BACCALAUREAT BLANC. SERIE E.S. (obligatoire )

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1 BACCALAUEAT BLANC Février Lycée de la côtière- La Boisse. SEIE E.S. (obligatoire ) Exercice 1 : (5points) Question 1 (0,5) 20 Le coefficient multiplicateur global est égal à ( ) ( =1,2 1,15=1,38=1+ 100) 100 Il s'agit donc d'une augmentation de 38 % EPONSE D Question 2 (0,5) : Le nombre dérivé en a est le coefficient directeur de la tangente en a. On peut donc lire : f '(5)=1 EPONSE C Question 3 (1) : Le sens de variations de f nous indique le signe de f ' x + f(x) f '(x) avec 2< < 3 et 7< < 8 Les courbes 2 et 3 conviennent. Mais seule la courbe 3 vérifie f '(5)=1 donc : EPONSE C Question 4 (0,5) : 1,2 x2 +1,5 x 1,2 1,2 x2 +1,5 x 1,2 1 x 2 +1,5 x 1 (pas changement de signe car 1,2>1) x 2 +1,5 x1 0 x 2 +15, x1 est un trinôme = 1, (1)=6,25 donc deux racines : x 1 = 1,5 6,25 =2 et x = 1,5+ 6,25 =0,5 2 1 Trinôme du signe de a=1 sauf entre les racines : x 2 0,5 + x^2+1,5x Donc S= ] ;2] [ 0,5;+ [ EPONSE C ln( x) Question 5 (1) : f (x)= x f = u v f ' (x)= donc f '= 1 x x1 ln( x) x 2 u' vv ' u v 2 avec u( x)=ln( x) u' ( x)= 1 x = 1ln(x) x 2 v( x)=x v '( x)=1 EPONSE B 5 ) Question 6(0,5) : La raison de la suite est u 1 = 2,1 u 0 2 =1,05. S=u 0+u 1 + +u 11 =u 0 11, = 2 11, ,05 11,05 EPONSE A

2 Exercice 2 (obligatoire) : (5 points) 1 ) 0,25 0,31 0,44 A B C 0,45 0,55 0,25 0,75 2 ) a. p(a )= p A () p( A)=0,45 0,25=0,1125 b. On cherche p(b )= p B () p( )=0,25 0,31=0,0775 La probabilité de l événement : «Le questionnaire tiré est celui d un retraité acheteur de 3 à 4 familles de produits.» est égale à 0,0775 c. On sait que p()=0,217. A, B, C forment une partition de l'univers des acheteurs. On utilise la formule des probabilités totales. p()= p( A )+ p( B )+ p(c ) 0,217=0,1125+0,0775+ p(c ) p(c )=0,2170,11250,0775=0,027 On a donc bien : p(c ) = 0,027. p(c ) 3 ) On cherche p C ()= = 0,027 p(c) 0,44 0,061=6,1% 6,1%<8% donc il lancera une campagne de pub. 4 ) On cherche p ( B)= p ( B) ()= 0,0775 p 0,217 0,357. Si le questionnaire choisi est celui d'un retraité, la probabilité pour qu'il ait acheté de 3 à 4 familles de produits est égal à environ 0,357.

3 Exercice 2 (spécialistes): (5 points) 1 ) a- Le graphe est d'ordre 9 (9 sommets). b- Ce graphe est connexe car on peut joindre n'importe quel sommet à n'importe quel autre par une chaîne. c- Le graphe n'est pas complet car chaque sommet n'est pas relié à chacun des autres par une arête (il n'y a pas d'arête entre C et T par exemple) 2 ) On utilise le théorème d'euler, ce graphe étant connexe : Sommet B C L M P T V Z Degré Il faudrait qu'il n'ait aucun sommet de degré impair pour pouvoir établir un cycle eulérien dans ce graphe. Ce n'est pas le cas, donc il ne pourra pas effectuer le parcours souhaité. 3 ) a- N 4 =N N 3. Pour obtenir le coefficient de la troisième ligne et dernière colonne de la matrice N 4, effectue le produit de la troisième ligne de N par la dernière colonne de N 3 : =4. Ce coefficient est 4. b- Cela signifie qu'il existe 4 chaînes de longueur 4 reliant Lyon à Biarritz. (donc 4 parcours de Lyon à Biarritz en 3 étapes) 4 ) Sur les arêtes du graphe sont maintenant indiqués les prix des péages en euro. a- Le graphe étant connexe et sans boucle, on applique l'algorithme de Dijkstra, Départ L B C M P T V Z 0 10,7 L 7,1 L 10,7 L 22,8 V 23,3 V 22,8 V 19,3 C 22,2 C 28,7 P 22,8 V 22,2 C 38,9 P 33,7 22,8 V 36,8 51,2 B 36,8 38,1 B 56,4 T 38,1 B Le chemin que doit prendre le touriste pour minimiser le coût des péages de Lyon à Biarritz est Lyon- Clermont- Brives- Bordeaux-Biarritz b- Le coût de ce trajet est de 38,1

4 Exercice 3 : (5 points) 30 1 ) a- Nombre d'abonnés en 2011 : ( =630. Il y avait 630 abonnés en ) 30 Nombre d'abonnés en 2012 : =651 (. Il y avait 651 abonnés en ) b- D'après l'énoncé, +1 = ( 1 100) =0, ) On pose, pour tout entier naturel n : v n = 700. a- v n+1 = v n 700 = 0, = 0, = 0,7 ( 490 0,7) 700 Donc v n+1 v n =0,7 v n+1 =0,7 v n donc v n est géométrique de raison 0,7 v 0 = u 0 700=600700=100 son premier terme est v 0 =100 = 0,7(700) =0,7 700 b- D'après la question précédente,comme ( v n ) est géométrique de premier terme v 0 =100 et de raison 0,7 : v n =v 0 0,7 n v n =100 0,7 n Or v n = 700 donc =v n +700 d'où : =100 0,7 n +700= ,7 n 3 ) NON SPECIALISTES a- > ,7 n > ,7 n >10 0,7 n < ,7 n <0,1. b- Initialisati on Etape1 Etape2 Étape 3 Étape 4 Étape 5 Étape 6 Étape 7 Sortie N=0 N=1 N=2 N=3 N = 4 N=5 N=6 N=7 N=7 U=1 U=0,7 U=0,49 U=0,343 U=0,2401 U=0,16807 U=0, U=0, c- 0,7 n <0,1 ln(0,7 n )<ln(0,1) n <ln(0,1) n> ln(0,1) Or ln(0,1) 645, donc l'inégalité sera vérifiée dès que n 7. car ln07 (, )< 0 d- D'après les questions précédentes, >690 0,7 n <0,1 n 7. Donc c'est à partir de u 7 soit en 2017 que le nombre d'abonnés atteindra au moins 690.

5 3 ) SPECIALISTES a- > ,7 n > ,7 n >3 0,7 n < ,7 n <0,03. b- Initialisati on Etape1 Etape2 Étape 3 Étape 4 Étape 5 Étape 6 Étape 7 Etape8 Etpae 9 Etape 10 Sortie N=0 N=1 N=2 N=3 N = 4 N=5 N=6 N=7 N=8 N=9 N=10 N=10 U=1 U=0,7 U=0,49 U=0,343 U=0,2401 U=0, U=0, U=0, , , , c- 0,7 n <0,03 ln(0,7 n )<ln(0,03) n <ln(0,03) n> ln(0,03) Or ln(0,03) 983, donc l'inégalité sera vérifiée dès que n 10. car ln07 (, )< 0 d- D'après les questions précédentes, >697 0,7 n <0,03 n 10. Donc c'est à partir de u 10 soit en 2020 que le nombre d'abonnés atteindra au moins 697. Exercice 4 : (6 points) Partie A On considère la fonction C définie sur l intervalle [5 ; 60] par : C(x)= e0,1 x +20 x. 1 ) On désigne par C la dérivée de la fonction C. C= u u ' vv' u donc C '= avec v v 2 u(x)=e 0,1x +20 u'(x)=0,1e 0,1 x v( x)= x v '(x)=1 C '(x)= x 0,1e0,1 x 1 (e 0,1 x+20) 0,1 xe 0,1 x e 0,1 x 20 =...= x 2 x 2 2 ) On considère la fonction f définie sur [5 ; 60] par f (x)=0,1 xe 0,1 x e 0,1x 20 a- On dérive f. f =u v+w donc f '=u ' v+v ' u+w ' avec : u(x)=0,1 x u'(x)=0,1 v( x)=e 0,1 x v '(x)=0,1e 0,1 x w '(x)=e 0,1 x +20 w '(x)=0,1 e 0,1x f '(x)=0,1e 0,1 x +0,1 x 0,1 e 0,1 x 0,1 e 0,1 x =0,01 xe 0,1x Sur [5 ; 60], le facteur 0,01 est positif, le facteur x également de même que pour le facteur e 0,1x. Donc f est croissante sur cet intervalle.

6 b- f est - continue - strictement croissante sur [5;60] - f (5) -20 et f (60) 2000 ; 0 est compris entre f (5) et f (60) D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f (x) = 0 possède une unique solution dans[5 ; 60]. c- La calculatrice nous donne 26 d- x 5 60 f(x) ) Comme C '(x)= f ( x) x 2 : x 5 60 x f (x) 0 + C'(x) 0 + C(x) e 0, ,33 C( ) 1,28 e ,06 En déduire le tableau de variations de C sur [5 ; 60]. 4 ) En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes : a- C (x) = 2 a deux solutions : une sur [5; ] et l'autre sur [ ;60] b- C (x) = 5 a une unique solution sur [ ;60] Partie B Une entreprise fabrique chaque mois x vélos de course, avec x appartenant à l intervalle [5 ; 60]. Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d euros, pour une production de x vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A. 1 ) D'après le travail effectué en partie A, il faut produire et vendre 26 vélos pour que le coût de fabrication moyen soit minimal. 2 ) Le coût de fabrication moyen d'un vélo est de C( ) 1,287 soit 1287 Le bénéfice unitaire est donc égale à = 713 Le bénéfice total est donc de =18538