LES FORCES FICTIVES. Table des matières. 1. Vitesse dans un référentiel non inertiel

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1 LES FORCES FICTIVES OLIVIER CASTÉRA Résumé. Les forces d inertie d entraînement et de Coriolis sont des forces fictives, elles n apparaissent que dans des référentiels non inertiels. Table des matières 1. Vitesse dans un référentiel non inertiel 1 2. Accélération dans un référentiel non inertiel 6 3. Forces dans un référentiel non inertiel 8 4. Exemple de force fictive : la force centrifuge Dans le référentiel inertiel Dans le référentiel non inertiel Annexe Vitesse dans un référentiel non inertiel Définition 1.1. Référentiel d inertie R est un référentiel (une référence dans l espace et le temps) d inertie, si et seulement si ce référentiel se déplace d un mouvement de translation (il n a aucun mouvement de rotation par rapport au reste de l univers) rectiligne (il ne subit pas de force normale) et uniforme (il ne subit pas de force tangentielle). Soit donc R(O,i,j) un référentiel d inertie, et soit R (O,i,j ) un référentiel non inertiel se déplaçant par rapport à R à la vitesse non constante V (t)et tournant autourde sonaxeo z àla vitesse angulaire non constante ω(t). Définition 1.2. Rayons vecteurs Les rayons vecteurs OM et O M du corps (M) dans chacun des référentiels R et R ont pour expressions respectives : OM = xi+yj +zk O M = x i +y j +z k On se place dans le domaine non relativiste : Date: 2 avril

2 2 OLIVIER CASTÉRA Définition 1.3. Temps Le temps absolu, vrai et mathématique, sans relation à rien d extérieur, s écoule uniformément et s appelle durée. Par conséquent, le temps s écoule de la même façon dans les référentiels R et R, t = t de sorte que les dérivations par rapport à t et à t soient équivalentes. Notation. La dérivée par rapport au temps d un vecteur sera notée d R t pour un observateur fixe dans le référentiel R, et d R t pour un observateur fixe dans le référentiel R. Théorème 1.1. Par changement de référentiel, les vecteurs vitesses du corps (M) sont liés par la relation suivante, v = V +v +ω O M (1) appelée loi de composition des vitesses, dans laquelle v est la vitesse absolue, V est la vitesse relative des référentiels, v est la vitesse relative, et ω est la vitesse angulaire relative de R par rapport à R. Démonstration. Dérivons dans R par rapport à t l égalité vectorielle : OM = OO +O M d R t OM = d R t OO +d R t O M Définition 1.4. Vitesse absolue La vitesse absolue v du corps (M) dans le référentiel R a pour expression : v = d R t OM = d R t (xi+yj +zk) = ẋi+ẏj +żk Définition 1.5. Vitesse relative des référentiels La vitesse relative du référentiel R vu de R a pour expression : V = d R t OO = d R t (x O i+y O j +z O k) = ẋ O i+ẏ O j +ż O k La vitesse relative du référentiel R vu de R a pour expression : V = d R t O O = d R t (x O i +y O j +z O k ) = ẋ Oi +ẏ Oj +ż Ok

3 LES FORCES FICTIVES 3 En général, V V. En effet, supposons que vu de R, le référentiel R ne fasse que tourner sur lui-même. Alors, vu de R, le référentiel R décrit un cercle autour de R. Leurs vitesses relatives respectives sont donc différentes. En se servant de ces définitions, nous avons : v = V +d R t O M (2) Vu du référentiel R, les vecteurs de base du référentiel R varient dans le temps. Le dernier terme du membre de droite a pour expression : d R t O M = d R t (x i +y j +z k ) = ẋ i +ẏ j +ż k +x d R t i +y d R t j +z d R t k Définition 1.6. Vitesse relative La vitesse relative v du corps (M) dans le référentiel R a pour expression : Avec cette définition : v = d R t O M = d R t (x i +y j +z k ) = ẋ i +ẏ j +ż k d R t O M = v +x d R t i +y d R t j +z d R t k (3) Onsuppose quelesaxesoz eto z ontmêmedirectionetmêmesens, de sorte que k et k soient équipollents. Appelons α(t) l angle orienté de R vers R, qui est l angle de rotation de R dans R à l instant t. α j j k k i i α Nous avons les relations : i = cosαi+sinαj j = sinαi+cosαj k = k (4)

4 4 OLIVIER CASTÉRA d R t i = αsinαi+ αcosαj = αj d R t j = αcosαi αsinαj = αi d R t k = d R t k = 0 par conséquent, la relation (3) s écrit : d R t O M = v +x αj y αi (5) = v + α(x j y i ) (6) Définition 1.7. Vecteur vitesse angulaire relative Le vecteur vitesse angulaire de R par rapport à R a pour expression : ω = d R t αk = αk Appelons α (t) l angle orienté de R vers R, qui est l angle de rotation de R dans R à l instant t, et tel que α = α. Le vecteur vitesse angulaire de R par rapport à R a pour expression : ω = d R t α k = α k = αk Le dernier terme du membre de droite de (6) est le produit vectoriel ω O M. En effet, si bien que la relation (3) s écrit : ω O M = 0 0 y α z = 0 z αy αx 0 z 0 y 0 x = αy αx 0 x = α(x j y i ) d R t O M = d R t O M +ω O M (7) = v +ω O M (8)

5 LES FORCES FICTIVES 5 Avec ce résultat, la loi de composition des vitesses (2) s écrit : v = V +v +ω O M Remarque. On peut obtenir ce résultat en utilisant une démonstration purement algébrique : i i = 1 d R t (i i ) = 0 i d R t i +d R t i i = 0 2 ( i d R t i ) = 0 d R t i i d R t i = ω i où ω est un vecteur pour l instant indéterminé. i j = 0 d R t (i j ) = 0 i d R t j +j d R t i = 0 i d R t j = j (ω i ) En utilisant le théorème 5.1 donné en annexe : De même pour le vecteur k : i d R t j = i (j ω) = i (ω j ) d R t j = ω j i k = 0 d R t k = ω k En posant k comme axe de rotation, soit, d R t k = 0 ω k = 0 ω = ωk En appliquant ces résultats à la relation (3), puis à la relation (2), nous obtenons la loi de composition des vitesses : v = V +v +x (ω i )+y (ω j ) = v +V +ω O M

6 6 OLIVIER CASTÉRA Définition 1.8. Vitesse d entraînement La vitesse d entraînement est la vitesse du point P fixe dans le référentiel mobile R, coïncidant avec le point M à un instant t 0 : v e = V +ω O P A l instant t 0, les points P et M étant superposés, nous avons : V (t 0 )+ω(t 0 ) O P(t 0 ) = V (t 0 )+ω(t 0 ) O M(t 0 ) si bien qu à l instant t 0 uniquement : v(t 0 ) = v (t 0 )+v e (t 0 ) Les trajectoires des points P et M étant différentes, sauf si le corps (M) est fixe dans R, nous aurons en général, si bien qu en général, d R t (V +ω O P) d R t (V +ω O M) d R t v dr t (v +v e ) 2. Accélération dans un référentiel non inertiel Théorème 2.1. Par changement de référentiels, les vecteurs accélération du corps (M) sont liés par la relation suivante : a = a +a e +a c (9) appelée loi de composition des accélérations, dans laquelle a est l accélération du corps (M) dans R, a est l accélération du corps (M) dans R, a e est l accélération d entraînement et a c l accélération de Coriolis. Démonstration. Dérivons dans R par rapport au temps, la loi de composition des vitesses (1) : d R t v = dr t V +dr t v +d R t (ω O M) = d R t V +dr t v +d R t ω O M +ω d R t O M Définition 2.1. Accélération absolue L accélération absolue a du corps (M) dans le référentiel R a pour expression : a = ( d R t d R t OM ) = d R t v Définition 2.2. Accélération relative des référentiels L accélération relative de R vu de R a pour expression : A = d R t V

7 Avec ces définitions : LES FORCES FICTIVES 7 a = A+d R t v + ω O M +ω d R t O M En utilisant la relation (8), nous avons : a = A+d R t v + ω O M +ω (v +ω O M) (10) La relation (7) s applique à tout vecteur exprimé dans R et dérivé dans R. Appliquée au vecteur v, elle donne : d R t v = d R t v +ω v Définition 2.3. Accélération relative L accélérationrelativeestl accélérationdupointm dansleréférentielr : La relation (10) devient : a = d R t v a = A+d R t v +ω v + ω O M +ω (v +ω O M) = A+a + ω O M +ω (ω O M)+2ω v (11) Soit H la projection orthogonale du point M sur l axe de rotation O z du repère R par rapport au repère R : z H M O ω Enutilisantlethéorème5.2donnéenannexe,lederniertermes écrit: ω (ω O M) = ω(ω O M) O M(ω ω) = ω(ωo H) O M ω 2 = O Hω 2 O M ω 2 = MH ω 2 Ce terme, toujours dirigée vers le centre de rotation instantané, s appelle accélération centripète. La relation (11) s écrit : a = a +A+ ω O M +MHω 2 +2ω v (12)

8 8 OLIVIER CASTÉRA Définition 2.4. Accélération d entraînement L accélération d entraînement est l accélération du point P fixe dans le référentiel R, coïncidant avec le point M à l instant t 0 : a e = A+ ω O P +PH ω 2 A l instant t 0, les points P et M étant superposés, nous avons : a e = A+ ω O M +MH ω 2 Définition 2.5. Accélération de Coriolis L accélération de Coriolis a pour expression, a c = 2ω v Avec les définitions 2.4 et 2.5, la relation (12) s écrit : a = a +a e +a c (13) Remarque. La dérivée dans R de la vitesse d entraînement donne l accélération d entraînement : d R t v e = d R t V +dr t (ω O P) = A+ ω O P +ω d R t O P En utilisant (7) puis le théorème 5.2 : d R t v e = A+ ω O P +ω (ω O P) = a e 3. Forces dans un référentiel non inertiel Théorème 3.1. Soient F ext la somme des modèles des forces extérieures s exerçant sur un système. La relation fondamentale de la dynamique 1 dans le référentiel non inertiel R s écrit : F ext +F e +F c = dp dt et, lorsque la masse du système est constante : F ext +F e +F c = ma Démonstration. Soit m la masse du corps (M), supposée constante. La relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel inertiel R s écrit : F ext = dp 1. Voir Mécanique classique.pdf. dt = ma

9 LES FORCES FICTIVES 9 Avec la relation (13) nous avons : F ext = m(a +a e +a c ) = ma +ma e +ma c Définition 3.1. Force d inertie d entraînement La force d inertie d entraînement a pour expression : F e = ma e Définition 3.2. Force de Coriolis La force de Coriolis a pour expression : F c = ma c Par conséquent, on a bien : F ext +F e +F c = ma Dans le référentiel non inertiel R, il faut ajouter aux forces extérieures réelles F ext s exerçant sur le système, les forces fictives d entraînement F e et de Coriolis F c. Ces forces sont dite fictives car elles ne créent pas le mouvement. Elles ne sont dues qu au mouvement de l observateur. 4. Exemple de force fictive : la force centrifuge Soit un corps (M) de masse m, tenu par un fil et tournant avec la vitesse angulaire constante ω autour de l axe Oz d un référentiel d inertie R. On considère le référentiel R de même centre O que R, dont l axe Oz est confondu avec l axe Oz. Ce référentiel tourne autour de cet axe à la même vitesse angulaire ω que le corps (M), de sorte que celui-cisoitimmobiledansr etsoittoujourssurl axeox :OM = x i j ω j O i i T M Figure 1. Rotation du corps M (vue de dessus)

10 10 OLIVIER CASTÉRA 4.1. Dans le référentiel inertiel. Lavitessev ducorps(m)dansr étantnulle,l accélérationa ducorps (M) dans R est nulle elle aussi, ainsi que l accélération de Coriolis a c. L accélération relative A des deux référentiels est nulle par hypothèse, ainsi que la variation de la vitesse angulaire ω. Dans la relation (12) il ne reste que l accélération centripète : a = MOω 2 = ω 2 re r où re r est le rayon vecteur OM en coordonnées polaires. La relation fondamentale de la dynamique nous donne l expression de la tension du fil : F ext = dp dt T = ma = mω 2 re r 4.2. Dans le référentiel non inertiel. Ecrivons la relation fondamentale de la dynamique pour un observateur dans le référentiel R : F ext +F e +F c = ma F ext +mω 2 re r = ma Définition 4.1. Force centrifuge La force centrifuge a pour expression : F n = mω 2 re r Le corps (M) étant immobile dans R, son accélération est nulle : T +F n = 0 Dans R, la force centrifuge F n s exerce sur tous les corps, en plus des forces réelles F. La seule force réelle F est ici la tension T du fil. Théorème Annexe A (B C) = C (A B)

11 LES FORCES FICTIVES 11 Démonstration. A (B C) = A x A y B yc z B z C y B z C x B x C z A z B x C y B y C x = A x (B y C z B z C y ) +A y (B z C x B x C z ) +A z (B x C y B y C x ) = C x (A y B z A z B y ) +C y (A z B x A x B z ) +C z (A x B y A y B x ) = C x C y A yb z A z B y A z B x A x B z C z A x B y A y B x = C (A B) Théorème 5.2. A (B C) = B(A C) C(A B) Démonstration. A (B C) = A x A y B yc z B z C y B z C x B x C z A z B x C y B y C x = A y(b x C y B y C x ) A z (B z C x B x C z ) A z (B y C z B z C y ) A x (B x C y B y C x ) A x (B z C x B x C z ) A y (B y C z B z C y ) = A yb x C y A y B y C x A z B z C x +A z B x C z A z B y C z A z B z C y A x (B x C y +A x B y C x ) A x B z C x A x B x C z A y (B y C z +A y B z C y ) et, B(A C) C(A B) = B(A x C x +A y C y +A z C z ) C(A x B x +A y B y +A z B z ) = B x(a x C x +A y C y +A z C z ) C x (A x B x +A y B y +A z B z ) B y (A x C x +A y C y +A z C z ) C y (A x B x +A y B y +A z B z ) B z (A x C x +A y C y +A z C z ) C z (A x B x +A y B y +A z B z ) = B xa y C y +B x A z C z C x A y B y C x A z B z ) B y A x C x +B y A z C z C y A x B x C y A z B z B z A x C x +B z A y C y C z A x B x C z A y B y

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