INTERFÉRENCE DE LA LUMIÈRE. LE DISPOSITIF D YOUNG

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1 INTERFÉRENCE DE LA LUMIÈRE. LE DISPOSITIF D YOUNG. Objectifs.. étudie l inteféence de la lumièe.. détemine la longueu d onde d une adiation monochomatique. Rappels théoiques On dit que l inteféence se poduit ou que des ondes intefèent losque l intensité ésultant de la suppeposition de deux ou plusieus ondes n est pas la somme de leus intensités. Histoiquement, ce phénomène, que l on a pafois ésumé de façon povoquante pa l équation: lumièe + lumièe = obscuité a beaucoup supis au point que l on a palé du paadoxe de l inteféence. Celui ci a pemis d établi la natue vibatoie de la lumièe et a détemine pou la pemièe fois, gâce à Fesnel, l ode de gandeu d une longueu d onde optique. Nous nous poposons de appele en quoi consiste la supeposition de deux ondes monochomatiques isochones et d étudie les conditions nécessaies à la éalisation de leu inteféence. Considéons deux ondes lumineuses, monochomatiques, isochones, polaisées ectilignement. 4

2 où En notation complexe, elle s écivent: ~ ~ iωt E = ψe e ~ ~ iωt E = ψ e e ~ ψ ~ () = A e ; ψ = A e () i φ iφ sont les amplitudes complexes coespondantes, φ, φ les phases des vibations et e, e des vecteus unitaies. Le champ électique E ~ ésultant ~ de la supeposition de ces deux ondes est la somme des deux champs E et ~ E, puisque les équations de Maxwell auxquelles il doit satisfaie sont linéaies: ~ ~ ~ iωt E = E + E = ( ~ ψ e + ~ ψ e ) e (3) ~~ L intensité de l onde ésultante est I ~ EE *. ~ ~ ~ * ~ * ~ ~ * ~ ~ * ~ ~ * ~ * I ~ ψ e + ψ e ψ e + ψ e = ψ ψ + ψ ψ + e e ψ ψ + ψ ~ ψ ( )( ) ( ) soit, en intoduisant les intensités de chaque onde, * (4) I ~ ~ ψ ~ ψ ; I ~ ~ ψ ~ ψ. ~ ~ I = I + I + I * ( e e ) Re{ ψ ψ } = I + I + ( e e )( I ) / cosφ où φ = φ φ désigne le etad de phase de l onde pa appot à l onde. Notons que la fonction cosinus qui intevient étant paie, on auait pu intoduie la difféence φ φ ; aussi appelle-t-on φ la difféence de phase ente les deux ondes. Le toisième teme de (5) est le teme d inteféence ente les deux ondes. Il est identiquement nul si les vibations sont ectangulaies ( e 0). Losque les champs électique E et E se supeposent e = * (5) 5

3 paallèlement, ce que nous supposeons doénavant ( e ) e =, l intensité I oscille ente les deux valeus extêmes, I ( I / I / ) max ( I / I / ) min = et I = +. Expéimentalement, on caactéise le contaste des fanges d inteféence pa le facteu de visibilité V: max min ( I I ) / + I I max I min V = = (6) I + I I I et I étant positifs, on peut les considée comme les acines éelles positives de l équation du second degé ( I + I ) x + I I = 0 x. Il en ésulte que = ( + I ) 4I I = ( I I ) 0 ( I I ) ( I ) / I I, soit + ou V, donc, le contast est toujous inféieu ou égal à. Le plus fot contaste est donc obtenu pou I = I ; il vaut alos. Si les champs E et E epésentent des ondes monochomatiques planes de même amplitude A, les amplitudes complexes ~ψ et ~ψ se mettent sous la fome: = [ ( )] ~ i k + ϕ ; ψ = A [ i( k )] ~ ψ = + ϕ Aexp exp avec k k = k, d où φ = k k + ϕ ϕ = k + ϕ (8) avec k = k k et ϕ = ϕ ϕ. Ces quantités sont appelées espectivement le vecteu inteféence et la difféence de phase à l oigine des coodonées. On en déduit l expession de l intensité: [ + cos( k + ϕ )] I = A0 (9) (7) 6

4 Suivant une axe Ox paallèle à k, l intensité I oscille autou de la 0 valeu A. Pou expime la péiode spatiale de I, appelée intefange i, il suffit d évalue k en fonction de l angle α que font ente eux les vecteus d ondes k et k (fig. ). Figue α 4π α k = kxsin = xsin λ (0) π λ = désignant la longueu d onde dans le milieu considéé. Ainsi, en k posant I 0 = A 0, on touve: avec x I = I 0 + cos π + ϕ () i λ i = () α sin 7

5 L intefange est d autant plus gande que l angle α est petit. Si les champs E et E epésentent des ondes monochomatiques sphéiques, émises pa deux points souces S et S distancés de d, les amplitudes complexes s écivent en un point P (fig. ): ~ c c ψ = k + ϕ [ i( k + ϕ )]; ~ ψ = [ i( )] exp exp (3) Figue où = S P et SP φ = k + ϕ ϕ =. Pa conséquent: ( ). Comme la vaiation des amplitudes avec et est négligeable dans le voisinage de P (lointain de S et S ): { + [ k( ) + ϕ ]} I = A0 cos ϕ (4) L ensemble des points d égale intensité est défini pa les sufaces = cte. Ce sont des hypeboloïde de foyes S et S dont l intesections avec un plan P paallèle a S S sont patiquement des doites si est voisin de. 8

6 Evaluons et en fonction des coodonées ( x, y) de P: avec / / d dx dx = D + x D D (5) D D dx D (6) D + On a donc: dx =, d où D x I = I 0 + cos π + ϕ ϕ (7) i λd i = (8) d Cohéence mutuelle La tentative de éalise l inteféence de deux ondes lumineuses quelquonques indépendantes aboutit à un échec. Il appaaît donc nécessaie de ejete le modèle simplifié des ondes monochomatiques et d analyse le mécanisme de l émission de lumièe pa les atomes. Les souces lumineuses émettent de la lumièe pa suite de la désexcitation des atomes péalablement excités pa une petubation extéieue. Comme l émission atomique est lancée, inteompue puis elacée à la suite des collisions ente atomes, le champ électique qui epésente en moyenne l émission lumineuse de la souce se pésente sous la fome de tains d onde de duée limitée τ c, qui se succèdent de façon aléatoie: ~ E( t) = Aexp (9) [ i( ωt φ )] e = ~ ψ ( t)exp( iωt)e 9

7 où A et φ ont des valeus fixées et e une oientation déteminée pendant la duée τ c qui est de l ode de la duée moyenne ente deux collisions successives: alos que π 4 T = ~ 0 s, τ c ~ 0 8 s. ω L intensité associée à de telles ondes est égale à la valeu moyenne de l intensité instantanée pendant la duée T d nécessaie à la détection. Comme T d 0, s, Td >> τ c, il vient: T d ~ I = ~ ψ ( t) dt = ψ ( t) T (0) d 0 Considéons la supeposition des tains d ondes émis pa deux souces S et S. Comme ~ ψ ( t )e ~ + ψ ( t)e = A exp iφ e + A exp iφ () ( ) ( ) e on a, dans le vide: ~ ) ~ * ~ ) ~ * I = ψ ( ( ) ( ( ) e e Re{ ~ ( ) ~ t ψ t + ψ t ψ t + * ψ t ψ ( t) } () d où: avec φ = φ φ. I = I + I + e e A cosφ (3) A Si les souces S et S sont indépendantes, φ et φ sont aléatoies, donc φ est elle aussi une fonction aléatoie; pa conséquent, φ vaie beaucoup pendant la duée T α et la moyenne des valeus pises pa le teme d inteféence pendant cette duée est nulle. Il en ésulte que: I = I + I (4) Les deux souces S et S sont alos dites incohéentes. 30

8 Une condition nécessaie pou obteni des phénomènes d inteféence consiste à neutalise le caactèe aléatoie elatif de l émission lumineuse de ces deux souces. On y pavient en les subodonnant à une même souce pimaie S pa deux méthodes: la division du font de l onde issue de la souce pimaie et la division de l amplitude de l onde. Les tains d ondes émis pa les souces S et S (secondaies) pésentent alos, au point de enconte, le même état aléatoie de la souce pimaie et la difféence de phase φ est stationnaie. Dans ces conditions, on dit qu on a éalisé la cohéence mutuelle des souces S et S. Le dispositif des fentes d Young Le dispositif des fentes d Young est constitué de deux fentes S et S éclaiées pa une souce pimaie S. Figue 3 Le font sphéique de l onde pimaie en patant de S se divise en deux fonts secondaies, en patant de S et S, ainsi que les deux fentes S et S joueont le ôle de souces cohéentes. Su l écan E on peut voi 3

9 des fanges billantes et des fanges obscues. Si les deux fentes sont ectangulaies, les fanges seont aussi ectangulaies et paallèles, avec les fentes; l intefange sea donnée pa (8). 3. Le dispositif expéimental Su un banc optique sont fixés, avec des pieds poteus églables, les suivants dispositifs: a) une fente veticale F qui peut ête églée; b) un ecan avec deux fentes F et F, aussi veticales et paallèles distants de d; c) un dispositif pou mesue l intefange, composé d une loupe L, un filte ouge, un vis micomètique M qui déplace un fil éticulaie su l image des fanges d inteféence; d) une ampoule C. Figue 4 4. Manipulation 4.) on allume l ampoule et on ègle sa position ainsi que son filament ête voisin à la fente F et paallèle avec elle. 4.) on ègle l ouvetue de la fente F à mm. 3

10 4.3) on ègle les hauteus de la loupe et des fentes F et F pou ête à la même hauteu que F et paallèles avec F. En ce moment on peut voi la lumièe povenant de F. 4.4) on éduit lentement l ouvetue de la fente F jusqu à ce que des fanges claies peut ête obsevées. 4.5) on mesue la distance D ente les fentes et le plan du fil éticulaie. 4.6) pou détemine l intefange, on positionne le fil éticulaie su l une des fanges obscues et on note la position x de l indicateu I su la ègle et la position y de l indicateu I su le tambou (voi fig. 4). Avec le vis micométique, on déplase le fil éticulaie su N fanges ( N 5) et on note les positions x et y. En gadant la même distance D, on épète 0 fois les manipulations f). 4.7) Pou des autes valeus de la distance D, on épète 6 fois les opeations 4.6). 4.8) Tous les valeus obtenues pou D, N, x, y, x, y seont centalisées dans le tableau suivant. No. d (mm) D (mm) x y N x y I (mm) i (mm) λ (Å) λ (Å) 5. Indication pou le taitement des données expéimentales 5.) En connaissant qu une division x su la scale S est 0,5 mm et une division y su le tambou est 0,005 mm, on peut calcule la distance I su laquelle s étendent les N fanges: ( 0,5x + 0,005y ) ( 0,5x 0, y ) I = + (mm)

11 5.) L intefange sea i = 5.3) Avec (8) on peut calcule la longueu d onde. I N 5.4) Pou les déteminations de la même distance D, on peut calcule l intefange moyenne 0 d λ d λ = i ; s λ = sλ = si D i D λ = λ ± s. λ i i k = i = k et l eeu 0 s i = 0 ( ik i ) k= 0 9. Ainsi, et le ésultat final aua la fome: 34