XI. Différentielles et intégrales définies : notions de base

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1 . Différentielle XI. Différentielles et intégrles définies : notions de se soit f : R R y = f() et s dérivée : f '() = y ' Considérons un ccroissement de l vrile :. Définition - nottion On ppelle différentielle de f(), l fonction df() égle u produit f '() df() = f '() ou encore dy = y ' Cs prticulier si on considère l fonction identique f() = et l'églité df() = f '() = f '() ou dy = y ' f '() = df. Interpréttion géométrique f '() = et dns ce cs : df() = = = ( ) ou y ' = dy Soit G le grphe d'une fonction f() et P(, y) : un de ses points. Trçons l tngente à l coure en ce point. A l'scisse +, correspondent points : l'un sur l coure : Q(+,y+y) l'utre sur l tngente : S(+,Y) ST ST L droite PS donc pour coefficient ngulire f '() = PT ST Donc : f '() = ST = f '(). = f '(). dy est donc l mesure du segment [ST] sur le grphique tndis que y est l mesure de QT. L différentielle df() est donc "l'ccroissement mesuré sur l droite tngente u point (, f()) entre et + " Des règles de dérivtion, on peut tirer imméditement les règles de différencition. Eemple : d(f + g) () = (f + g) ' = (f ' + g ') = f ' + g ' d(f + g) () = df() + dg() de même on trouver d(kf()) = k df() d(f.g)() = df(). g() + f(). dg()... On peut dire en quelque sorte que l différentielle est l'ccroissement en première pproimtion de f entre l'scisse et l'scisse +. Applictions... Eemple De comien ugmenterit l circonférence de l terre si son ryon ugmentit de m? Solution : Soit l longueur de l circonférence de ryon : = f() L vleur initile du ryon est donc le ryon de l terre. Le petit ccroissement de : = m. A ce petit ccroissement de correspond l'ccroissement de l longueur de l circonférence : df() = f ' (). = ()'. =. Comme = m df() =. m = 6,8 m /0/0 CNDP Erpent - Différentielles et intégrles définies : notions de se. XI -

2 .. Eercices.. Un loc de glce sphérique fond et voit son ryon psser de 0 cm à 9,8 cm. Quel est l'ccroissement (négtif) en première pproimtion du volume de glce? Comprer cette pproimtion vec l'ccroissement réel sol : ppro.: 5, cm ect : 6, cm. Quel est l'ccroissement en première pproimtion de l surfce d'un crré si le côté du crré est initilement de 5 cm et si ce côté ugmente de % pr dilttion. Comprer cette pproimtion vec l'ccroissement réel. sol : da =.5 cm A =,705 cm. Intégrles définies. Eemple introductif Les grphiques trcés dns le tleu ci-dessous représentent l vitesse d'un moile en fonction du temps. Les temps sont eprimés en secondes et les vitesses en mètres pr seconde. Les epressions nlytiques des fonctions qui epriment l vitesse en fonction du temps sont respectivement : v (t) = v (t) = t et v (t) =t Dns chque cs, on demnde de déterminer (le plus précisément possile) l distnce prcourue durnt les premières secondes du mouvement. v(t) v(t) v(t) 0 t 0 t 0 t. Générlistion A prtir des eemples précédents, nous voyons l nécessité de pouvoir clculer l'ire d'une surfce limitée pr le grphe d'une fonction, l'e des scisses et deu droites verticles d'équtions respectives = et =, c.-à-d. des ires du type de celle du grphique ci-contre. Nous tâcherons d'ord d'pprocher cette ire, et ensuite, nous étlirons un risonnement générl qui permettr de l clculer ectement.. Méthode des rectngles. Considérons pr eemple l fonction y = Soit à clculer l'ire limitée pr cette fonction, l'e des et les droites d'éqution = et = y - 0 XI - CNDP Erpent - Différentielles et intégrles définies : notions de se. /0/0

3 . Approimtion pr rectngles : somme inférieure et somme supérieure. Si nous sudivisons l'intervlle [, ] en sous-intervlles de même longueur, nous pouvons pproimer l'ire cherchée pr une somme de rectngles construits sur ces intervlles. Nous pouvons même otenir types d'pproimtion : l première, inférieure à l'ire cherchée est otenue en construisnt des rectngles dont l huteur est l'imge de l'origine de l'intervlle et l seconde, supérieure à l'ire cherchée est otenue en construisnt des rectngles dont l huteur est l'imge de l'etrémité de l'intervlle. S = Approimtion pr 0 rectngles =.6875 S = =.6875 L'pproimtion deviendr d'utnt meilleure que le nomre de rectngles est grnd. Si nous reprenons l'eemple précédent vec une découpe en 0 rectngles, les clculs montrent l'méliortion de l précision. S 0 = =.97 S 0 = =.7 /0/0 CNDP Erpent - Différentielles et intégrles définies : notions de se. XI -

4 . Approimtion pr 0 rectngles S 0 = =.07 S 0 = =.7 Avec 00 et 000 rectngles, nous otenons respectivement S =.5 et 00 S 00 =.9, S =.6 et 000 S 000 =.7 Ces sommes semlent converger vers une vleur unique représentnt l mesure de l'ire de l surfce cherchée. Elles portent le nom de somme supérieure de Drou et somme inférieure de Drou. En Générl : si lim n S = n lim n Cette limite est lors notée f () S n l fonction est dite intégrle u sens de Riemnn sur [, ].. Approimtion pr des rectngles intermédiires Un utre moyen d'pproimer l'ire cherchée est de construire des rectngles dont l huteur est l'imge du point milieu de l'intervlle. Reprenons l'eemple précédent vec une découpe en rectngles : L'pproimtion de l'ire insi otenue vut : =.565 Cette mnière de procéder permet de se rpprocher plus rpidement de l vleur ecte : en quelque sorte, l'ire "prise en trop" est compensée pr l'ire "qui n'est ps prise". Pr cette méthode, une découpe en 0 rectngles nous donne une évlution de l'ire = En générl : Pour évluer l'ire comprise entre le grphe de l fonction y = f(), l'e des et les droites d'éqution = et =, on sudivise l'intervlle [, ] en n intervlles élémentires [X 0, X ] de longueur X et dont le milieu est [X, X ] de longueur X et dont le milieu est [X, X ] de longueur X et dont le milieu est... XI - CNDP Erpent - Différentielles et intégrles définies : notions de se. /0/0

5 [X n-, X n ] de longueur X n et dont le milieu est n vec X 0 = et X n = ire f( ) X + f( ) X f( i ) X i f( n ) X n = f( )X et si l fonction est intégrle u sens de Riemnn, ire = lim f( ) X n i n n i Pour ugmenter l précision, il suffit d'ugmenter le nomre d'intervlles. Suivnt l courure du grphe, on ur une pproimtion pr le hut ou pr le s.. Définition de l'intégrle définie n f () lim f ( i ) i où n 0,, i, n constitue une découpe de l'intervlle [, ] vec 0 = et i n = et i = i i- Remrques : est un rppel du signe indique les ornes de l'intervlle f( ) cr les éléments de l somme sont des ires de rectngles de se i et de huteur f( i ) 5. Intégrle définie et ire. ) L'ire de l surfce hchurée = f( ) ) L'ire de l surfce hchurée = - f( ) cr tous les f() sont négtifs, or une ire est toujours positive. i i i i c) L'ire de l surfce hchurée = f( ) f( ) f( ) c d c d Remrques.. f( ) = f ( ) Ceci se justifie pr le fit que les éléments sont négtifs dns le second cs lors qu'ils sont positifs dns le premier.. Si c [, ] f( ) = f( ) + f( ) c. est une vrile muette : f( ) = f( t) dt c /0/0 CNDP Erpent - Différentielles et intégrles définies : notions de se. XI - 5

6 6. Intégrles définies et primitives : théorème fondmentl Considérons l fonction A : [, ] R tq f( t) dt A() = f( t) dt est une intégrle dont les ornes ne sont ps réellement définies ( et ) et où est l vrile. Nous llons montrer que l dérivée de cette fonction vut f() : A'() = f() Plçons-nous dns le cs d'une fonction continue, croissnte et positive dns [, ] A() est donc l fonction qui mesure l'ire comprise entre le grphe de cette fonction, l'e des scisses et les verticles en et en Soit : < < + ( > 0) est donc une scisse fiée et une scisse vrile. A(, 0) et B( +, 0) L'ire hchurée = A( + ) - A() = A Grphiquement, nous voyons : Aire(rectngle ABFC) < A() < Aire(rectngle ABDE). f() < A(). f( + ) A() f() < < f(+ ) (cr > 0) Si 0 lors + et f( + ) f() (cr f est continue) Nous vons lors : lim f() lim 0 0 lim 0 A() A() = f() A ' () = f() XI - 6 CNDP Erpent - Différentielles et intégrles définies : notions de se. /0/0 lim f(+) f() lim 0 0 A() f() Nous dmettrons que cette conclusion reste vrie pour les utres cs (fonctions décroissntes (et/ou) négtives) mis cependnt continues : une discontinuité ne pourrit qu'empêcher un clcul d'ire. A() est ppelée primitive de f() c.-à-d. une fonction dont l dérivée vut f() Eemples : est une primitive de cr ( ) = + 5 est une primitive de cr ( + 5) = Nottion : = + C est une primitive de cr ( ) = - est une primitive de cr ( - ) = Nottion : = + C Une primitive d'une fonction donnée ne semle donc ps être unique. 7. Clcul de f( ) On sit A() = f( t) dt et A() = f() A() = F() + C vec F() tel que F () = f() (c-à-d F() est une primitive de f()) On voudrit déterminer l vleur de C. Si = : A() = 0 = F() + C C = - F() S() = F() - F() = et donc si = : f( t) dt = F() - F() = f( ) f( t) dt On dmettr que cette conclusion reste vlle vec pour seule condition f continue sur [, ]

7 Conclusion. Si f continue sur [, ] F une primitive de f (c.-à-d. F () = f()) lors f( ) = F() - F() = F( ) 8. Applictions : clculs d'ires 8. Eemple = - = en effet : l'ire du rectngle insi défini = L. l =. = y Eemple 9 5 Et nous vons ien l'ire hchurée = surfce d'un trpèze = B 5 H y 0 8. Eemple y Reprenons l'eemple du déut de ce chpitre : 6 =,666 Et nous trouvons insi enfin l vleur ecte de cette ire pproimée de diverses mnières u déut du chpitre Conclusion. Pour déterminer d'utres ires de ce type, nous devrons être cples de déterminer des primitives de fonctions plus complees. Nous llons mintennt considérer quelques recherches de primitives de se fin de pouvoir les utiliser dns le clcul d'ires. 9. Primitives. 9. Définition : si F ' () = f() lors F() est une primitive de f() F() est une intégrle indéfinie de f() 9. Propriétés Si F() est une primitive de f() et C une constnte lors ) F() + C est ussi une primitive de f() ) Toute primitive de f() est de l forme F() + C /0/0 CNDP Erpent - Différentielles et intégrles définies : notions de se. XI - 7

8 En effet : ) (F() + C) ' = F'() + C ' = F' () = f() cr F() est une primitive de f() et C une constnte. F() + C est églement une primitive de f() ) Supposons que l'on puisse déterminer une utre primitive de f() : soit F () Nous vons lors F ' () = F'() = f() F ' () - F'() = 0 (F () - F())' = 0 F () - F() = C (cr l seule fonction ynt une dérivée nulle est l fonction constnte) F () = F() + C (c.q.f.d) 9. Nottions On vu : f ( ) se clcule à prtir d'une primitive de f() : f ( ) = F() - F() On noter f( ) = F() + C : ppelée intégrle indéfinie de f() = l'ensemle de toutes les primitives de f() (C est une constnte d'intégrtion.) 9. Applictions. Déterminer les primitives suivntes :.. 6. cos e Générlistion Les eercices précédents mettent en évidence des "formules d'intégrtion" que nous développerons dns un chpitre ultérieur. Dns un premier temps, nous retiendrons surtout 0 = C = + C n = n 9.6 Intégrtion pr décomposition. On remrque isément : (m.f()+ p.g()) = m f( ) + p g( ) Ceci est l se de l première méthode d'intégrtion ppelée intégrtion pr décomposition. Appliction : clculer les primitives suivntes :. ( -5). (5 - + ) 0. Appliction u clcul d'ires 0. Applictions de se. (5 n ) + C n R\{-}. Clculer l'ire comprise entre l prole P y = , l'e des et entre les rcines. sol : 6. Même question pour l prole P y = sol : 96. Clculer l'ire comprise entre l coure d'éqution y =, l'e des scisses et l droite verticle d'éqution = sol : 6 XI - 8 CNDP Erpent - Différentielles et intégrles définies : notions de se. /0/0

9 0. Quelques situtions prticulières 0.. Clculer et interpréter ( ) ( ) = = ( 8 - ) - (- - ) = 0 : ce qui ne signifie ps que l'ire hchurée est nulle. En effet, celle-ci vut : 0 ( ) - ( ) =... = Clculer et interpréter ( ) ( ) = = ( ) - ( + - ) = 7 Pour interpréter grphiquement cette intégrle définie, nous sommes menés à réliser une étude de l fonction polynôme f() = - + f ' () = - 6 f " () = f ' () f " () f () m min f () 0.. Clcul d'une ire comprise entre coures. Soit à clculer l'ire limitée pr les grphes des fonctions f() = ( ) et g() = - + et pr les droites d'éqution = et = 5 A = ( g( ) -f()) = ( 7 ) = 5 7 = 0 Il s'git de fire une somme infinie d'ires de rectngles de lrgeur et de huteur (g() f()) (l différence entre l plus grnde fonction et l plus petite) /0/0 Différentielles et intégrles définies : XI - 9 notions de se

10 0.. Eercices.. Soit f() = Déterminer l'ire comprise entre cette coure, l'e des et entre les rcines. sol : 8. Soient les proles P y = et P y = - +. Clculer l'ire comprise entre ces deu proles. sol : 6. Même question pour les proles P y = et P y = Sol : 9. Soit f() = - -. Déterminer l'ire comprise entre cette coure et l droite y = -. sol : 6 5. Clculer l mesure de l'ire comprise entre les coures d'éqution y = et y = + - sol : Même question pour y = et y = + - sol : 8 XI - 0 Différentielles et intégrles définies : /0/0 notions de se