IV EXERCICES RÉSOLUS

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1 IV EXERCICES RÉSOLUS EXERCICE 1. SUITE RÉCURRENTE Fractale TA1/B, Bordas. N 24 page 212. Soit ( u n ) la suite définie par R u u = n 2 n+ 1 u + 4 S T u 0 = 0 n a) Calculer les 5 premiers termes de la suite. d) Déterminer lim. u n n Étude sur TI-81 Calcul des premiers termes On commence par placer la définition de la fonction utilisée pour définir la suite par récurrence dans Y1 : On place ensuite la valeur initiale de la suite dans X : µ Il suffit à présent de calculer la valeur de Y1 et de placer le résultat obtenu dans X pour pouvoir ensuite calculer le terme suivant : 2 G On obtient ainsi la valeur de u 1. Chaque nouvel appui sur la touche provoquera un calcul analogue ce qui permet d'obtenir les termes suivants de la suite : Étude graphique de la suite Nous allons étudier graphiquement la position de la courbe par rapport à la droite d'équation y = x : On peut facilement vérifier que f ( 1) = 1 et que f ( 2) = 2. L'étude graphique permet de prévoir les résultats suivants : 1. x 1 f ( x) 1. Tous les termes de la suite seront donc dans l'intervalle 1, Dans cet intervalle, f ( x) x. On aura donc u n+ 1 un et la suite sera décroissante. 3. Cette suite étant également minorée, elle converge. 4. Sur l'intervalle 1, + la fonction f est continue et son seul point fixe est 1. La suite va converger vers cette valeur. En procédant comme lors du calcul des 5 premiers termes, il est possible d'étudier numériquement la Un zoom s'impose! TEXAS INSTRUMENTS 1

2 convergence de cette suite : Étude sur TI-92 Après avoir sélectionné dans la boîte de dialogue MODE, Graph :4 SEQUENCE, définissons la suite : am (u1(n-1)ä2)/(u1(n-1)+4) 0 termes, en définissant la suite ch u n dans la fenêtre de calcul de la façon suivante : when ( n = 0, u 0, f(u(n-1))) u(n) = n+ 1 ch. n pour revenir à l écran de calcul. si la suite est définie par la donnée de u 0 et pour tout entier n, u f u La fonction when peut être trouvée dans le menu CATALOG (š), on peut aussi la taper au clavier. La flèche s obtient en appuyant sur. Si l on veut visualiser la convergence à l aide de la toile d araignée, on choisit l option WEB dans la rubrique Axes du menu Axes g. Puis on règle les paramètres de construction,. On peut ainsi calculer les termes de la suite sous forme exacte, il suffit d entrer dans la ligne d édition u( n) et de valider par. ( donne une valeur approchée.) Les calculs sont plus lents qu en utilisant les tables qui donnent directement des valeurs approchées. puis on passe en mode TRACE c!...! Nous pouvons calculer les valeurs approchées des premiers termes de la suite comme nous l avons fait dans le paragraphe sur les suites de Fibonacci. On peut également calculer les valeurs exactes de ces La suite converge vers un point fixe de la fonction (solution de l équation f ( x) = x). La fonction solve peut nous permettre de déterminer les points fixes possibles. TEXAS INSTRUMENTS 2

3 toujours exploitable. Considérons la suite définie par récurrence par : u 1 = 1 et pour tout entier n, u = 1 + u. n+ 1 n Celui qui convient est 1, seule solution possible car les termes de la suite appartiennent à l intervalle 1, 0. Voici un autre exemple pour montrer que le calcul des valeurs exactes des termes d une suite n est pas EXERCICE 2. ÉTUDE D'UNE SUITE DIVERGENTE 2 Étudier la suite définie par : u = 12 et n u = ( 1 u ). 0 n n 1 Étude expérimentale sur TI-82 Entrons la définition de la suite. + nous donne après un certain nombre d'appuis sur 9. ( u 2 n ) semble croissante et converger vers 1, alors que ( u 2n+ 1 ) décroît vers 0. La suite toute entière diverge. Ceci peut être confirmé par les tables, en réglant TblMin à 0 et Tbl à 2 et en entrant u n 1 comme deuxième suite Vn. La colonne du milieu ( Un ) correspond aux termes de rang pair de la suite : u, u, u La colonne de droite ( Vn ) correspond aux termes de rang impair de la suite : u, u, u Dans cet exercice le calcul des premiers termes permet de prévoir le comportement de la suite, mais est également suffisant pour conclure. Le premier terme de la suite est dans [0,1]. La 2 fonction f : x a1 xf est décroissante sur cet intervalle (composition de fonctions ou dérivation immédiate) et l'on a f ( 0) = 1 et f () 1 = 0. On va donc rester dans cet intervalle. La suite des termes pairs est définie par u2n+ 2 = f( u2n+ 1) = ( f $ f)( u2n). La fonction g = f $ f est croissante sur [0,1], (composée de deux fonctions décroissantes). Les suites extraites formées par les termes de rangs pairs et impairs sont donc monotones. Il suffit donc de comparer u 2 et u 0 pour connaître le sens de variation de la suite extraite bu 2n g. De même, il suffit de comparer u 3 et u 1 pour connaître le sens de variation de la suite extraite bu 2n+ 1 g. Le tableau de valeurs que nous avons obtenu montre que u0 < u2 et u1 < u3. Nous pouvons en conclure que bu 2n g est croissante et que bu 2n+ 1 g est décroissante. De plus nous avons ici u 0 = 1/ 2 et u 1 = 1/ 4. On a donc, pour toute entier n, u2n+ 1 u1 u0 u2n Ce qui prouve en particulier que la suite u n peut pas converger. b g ne TEXAS INSTRUMENTS 3

4 Poursuite de l'étude avec une TI-92 bu 2n+ 1 g est décroissante, minorée par 0. bu 2n g est croissante, majorée par 0. Ces deux suites sont donc convergentes. On peut préciser les limites possibles en étudiant les points fixes possibles de g = f $ f dans l'intervalle [0,1]. Ce dernier point est très simple à traiter avec une TI-92 : Pour faciliter la comparaison avec les premiers termes, on peut obtenir une résolution numérique en appuyant sur : On peut ainsi observer que : u2 1 1 n+ u u0 u2n 1. 2 La seule limite possible de bu 2n+ 1 g est 0, la seule limite possible de u 2n b g est 1. EXERCICE 3. LE PARADOXE DES ANNIVERSAIRES Les mathématiques en Terminale S. D. Vagost Éditions Vuibert. Dans une pièce se trouvent N personnes. Quelle est la probabilité que deux d'entre elles fêtent leur anniversaire le même jour? Étude sur TI-83 À priori, cela semble très peu probable. Pour effectuer les calculs, nous allons nous aider d'une TI-82. Notons PN ( ) cette probabilité. Nous allons déterminer la probabilité de l'événement contraire "aucune des N personnes n'a son anniversaire le même jour qu'une autre", soit Q( N) = 1 PN ( ). Il y a N personnes, 365 jours dans l'année, soit 365 N situations possibles. Le nombre de cas favorables est égal au nombre d'arrangements de N jours pris parmi 365, sans répétition. (On suppose N 365.) On a donc : N A ( 365 ( N 1)) QN ( ) = =. N N Ce nombre peut se calculer par récurrence car : 365 N N QN ( ) = QN ( 1) = QN ( 1) Nous allons entrer la définition de la suite : (7 2mc dcª {{ deª{z Le premier terme est égal à Q( 1) = 1. 2 # z 8 z donne les derniers réglages. 2 & permet alors de lire les résultats. On a donc par exemple pour N = 20 : TEXAS INSTRUMENTS 4

5 P( 20) = 1 Q( 20) On peut également utiliser la suite v n, mais attention pour définir v n, on ne peut utiliser que u n 1, il y aura donc un décalage. (888 2mc d µ Attention, par exemple à la dernière ligne, le terme de la colonne du milieu correspond à Q( 38 ), tandis que celui de droite à P( 37) = 1 Q( 37). Supposons que dans une classe il y ait 37 élèves, quelle est la probabilité pour que deux d'entre eux fêtent leur anniversaire le même jour? 2. 2mcªmd La réponse est donc P( 37) = 1 Q( 37) 0.85 comme l'indiquait la table. Étude sur TI-92 Comme dans l exercice 1, la TI-92 permet de calculer la valeur exacte des termes de la suite en utilisant la fonction when. Il est également possible d'utiliser les possibilités de calcul sur les entiers longs. La TI-92 permet le calcul exact de A N 365 et 365 N pour N 239 : La fonction permettant de calculer A n p se trouve dans le menu MATH/Probability : On voit que dans ce cas le résultat sous forme exacte devient vite très lourd, et pas forcément très utilisable. Les valeurs approchées sont obtenues en validant à l aide de. De plus, comme on le voit ci-dessous le nombre de termes que l on peut calculer peut être limité. On a donc, ici, intérêt à passer par les tables comme nous l avons fait dans l exemple sur les suites de Fibonacci. En l'utilisant, on peut directement définir les fonctions de calcul de P et Q : TEXAS INSTRUMENTS 5

6 EXERCICE 4. SYSTÈME DE DEUX SUITES RÉCURRENTES On considère les suites ( u n ) et ( v n ) définies par : R un = un 1 vn 1 u0 = 1 v0 = 2 et n S v = 12( u + v ) T n n 1 n 1 Montrer que ces deux suites sont monotones de sens de variation opposé. Montrer que ces deux suites convergent vers la même limite, donner une valeur approchée de cette dernière. Étude sur TI-82 On entre la définition des deux suites, on vérifie que Seq est bien sélectionné dans le menu MODE. (2ac2m2nd c2m«2nde )8 µ 2 # pour régler, puis 2 & donne : peut le vérifier en montrant que u u 0, n n 1 v u 0 par récurrence sur n. n n La suite ( v n ) est décroissante, minorée par 1. Elle converge donc vers " 1. Montrer, par récurrence que v v 0. n n 1 Les deux suites prennent très rapidement les mêmes valeurs, la convergence semble rapide et " = ". On peut d'ailleurs le démontrer par récurrence en montrant que : n < v u n 0 2. n n Calculons les premiers termes u v, u v puis u v. 4 4 D'après ces tableaux, il semble que : La suite ( u n ) est croissante, majorée par 2 semble-t-il. Elle converge donc vers " 2. On Il semble donc que les deux suites soient adjacentes et que leur limite commune " ! X Étude sur TI-92, puis a M si les variables sont affectées. On entre les définitions des deux suites. On entre dans u1 la définition de la suite u < n u 1 (n-1) u 2 (n-1) On entre la valeur initiale u 0 dans ui1 : On entre dans u2 la définition de la suite v n (u 1 (n-1) + u 2 (n-1)) / 2 On entre la valeur initiale v 0 dans ui2 : ch : ch : g! on entre les valeurs des paramètres. TEXAS INSTRUMENTS 6

7 puis c pour passer en mode TRACE!!!! # # # (pour se déplacer dans le tableau) On voit que les deux suites sont adjacentes, elles convergent (rapidement) vers la même valeur, l une étant croissante, l autre décroissante. La valeur des termes des deux suites peut nous confirmer cela. Commençons pas fixer le rang du terme initial à 0, puis le pas à 1. # On remarque que le résultat, au bas de la fenêtre, dans la ligne d édition a une précision nettement supérieur à celle affichée dans le tableau. On retrouve bien les mêmes résultats qu avec la TI-82. EXERCICE 5. MÉTHODE DU POINT FIXE Valeur approchée de la solution de l'équation : cos( x) = x. a) En utilisant l'intersection des deux courbes : y = cos( x) et y = x. b) En utilisant la suite définie par récurrence : u = 0 et n u = cos( u ). 0 n n 1 TEXAS INSTRUMENTS 7

8 La touche + suivie de huit 9 nous donne : Étude sur TI-82 La première méthode utilise la fonction intersect du menu CALCULATE. (Voir également les cahiers sur les fonctions et sur les équations.) Effectuons un zoom : *, on détermine la boîte à l'aide des flèches et de, et on recommence comme précédemment avec un nombre plus important de 9. (La convergence ne semble pas très rapide.) La deuxième méthode consiste à utiliser la suite définie par : u = 0 et n u = cos( u 0 n n ). 1 Si cette suite converge vers un réel ", la fonction cosinus étant continue, " est solution de l'équation : cos( x) = x. Entrons la suite après avoir effectué les paramètrages habituels, choisissons l'option web du menu MODE. La "toile d'araignée" montre que la suite n'est pas monotone, par contre les suites extraites des termes de rang pair et de rang impair semblent toutes deux monotones et de sens de variation opposé. On peut démontrer cela par récurrence sur n. Les deux suites extraites ( u 2 n ) et ( u 2n+ 1 ) sont donc convergentes, l'une est croissante majorée, l'autre décroissante minorée. Elles semblent converger vers la même limite (ce qui reste à justifier) qui serait donc la limite de la suite tout entière. On peut le voir de la façon suivante : Donne les termes de rang pair. Donne les termes de rang impair. Regardons la valeur approchée de cette limite à l'aide de 2& pour des valeurs plus grandes de n. TEXAS INSTRUMENTS 8

9 On retrouve une valeur proche de celle donnée par la première méthode. TEXAS INSTRUMENTS 9