Origami capillaire. (séminaire du 14 octobre 2008, présenté par José Bico)

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1 Origami capillaire (séminaire du 14 octobre 2008, présenté par José Bico) I ) Présentation des effets de tension de surface, et des interactions goutte-surface L eau, liquide très mouillant, forme une goutte étalée sur des surfaces telles que des vitres. Les interactions entre l eau et la surface solide sont dans ce cas plutôt favorables. Mais le mercure, très peu mouillant, ne s étale pas du tout: la goutte forme un angle de près de 180 avec la surface. Ainsi, elle ne reste pas accrochée sur la surface si celle-ci n est pas horizontale. C est une différence qui peut être source d applications, et qui s explique par la différence de tension de surface entre les deux liquides. Par contre, l eau, sur certaines feuilles, forme une goutte qui ne s étale pas (effet «Lotus»). On voit donc à la fois le rôle de la surface et du liquide dans la forme que va prendre la goutte.

2 Pour obtenir des propriétés super-hydrophobes de la surface utilisée, on peut réunir ces deux conditions: utiliser un matériau initialement hydrophobe (chimiquement, en quelque sorte) avoir une structure rugueuse, avec plein d aspérités, de pilosités On peut alors recourir à l image du tapis du fakir. La goutte est à peine posée sur les pics de la surface. S étaler sur un plus grand nombre de pics (faits dans un matériau hydrophobe) serait défavorable: l eau préfère se resserrer avec elle-même sous l effet des forces de Van der Waals (interaction de Keesom ici, entre molécules polaires). Pénetrer entre les pics serait encore plus défavorable car la surface de contact entre l eau et le matériau hydrophobe deviendrait rapidement très élevée, donc l eau serait fortement repoussée. Donc la goutte d eau s arrange en une forme quasiment sphérique, sans s enfoncer. Si ϴ est l angle formée entre la goutte d eau et une surface «lisse», ϴ* l angle formée entre la goutte d eau et cette même surface munie d aspérités, et Φs le rapport de la surface effective du haut des pics par la surface du même matériau mais prise sans aucun pic (on a donc Φs < 1 ), on a:

3 Mettre une surface rugueuse a donc amplifié l hydrophobie. Mais cela peut aussi amplifier l hydrophilie, dans le cas d une surface hydrophile au départ. Dans ce cas, la goutte s étale extrèmement facilement, encore plus que sans la rugosité. En effet, comme les interactions entre l eau et la surface sont plutôt stabilisantes, plus la surface de contact est grande,mieux c est. II ) Effets de l eau sur les propriétés de tiges effilées 1 ) Le problème des «cheveux mouillés» Lorsque l on mouille des cheveux, quelle géométrie adoptent-ils? Combien de poils ou de cheveux se mettent ensemble? Si l on essaie de placer de l eau sur une surface dont les aspérités sont une succession de petites lamelles parallèles, lorsque l eau s évapore, elle détruit ce parallélisme et «colle» certaines lamelles entre elles. Cela forme ainsi des structures semblables aux cheveux mouillés. Faisons une expérience pour modéliser ce phénomène. On utilise une tige sur laquelle est accroché un grand nombre de fils très fins (la tige est tendue). Puis on plonge le tout dans un liquide. Enfin on sort notre dispositif du liquide, et on observe les formes qu on prises les tiges. Cela forme en fait des mèches, semblables à de touffes de poils.

4 En regardant de plus près, on voit que chaque mèche est constituée de plusieurs mèches, elles-mêmes étant formées de plusieurs groupes de fils, etc... On obtient une cascade de collage. Pour commencer l interprétation, étudions le collage de deux lamelles (ou fils). Le graphique représente la longueur de fil collée (Lwet) en fonction de la longueur de fil totale Ltotal (points bleus du graphique). Par différence entre la longueur de fil totale et la longueur de fil collée, on obtient la longueur de fil non collée (notée Lstick). Quand Ltotal est suffisamment grand (c est-à-dire quand Lwet > h(jurin) ), on voit que Lstick est à peu près constante. Cela suggèrait peut-être quelque chose sur l effet de l élasticité de la tige sur le collage... Il y a en fait deux effets contradictoires, c est-à-dire deux énergies mises en jeu: De l énergie capillaire. Il y a un rapprochement des deux fils car l eau joue le rôle d un adhésif. C est un effet de capillarité. Cet effet est favorable au collage des deux fils. De l énergie de torsion. Les deux fils, initialement droits, doivent se tordre pour pouvoir se coller entre eux. Ceci est défavorable pour le collage. A l équilibre, il y a égalité entre ces deux énergies: où E est le module d Young d un fil et h le diamètre d un fil. En définissant la longueur élasto-capillaire il vient:

5 On prend maintenent un nombre de fils (ou lamelles) supérieur à deux. On peut essayer de trouver un système équivalent aux N lamelles collées entre elles. Le plus simple est de se ramener au cas de deux lamelles, mais un certain nombre de fois plus rigides, et séparées d une certaine distance: On obtient les résultats suivants, et on compare graphiquement avec l expérience: Le modèle est assez bon. Par contre, le collage ne s effectue pas en puissance de deux. Il y a un problème combinatoire. On pourrait penser que la probabilité pour que deux fils se collent est de 0,5. Mais, à une dimension, chaque fil peut s appareiller avec ses deux coisins. Et certains fils peuvent déjà être appareillés. Donc on aurait plutôt quelque chose comme une chance sur trois pour qu un fil reste tout seul! 2 ) Autres problèmes pouvant être rencontrés avec des tiges A partir de quand une tige flambe-t-elle? (Sous l effet d une force exercée le long de l axe d une tige, on dit que cette tige flambe si elle se tord au lieu de se comprimer). Euler a donné une réponse à ce problème. Il a donné l expression de la force-seuil à partir de laquelle la tige flambe: F = 2π b γ où γ est la tension de surface du liquide et b doit être le rayon de la tige.

6 A partir de quand une tige peut-elle traverser une surface? Ce problème a des applications pour les moisissures vivant sous l eau et qui ont parfois des sortes de «tiges» qui sortent de l eau. III ) Déformations d une surface grâce à un liquide 1 ) Expérience introductive On prend un récipient rempli d eau. On dépose à sa surface un élastique souple. Il prend alors une forme quasiment circulaire. On place sur la partie extérieure à l élastique (en regardant l expérience du dessus) un tensioactif (par exemple du liquide vaisselle). L élastique se rétracte quasiment immédiatement, et prend une forme de cacahuète. Ce phénomène a deux explications équivalentes: En ajoutant le tensioactif, on a diminué la tension de surface à l extérieur de l élastique. Or la tension de surface a tendance à faire tirer l élastique (l eau tire l élastique de chaque côté). En ajoutant le tensioactif, on a déséquilibré les deux forces qui agissent sur chaque élément de longueur de l élastique: l élastique est moins tiré à l extérieur, donc il se rétracte. On a ajouté des molécules de tensioactifs à l extérieur, donc il y a un surplus de molécules à l extérieur, donc la pression exercée par les molécules de surface est plus forte à l extérieur. L élastique est poussé à se rétracter. Au bout d un certain temps, on observe que l élastique reprend sa forme initiale, en cercle. En fait, le tensioactif est légèrement soluble dans l eau, donc à la fin le tensioactif finit par réapparaître à l intérieur de l élastique. On retrouve ainsi l égalité entre les deux valeurs de la tension de surface de chaque côté. Donc, à

7 cause de son élasticité, l élastique retrouve sa forme circulaire. 2 ) Dépôt d une goutte d eau sur une surface plane Au lieu de plier un fil, peut-on tordre un plan, et former une structure particulière? Il apparaît qu on ne peut pas replier un plan en une forme tridimensionnelle sans le tordre, un peu comme une boulette de papier: il est difficile de former une sphère à partie d un simple plan. Mais on peut utiliser des formes planes plus intéressantes ici, par exemple une pyramide. Pour former une pyramide, on utilise un triangle de matériau hydrophile. On ajoute une goutte d eau et on la laisse s évaporer. La surface est attirée par l eau par des forces capillaires et elle adhère à l eau. Quand l eau s évapore, cela replie lentement la surface initialement plane. On a tendance à former une pyramide. Puis, quand l eau liquide se fait rare, le pyramide se creuse (elle n est pas parfaite). A la fin de l évaporation, la pyramide s ouvre (car l eau n est plus présente pour jouer son rôle capillaire), et on obtient le triangle de départ légèremant courbé.

8 On peut expliquer le repliement de la surface en regardant l opposition entre les forces de pression et les forces de tension de surface. La surpression à l interieur de l eau est la surpression de Laplace. Elle est liée à un effet de tension superficielle, et vaut γ/r. Cette surpression a tendance à pousser la surface, surtout au centre de celle-ci. La surface est également tirée par les forces de tension de surface (l eau tire le matériau). Ces deux effets aident à la déformation de la plaque. Pour que cela fonctionne, il faut en fait que la longueur caractéristique de la plaque (ici celle du côté du triangle équilatéral) soit assez supérieure à la longueur élasto-capillaire (définie comme précédemment, sauf qu ici, h est l épaisseur de la plaque). La longueur critique à partir de laquelle on arrive à refermer la surface est Lcrit. On regarde sur le graphique le lien entre la longueur Lcrit et la longueur élasto-capillaire ( L(EC) ), dans le cas du triangle mais aussi dans le cas d une surface de départ carrée. Lcrit vaut quelques fois L(EC). On peut également essayer de voir l influence d un champ électrique sur la formation de ces structures (on crée un champ en imposant par exemple un potentiel à l eau et un autre à la plaque utilisée).

9 3 ) Déformations en déposant une surface sur un support «humide» On cherche à faire l expérience précédente, mais dans le sens contraire: on voudrait déposer une feuille plus ou moins rigide sur une goutte de liquide (et non l inverse). On pose une demi-sphère solide sur le plan de travail. Elle servira de support. On verse quelques gouttes d alcool sur ce support. Puis on dépose un film plastique très souple par-dessus. Il apparaît alors des formes très complexes qui témoignent des endroits où le film plastique est en contact avec le liquide. A cause de la déformation nécessaire qui a lieu lorsque l on replie une surface plane en une sphère, on crée une différence entre les zones qui réussissent à s attacher à l alcool, et celles qui ne peuvent pas le faire. 4 ) Peut-on se passer de liquide? On place ici deux matériaux différents l un au-dessus de l autre. On place le tout à une température plutôt élevée (dans un four). La forme que va prendre ce système lorsqu on le sort du four va dépendre de la rigidité des différents matériaux, et de leurs propriétés à des températures plus élevées. Pour symboliser ce qui peut se passer, on prend un matériau souple sur lequel on place un morceau de scotch. Si on tord cet ensemble, il apparaît une déformation du scotch qui se fait sous la forme d ondes régulières... On a créé une déformation d une surface, sans liquide cette fois.

10 Conclusion Dans ces problèmes où élasticité des matériaux (déformations) et capillarité sont importantes, il est souvent intéressant d utiliser le concept de longueur élasto-capillaire. Ces phénomènes prennent une réelle importance à petite échelle (car c est là que les phénomènes de tension de surface ont le plus d impact), même si les modèles et expériences-modèles présentées ici tendaient à se ramener à notre échelle, de façon à avoir de meilleurs outils pour étudier ces problèmes. De nombreuses questions restent ouvertes...