Chapitre 4. Intégration, espace L Fonctions µ-intégrables

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2 Chpitre 4 Intégrtion, espce L 1 Dns tout ce chpitre, (, F, µ) est un espce mesuré. Nous llons définir et étudier l intégrle sur cet espce, de fonctions mesurbles de signe non constnt. Aynt déjà vu l intégrle de fonctions mesurbles positives, on pourrit définir de mnière nlogue l intégrle des fonctions mesurbles négtives (i.e. ω, f(ω) [, 0]) pr un simple chngement de signe : f dµ := ( f) dµ. L étpe suivnte serit de décomposer une fonction f de signe non constnt en f = f + f, différence de deux fonctions positives et de poser f dµ := f + dµ f dµ. On voit tout de suite poindre le dnger d une écriture «+», dépourvue de sens. Ceci nous conduit à renoncer à définir une intégrle pour toutes les fonctions mesurbles et à introduire l ensemble L 1 (µ) des fonctions µ-intégrbles pour lesquelles l intégrle f dµ ser toujours un réel ou un complexe, mis jmis infini. 4.1 Fonctions µ-intégrbles Définition 4.1 (Intégrbilités). Soit f une ppliction définie sur et à vleurs dns K = R, R ou C. On dit qu elle est µ-intégrble si ) elle est mesurble F-Bor(K) ; b) l intégrle f dµ est finie, f désignnt l vleur bsolue (cs R et R) ou le module (cs C). Soit A F, on dit que f est µ-intégrble sur A si l fonction f1 A est µ-intégrble u sens ci-dessus. Remrques L mesurbilité ne concerne que les tribus ; pr contre l intégrbilité est toujours reltive à une mesure prticulière. 2. Une fonction mesurble positive toujours une intégrle (et ce pr rpport à n importe quelle mesure). Elle n est ps forcément intégrble pr rpport à une mesure donnée. 91

3 Chpitre 4. Intégrtion, espce L 1 3. Il importe de ne ps omettre l condition ), cr f peut très bien être mesurble et voir une intégrle finie sns que f soit mesurble. Pour s en convincre, prenons pour µ une mesure de probbilité et pour f l fonction 1 B 1 B c où B / F. Alors f n est ps mesurble puisque f 1 ({1}) = B / F. Pr contre f est l fonction constnte sur vlnt 1, elle est mesurble et f dµ = 1 < On peut vérifier que l µ-intégrbilité de f sur A F équivut à l µ A -intégrbilité de l restriction de f à A, où µ A est l mesure restriction de µ à l tribu trce de F sur A (cf. remrque 3.7). Si f est à vleurs dns R ou R, rppelons que s prtie positive f + et s prtie négtive f sont les fonctions positives f + = mx(f; 0), f = min(f; 0) = mx( f; 0). Si f(ω) > 0, f + (ω) = f(ω) = f(ω) et f (ω) = 0. Si f(ω) < 0, f + (ω) = 0 et f (ω) = f(ω) = f(ω). Enfin si f(ω) = 0, f + (ω) = f (ω) = 0. On voit insi que f = f + + f, f = f + f, (4.1) en notnt u pssge que cette dernière églité ne génère jmis l expression non définie «+», cr pour chque ω, u moins l un des deux termes f + (ω) et f (ω) vut zéro. Il résulte imméditement de (4.1) que f est µ-intégrble si et seulement si f + et f sont mesurbles et ont des intégrles finies. Concernnt les fonctions f à vleurs complexes, l équivlence entre l mesurbilité de f et celles de Re f et Im f insi que les inéglités mx ( Re f ; Im f ) f Re f + Im f, (4.2) montrent que f est µ-intégrble si et seulement si les fonctions réelles Re f et Im f le sont. Définition 4.3 (Intégrles). Soit f une ppliction définie sur, à vleurs dns K = R, R ou C et µ-intégrble. Son intégrle pr rpport à µ sur est lors définie pr : si K = R ou R, si K = C, f dµ := f dµ := f + dµ Re f dµ + i f dµ ; Im f dµ. Si A F, l intégrle de f sur A est définie pr f dµ := f1 A dµ. A Cette intégrle est ussi notée f(ω) dµ(ω) ou f(ω)µ(dω), y compris lorsque A =. A A 92 Ch. Suquet, Cours I.F.P

4 4.1. Fonctions µ-intégrbles Lorsque l on considère l intégrle comme une ppliction définie sur un ensemble de fonctions et à vleurs dns K, il est prfois commode d utiliser l nottion µ(f) := f dµ. De ce point de vue, f dµ = µ(f1 A A) et µ(a) = µ(1 A ). Soit f à vleurs dns R + ou R + et µ-intégrble. Il est clir que l définition 4.3 de f dµ est comptible vec celle de l intégrle d une fonction mesurble positive u sens du chpitre 3. Si f est à vleurs complexes et intégrble, il est clir pr l définition 4.3 que ( ) Re f dµ = Re f dµ, ( ) Im f dµ = Im f dµ Dns le lngge des probbilités, l définition 4.3 est celle de l espérnce mthémtique d une vrible létoire réelle ou complexe. Rppelons qu une telle vrible létoire est simplement une ppliction mesurble F-Bor(K), vec K = R ou C. Définition 4.4 (Espérnce). Soit (, F, P) un espce probbilisé et X une vrible létoire définie sur et à vleurs dns R ou C. Si X est P-intégrble, on définit son espérnce mthémtique (sous P) pr EX := X dp = X(ω) dp(ω). Avnt d étblir les propriétés générles de l intégrle, exminons deux exemples importnts dont l combinison v nous donner le clcul d intégrles pr rpport à une mesure discrète quelconque. Proposition 4.5. Soit ω 0 fixé dns et δ ω0 l mesure de Dirc en ce point. Une fonction mesurble f : K est toujours δ ω0 -intégrble si K = R, ou C. Si K = R, l δ ω0 -intégrbilité de f équivut à l finitude de f(ω 0 ). Qund f est δ ω0 -intégrble, on f dδ ω0 = f(ω 0 ). Démonstrtion. Pr mesurbilité de f, f M + et pr l proposition 3.23, f dδ ω0 = f (ω 0 ) = f(ω 0 ). L δ ω0 -intégrbilité de f se réduit donc dns ce cs à l finitude de f(ω 0 ), lquelle est utomtique si K = R, ou C. Qund f est intégrble et K = R, l définition 4.3 et l proposition 3.23 ppliquée ux fonctions mesurbles positives f + et f nous donnent : f dδ ω0 = f + dδ ω0 f dδ ω0 = f + (ω 0 ) f (ω 0 ) = f(ω 0 ). Le cs complexe se rmène u cs réel pr séprtion des prties réelles et imginires. Ch. Suquet, Cours I.F.P

5 Chpitre 4. Intégrtion, espce L 1 Proposition 4.6. Soit J une prtie de N, (µ j ) j J une suite (finie ou infinie) de mesures sur (, F) et ( j ) j J une suite de réels strictement positifs. Notons µ l mesure j J jµ j sur (, F). Une ppliction f : K vec K = R, R ou C, est µ-intégrble si et seulement si elle est mesurble F-Bor(K) et j f dµ j < +. (4.3) Qund f est µ intégrble, j J f dµ = j J j f dµ j. (4.4) Démonstrtion. L crctéristion de l µ-intégrbilité n est que l reproduction de l définition 4.1, dns lquelle on implnté l formule de clcul de f dµ fournie pr l proposition Notons que dns l proposition 3.24, on n interdit ps ux coefficients k d être nuls, donc l formule de clcul des intégrles de fonctions mesurbles positives vut ussi pour les mesures j J jµ j vec J N. Supposons mintennt f µ-intégrble. L condition (4.3) et l stricte positivité de chque j, j J impliquent l finitude de f dµ j et donc l µ j -intégrbilité 1 de f. Lorsque K = R ou R, en ppliqunt l proposition 3.24 ux fonctions mesurbles positives f + et f, on obtient f + dµ = j f + dµ j, f dµ = j f dµ j. (4.5) j J j J Comme f + dµ et f dµ sont mjorées pr f dµ, l µ-intégrbilité de f entrîne l convergence vers un réel positif fini des séries 2 figurnt dns (4.5). On peut donc former leur différence qui est insi une série convergente dns R et l ppliction de l définition 4.3 nous donne f dµ = f + dµ f dµ = { } j f + dµ j f dµ j = j f dµ j. j J j J Corollire 4.7 (Représenttion d une série comme intégrle). Soit + k=0 u k une série à termes réels ou complexes, bsolument convergente. Elle peut s écrire comme intégrle pr rpport à l mesure de comptge ν := k N δ k. En effet, en notnt f : N C, k f(k) := u k, on : + u k = f dν. k=0 1 C est précisément ici que l hypothèse j > 0 est importnte. En effet si j = 0 et f dµ j = +, on j f dµ j = 0, ce qui n empêche ucunement l rélistion de (4.3). Pr contre f dµ j n est ps défini et (4.4) devient illégitime (ne ps confondre «non défini» et «infini»). 2 Si J est fini, ce sont des somme finies de réels et il n y ucune justifiction à donner. N 94 Ch. Suquet, Cours I.F.P

6 4.1. Fonctions µ-intégrbles Démonstrtion. Munissons N de l tribu P(N), pour lquelle toute ppliction f : N C est mesurble. L intégrbilité de f se réduit lors à l condition f dν < +. En N ppliqunt l proposition 3.24 à l mesure ν et à l fonction mesurble positive f, cette condition s écrit f dν = f dδ k = f (k) = f(k) = u k < +. N k N N k N k N k N Ainsi l ν-intégrbilité de f résulte de l convergence bsolue de l série + k=0 u k. Pr ppliction de (4.4), on f dν = f dδ k = f(k) = u k. N k N N k N k N Nous pssons mintennt à l étude des propriétés générles de l intégrle. Définition 4.8 (Espce L 1 (µ)). Pour K = R ou C, on note L 1 K (µ) l ensemble des fonctions µ-intégrbles f : K. Proposition 4.9 (Linérité de l intégrle). Pour K = R ou C, l ensemble L 1 K (µ) est un espce vectoriel sur K. L intégrtion f f dµ considérée comme ppliction de L 1 K (µ) dns K est une forme linéire :, b K, f, g L 1 K(µ), (f + bg) dµ = f dµ + b g dµ. (4.6) On exclu délibérément le cs K = R dns l définition de L 1 K (µ), cr si f et g à vleurs dns K = R sont µ-intégrbles, on peut très bien voir pour certins ω, f(ω) = + et g(ω) = de sorte que (f + g)(ω) n est ps défini et L 1 (µ) ne peut ps R être un espce vectoriel. Preuve de l proposition 4.9. Soient f et g dns L 1 K (µ) et h := f + g. Alors h est mesurble et compte-tenu de l croissnce et de l dditivité de l intégrle dns M +, l inéglité h f + g nous donne : h dµ ( f + g ) dµ = f dµ + g dµ < +. Ainsi h est µ-intégrble et L 1 K (µ) est stble pr ddition. Pour vérifier l dditivité de l intégrle dns L 1 K (µ), regrdons d bord le cs K = R. On peut lors écrire d où l églité dns M + : h + h = f + f + g + g, h + + f + g = h + f + + g +. Ch. Suquet, Cours I.F.P

7 Chpitre 4. Intégrtion, espce L 1 Pr dditivité de l intégrle dns M +, on obtient h + dµ + f dµ + g dµ = h dµ + et l finitude de ces 6 intégrles nous permet d écrire : h + dµ h dµ = f + dµ f dµ + f + dµ + g + dµ g + dµ g dµ, ce qui donne bien (f + g) dµ = f dµ + g dµ. Lorsque K = C, l définition de l intégrle : h dµ = Re h dµ + i Im h dµ et les églités Re(f + g) = Re f + Re g, Im(f + g) = Im f + Im g nous rmènent u cs précédent. Soient f L 1 K (µ) et K. L intégrbilité de f résulte de l reltion f = f et de l homogénéité de l intégrle dns M + : c R +, ϕ M +, cϕ dµ = c ϕ dµ. (4.7) Donc f L 1 K (µ) et ceci chève de prouver que L1 K (µ) est bien un espce vectoriel. Pour vérifier que f dµ = f dµ, commençons pr le cs K = R. Si > 0, (f) + = f + et (f) = f d où grâce à (4.7) : f dµ = f + dµ f dµ = f + dµ f dµ = f dµ. Si < 0, (f) + = f et (f) = f +, d où f dµ = f dµ f + dµ = f dµ f + dµ = Le cs = 0 est immédit. Enfin, prenons K = C et notons α = Re, β = Im. Alors f dµ + f + dµ = f dµ. f = (α + iβ)(re f + i Im f) = (α Re f β Im f) + i(α Im f + β Re f), de sorte qu en utilisnt l définition de l intégrle dns le cs K = C et (4.6) déjà étblie dns le cs réel, on obtient f dµ = (α Re f β Im f) dµ + i (α Im f + β Re f) dµ = (α + iβ) Re f dµ + (αi β) Im f dµ ( ) = (α + iβ) Re f dµ + i Im f dµ = f dµ. Ceci chève l vérifiction de (4.6) dns le cs complexe. 96 Ch. Suquet, Cours I.F.P

8 4.1. Fonctions µ-intégrbles Avnt de poursuivre, il est utile de reformuler (4.6) dns le cdre probbiliste. Corollire 4.10 (Linérité de l espérnce). L espérnce des vribles létoires à vleurs réelles ou complexes, définies sur (, F, P) et P-intégrbles est linéire. Il est intéressnt de noter qu vec les définitions de l espérnce données en DEUG, il étit impossible de prouver cette linérité (à moins de se restreindre ux vribles létoires discrètes). En effet dns le cs d une vrible létoire à densité g, on définissit l espérnce comme une intégrle + xg(x) dx. L ennui c est que si X et Y ont des densités, rien ne dit que X + Y soit ussi à densité. Proposition Avec K = R ou C, on ) Si f L 1 K (µ), lors f L1 K (µ) et f dµ f dµ. (4.8) b) Si f, g : K sont deux fonctions mesurbles telles que f g et si g est µ-intégrble, lors f l est ussi. c) Si f, g L 1 R (µ) sont telles que f g, lors f dµ g dµ. Démonstrtion. Pour prouver ), on remrque d bord que l intégrbilité de f découle imméditement de l définition de celle de f : si f est mesurble, f l est ussi et les deux fonctions ont même vleur bsolue (module). Pour étblir (4.8) dns le cs K = R, il suffit de noter que f + et f étnt positives, leurs intégrles le sont ussi, d où : f dµ = f + dµ f dµ f + dµ + f dµ = f + dµ + f dµ = (f + + f ) dµ = f dµ. Dns le cs K = C, puisque f est dns L 1 C (µ), w := f dµ est un nombre complexe. Il existe lors c C tel que c = 1 et cw soit un réel positif ou nul (si w 0, prendre c = w/ w, si w = 0, c = 1 convient). On insi w = cw = cw = cf dµ R d près (4.6), d où ( ) f dµ = cf dµ = Re cf dµ = Re(cf) dµ cf dµ = f dµ. Le b) est qusi immédit en se souvennt que l mesurbilité de f et g implique celle de f et g et que ces deux dernières fonctions mesurbles positives ont toujours une intégrle élément de R +. L intégrbilité de f résulte lors de celle de g et de l croissnce de l intégrle dns M + : f dµ g dµ < +. Ch. Suquet, Cours I.F.P

9 Chpitre 4. Intégrtion, espce L 1 Pour vérifier c), on observe que pour des fonctions à vleurs réelles (donc finies en chque point ω) f g équivut à f + + g g + + f. L croissnce de l intégrle dns M + nous donne lors (f + + g ) dµ (g + + f ) dµ Pr dditivité de l intégrle et finitude de g dµ et f dµ, on en déduit f + dµ f dµ g + dµ g dµ, d où f dµ g dµ. Proposition 4.12 (Intégrtion pr rpport à une mesure à densité). Soient (, F, µ) un espce mesuré et f : R +, mesurble F-Bor(R + ). On note ν l mesure de densité f pr rpport à µ (cf. théorème 3.17). Soit g : K = R ou R, mesurble F- Bor(K). L ppliction g est ν-intégrble si et seulement si le produit gf est µ-intégrble et dns ce cs, g dν = gf dµ. (4.9) On le même énoncé pour K = C, à condition de prendre f à vleurs dns R + u lieu de R +. Preuve. L condition d intégrbilité résulte imméditement du théorème 3.17 ppliqué à l fonction mesurble positive g en notnt que g f = gf. Remrquons u pssge que les mesurbilités de gf et de f n impliquent ps celle de g. L hypothèse de mesurbilité de g n est donc ps superflue. L formule (4.9) se vérifie d bord pour K = R, R en ppliqunt l formule nlogue pour les fonctions mesurbles positives à g + et g et en remrqunt que grâce à l positivité de f, (gf) + = g + f et (gf) = g f. Le cs complexe se rmène u cs réel en séprnt prtie réelle et imginire de g et en notnt que f étnt à vleurs réelles 3, Re(gf) = Re(g)f et Im(gf) = Im(g)f. Théorème 4.13 (de trnsfert). Soient ( 1, F 1 ) et ( 2, F 2 ) deux espces mesurbles et ϕ : 1 2 une ppliction mesurble F 1 -F 2. Soit µ une mesure sur ( 1, F 1 ) et ν := µ ϕ 1 s mesure imge sur ( 2, F 2 ). Soit h une ppliction h : 2 K, K = R, R ou C, mesurble F-Bor(K). Alors h est ν-intégrble si et seulement si h ϕ est µ- intégrble et dns ce cs, (h ϕ) dµ = h dν. (4.10) 1 2 Démonstrtion. L équivlence entre l µ-intégrbilité de h ϕ et l ν-intégrbilité de h est une conséquence directe du théorème de trnsfert dns M + et de l reltion h ϕ = h ϕ. Dns le cs K = R ou R, (4.10) se vérifie en notnt que (h ϕ) + = h + ϕ, et 3 Si on utorisit f(ω) à vloir +, on urit un problème de définition vec le produit g(ω)f(ω), puisque nous n vons ps donné de sens à z (+ ) pour z C quelconque. 98 Ch. Suquet, Cours I.F.P

10 4.1. Fonctions µ-intégrbles (h ϕ) = h ϕ et en ppliqunt le théorème de trnsfert dns M + à h + et h. Le cs complexe se rmène u cs réel pr séprtion des prties réelles et imginires en notnt que Re(h ϕ) = (Re h) ϕ et Im(h ϕ) = (Im h) ϕ. Corollire 4.14 (Clculs d espérnces et de moments). Soit X une vrible létoire réelle définie sur l espce probbilisé (, F, P) et P X s loi. Alors X est P-intégrble si et seulement si x dp R X(x) < + et dns ce cs son espérnce est donnée pr EX := X dp = x dp X (x). (4.11) Plus générlement, si h est une ppliction borélienne de R dns R, l vrible létoire Y = h(x) est P-intégrble si et seulement si h(x) dp R X(x) < + et dns ce cs Eh(X) := h(x) dp = h(x) dp X (x) = y dp Y (y). (4.12) R Preuve. Pour l c.n.s. d intégrbilité de Y = h(x) et le clcul de son espérnce pr (4.12), il suffit d ppliquer le théorème de trnsfert vec 1 =, F 1 = F, 2 = R, F 2 = Bor(R) et ϕ = X. Le cs où h est l identité sur R (h(x) = x) donne l condition d existence et le clcul de EX pr (4.11)... et l dernière églité dns (4.12) en prennt cette fois ϕ = Y. Remrque Sur le modèle du corollire 4.14, on peut décliner plusieurs vrintes dont l preuve s obtient pr une dpttion immédite de celle du corollire. En voici deux. ) L vrible létoire complexe Z sur (, F, P) est P-intégrble si et seulement si z dp C Z(z) < + et dns ce cs, EZ = z dp C Z(z). b) Soit X : R d un vecteur létoire et h : R d K = R ou C, borélienne. L vrible létoire réelle ou complexe Y = h(x) est P-intégrble si et seulement si h(x) dp R d X (x) < + et dns ce cs Eh(X) := h(x) dp = h(x) dp X (x) = y dp Y (y). R d K Corollire 4.16 (Espérnce d une vribles létoire discrète). Soit (, F, P) un espce probbilisé et X une vrible létoire discrète sur (, F), à vleurs dns K = R ou C. Alors X est P-intégrble si et seulement si x P(X = x) < + (4.13) x X() et dns ce cs l espérnce de X sous P peut se clculer pr EX = xp(x = x). (4.14) x X() R R Ch. Suquet, Cours I.F.P

11 Chpitre 4. Intégrtion, espce L 1 Si h est une ppliction quelconque K C, Y := h(x) est encore une vrible létoire discrète. Elle est P-intégrble si et seulement si x X() et dns ce cs l espérnce de Y sous P peut se clculer pr Eh(X) = h(x) P(X = x) < + (4.15) x X() h(x)p(x = x). (4.16) Preuve. L ensemble X() = {x 0, x 1,..., x n,...} est ici une prtie u plus dénombrble de R ou C. Selon l proposition 2.27, l loi de X est donnée pr P X = x j X() P(X = x j )δ xj. Il suffit lors d ppliquer le corollire 4.14, en utilisnt les propositions 4.6 et 4.5 pour le clcul des intégrles reltives à P X. Deux précisions s imposent ici. Nous n vons ps besoin de l hypothèse h borélienne, cr X est mesurble F-P(K), donc pour n importe quelle tribu G sur C, h étnt utomtiquement mesurble P(K)-G, h X est mesurble F-G. Ceci est vri en prticulier pour G = Bor(C). En fit on dpte légèrement l preuve du corollire 4.14 en prennt F 2 = P(K) u lieu de F 2 = Bor(K) pour l mesurbilité F- F 2 de X dns l ppliction du théorème de trnsfert. D utre prt dns l ppliction de l proposition 4.6, il n y ps lieu d écrter les indices j tels que j := P(X = x j ) = 0. En effet, ici µ j = δ xj et h étnt à vleurs dns R ou C, est utomtiquement δ xj -intégrble (voir note 1 p. 94). Remrque En DEUG (voir [ICP, 5.1]), on vit utilisé (4.13) et (4.14) pour définir l existence et l vleur de EX. Le remplcement de cette définition initile de EX pr l intégrle bstrite X dp permet d unifier l théorie de l espérnce et de bénéficier des bonnes propriétés de l intégrle bstrite. Pr exemple si X est une vrible létoire discrète et Y une vrible létoire à densité, ynt chcune une espérnce, l vrible létoire Z = X + Y qui n est en générl ni discrète ni à densité, ussi une espérnce et EZ = EX + EY. Exemple 4.1 (Fonction crctéristique d un vecteur létoire). Soit X : R d un vecteur létoire de composntes X 1,..., X d, sur l espce probbilisé (, F, P). On ppelle fonction crctéristique de X l ppliction ϕ X : R d C, définie pr t = (t 1,..., t d ) R d, ϕ X (t) := E exp(i t, X ) = E exp ( i(t 1 X t d X d ) ). (4.17) Cette fonction crctéristique joue un grnd rôle en théorie des Probbilités, notmment dns l étude de l convergence en loi. Justifions l existence de ϕ X (t). Pour t fixé, l ppliction h := exp(i t,. ) : R d C est continue donc borélienne et bornée donc h(x) 100 Ch. Suquet, Cours I.F.P

12 4.2. Négligebilité est une vrible létoire complexe bornée, donc P-intégrble sur. En notnt P X l loi du vecteur létoire X, on en ppliqunt l remrque 4.15 b) ϕ X (t) = exp(i t, x ) dp X (x). (4.18) R d En prticulier si X une densité f pr rpport à l mesure de Lebesgue, ϕ X (t) = exp(i t, x )f(x) dλ d (x). (4.19) R d L poursuite du clcul explicite de ϕ X nécessite lors de svoir clculer prtiquement une intégrle pr rpport à λ d, ce que nous étudierons u chpitre 5. Dns le cs où X est une vrible létoire discrète, nous disposons déjà de l outillge nécessire pour chever le clcul de ϕ X. Pr exemple si X suit l loi de Poisson de prmètre α, en ppliqunt le corollire 4.16, on obtient t R, ϕ X (t) = E exp(itx) = e α α k e itk = e α (αe it ) k k! k! k N k N = exp ( α(e it 1) ). 4.2 Négligebilité Deux fonctions intégrbles qui diffèrent seulement sur un ensemble de mesure nulle ont même intégrle. Ceci motive l recherche d une plus grnde souplesse dns l théorie de l intégrtion, notmment en remplçnt dns les hypothèses des théorèmes d interversion limite intégrle, les conditions requises en tout point de pr leurs nlogues presque prtout. Une utre conséquence importnte est que l ppliction f f dµ n est qu une semi-norme sur L 1 K (µ). Ceci nous mèner à quotienter L1 K (µ) pr l espce des fonctions mesurbles nulles presque prtout de fçon à en fire un espce vectoriel normé (qui ser de plus complet) Ensembles négligebles Une propriété (π) reltive à certins éléments de peut toujours être vue comme une ppliction π de dns l ensemble booléen {Fux, Vri} que l on peut munir de l tribu P de toutes ses prties. On dit lors que l propriété (π) est F-mesurble si l ppliction π est F-P mesurble. Ceci est équivlent à A := π 1 (Vri) F. Définition Soit (, F, µ) un espce mesuré. ) Un élément A de l tribu F est une prtie µ-négligeble (ou simplement négligeble s il n y ps d mbiguité sur l mesure µ) si µ(a) = 0. b) Une propriété F-mesurble (π) est dite vrie µ-presque prtout si µ ( π 1 (Fux) ) = 0. Si µ = P est une mesure de probbilité, on prle de propriété vrie P-presquesûrement. Dns ce cs P ( π 1 (Fux) ) = 0 est équivlent à P ( π 1 (Vri) ) = 1. Ch. Suquet, Cours I.F.P

13 Chpitre 4. Intégrtion, espce L 1 c) Une fonction f : K, K = R ou C est négligeble si elle est F-Bor(K) mesurble et nulle µ-presque prtout. Remrquons que dns le cs d une mesure µ telle que µ() = +, on peut voir µ ( π 1 (Vri) ) = µ() sns que (π) soit vrie µ-presque prtout. Dns l suite, on brèger «µ-presque prtout» en µ-p.p. ou en p.p. s il n y ps d mbiguité sur l mesure µ concernée. Si A est une prtie mesurble (i.e. A F) d un ensemble négligeble, A est ussi négligeble. Toute réunion dénombrble d ensembles négligebles est négligeble Finitude presque prtout Un exemple importnt de propriété vrie presque prtout est l finitude des fonctions intégrbles. Proposition Soit f : R une ppliction µ-intégrble. Alors f est finie µ presque prtout. L preuve de ce résultt très utile repose sur le lemme suivnt. Lemme Soit g : R + mesurble positive. Pour tout réel t > 0, µ({g t}) 1 g dµ. (4.20) t Dns l théorie des Probbilités, ce lemme est connu sous le nom d inéglité de Mrkov. Nous le trduisons dns ce lngge pour l commodité de référence ultérieure : Lemme 4.21 (Inéglité de Mrkov). Soit Y une vrible létoire positive (à vleurs dns R + ) sur l espce probbilisé (, F, P). Alors t > 0, P(Y t) EY t. Remrque L inéglité de Mrkov n d intérêt que si EY < + et dns ce cs, seulement pour t > EY. Pour n importe quelle vrible létoire positive Y telle que P(Y = + ) = 0, P(Y > t) tend vers 0 qund t tend vers + pr continuité séquentielle décroissnte de P. L inéglité de Mrkov nous dit que si de plus EY est fini, cette convergence lieu (u moins) vec l vitesse O(t 1 ). En fit on peut rffiner et montrer que cette vitesse est u moins o(t 1 ), cf. T.D. Preuve du lemme Comme g est mesurble, A := {g t} F et comme g est positive et minorée pr l constnte t sur A : g dµ g dµ t dµ = tµ({g t}). On en déduit (4.20) en divisnt pr t. A A 102 Ch. Suquet, Cours I.F.P

14 4.2. Négligebilité Preuve de l proposition Définissons les ensembles A n et A dns F pr n N, A n := { f n}, A := { f = + }. On clirement A A n. En ppliqunt le lemme 4.20 on obtient 0 µ(a) µ(a n ) 1 f dµ n et comme f dµ < + (pr intégrbilité de f), ce mjornt tend vers 0 qund n tend vers +. Corollire Soit (f n ) une suite de fonctions mesurbles positives (à vleurs dns R + ou R + ) telle que + f n dµ < +. n=0 Alors f := + n=0 f n est finie µ-presque prtout sur. Démonstrtion. Il suffit d ppliquer l proposition 4.19, en notnt que grâce u théorème d interversion intégrle série dns M + (corollire du théorème de Beppo Levi), + f dµ = f n dµ < +. n=0 En prennt pour f n des fonctions indictrices dns le corollire 4.23, on obtient un résultt connu dns l théorie des Probbilités sous le nom de premier lemme de Borel Cntelli. Corollire 4.24 (Borel-Cntelli). Soit (A n ) n 1 une suite d évènements sur l espce probbilisé (, F, P) et A l ensemble des ω qui pprtiennent à une infinité d évènements de l suite. On suppose que + P(A n ) < +. Alors P(A) = 0. Démonstrtion. On pose f n = 1 An Alors A = + n=1 n=1 et on remrque que { ω ; f n dp = + n=1 + n=1 } 1 An (ω) = +. P(A n ) < +. Pr le corollire 4.23, f := + n=1 f n est finie P presque prtout, donc A = {f = + } est de mesure nulle. Ch. Suquet, Cours I.F.P

15 Chpitre 4. Intégrtion, espce L 1 On peut écrire l évènement A vec des opértions ensemblistes dénombrbles à prtir des A n. En effet ω pprtient à A si et seulement si il existe une infinité d entiers k tels que ω A k. Ceci s écrit n N, k n; ω A k. Avec l trduction utomtique des quntificteurs, ceci s écrit encore ω A k. n N k n Ainsi A = A k. (4.21) n N Cette écriture fit penser à l définition de l limite supérieure d une suite de réels : lim sup u n = inf n N sup k n u k, à condition de remplcer intersection pr inf et union pr sup. Or pour l reltion d ordre prtiel définie pr l inclusion, l intersection donne justement l borne inférieure d une fmille d ensembles et l réunion l borne supérieure. Ceci nous conduit à poser lim sup A n := A k. n N De mnière nlogue, on définit k n lim inf A n := n N k n A k. En trduisnt en sens inverse les opértions ensemblistes vec des quntificteurs, on voit que ω pprtient à lim inf A n si et seulement si n N, k n, ω A k. Autrement dit, lim inf A n est l ensemble des ω qui pprtiennent à tous les A k à prtir d un certin rng n = n(ω). En pssnt u complémentire dns (4.21), on obtient A c = A c k = lim inf A c n. n N k n En revennt à l conclusion du lemme de Borel Cntelli, P(A) = 0 équivut à P(A c ) = 1 et cette conclusion peut lors s interpréter insi : «presque sûrement, plus ucun des évènements A n ne se rélise u-delà d un certin rng (létoire)». Nous verrons ultérieurement des exemples d ppliction du lemme de Borel Cntelli Églité presque prtout Définition Soit (, F, µ) une espce mesuré et f, g deux fonctions K, K = R, R ou C, F-Bor(K) mesurbles. On dit qu elles sont égles µ-presque prtout lorsque {f g} est négligeble. Nottions : k n f = g µ p.p. ou f p.p. = g, s il n y ps d mbiguïté sur l mesure µ concernée. En prticulier, f est dite négligeble si elle est égle µ-p.p. à zéro. 104 Ch. Suquet, Cours I.F.P

16 4.2. Négligebilité Proposition Pour K = R ou C, l reltion d églité µ-p.p. est une reltion d équivlence sur l ensemble des fonctions mesurbles. Elle est comptible vec l ddition et l multipliction pr un sclire. Démonstrtion. L reltion est évidemment réflexive (f p.p. = f), symétrique (f p.p. = g g p.p. = f). Montrons qu elle est trnsitive (f p.p. = g et g p.p. = h impliquent f p.p. = h). Les ensembles A := {f g} et B := {g h} sont négligebles, donc ussi leur réunion. Il suffit lors de remrquer que pour tout ω (A B) c, f(ω) = g(ω) = h(ω). p.p. p.p. Si f 1 = g 1 et f 2 = g 2, A := {f 1 g 1 } et B := {f 2 g 2 } sont négligebles, donc ussi leur réunion. Pour tout ω (A B) c, f 1 (ω) = g 1 (ω) et f 2 (ω) = g 2 (ω) donc p.p. (f 1 +f 2 )(ω) = (g 1 +g 2 )(ω) d où f 1 +f 2 = g 1 +g 2. De même sur A c, on cf 1 (ω) = cg 1 (ω) p.p. pour toute constnte c, donc cf 1 = cg 1. Proposition Soient (f n ) et (g n ) sont deux suites d pplictions mesurbles à vleurs dns R ou R. p.p. p.p. ) Si f 1 = g 1 et f 2 = g 2, lors min(f 1, f 2 ) p.p. = min(g 1, g 2 ) et mx(f 1, f 2 ) p.p. = mx(g 1, g 2 ). b) Si pour tout n, f n p.p. = g n, lors inf f p.p. n = inf g n n N n N lim inf f p.p. n = lim inf g n n + n + p.p. sup f n = sup g n (4.22) n N n N p.p. lim sup f n = lim sup g n (4.23) n + n + c) Si de plus lim f p.p. n = f, vec f mesurble, lim g p.p. n = f. n + n + Démonstrtion. Le ) est un cs prticulier de (4.22). Notons pour tout n N, A n := {ω ; f n (ω) g n (ω)}. Alors chque A n est un ensemble négligeble. L réunion dénombrble A = n N A n l est donc ussi et ω N c, n N, f n (ω) = g n (ω). Le b) et le c) en résultent imméditement. Proposition Une fonction mesurble f : K (K = R, R ou C) est négligeble si et seulement si f dµ = 0. Démonstrtion. Notons A := {ω ; f(ω) 0}. Si f dµ = 0, notons pour n N, A n := {ω ; f(ω) 1/n}. Pr le lemme 4.20 n N, µ(a n ) n f dµ = 0. Comme A est limite croissnte (pour l inclusion) de l suite (A n ), on pr continuité croissnte séquentielle de µ, µ(a) = lim n + µ(a n ) = 0. Donc f est µ-négligeble. Ch. Suquet, Cours I.F.P

17 Chpitre 4. Intégrtion, espce L 1 Réciproquement, si f est négligeble, supposons d bord f bornée sur tout pr une constnte M < +. Alors il suffit d intégrer l inéglité f M1 A pour obtenir f dµ Mµ(A) = 0. Si f n est ps bornée, on prend g n := min(n; f ) et pr le cs f bornée, g n dµ = 0. On conclut vec le théorème de Beppo Levi puisque g n f. Corollire i) Soient f et g deux fonctions mesurbles R +, égles µ-p.p. Alors f dµ = g dµ. ii) Si f L 1 K (µ) (K = R ou C) et si g est une fonction mesurble égle à f p.p. (éventuellement g à vleurs dns R qund K = R), g est intégrble et f dµ = g dµ. Démonstrtion. Dns les églités f = f1 {f=g} + f1 {f g} g = g1 {f=g} + g1 {f g}, les termes f1 {f g} et g1 {f g} sont des fonctions négligebles mesurbles positives. Pr l proposition 4.28, leurs intégrles sont nulles. Pr dditivité de l intégrle dns M + nous vons insi : f dµ = f dµ + f dµ = g dµ = g dµ + g dµ = g dµ. {f=g} {f g} {f=g} {f=g} {f g} Pour vérifier ii), considérons d bord le cs K = R. Pr l proposition 4.27 ), f + p.p. = g + et f p.p. = g. On donc d près le i) f + dµ = g+ dµ et f dµ = g dµ. L intégrbilité de f entrîne l finitude de ces 4 intégrles donc l intégrbilité de g. On lors l églité f dµ = (g+ g ) dµ = g dµ. Le cs complexe se rmène u cs K = R pr séprtion des prties réelles et imginires. 4.3 L espce de Lebesgue L 1 (µ) Pour K = R ou C, notons N K (µ) l ensemble des pplictions mesurbles négligebles K. Grâce à l proposition 4.26, on voit imméditement que N K (µ) est un espce vectoriel sur K. C est un sous-espce vectoriel de L 1 K (µ) pr l proposition L reltion d équivlence qu est l églité µ-p.p. sur L 1 K (µ) peut insi s écrire f, g L 1 K(µ), f p.p. = g si et seulement si f g N K (µ). Définition Soit (, F, µ) une espce mesuré et K = R ou C. On note L 1 K (µ) l espce vectoriel quotient L 1 K (µ)/n K(µ) de l espce des fonctions µ-intégrbles K pr son sous-espce des pplictions µ-négligebles. L nottion L 1 K (µ) peut être remplcée, lorsque le contexte l exige ou le permet, pr des nottions encore plus explicites comme L 1 K (, µ), voire L1 K (, F, µ) ou plus brèves comme L 1 (µ) ou L 1, etc. 106 Ch. Suquet, Cours I.F.P

18 4.3. L espce de Lebesgue L 1 (µ) Remrque Un élément de L 1 K (µ) est une clsse d équivlence de fonctions µ- intégrbles pour l églité µ-presque prtout. Si f et g sont deux fonctions membres de l même clsse de L 1 p.p. p.p. K (µ), lors f = g et clirement pour tout A F, f1 A = g1 A. On donc pr le corollire 4.29, f dµ = g dµ. Il en résulte que f et g sont indistingubles A A pour tout ce qui concerne le clcul d intégrles (pr rpport à µ). Remrque L construction de L 1 exposée ci-dessus exclut les fonctions à vleurs dns R. Rppelons que l on ne peut ps munir l ensemble des fonctions R, µ- intégrbles d une structure de R espce vectoriel cr on ne peut grntir que l somme de deux telles fonctions soit définie sur tout. Nénmoins, si g : R est µ-intégrble, l fonction f := g1 { g <+ } est égle µ-p.p. à g et est dns L 1 R (µ) : en effet pr l proposition 4.19, {f g} est négligeble et pr le corollire 4.29 i), ppliqué à f et g, f est µ intégrble. On s utoriser donc prfois à prler pr bus de lngge de l clsse de g dns L 1 R (µ). Définition Soit ϕ un élément de L 1 K (µ). On définit son intégrle sur A F pr ϕ dµ := f dµ, où f L 1 K (µ) est un représentnt quelconque de l clsse ϕ. A D près l remrque 4.31, cette définition est cohérente : l vleur de ϕ dµ ne A dépend ps du choix du représentnt f de ϕ. Dns le même esprit, on peut grâce à l proposition 4.27, définir ϕ +, ϕ, ϕ. Proposition L 1 K (µ) est un espce vectoriel normé pr ϕ 1 := ϕ dµ. (4.24) L espce L 1 K (µ) ser toujours supposé muni de cette norme. L ppliction L1 K (µ) K, ϕ ϕ dµ est une forme linéire continue sur L1 K (µ). S norme dns l espce des formes linéires continues sur L 1 K (µ) (le dul topologique de L1 K (µ)) est inférieure ou égle à 1, ce qui se trduit pr : ϕ L 1 K(µ), ϕ dµ ϕ 1. (4.25) Démonstrtion. Vérifions d bord que (4.24) définit bien une norme sur L 1 K (µ). Soient ϕ, ψ, quelconques dns L 1 K (µ) et c K. Notons f et g des représentnts respectifs de ϕ et ψ dns L 1 K (µ), lors f + g est un représentnt de ϕ + ψ et cf un représentnt de cϕ. D où l homogénéité : cϕ 1 = cf dµ = c f dµ = c ϕ 1 A Ch. Suquet, Cours I.F.P

19 Chpitre 4. Intégrtion, espce L 1 et l sous-dditivité ϕ + ψ 1 = f + g dµ ( f + g ) dµ = f dµ + g dµ = ϕ 1 + ψ 1. D utre prt le réel ϕ 1 est clirement positif ou nul. Il reste à vérifier qu il ne s nnule que si ϕ est égl u zéro de l espce L 1 K (µ), clsse d équivlence de l fonction nulle, utrement dit N K (µ). C est bien le cs d près l proposition L inéglité (4.25) découle de l proposition 4.11 ) vi le choix d un représentnt f. Rppelons que si l est une ppliction linéire d un espce vectoriel normé E dns un e.v.n. F, elle est continue si et seulement s il existe une constnte C telle que v E, l(v) F C v E. L «norme opérteur» de l dns l espce vectoriel des pplictions linéires continues de E dns F est lors définie comme l meilleure vleur possible C l pour l constnte C dns l inéglité ci-dessus, utrement dit l(v) F l := C l = sup = sup l(v) F = sup l(v) F. v E v E v E =1 v E 1 v 0 Revenons à (4.25), en prennt E = L 1 K (µ) muni de l norme 1 et F = K muni de l norme, on voit que (4.25) exprime bien l continuité de l forme linéire ϕ ϕ dµ et que l norme opérteur de cette forme linéire est u plus 1. En fit elle vut exctement 1 dès qu il existe A F tel que 0 < µ(a) < +. En effet 1 A est lors µ-intégrble et s clsse ϕ dns L 1 K (µ) vérifie ϕ dµ = 1 A dµ = µ(a) = 1 A dµ = ϕ dµ = ϕ 1, ce qui montre qu on ne peut ps choisir de constnte C plus petite que 1 dns l inéglité ψ dµ C ψ 1 ( ψ L 1 K (µ)). Nous verrons ultérieurement, comme conséquence du théorème de convergence dominée que l espce vectoriel normé L 1 K (µ) est complet. C est donc un espce de Bnch. 4.4 Le théorème de convergence dominée Nous bordons mintennt le théorème principl d interversion limite intégrle connu sous le nom de théorème de convergence dominée ou théorème de Lebesgue. L ppelltion «convergence dominée» est en soi une bonne description de ce théorème qui dit grosso modo que l interversion lim f n dµ = lim f n dµ est vlide dès que l suite (f n ) vérifie une hypothèse de convergence (µ-p.p. sur ) et une hypothèse de domintion pr une fonction µ-intégrble u sens suivnt. 108 Ch. Suquet, Cours I.F.P

20 4.4. Le théorème de convergence dominée Définition L suite (f n ) d pplictions mesurbles K (K = R, R ou C) est dominée sur pr l fonction mesurble g : R + si n N, ω, f n (ω) g(ω). Elle est dite dominée µ-p.p. si l inéglité ci-dessus lieu µ-presque prtout sur. Il est clir que dns l définition de l domintion µ-p.p., on peut intervertir «n» et «µ-p.p.» puisqu une réunion dénombrble d ensembles négligebles est encore négligeble. D un point de vue théorique, l meilleure fonction dominnt une suite (f n ) est simplement l fonction sup n N f n. En prtique, il est rre que l on sche expliciter cette fonction et étudier directement son intégrbilité, c est ce qui motive l introduction d une fonction g donnnt plus de souplesse. Dns s version finle, le théorème de Lebesgue est en fit un théorème de convergence dns L 1, d où l intérêt de l cluse «µ-p.p.» dns ses hypothèses. L pproche en pente douce (u détriment de l concision!) présentée dns les trois lemmes suivnts diffère l utilistion de cette cluse. Le lecteur pressé peut suter directement à l énoncé du théorème 4.39 et se contenter de l démonstrtion plus rpide, bsée sur le lemme de Ftou, qui ser exposée près l proposition Lemme 4.36 (de convergence décroissnte). Soit (f n ) une suite de fonctions mesurbles [0, + [ vérifint les trois hypothèses ) L suite (f n ) converge simplement sur vers 0 : ω, lim n + f n (ω) = 0. b) L suite (f n ) n n0 est décroissnte : ω, n n 0, f n (ω) f n+1 (ω). c) f n0 est µ-intégrble : f n 0 dµ < +. Alors lim f n dµ = 0. n + Démonstrtion. Posons pour n n 0, h n := f n0 f n. Cette fonction est bien définie sur tout (prce que les f n sont à vleurs dns [0, + [ et non dns R + ). Elle est mesurble comme différence de deux fonctions mesurbles à vleurs dns R. Elle est positive d près b). L suite (h n ) n n0 converge en croissnt vers f n0 d près ) et b). Pr b) et c), pour n n 0, les f n sont intégrbles puisque qu elles sont positives et n n 0, f n dµ f n0 dµ < +. Les h n sont lors elles ussi intégrbles comme différences d éléments de L 1 R (µ). Comme f n = f n0 h n, on pr linérité de l intégrle dns L 1 R (µ), n n 0, f n dµ = f n0 dµ h n dµ. (4.26) Qund n tend vers l infini, le membre de droite de (4.26) converge vers 0 pr le théorème de Beppo Levi ppliqué à l suite (h n ) n n0 et prce que f n 0 dµ une vleur finie. Ch. Suquet, Cours I.F.P

21 Chpitre 4. Intégrtion, espce L 1 Remrquons que l hypothèse c) est indispensble. Sur l espce mesuré (R, Bor(R), λ) l suite des fonctions f n = 1 [n,+ [ vérifie les hypothèses ) et b), mis ps l conclusion. Pr contre on peut se psser de l hypothèse de décroissnce b), comme le montre le lemme suivnt. Lemme Soit (f n ) une suite de fonctions mesurbles [0, + [, convergent simplement vers zéro sur et dominée sur pr une fonction µ-intégrble g : R +. Alors f n dµ converge vers 0. Démonstrtion. Pour tout ω, on 0 sup n N f n g(ω) +. Comme g est µ-intégrble, l ensemble A := {g < + } est de complémentire négligeble (proposition 4.19). Posons lors g n := sup(f k 1 A ). k n Comme 0 f n dµ = A f n dµ A g n dµ = g n dµ, il suffit de prouver l convergence vers 0 de g n dµ. Pour ce fire, on vérifie que l suite des fonctions mesurbles g n à vleurs dns [0, + [ stisfit ux conditions du lemme L décroissnce de g n est clire. L intégrbilité de g 0 résulte imméditement de l domintion de l suite (f k ) et donc fortiori de l suite (f k 1 A ) pr l fonction µ-intégrble g puisque g 0 dµ = sup(f k 1 A ) dµ g dµ < +. k 0 D utre prt, l convergence simple sur vers zéro de (f k 1 A ) découle imméditement de celle de (f k ) et s écrit : On en déduit que ω, ε > 0, k 0 (ω), k k 0 (ω), f k (ω)1 A (ω) < ε. ω, ε > 0, k 0 (ω), g k0 (ω)(ω) = sup f k (ω)1 A (ω) ε, k k 0 (ω) puis en rison de l décroissnce de (g n ), g n (ω) ε pour tout n k 0 (ω), ce qui prouve l convergence simple sur vers zéro de (g n ). Ainsi (g n ) vérifint toutes les hypothèses du lemme 4.36, g n dµ converge vers zéro et il en v de même pour f n dµ. Lemme Soit (f n ) une suite de fonctions mesurbles K (K = R ou C). On suppose que l suite (f n ) converge simplement sur vers une fonction f à vleurs dns K et est dominée sur pr une fonction µ-intégrble g. Alors f et les f n sont µ-intégrbles et lim f n f dµ = 0. n Ch. Suquet, Cours I.F.P

22 4.4. Le théorème de convergence dominée Démonstrtion. L domintion sur de l suite (f n ) pr g s écrit ω, f n (ω) g(ω), ce qui nous donne déjà l µ-intégrbilité des f n (cf. proposition 4.11 b). En pssnt à l limite dns cette inéglité, on en déduit f(ω) g(ω), d où l µ-intégrbilité de f. L suite des fonctions mesurbles h n := f n f est lors dominée pr l fonction µ-intégrble 2g. Ainsi l suite (h n ) stisfit lors ux conditions du lemme 4.37 donc h n dµ converge vers zéro. Théorème 4.39 (de convergence dominée). Avec K = R ou C, soit (f n ) une suite de fonctions mesurbles K vérifint les deux hypothèses suivntes. i) L suite (f n ) converge µ-presque prtout sur vers une fonction f : K, mesurble F-Bor(K). ii) L suite (f n ) est dominée µ-p.p. pr une fonction µ-intégrble g : R +. Sous ces conditions, ) f et les f n sont µ-intégrbles ; b) (f n ) converge vers f u sens L 1 : lim f n f dµ = 0 ; n + c) on l interversion limite-intégrle : lim f n dµ = f dµ. n + Démonstrtion. Soit A l ensemble des ω où f n (ω) converge vers f(ω). D près l hypothèse i), A est membre de l tribu F et µ(a c ) = 0. Pour tout entier n, notons B n := {ω ; f n (ω) g(ω)}. Pr l hypothèse ii), chque B n est membre de F et µ(b c n) = 0. Notons B l intersection de tous les B n. Comme une réunion dénombrble d ensembles négligebles est encore négligeble, µ(b c ) = 0. Enfin, notnt E = A B, on µ(e c ) = 0 et ω E, lim n(ω) = f(ω), n + (4.27) ω E, n N, f n (ω) g(ω). (4.28) Il est clir que si l on remplce f n pr h n := f n 1 E et f pr h := f1 E, les conditions (4.27) et (4.28) deviennent vlides sur tout. L suite (h n ) vérifie donc les hypothèses du lemme 4.38 et pr conséquent h et les h n sont µ-intégrbles et h n h dµ converge vers zéro. D utre prt, les f n et f étnt mesurbles et à vleurs dns R ou C, l fonction f n f est bien définie en tout point de et mesurble. Comme h n = f n µ-p.p. et h = f µ-p.p., f et les f n sont µ-intégrbles (cf. corollire 4.29 ii). De plus h n h = f n f µ- presque prtout et f n f dµ = h n h dµ (cf. corollire 4.29 i). Pr conséquent, f n f dµ converge vers zéro. L interversion limite intégrle du c) est lors une conséquence immédite de l inéglité 0 f n dµ f dµ = (f n f) dµ f n f dµ. Ch. Suquet, Cours I.F.P

23 Chpitre 4. Intégrtion, espce L 1 En prtique, l hypothèse de convergence i) est un peu plus simple à vérifier qu il n y prît. En effet on simplement besoin de montrer que f n converge µ-presque prtout, sns se préoccuper des vleurs à ttribuer à f sur l ensemble de divergence, ni de l mesurbilité de f. Cette simplifiction est une conséquence de l proposition suivnte. Proposition Soit (f n ) une suite de fonctions mesurbles K qui converge µ-p.p., ce qui signifie que A := {ω ; f n (ω) converge dns K} est un élément de l tribu F et µ(a c ) = 0. Alors ) Il existe une fonction f définie sur tout et à vleurs dns K, mesurble F- Bor(K), telle que (f n ) converge µ-p.p. vers f. On peut prendre ( ) f := lim fn 1 A. (4.29) n + b) (f n ) converge µ-p.p. vers h mesurble si et seulement si h = f µ-p.p. Démonstrtion. Vérifions que l suite de fonctions (f n 1 A ) converge en tout point de. En effet si ω A, f n (ω) converge vers un élément de K pr définition de A. Si ω A c, (f n 1 A )(ω) = f n (ω)1 A (ω) = 0 pour tout n donc (f n 1 A )(ω) converge vers 0 qund n tend vers l infini. L formule (4.29) définit donc bien une fonction f sur tout. Pour tout n, f n 1 A est mesurble comme produit de deux fonctions mesurbles et donc f l est ussi comme limite d une suite de fonctions mesurbles convergent simplement sur. D utre prt, (f n ) converge µ-p.p. vers f puisque si ω A, f n (ω) f(ω) et si ω / A, (f n (ω)) ne converge ps dns K, donc ne peut converger vers 0 = f(ω). Ceci montre que A c est exctement l ensemble de tous les points ω tels que f n (ω) ne converge ps vers f(ω). Comme µ(a c ) = 0, on bien vérifié que (f n ) converge µ-p.p. vers f. Soit mintennt h mesurble, égle à f µ-presque prtout. Notons B l ensemble des ω tels que (f n (ω)) ne converge ps vers h(ω). Alors B est dns F (prce que B = {lim sup f n h > 0}). Pour ω A {h = f}, (f n (ω)) converge vers h(ω). On donc l inclusion B ( A {h = f} ) c = A c {h f} qui montre que µ(b) = 0. Ainsi f n converge vers h µ-presque prtout. Réciproquement, supposons que (f n ) converge vers h µ-presque prtout, peut-on en déduire l églité µ-p.p. de f et h? Notons A 1 := {ω ; f n (ω) f(ω)}, A 2 := {ω ; f n (ω) h(ω)}. Alors A 1 A 2 {f = h} pr unicité de l limite de (f n (ω)) dns K. D où {f h} A c 1 A c 2 d où µ({f h}) = 0. Voici l deuxième preuve du théorème de convergence dominée, nnoncée pge 109. Preuve du théorème de Lebesgue pr le lemme de Ftou. Les nottions et les hypothèses étnt celles du théorème 4.39, posons := {ω ; n 1, f n (ω) g(ω)} et g n := ( 2g f f n ) Ch. Suquet, Cours I.F.P

24 4.4. Le théorème de convergence dominée Nous llons prouver le b) de l conclusion du théorème 4.39, le ) et le c) se vérifint comme ci-dessus. Notons que l hypothèse de domintion µ-p.p. se trduit pr µ(\ ) = 0 et que vu l définition de, elle entrîne ussi l positivité des g n sur tout. Les g n étnt mesurbles positives, on peut ppliquer le lemme de Ftou à l suite (g n ) : lim inf g n dµ lim inf g n dµ. (4.30) n + n + L hypothèse de convergence µ-p.p. de f n vers f nous donne lim inf g n = 2g, µ-p.p. (4.31) n + Notons que les deux membres de cette églité sont des fonctions définies sur tout et mesurbles positives. De (4.31) on déduit lim inf g n dµ = 2g dµ. (4.32) n + Regrdons mintennt le deuxième membre de (4.30). Pr l hypothèse de domintion, f f n est µ-intégrble, on peut donc écrire g n dµ comme différence de deux intégrles 4 d où : lim inf n + { g n dµ = lim inf n + = 2g dµ lim sup n + } 2g dµ f f n dµ (4.33) f f n dµ. (4.34) Pour psser de (4.33) à (4.34), on utilise le fit que si (u n ) est une suite de réels et c une constnte (finie), lim inf n + (c u n ) = c lim sup n + u n, dont l vérifiction est lissée en exercice 5. En combinnt (4.30), (4.32) et (4.34), on obtient 2g dµ 2g dµ lim sup f f n dµ. n + Comme 2g dµ est finie, cette inéglité équivut à lim sup f f n dµ 0. n + On en déduit imméditement l nullité de lim sup f f n dµ puis l existence et l nullité de lim f f n dµ. Ceci étblit le b) de l conclusion du théorème En toute rigueur, il fudrit d bord écrire g n dµ = g n dµ =..., détils lissés u lecteur consciencieux. 5 Noter u pssge qu ici l positivité de lim inf(c u n ) et celle de lim sup u n impliquent l finitude de lim sup u n. Ch. Suquet, Cours I.F.P

25 Chpitre 4. Intégrtion, espce L 1 Des trois conclusions du théorème de convergence dominée, l interversion limite intégrle c) est incontestblement l plus populire, cr c est elle que l on cherche à obtenir dns l pluprt des pplictions. Nénmoins, il importe de comprendre que l convergence L 1 de f n vers f est un résultt nettement plus fort que l convergence de f n dµ vers f dµ. Le résultt suivnt permet de s en convincre. Proposition Soit (, F, µ) un espce mesuré, (f n ) une suite dns L 1 K (µ) et f L 1 K (µ). Alors (f n) converge u sens L 1 vers f si et seulement si f A n dµ converge vers f dµ, uniformément en A sur F, c est-à-dire A sup A F A f n dµ A f dµ n + 0. L proposition 4.41 est une conséquence immédite du lemme suivnt Lemme L formule N(ϕ) := sup A F A ϕ dµ, ϕ L 1 K(µ) définit une norme sur L 1 K (µ), équivlente à l norme 1. Démonstrtion. Vérifions d bord que N est une norme. L homogénéité est évidente. L sous-dditivité de N résulte de l dditivité de l intégrle, de l sous-dditivité de l vleur bsolue (ou du module) et de l sous-dditivité du sup. Soit mintennt ϕ L 1 K (µ) telle que N(ϕ) = 0 et f un représentnt de l clsse de ϕ (f est donc une vrie fonction, f L 1 K (µ)). Il s git de montrer que f est négligeble. Regrdons d bord le cs K = R. En prennt successivement A := {f > 0} et A := {f < 0}, on voit que f dµ = 0 et A ( f) dµ = 0. Or f dµ = f + dµ et ( f) dµ = f dµ. L proposition 4.28 A A A ppliquée ux fonctions mesurbles positives f + et f montre lors qu elles sont négligebles, donc que leur différence f l est ussi. Le cs K = C se rmène u cs réel en observnt que les inéglités Re z z et Im z z impliquent N(Re f) N(f) et N(Im f) N(f). Ainsi N est bien une norme. Pour montrer l équivlence vec l norme 1, on remrque d bord que ϕ L 1 K(µ), A F, ϕ dµ ϕ dµ ϕ dµ = ϕ 1, d où en pssnt u sup sur A F, A ϕ L 1 K(µ), N(ϕ) ϕ 1. Dns l utre sens, pour K = R, en prennt f représentnt de l clsse de ϕ, f 1 f f 1 = f + dµ + f dµ = f dµ + ( f) dµ 2N(f), A {f>0} {f<0} 114 Ch. Suquet, Cours I.F.P

26 4.5. Comprison vec l intégrle de Riemnn d où en revennt ux clsses : ϕ L 1 R(µ), ϕ 1 2N(ϕ). Dns le cs complexe, on en utilisnt le cs réel f 1 Re f 1 + Im f 1 2N(Re f) + 2N(Im f) 4N(f). En revennt ux clsses on obtient : ϕ L 1 C(µ), ϕ 1 4N(ϕ), ce qui chève l preuve de l équivlence des normes. 4.5 Comprison vec l intégrle de Riemnn Une des premières pplictions du théorème de convergence dominée est le recyclge de l pluprt des intégrles de Riemnn courntes en intégrles pr rpport à l mesure de Lebesgue. Commençons pr un bref rppel sur l intégrbilité u sens de Riemnn Intégrbilité u sens de Riemnn Soit [, b] un intervlle borné de R. On ppelle subdivision de [, b] toute suite finie du type = {x 0 = < x 1 < < x n = b}. Pour une fonction bornée f : [, b] R, ( < < b < + ), on définit ses sommes de Drboux inférieure S (f) et supérieure S (f) pr S (f) := n k=1 (x k x k 1 ) inf [x k 1,x k ] f, S (f) := n k=1 (x k x k 1 ) sup f. [x k 1,x k ] Pour une illustrtion, voir les figures 4.1 et 4.2. On dit que l subdivision est un rffinement de si l ensemble des vleurs de l suite finie est inclus dns celui des vleurs de l suite, ce que nous noterons vec un léger bus. Il est fcile de vérifier que S (f) S (f) et S (f) S (f). Les figures 4.3 et 4.4 illustrent l effet de l djonction à l subdivision des figures 4.1 et 4.2 de deux nouveux points. Les intégrles de Riemnn inférieure I (f) et supérieure I (f) sont définies pr I (f) := sup S (f), I (f) := inf S (f), le supremum et l infimum étnt pris sur toutes les subdivisions de [, b]. Ch. Suquet, Cours I.F.P

27 Chpitre 4. Intégrtion, espce L 1 y x k x k+1 b x Fig. 4.1 S (f) y x k x k+1 b x Fig. 4.2 S (f) y x k x k+1 b x Fig. 4.3 Si, S (f) S (f) 116 Ch. Suquet, Cours I.F.P

28 4.5. Comprison vec l intégrle de Riemnn y x k x k+1 b x Fig. 4.4 Si, S (f) S (f) Pour 1 et 2 subdivisions de [, b] on clirement S 1 (f) S 1 2 (f) S 1 2 (f) S 2 (f), d où S 1 (f) S 2 (f). En prennt successivement le sup sur tous les 1, puis l inf sur tous les 2, on en déduit I (f) I (f), inéglité vérifiée pr toute fonction bornée f : [, b] R. Définition On dit que f bornée [, b] R est Riemnn intégrble si vec les nottions ci-dessus, I (f) = I (f). Dns ce cs on définit son intégrle u sens de Riemnn notée b f(x) dx pr b f(x) dx := I (f) = I (f). Nous prendrons bien grde dns cette section de distinguer les nottions b f(x) dx intégrle de Riemnn (éventuellement générlisée) et f dλ, intégrle de Lebesgue [,b] (i.e. u sens de l définition 4.3) pr rpport à l mesure de Lebesgue λ. Pr l suite, une fois étblie leur coïncidence sous des conditions ssez générles, on pourr confondre les deux nottions, comme il est d usge cournt dns l littérture mthémtique. Nous terminons ces «rppels» sur l Riemnn intégrbilité pr le cs importnt des fonctions continues. Ch. Suquet, Cours I.F.P