Fiche(1) Statistiques à une variable. nombre de vacanciers. Activité 1 : représentation graphique d une série statistique série à caractère qualitatif

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1 Statistiques à une variable Fiche(1) Activité 1 : représentation graphique d une série statistique série à caractère qualitatif Les activités principales d un groupe de vacanciers pendant l été sont représentées par le diagramme en barre suivant : On souhaite réaliser un diagramme en secteurs circulaires. Activité 2 : série à caractère quantitatif discret Quartiles diagramme en boîte Le club de poésie d un établissement décide d éditer et de vendre un recueil de textes écrits par les élèves pour subventionner un voyage organisé par le lycée. Il réalise une étude auprès de la population du lycée afin de savoir quel prix maximal chaque élève serait prêt à donner pour l achat de ce recueil. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant : Prix de vente (en ) Total Nombre d élèves N= cumulé croissant Déterminer la médiane, les 1 er et 3 ième quartiles et résumer cette série à l aide d un diagramme en boîte. Activité 3 : Comparaison de séries statistiques simples moyenne et écart-type Un bac blanc est effectué par deux classes A et B. Les notes sur 20 obtenues en économie sont les suivantes : Classe A : Classe B : Compléter les tableaux suivants : 25 nombre de vacanciers 60 randonnée Sport nautique Visite Autre Total 2- Tracer les diagrammes en bâtons permettant de comparer les notes obtenues par chacune des deux classes. 3- Déterminer les moyennes de chaque classe. Comparer le niveau général des deux classes. 4- Calculer l écart-type des notes de chaque classe. Comparer l homogénéité des notes des deux classes. Total

2 Statistiques à une variable - CORRIGE Activité 1 : représentation graphique d une série statistique série à caractère qualitatif Les activités principales d un groupe de vacanciers pendant l été sont représentées par le diagramme en barre suivant : On souhaite réaliser un diagramme en secteurs circulaires. Activité fréquence Randonnée 25 14% 50 Sport nautique 60 33% 120 Visite 45 25% 90 Autre 50 28% 100 N = Mesure de l angle au centre Activité 2 : série à caractère quantitatif discret Quartiles diagramme en boîte Le club de poésie d un établissement décide d éditer et de vendre un recueil de textes écrits par les élèves pour subventionner un voyage organisé par le lycée. Il réalise une étude auprès de la population du lycée afin de savoir quel prix maximal chaque élève serait prêt à donner pour l achat de ce recueil. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant : Prix de vente (en ) Total Nombre d élèves N= 470 cumulé croissant Déterminer la médiane, les 1 er et 3 ième quartiles et résumer cette série à l aide d un diagramme en boîte = 235 Le rang de la médiane est 235, la 235 ième valeur est égale à 6 donc la médiane est = 117,5 Le rang du 1 er quartile est 118. La 118 ième valeur est égale à 4 donc Q 1 = 4 117,5 3 = 352,5 La 353 ième valeur est égale à 10 donc Q 3 = 4 Activité 3 : Comparaison de séries statistiques simples moyenne et écart-type Un bac blanc est effectué par deux classes A et B. Les notes sur 20 obtenues en économie sont les suivantes : Classe A : Classe B : Compléter les tableaux suivants : Classe A Total Classe B 2- Tracer les diagrammes en bâtons permettant de comparer les notes obtenues par chacune des deux classes Total

3 6 Classe A 6 Classe B Note obtenue 0 Note obtenue Déterminer les moyennes de chaque classe. Comparer le niveau général des deux classes. Classe A : Classe B : Le niveau général des deux classes est identique car les moyennes sont égales. 4- Calculer l écart-type des notes de chaque classe. Comparer l homogénéité des notes des deux classes. Classe A ² Total La variance est Classe B Donc l écart-type est Donc l écart-type est La dispersion des notes autour de la moyenne est plus importante dans la classe A donc les notes de la classe B sont plus homogène. ² Total La variance est

4 Statistiques à une variable Fiche(2) On a demandé aux 28 élèves d une classe de terminale ES de prendre leur pouls au repos et de compter le nombre de battements cardiaques pendant une minute. On obtient ainsi une série statistique à partir des résultats obtenus, assemblés dans un tableau : Nombre de battements par minute s Nombre de battements par minute s / a/ Quels sont les valeurs maximales et minimales des battements par minute des élèves de la classe? b/ Déterminer la médiane de cette série. À l aide d une phrase, donner une interprétation de ce résultat. c/ Déterminer l écart interquartile de cette série. d/ Calculer le rapport interdécile. 2/ Représenter la série statistique par un diagramme en boîte sur lequel figureront les valeurs extrêmes, le premier et le dernier décile, le premier et le troisième quartile ainsi que la médiane. (unité graphique : 1 cm pour 5 battements par minute). 3/ a/ À l aide de la calculatrice, calculer le nombre moyen de battements m (le résultat sera arrondi au dixième). b/ Calculer l écart type s de cette série. c/ Calculer le pourcentage d élèves qui se trouvent dans l intervalle [m-s ; m+s]. d/ Peut-on dire qu un quart des élèves ont un nombre de battements en dehors de cet intervalle? 4/ On désigne comme plage de normalité de la série l intervalle de valeurs dans lequel il y a 95 chances sur 100 qu un individu normal retrouve sa valeur personnelle. On estime que cet intervalle est : [m-2s ; m+2s]. a/ Calculer la plage de normalité de la série étudiée. b/ Peut-on dire qu en tirant au hasard le nom d un élève de cette classe, il y a 95 chances sur 100 que ses battements cardiaques soit normaux?

5 Statistiques à une variable - CORRIGE Fiche(2) On a demandé aux 28 élèves d une classe de terminale ES de prendre leur pouls au repos et de compter le nombre de battements cardiaques pendant une minute. On obtient ainsi une série statistique à partir des résultats obtenus, assemblés dans un tableau : Nombre de battements par minute s Nombre de battements par minute s / a/ Le nombre de battements par minute maximal : 100 et minimal : 44 donc une étendue de 56. b/ La médiane de cette série : moyenne du 14 e et 15 e : 74 c/ La moitié des élèves de la classe ont un rythme cardiaque inférieur ou égal à 74. d/ Q1 = 68 (le 7 e ) et Q3 = 80 (le 21 e ) donc l interquartile vaut 12. e/ d1 = 62 (le 3 e ) et d9 = 83 (le 26 e ) donc pour le quotient interdécile :. 2/ La boîte à moustaches 3/ a/ Moyenne des battements :m 73,9 b/ Écart type des battements s 10,2. c/ L intervalle [m-s ; m+s] = [63,7; 84,1]. d/ Hors de cet intervalle, il a 6 mesures donc 21,4%. On ne peut donc écrire l affirmation proposée. 4/ a/ L intervalle [m-2s ; m+2s] = [53,5; 94,3] donc la plage de normalité est [59 ; 90]. b/ Dans la plage de normalité, il y a 26 mesures, soit 93% des mesures. On a donc 93 chances sur 100 que les battements d un élèves de cette classe tiré au hasard soient normaux. L affirmation proposée est donc à rejeter.

6 Statistiques à une variable Fiche(3) Hector Tatord, élève de seconde, fait des expériences de simulation de lancer de dé sur son ordinateur. Dans ces expériences, il ne relève que la fréquence d apparition du 5 : par exemple, si le 5 apparaît 7 fois dans un échantillon de 50 lancers, la fréquence associée à l échantillon sera 14%. 1/ Première expérience Hector organise son tableur pour obtenir en premier lieu 300 échantillons de 50 lancers. Si le taux de 14% (de 5) apparaît dans 35 échantillons, il note = 14 et = 35. Pour simplifier son relevé, il a regroupé les taux par classes, par exemple, pour les valeurs allant de 5% compris à 7% non compris, il note 6%...D où la distribution d échantillonnage suivante : a/ Que valent le minimum, le maximum et l étendue de cette série? b/ Sur son tableur, il a obtenu les résultats suivants : Me = 16 ; Q 1 = 12 ; Q 3 = 20 ; d 1 = 8 ; d 9 = 24 ; 16,37 ; s x 5,42. Que valent l intervalle interquartile et l écart interdécile? c/ La plage de normalité d une série est l intervalle [ ; ]. Quelle est cette plage et quel pourcentage de valeurs de la série contient-elle? 2/ Seconde expérience Hector organise maintenant la simulation de 100 échantillons de 500 lancers, ce qui lui donne la série suivante : a/ Représenter cette distribution par un diagramme en barres. b/ Déterminer l étendue, la médiane, les quartiles, le premier et neuvième décile de cette série. c/ Calculer la moyenne et l écart-type de cette série. 3/ Troisième expérience Voyant toujours plus grand, Hector organise maintenant la simulation de 100 échantillons de lancers et obtient la série qui suit : 16 16,1 16,2 16,3 16,4 16,5 16,6 16,7 16,8 16, ,1 17,2 17, a/ Déterminer l étendue, la médiane, les quartiles, le premier et neuvième décile de la série ci-dessus. b/ Hector lit l écran, reproduit à droite, de la calculatrice de son voisin qui a mis la série en mémoire. Que valent donc la moyenne et l écart type de cette série? 4/ Hector au rapport Il a bien travaillé... mais à quoi bon? a/ Comparer les moyennes des trois séries, leurs trois médianes, leurs trois étendues et leurs trois écart-types. Que remarque-t-on? b/ Comparer les boîtes à moustaches des trois séries après les avoir représentées sur un même graphique. Que remarque-t-on? c/ Quelles propriétés statistiques expliquent les remarques précédentes?

7 Statistiques à une variable - CORRIGE Fiche(3) Hector Tatord, élève de seconde, fait des expériences de simulation de lancer de dé sur son ordinateur. Dans ces expériences, il ne relève que la fréquence d apparition du 5 : par exemple, si le 5 apparaît 7 fois dans un échantillon de 50 lancers, la fréquence associée à l échantillon sera 14%. 1. Première expérience (a) min=4, Max=30, e=30-4=26 (b) intervalle interquartile : [q1 ; q3] = [12; 20], écart interdécile : d 9 d 1 = 16. (c) Plage de normalité : [m 2s ; m+2s] = [5,53; 27,21] donc c est l intervalle [6; 26] qui contient lui-même 288 valeurs soit 96% des valeurs. 2. Seconde expérience (b) Étendue : 20 ; médiane : 17 ; quartiles : q 1 = 15 et q 3 = 18 ; déciles : d 1 = 14 et d 9 = 19. (c) Moyenne : m 2 = 16,6 ; écart-type s 2 = 1, Troisième expérience (a) Étendue : 1,3 ; médiane : 16 ; quartiles : q 1 = 16,4 et q 3 = 16,9 ; déciles : d 1 = 16,2 et d 9 = 17. (b) Moyenne : m 3 = 16,64 ; écart-type : s 3 = ( ) 4. Le rapport d Hector (a) Le résumé : taille m s méd étend 50 16,37 5, ,56 1, ,64 0,32 16,6 1,3 Nous constatons que les paramètres de dispersion (étendue et écart-type) décroissent inversement avec la taille des échantillons. Les paramètres de position (moyenne et médiane) varient peu. (b) Ce qui se constate avec les boîtes à moustaches : (c) Et pour conclure : Lorsque la taille des échantillons croît, la fluctuation d échantillonnage décroît.

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