), (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (6, 6) et C = { (1, 3), (3, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4), (6, 6) }.

32 Calcul des probabilités Ā= La somme des nombres affichés par les dés est différente de 11. B C =? B C =?

33 Calcul des probabilités Mesure de probabilité Mesure de probabilité Pour modéliser un phénomène aléatoire, la définition des événements ne suffit pas. Il faut aussi évaluer le poids que le hasard affecte à chaque événement. C est à dire comparer les chances qu ont tel ou tel événement de se produire.

34 Calcul des probabilités Mesure de probabilité Définition Soit Ω un ensemble quelconque de résultats possibles (supposé dénombrable ou fini). On note P(Ω) l ensemble des parties de Ω a. Une probabilité ou mesure de probabilité sur Ω est une application telle que P(Ω) = 1 et P : P(Ω) [0, 1], P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n ). Le couple (Ω, P) s appelle espace probabilisé. a. l ensemble de tous les événements de l expérience

35 Calcul des probabilités Mesure de probabilité Exemple : probabilité classique Soit Ω un ensemble fini de cardinal N et soit P(Ω) l ensemble de toutes les parties de Ω. L application P : P(Ω) [0, 1] A P(A) = Card(A) := N nombre de cas favorables nombre de cas possibles définit une mesure de probabilité sur (Ω, P(Ω)) appelée probabilité classique ou probabilité uniforme. On dit alors que tous les éléments de Ω sont équiprobables. Attention au fait qu il n existe pas de probabilité uniforme sur un ensemble infini même dénombrable.

36 Calcul des probabilités Mesure de probabilité Exemple. Lancer d un dé à 6 faces se modélise par : Ω = {1,..., 6}. Si P est la mesure de probabilité uniforme sur Ω, alors pour tout ω Ω, on a : P({ω}) = 1/6. Alors, si A = nombre pair obtenu, on a P(A) = P({2, 4, 6}) = 3/6 = 1/2.

37 Calcul des probabilités Mesure de probabilité Problème principal : calculer Card(A) dans des situations complexes. Le plus souvent on est amené à calculer Card(A) sans être capable d écrire A! C est l objet du dénombrement.

38 Calcul des probabilités Dénombrement Dénombrement Propriétés Si des ensembles A 1, A 2,..., A p constituent une partition d un ensemble fini E, alors : Card(A 1 ) + Card(A 2 ) + + Card(A p ) = Card(E).

39 Calcul des probabilités Dénombrement Exemple. Les sous-ensembles constituent une partition de A 1 = {1, 3, 5}, A 2 = {2, 4, 6} Ω = {1,..., 6}, puisqu ils n ont aucun élément en commun et que leur réunion est Ω. Donc : Card(A 1 ) + Card(A 2 ) = Card(Ω) = 6.

40 Calcul des probabilités Dénombrement Propriétés Si la réalisation d un événement (construction d un ensemble) comporte p étapes offrant respectivement n 1, n 2,..., n p possibilités, alors le nombre total d issues possibles est : n 1 n 2 n p.

41 Calcul des probabilités Dénombrement Exemple. On veut construire un code composé de deux lettres distinctes suivies d un chiffre non nul. Combien peut-on former de codes distincts? Il y a trois étapes pour former un code : choix de la première lettre, de la deuxième, puis du chiffre. Ces étapes offrent respectivement 26, 25 et 9 possibilités. Le nombre cherché est donc = 5850 codes distincts.

42 Calcul des probabilités Dénombrement Produit Cartésien À partir de la propriété précédente on peut déduire le cardinal d un produit cartésien. Le produit Cartésien E 1 E 2 E p représente l ensemble des p uplets formés d éléments de E 1, E 2,..., E p. Propriétés Si E 1, E 2,..., E p sont p ensembles de cardinal fini, alors : Card(E 1 E 2 E p ) = Card(E 1 ) Card(E 2 )... Card(E p ).

43 Calcul des probabilités Dénombrement Les p-listes Définition Soit n un entier naturel non nul, E un ensemble de cardinal n et p N. Une p-liste (ou liste de longueur p) de E est un p-uplet d éléments de E. L ensemble des p-listes de E est donc le produit cartésien } E E {{ E }. p fois

44 Calcul des probabilités Dénombrement Propriété Soit E un ensemble de cardinal fini n. Le cardinal de l ensemble des p-listes de E est n p. L entier n p représente le nombre de possibilités de choisir successivement et avec remise p éléments parmi n.

45 Calcul des probabilités Dénombrement Exemples. 1 Soit Ω = {0, 1, 2,..., 99} A = {62, 27, 95, 91, 63}. Alors A est une 5 liste de Ω. Il existe listes possibles de Ω. 2 Soient Ω = {a, b, c,..., z.} A = {s, o, c, i, o, l, o, g, i, e}. Alors A est une 10 liste de Ω. Il existe listes possibles de Ω.

46 Calcul des probabilités Dénombrement Exercices 1 Combien y a-t-il de numéros de téléphone commençant par ? 2 Combien y a-t-il de codes possibles pour une carte bleue?

47 Calcul des probabilités Dénombrement Remarque (i) Un même élément de E peut être répété plusieurs fois dans une p-liste. S il y a un risque de confusion, on parle alors de p-liste avec répétition. (i) On suppose que la 0-liste existe, c est la liste qui ne comporte aucun élément.

48 Calcul des probabilités Dénombrement Arrangements et permutations Définition Soit E un ensemble de cardinal fini n et p un entier naturel tel que 0 p n. (i) Un p-arrangement (ou arrangement de p éléments) de E est une p liste d éléments distincts de E. Un arrangement est donc une liste dans laquelle il n y a pas de répétitions. (ii) Une permutation de E est un n-arrangement des n éléments de E.

49 Calcul des probabilités Dénombrement Théorème Soit E un ensemble de cardinal fini n et p un entier naturel tel que 0 p n. (i) Le nombre de p-arrangements de E est : A p n = n(n 1)(n 2)... (n p + 1) = N.B. 0! = 1! = 1. (ii) Le nombre de permutations de E est : A n n = n! = n(n 1) Avec la calculatrice : np r. Remarque : A 0 n = 1 et A n 1 n = n!. n! (n p)!.

50 Calcul des probabilités Dénombrement L entier A p n représente le nombre de possibilités de choisir successivement et sans remise p éléments parmi n. Exemple. Une course de chevaux comporte 20 partants. Combien peut-il y avoir de résultats possibles de tiercés dans l ordre? Soit E l ensemble des numéros des chevaux. On a Card(E) = 20. Un tiercé correspond à un arrangement de 3 éléments de E, il y en a : A 3 20 = 6840.

51 Calcul des probabilités Dénombrement Combinaisons Définition Soit E un ensemble de cardinal fini n et p un entier naturel tel que 0 p n. Une p combinaison (ou combinaison de p éléments) de E est une partie de E ayant p éléments. Exemple. Ω = {a; b; c} et p = 2. Les 2-combinaisons de Ω sont les parties : {a; b}, {a; c} et {b; c}.

52 Calcul des probabilités Dénombrement Théorème Soit E un ensemble de cardinal fini n et p un entier naturel tel que 0 p n. Le nombre de p combinaisons de E est : ( ) n p = Ap n p! = n! p!(n p)! N. ( ) n Par convention, si p est strictement supérieur à n, alors = 0. p ( ) n Le nombre entier représente le nombre de façons de choisir p p objets parmi n (l ordre n important pas). Avec la calculatrice : ncr.

53 Calcul des probabilités Dénombrement Triangle de Pascal Le calcul des ( ) n p peut s obtenir à partir du tableau suivant. Pour trouver un coefficient, on additionne les coefficients situés juste au dessus et juste au dessus à gauche entre eux.

54 Calcul des probabilités Cas d un univers continu Cas d un univers Ω continu Exemple. Choisir un nombre au hasard dans [0, 1] se modélise par : Ω = [0, 1]. Ici, il est impossible de séparer (et donc de compter) les points de Ω, on dit alors que Ω est un ensemble continu. Dans ce cas le cardinal d un sous-ensemble de Ω est remplacé par la longueur de ce sous-ensemble. Si P est la mesure de probabilité uniforme (continue) sur Ω, alors pour tous [a, b] Ω et ω Ω, on a : P(ω [a, b]) = b a et P(ω = a) = 0. P(ω [0.27, 0.32]) = 0.05 et P(ω = 0.59) = 0.

55 Calcul des probabilités Cas d un univers continu De manière générale, on peut généraliser la notion de probabilité uniforme à un ensemble continu. Définition Soit I = [a, b] un intervalle (ou éventuellement une réunion d intervalles) borné de R. La probabilité uniforme sur Ω = I est définie par P(ω [a 0, b 0 ]) = b 0 a 0 b a := 1 b0 dx, b a a 0 pour tous a 0, b 0 [a, b].

56 Calcul des probabilités Cas d un univers continu L intégrale b0 b0 dx := 1 [a,b] (x)dx a 0 a 0 correspond à l aire de la partie hachurée du graphique suivant. 1 a a0 b0 b

57 Calcul des probabilités Cas d un univers continu b a =longueur de [a, b] et b 0 a 0 =longueur de [a 0, b 0 ]. La longueur d une réunion d intervalles correspond à la somme des longueurs de ces intervalles. Pas de probabilité uniforme sur un ensemble non borné (longueur infinie) La notion de longueur peut se généraliser à la surface, au volume, etc,...

58 Calcul des probabilités Cas d un univers continu Exemple. On jette un projectile verticalement au hasard, uniformément sur le segment [0, 1]. Calculer la probabilité qu il tombe dans l intervalle [0, 1/3]. Quelle est la probabilité qu il tombe exactement au milieu du segment?

59 Calcul des probabilités Cas d un univers continu Propriétés (i) P( ) = 0. (ii) P(Ā) = 1 P(A). (iii) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). (iv) Si A B alors P(A) P(B).

60 Calcul des probabilités Cas d un univers continu Exemple. On lance un dé à 6 faces. L univers Ω = {1,..., 6} est muni de la probabilité uniforme P. A = nombre pair obtenu et B = multiple de 3 obtenu. P(A) = 1/2 et P(B) = P({3, 6}) = 1/3. P(Ā) = 1 1/2 = 1/2 et P(A B) = 1/2 + 1/3 P({6}) = 2/3.

61 Calcul des probabilités Cas d un univers continu Définition Un événement A d un espace probabilisé (Ω, P) est dit presque-impossible ou négligeable si P(A) = 0. Il est dit presque sûre si P(A) = 1, c est à dire si son complémentaire est presque-impossible. Attention : L événement impossible est aussi un événement presque-impossible. Par contre, il existe des événements presque-impossibles qui ne sont pas impossibles. A = P(A) = 0 mais P(A) = 0 A =.

62 Calcul des probabilités Caractérisation des probabilités dans un univers discret Caractérisation des probabilités dans un univers discret Lorsque Ω est dénombrable, ont dit que Ω est un univers discret. Dans ce cas, toute probabilité P sur Ω est entièrement définie par la donnée des probabilités des événements élémentaires : P : Ω [0, 1] ω P({ω}). Pour chaque événement A on a : P(A) = ω A P({ω}). En particulier : P(Ω) = ω Ω P({ω}) = 1.

63 Calcul des probabilités Caractérisation des probabilités dans un univers discret Exemples. 1 La probabilité de Bernoulli de paramètre p (0, 1) est une probabilité P définie par : P : {0, 1} {p, 1 p} ω P({ω}) = p ω (1 p) 1 ω = { p si ω = 1 1 p si ω = 0. 2 La probabilité de Poisson de paramètre λ > 0 est une probabilité P définie par : P : N [0, 1] n P({n}) = e λ λ n. n!

64 Calcul des probabilités Caractérisation des probabilités dans un univers discret Dans le cas d un univers continu, la somme P(A) = ω A P({ω}) est remplacée par l intégrale sur A P(A) = {x A} f(x)dx, où f est une fonction appelée densité de probabilité qui caractérise la mesure de probabilité.

65 Calcul des probabilités Caractérisation des probabilités dans un univers discret Si A = [a, b], alors l intégrale f(x)dx := {x A} b a f(x)dx correspond à la partie hachurée du graphique suivant. f(x) a b x

66 Calcul des probabilités Caractérisation des probabilités dans un univers discret Exemple. Soit f la fonction définie sur [0, 1] par f(x) = 2x. On considère la mesure de probabilité P sur Ω = [0, 1], ayant f comme fonction de densité. Montrer que 1 Calculer P (x [1/3, 1/2]) Calculer P (x = 2/3) Calculer P (x [ 1, 0]) 0 f(x)dx = 1.

67 Calcul des probabilités Probabilité conditionnelle Probabilité conditionnelle On lance deux dés un rouge et un bleu. On modélise cette expérience par l univers Ω = {1,..., 6} 2, muni de la probabilité uniforme P. L élément ω = (i, j) Ω représentant l éventualité : le dé rouge a donné i et le dé bleu a donné j /36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

68 Calcul des probabilités Probabilité conditionnelle On sait en plus que la somme des deux dés lancés est 4 ou 5. Comment modéliser l expérience avec cette nouvelle information? On utilise le même univers Ω, mais La nouvelle probabilité à utiliser doit être nulle hors de l événement A : la somme des deux dés est 4 ou ?? ?? ?? ?

69 Calcul des probabilités Probabilité conditionnelle On sait en plus que la somme des deux dés lancés est 4 ou 5. Comment modéliser l expérience avec cette nouvelle information? On utilise le même univers Ω, mais La nouvelle probabilité à utiliser doit être nulle hors de A : la somme des deux dés est 4 ou 5. Dans A les éventualités doivent rester équiprobables x x x x x x x

70 Calcul des probabilités Probabilité conditionnelle On sait en plus que la somme des deux dés lancés est 4 ou 5. Comment modéliser l expérience avec cette nouvelle information? On utilise le même univers Ω, mais La nouvelle probabilité à utiliser doit être nulle hors de A : la somme des deux dés est 4 ou 5. Dans A les éventualités doivent rester équiprobables /7 1/ /7 1/ /7 1/ /

71 Calcul des probabilités Probabilité conditionnelle Si l on note P la nouvelle probabilité et P l ancienne probabilité, on peut remarquer que chaque couple (i, j) a sa probabilité qui change et on a : P ({(i,j)})= P({(i, j)} {i + j = 4 ou 5}) 7/36 = 1/36 7/36 si i + j = 4 ou 5 0 7/36 sinon. 7/36 correspond à la probabilité d avoir une somme égale à 4 ou 5. Définition Soit (Ω, P) un espace probabilisé discret. On considère deux événements A et B tels que P(B) 0. La probabilité conditionnelle de A sachant B est définie par P(A B) = P(A B). P(B)

72 Calcul des probabilités Probabilité conditionnelle On définit ainsi une nouvelle probabilité sur Ω qui s annule sur les événements incompatibles avec l événement B par P( B) : P(Ω) [0, 1] A P(A B) = P(A B). P(B) Si (Ω, P) modélise une certaine expérience aléatoire, alors (Ω, P( B)) modélise cette même expérience à laquelle on a rajouté la connaissance supplémentaire de la réalisation de B.

73 Calcul des probabilités Indépendance de deux événements Indépendance de deux événements Indépendance de deux événements On dit que deux événements A et B d un même espace probabilisé (Ω, P) sont indépendants si P(A B) = P(A)P(B). Si A et B sont des événements indépendants alors la connaissance ou non de la réalisation de l un des événements n affecte pas la probabilité que l autre se réalise. P(A B) = P(A) et P (B A) = P(B).

74 Variables aléatoires Variables aléatoires La notion mathématique qui correspond à une expérience aléatoire est la notion de variable aléatoire. On suppose donné un espace probabilisé (Ω, P). Définition On appelle variable aléatoire, une variable qui prend une valeur déterminée pour chaque issue d une épreuve aléatoire. Une variable aléatoire est donc une application X : Ω R. Si X est une variable aléatoire et E un sous-ensemble de R alors, on note l événement : {X E} = {ω Ω tel que X(ω) E}.

75 Variables aléatoires Exemple. Soit A un événement et 1 A : Ω {0, 1} ω 1 A (ω) = { 1 si ω A 0 sinon. Alors 1 A est une variable aléatoire réelle. Choisir par exemple A= le conducteur respecte la vitesse.

76 Variables aléatoires Ce qui nous intéresse le plus souvent ce n est pas la valeur exacte qu une variable aléatoire prend à un point donné ω 0 Ω. Ce qui va jouer un rôle capital par la suite c est ce qu on appelle la loi d une variable aléatoire. On peut combiner les variables aléatoires et obtenir ainsi de nouvelles variables aléatoires.

77 Variables aléatoires Remarquons que nous désignons les variables aléatoires par des lettres majuscules et les valeurs qu elles prennent par des lettres minuscules. Ceci nous permet de marquer nettement la distinction entre variable aléatoire et issue de l epreuve aléatoire. Lorsque nous écrivons {X = x}, cela veut dire que, pour une certaine issue de l épreuve aléatoire, la variable aléatoire X prend la valeur précise x. En toute rigueur, on devrait écrire {X(ω) = x}.

78 Variables aléatoires Exemple Considérons par exemple le jeu de hasard suivant. On jette un dé. Si on obtient un 4, on gagne 100 euros ; si on obtient un 6, on gagne 20 euros ; si on obtient un 3 ou un 2, on perd 50 euros. Si on obtient un autre résultat, on ne perd rien mais on ne gagne rien non plus.

79 Variables aléatoires On peut représenter le gain (positif ou négatif) du joueur. On associe à chaque résultat du lancer du dé, le gain qui est défini par les règles du jeu. Autrement dit, on associe une valeur numérique à chaque issue d une épreuve aléatoire. On définit ainsi une variable aléatoire X : Ω = {1,..., 6} { 50, 0, 20, 100}, telle que : 100 si ω = 4 20 si ω = 6 X(ω) =. 50 si ω = 3 ou ω = 2 0 sinon

80 Variables aléatoires L ensemble des valeurs prises par X est noté X(Ω) : X(Ω) = { 50, 0, 20, 100}. Les valeurs prises par les variables aléatoires ne sont pas nécessairement des nombres. On parle donc de variables aléatoirs qualitatives.

81 Variables aléatoires On peut toujours traiter une variable aléatoire qualitative comme une variable quantitative : il suffit d utiliser un codage, i.e. d associer un nombre à chaque modalité. Mais il faut faire attention au fait que dans ce cas certaines opérations mathématiques sur ces valeurs prises n ont aucun sens.

82 Variables aléatoires Parmi les variables aléatoires quantitatives, on distingue les variables aléatoires discrètes et les variables aléatoires continues. Les variables aléatoires discrètes sont celles qui ne prennent que des valeurs numériques isolées. Autrement dit, elles prennent un nombre fini de valeurs ou, tout au plus, un nombre infini dénombrable de valeurs. Les variables aléatoirs continues sont celles qui prennent des valeurs sur un ou plusieurs intervalles.

83 Variables aléatoires Distribution d une variable aléatoire Distribution d une variable aléatoire Définition La distribution de probabilité ou loi de probabilité de la variable aléatoire discrète X est l ensemble des couples {(x, P(X = x)), x X(Ω)}. pour toute valeur x prise par la variable aléatoire. Quelle que soit la variable aléatoire discrète X, la somme des probabilités associées à toutes les valeurs possibles est égale à 1 : P(X = x) = 1. x X(Ω)

84 Variables aléatoires Distribution d une variable aléatoire Lorsque X(Ω) est un ensemble fini, alors on représente la loi de probabilité de X sous forme de tableau. x i x 1 x 2... x n p i := P(X = x i ) P(X = x 1 ) P(X = x 2 )... P(X = x n )

85 Variables aléatoires Distribution d une variable aléatoire Exemples. 1 Reprenons l exemple du jeu précédent avec le dé. La loi de probabilité de X est donnée par : x i p i := P(X = x i ) 1/3 1/3 1/6 1/6 2 Un jeu consiste à tirer au hasard une carte d un jeu de 52 cartes. On suppose les éventualités équiprobables. A chaque tirage on associe un gain ou une perte de la façon suivante : Si on tire un as on gagne 5 euros Si on tire un roi, une dame ou un valet on gagne 1 euro Dans tous les autres cas on perd 1 euro. On note Y le gain algébrique associé à chaque tirage. Quelle est la distribution de la variable aléatoire Y?

86 Variables aléatoires Distribution d une variable aléatoire y i p i = P(Y = y i ) 9/13 3/13 1/13 En effet : Y : Ω = {1,..., 52} { 1, 1, 5}. L événement {X = 5} est aussi l événement tirer un as. Card({X = 5}) = 4 d où P({X = 5}) = 4/52 = 1/13. L événement {X = 1} est aussi l événement tirer un roi, une dame ou un valet. Card({X = 1}) = 12 d où P({X = 1}) = 12/52 = 3/13. De même P({X = 1}) = 36/52 = 9/13.

87 Variables aléatoires Fonction de répartition et moments Fonction de répartition et moments Définition La fonction de répartition de la variable aléatoire X est définie par : F (x) = P(X x) Il s agit, en quelque sorte, de probabilités cumulées. Dans le cas de variables aléatoires discrètes, la fonction de répartition est une fonction en escalier. Elle a un point de discontinuité en chaque valeur x X(Ω). Elle est croissante et varie de 0 à 1.

88 Variables aléatoires Fonction de répartition et moments Exemples. Reprenons l exemple du jeu précédent avec le dé, où loi de probabilité de X est donnée par : x i p i := P(X = x i ) 1/3 1/3 1/6 1/6 Calculer et représenter graphiquement la fonction de répartition de X.

89 Variables aléatoires Fonction de répartition et moments On peut résumer l information contenue dans la loi d une variable aléatoire par différentes quantitées destinées à mesurer la tendance, la dispersion, l aplatissement,... Définition On appelle espérance d une variable aléatoire discrète X la quantité définie par : E(X) = xp(x = x) = p 1 x p n x n. x X(Ω)

90 Variables aléatoires Fonction de répartition et moments L espérance de X est une moyenne arithmétique de toutes les valeurs prises par X pondérées par leurs probabilités de réalisation. Elle peut être vue comme un paramètre de tendance centrale de la loi.

91 Variables aléatoires Fonction de répartition et moments Définition Soit g une fonction réelle : E(g(X)) x X(Ω) g(x)p(x = x). On appelle variance d une variable aléatoire discrète X la quantité définie par : V(X) = E(X E(X)) 2 = (x E(X)) 2 P(X = x) x X(Ω) L écart-type est donnée par : σ(x) = V(X).

92 Variables aléatoires Fonction de répartition et moments La variance de X est la moyenne (pondérée) des carrés des écarts entre les valeurs prises par X et la moyenne (pondérée) de X. C est un nombre positif ou nul car il s agit d une distance au carré. La variance de X permet de caractériser la dispersion des valeurs prises par X par rapport à la moyenne E(X). La variance de X peut aussi s écrire de la manière suivante : V(X) = E(X 2 ) E(X) 2.

93 Variables aléatoires Fonction de répartition et moments L écart-type σ joue le même rôle que la variance. Son avantage est d être de même dimension que les valeurs prises par X. Ainsi les valeurs prises par X peuvent être directement comparées à σ.

94 Variables aléatoires Fonction de répartition et moments Exemples. Reprenons l exemple du jeu précédent avec le dé, où loi de probabilité de X est donnée par : x i p i := P(X = x i ) 1/3 1/3 1/6 1/6 Calculer l espérance, la variance et l écart-type de X. Calculer le moment d ordre 3 de X.

95 Variables aléatoires Variables aléatoires continues Variables aléatoires continues Une variable aléatoire continue associe à chaque issue un nombre réel d un intervalle I dans R. X(Ω) est un ensemble continu. Exemples : 1 La variable aléatoire X égale à la durée de vie d une personne (ou d un objet) dans une ville donnée ou dans un pays donné, est une v.a. continue. 2 Le poids à la naissance d un bébé, exprimé en kg, est une v.a. continue. 3 La variable aléatoire X égale à la durée de connexion à internet, exprimée en heures, d un jeune de 16 à 25 ans, est une v.a. continue.

96 Variables aléatoires Variables aléatoires continues Nous avons vu que pour traiter le problème des variables aléatoires continues on est amené à introduire le concept de densité de probabilité. Celui-ci nous permet de remplacer la somme intervenant dans le calcul précédent par une intégrale.

97 Variables aléatoires Variables aléatoires continues Définition On appelle densité de probabilité d une variable aléatoire continue X, une fonction positive f(x) telle que :. P(a < X < b) = b a f(x)dx. Nous avons vu que la surface sous la courbe définie par f(x) dans un intervalle (a, b) est égale à la probabilité que X prenne sa valeur dans cet intervalle.

98 Variables aléatoires Variables aléatoires continues L aire totale sous la courbe de la densité est égale à 1 : + f(x) = P( < X < + ) = 1. Si on souhaite calculer une probabilité ponctuelle, on a : P(X = a) = Ainsi : a a f(x) = 0. P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b) = Les bornes n ont pas d importance. b a f(x)dx.

99 Variables aléatoires Variables aléatoires continues Définition On appelle espérance d une variable aléatoire continue X la quantité définie par : E(X) = + xf(x)dx On appelle variance d une variable aléatoire continue X la quantité définie par : V(X) = + (x E(X)) 2 f(x)dx

100 Variables aléatoires Variables aléatoires continues La définition de la fonction de répartition est la même que celle que nous avons donnée dans le cas d une variable aléatoire discrète mais on peut l interpréter en termes d intégrale : F (X) = P(X x) = x f(t)dt.

101 Variables aléatoires Variables aléatoires continues Exemple. Soit X la variable aléatoire continue à valeurs dans l intervalle [0; 1], de fonction densité f définie par f(x) = 3x 2. Calculer l espérance, la variance et la fonction de répartition de X.

102 Variables aléatoires Variables aléatoires continues Propriété Soit X une variable aléatoire quelconque de fonction de répartition F (x). On a : P(a X < b) = F (b) F (a).

103 Variables aléatoires Variables aléatoires continues Propriétés Soient X et Y deux variables aléatoires et α un nombre réel. (i) E(αX) = αe(x). (ii) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). (iii) Si X et Y sont indépendantes alors E(XY ) = E(X)E(Y ).

104 Variables aléatoires Lois de probabilité usuelles Lois de probabilité usuelles : cas discret. Loi Probabilités { E(X) V(X) p si k = 1 Bernoulli P(X = k) = p p(1 p) 1 p si k = 0 X B(p) ( ) n Binomiale P(X = k) = p k (1 p) n k, np np(1 p) k X B(n, p) k {0,..., n} Poisson P(X = k) = e λ λ k, λ λ k! X P(λ) k N Géométrique P(X = k) = p(1 p) k p, p p 2 X G(p) k N

105 Variables aléatoires Lois de probabilité usuelles Lois de probabilité usuelles : cas continu. Loi Densité E(X) V(X) Uniforme f(x) = 1 b a, a + b (a b) X U [a,b] x [a, b] Normale f(x) = 1 σ 2π e 1 2( x m σ ) 2, m σ 2 X N (m, σ 2 ) x R Exponentielle f(x) = λe λx 1, λ, 1 λ 2 X E(λ) x R + Chi 2 f(x) = 2 n/2 Γ(n/2) e x 2 x n 2 1, n 2n X Xn 2 x R +

106 Variables aléatoires Lois de probabilité usuelles Autour de la loi normale N (m, σ 2 ). Soit Z N (m, σ 2 ). Lorsque m = 0 et σ = 1, on dit que Z suit la loi normale centrée réduite (ou loi normale standard). Sa densité de probabilité est donnée par f(x) = e x2 /2 2π. 0,48 0,4 0,32 0,24 0,16 0, ,5 0 2,5 5

107 Variables aléatoires Lois de probabilité usuelles La fonction f(x) est paire donc sa courbe est symétrique par rapport à l axe x = 0. Donc P(Z 0) = P(Z 0) = 1/2. Pour tout nombre réel z, on a par symétrie : P(Z z) = P(Z z). Il existe des tables statistiques qui fournissent les valeurs de la fonction de répartition de la loi normale standard. C est à dire pour chaque z R, la table donne la valeur F (z) = P(Z z). D autres table fournissement pour chaque valeur α (0, 1) le fractile d ordre z α défini par P(Z z α ) = α.

108 Variables aléatoires Lois de probabilité usuelles Théorème Une variable aléatoire X suit une loi normale N (m, σ 2 ) si et seulement si la variable aléatoire Z = X m suit la loi normale σ centrée réduite N (0, 1).

109 Variables aléatoires Lois de probabilité usuelles Estimation paramétrique de la moyenne. Définition On appelle échantillon de taille n (ou n-échantillon) de loi P, une famille X 1,..., X n de variables aléatoires indépendantes de même loi (iid) qu une variable aléatoire X de loi probabilité P. Une réalisation d un n-échantillon est le résultat de n tirages indépendants selon la loi P ; c est une collection de points x 1,..., x n.

110 Variables aléatoires Lois de probabilité usuelles En pratique la loi de probabilité P est inconnue ou connue à un paramètre près. On suppose que P appartient à une famille connue de lois probabilité mais dépend d un paramètre θ inconnu à savoir P = P θ. Le problème fondamental est de donner une valeur approchée de θ à partir des données (c est-à-dire du n-échantillon). On parle alors d estimation paramétrique.

111 Variables aléatoires Lois de probabilité usuelles Exemples. 1 La proportion de conducteurs qui respectent la vitesse se modélise par une collection de variables aléatoires i.i.d. loi de Bernoulli de paramètre p (0, 1). 2 La répartition de la taille des individus dans une population homogène peut se modéliser par une collection de variables aléatoires i.i.d. de loi normale N (m, σ 2 ).

112 Variables aléatoires Lois de probabilité usuelles Définition Soit X 1,..., X n un n-échantillon. On appelle statistique toute fonction mesurable F (X 1,..., X n ). On appelle estimateur d une fonction du paramètre f(θ) toute statistique utilisée pour estimer f(θ). Notez qu un estimateur est une fonction de l échantillon, et ne dépend pas du paramètre à estimer θ.

113 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Définition Soit X 1,..., X n un n-échantillon de variables aléatoires indépendantes de même loi (iid) qu une variable aléatoire X. On définit la moyenne empirique de l échantillon par : X = 1 n n X i. i=1 C est une statistique, et donc une variable aléatoire.

114 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Puisque la moyenne empirique X est une fonction de l échantillon et ne dépend pas de m = E(X), alors X est un estimateur de m. Est-ce un bon estimateur de m?

115 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Une caractéristique classique d un estimateur est son biais. Définition Soit T un estimateur d une fonction du paramètre f(θ). Le biais de T est défini par B(T, f(θ)) = E(T f(θ)) = E(T ) f(θ). On dit que T est un estimateur sans biais de f(θ) si E(T ) = f(θ), sinon on dit que T est biaisé.

116 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Le biais d un estimateur est souvent complété par la variance pour obtenir l erreur quadratique moyenne. Définition Soit T un estimateur d une fonction du paramètre f(θ). L erreur (ou risque) quadratique moyenne de T est défini par [ EQM(T, f(θ)) = E (T f(θ)) 2] = B(T, f(θ)) 2 + V(T ). L EQM d un estimateur sans biais coincide avec sa variance.

117 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Propriété E(X) = E(X) := m et V(X) = V(X) n. La moyenne empirique de l échantillon est un estimateur sans biais de E(X) = m. La dispersion de la variable aléatoire X diminue quand la taille n de l échantillon augmente. Plus l échantillon grandit et plus la distribution de la moyenne-échantillon se concentre autour de sa valeur espérée m.

118 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Propriété V(X) lim V(X) = lim = 0. n n n La moyenne empirique de l échantillon est un estimateur sans biais. Sa variance asymptotique converge vers 0 lorsque n. Donc l erreur quadratique moyenne de X converge vers 0 lorsque la taille de l échantillon n devient assez grand.

119 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Le théorème central-limite (TCL) Le théorème central-limite (en théorie) L Pour n, n(x E(X)) N (0, V(X)). Pour une taille d échantillon n grande, on a donc : ( X N E(X), V(X) ). n Ce théorème est vrai quelle que soit la loi de X.

120 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Le théorème central-limite (en pratique) Pour une taille d échantillon n grande : ) X N (m, s2, n avec : m = E(X) et s 2 = 1 n (x i x) 2. n 1 Les x 1,..., x n sont les valeurs prises par les variables aléatoires X 1,..., X n. i=1 Ce théorème est vrai quelle que soit la loi de X.

121 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Loi des grands nombres Théorème Soit X 1,..., X n un n-échantillon de variables aléatoires iid qu une variable aléatoire X. Alors pour une taille d échantillon n grande, on a X E(X) = m.

122 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Résumé sur les propiétés de X X est un estimateur sans biais du paramètre de moyenne m. Son EQM est asymptotiquement négligeable : E(X) = m, lim V(X) = 0. n X est un estimateur convergent du paramètre de moyenne m : X m si n. X est un estimateur asymptotiquement normal du paramètre de moyenne m : ) X N (m, s2, si n. n

123 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Intervalles de confiance pour le paramètre de moyenne Au lieu de fournir une valeur approchée du paramètre de moyenne, le TCL permet de donner une fourchette de nombres dans laquelle se trouve la paramètre avec une probabilité α donnée. On parle alors d estimation par intervalle de confiance.

124 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Soit α (0, 1) et z 1 α/2 le quantile d ordre 1 α/2 de la loi normale standard. Cette valeur est fournie par la table statistique. 0,48 0,4 0,32 0,24 0,16 1-0,08 /2 /2-5 -2,5 0 2,5 5 -z1- /2 z1- /2

125 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon 1, /2 0, z1- / ,5

126 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Théorème Lorsque n est assez grand, on a : ( ) s s P X z 1 α/2 < m < X + z n 1 α/2 = 1 α. n La valeur m que l on cherche à estimer se situe dans l intervalle ( ) s s X z 1 α/2 ; X + z n 1 α/2 n avec une probabilité de 1 α.

127 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon En pratique : La statistique X est remplacée par sa valeur prise x et on écrit : ( ) s s IC(m) = x z 1 α/2 ; x + z n 1 α/2. n Souvent α = 0.05 et z 1 α/2 = 1.96.

128 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon L intervalle ( ) s s IC(m) = x z 1 α/2 ; x + z n 1 α/2 n s appelle intervalle de confiance asymptotique de m. Sa longueur permet d avoir une idée de la précision de l estimation de m.

129 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Définition On appelle marge d erreur pour l estimation de m, la demi-longueur de l intervalle IC(m), définie par s marge = z 1 α/2. n La marge d erreur diminue lorsque n augmente. La marge d erreur diminue si α augmente.

130 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Exemple. Une enquête sur le travail des étudiants a révélé qu en moyenne en France, un étudiant de licence a un salaire de 120 euros avec un écart-type de 30 euros. Calculer la marge d erreur de l enquête, puis établir un intervalle de confiance à 95% du salaire moyen d un étudiant en Licence en France.

131 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Estimation d une proportion Lorsque l échantillon d étude décrit des individus qui vérifient ou non une certaine propriété (conducteur qui respectent la vitesse, personnes qui portent des lunettes, employés qui respectent les horaires de bureau,... ), alors celui-ci est modélisé par une loi de Bernoulli de paramètre p. La paramètre p s appelle proportion d individus sur la population qui vérifient la propriété en question. C est probabilité qu un individu pris au hasard dans la population vérifie la propriété en question.

132 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Le problème d estimation se modélise : X 1,..., X n un n-échantillon de variables aléatoires indépendantes de même loi (iid) qu une variable aléatoire X B(p). Le paramètre à estimer est p = E(X).

133 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon La moyenne empirique s écrit : X = X X n = F, n où F représente la fréquence empirique des personnes qui vérifient la propriété en question. Le nombre entier nf = X X n représente le nombre d individus dans l échantillon qui vérifient la propriété. nf suit une loi binomiale B(n, p).

134 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Propiétés de F F est un estimateur sans biais de la proportion p. Son EQM est asymptotiquement négligeable : E(F ) = p, V(F ) = p(1 p). n F est un estimateur convergent de la proportion p : F p si n. F est un estimateur asymptotiquement normal de la proportion p : ( ) p(1 p) F N p,, si n. n

135 Variables aléatoires Propriétés de la moyenne empirique d un échantillon Soit f la valeur prise par F. Alors d après le TCL, un intervalle de confiance pour p est donné par ( ) f(1 f) f(1 f) IC(p) = f z 1 α/2 ; f + z n 1 α/2. n Cet intervalle est valable pour n 30, nf 5 et n(1 f) 5. En effet : V(X) = p(1 p) est estimé par f(1 f).